◉Opticae Thesavrvs. Alhazeni Arabis libri ſeptem, nunc primùm editi. Eivsdem liber De Crepvscvlis & Nubium Aſcenſionibus. Item Vittellonis Thvringopoloni libri X.

◉Omnes inſtaurati, figuris illuſtrati & aucti, adiectis etiam in Alhazenum commentarijs, á Federico Risnero.

◉Cum priuilegio Cæſareo & Regis Galliæ ad Sexennium‡

◉Basileae, per Episcopios. M D LXXII.

page

◉Triplicis uiſus, directi, reflexi & refracti, de quo optica diſputat, argumenta.

◉[...]

page 283

Alhazen filii Alhayzen de Crepvscvlis et Nvbivm Ascensionibvs liber vnvs.

◉Gerardo Cremonenſi interprete.

◉Nvmeri.

◉1. Crepuſculum matutinum incipit, ac ueſpertinum deſinit, ſole ante ortum & poſt occaſum ſuum 19 partibus, in peripheria circuli per uerticem regionis ſolis́ locum tranſeuntis, ſub horizontem demerſo.

◉Ostendere uolo in hoc tractatu quid ſit crepuſculum, & quæ cauſſa neceſſariò faciens eius apparitionem: inde uerò progrediar ad cognoſcendum ultimum, quod eleuatur à ſuperficie terræ, de uaporibus ſubtilibus aſcendentibus ex ea. Dico ergo, quòd crepuſculum matutinum & crepuſculum ueſpertinum ſunt ſimilis figuræ: unum namq eorum ex acceſsione luminis ſolis, & alterũ ex ipſius receſsione contingit. Vtrorumq uerò colorẽs diuerſi ſunt, propter diuerſitatem horizontum; in quibus ſol eſt apparens. Quoniam ſol quando eſt in horizonte orientali, non multum eleuatus, eſt illic color eius alius à colore ipſius in uiſibus, quando eſt ſecundum æqualitatem illius altitudinis in horizonte occidentall. Et ſimiliter radij eius, qui uidẽtur in crepuſculo, & quod uidetur in æthere de luminibus eius. Et ipſe æther coloratus eſt, ſequens illud, ſecundum quod eſt ſol in utriſque partibus eius. Nam qui ex illo eſt in oriente color, eſt albedo & claritas: & qui eſt in occidẽte, ad rubedinem aliquantulùm uergit. Quæ res uerò ſit illud illuminans, & qualiter ſit apparens illic, & quæ cauſſa neceſſariò faciat ipſum, ad illud præmittemus propoſitiones, exponentes illud, cuius uolumus declarationem. Ex illo quidem eſt, quòd ſphæra orbis [è terra & aqua conſtantis] tota ſemper eſt ſplendida & luminoſa ex luminari maiori (quod eſt ſol) niſi quantum obtegunt tenebræ contingẽtes ex terra, in figura pyramidis, quæ eſt nox. Et ego non ſignifico in hoc libro per illud, quod accidit de huiuſmodi receptionè luminis ex ſphæris ſtellarum, niſi quòd cum ſphæra, propter claritatem aeris & ſubtilitatem ætheris, & tenuitatem eius non ſuſpenditur aliquid de lumine ſolis, ſicut uidemus ipſum ſuſpendi cum corporibus altis (quę ſunt ſtellæ) quia illuminantur & deferunt nobis illud, quod recipiunt exlumine, & conſequuntur ipſum uiſus noſtri in eis: & quamuis diſſentiant in ſtellis, in lumine tamen non diſſentiunt. Viſus autem noſtri non conſequũtur, quod in eis eſt de luminibus: niſi quòd ipſæ procul dubio ſunt ſpiſsioris & uehementioris corporeitatis; quàm æther, in quo ſunt. Et hoc patet per ſignificationes, quòd quædam earum tegunt nobis quaſdam, quia eclipſant eas: aer uerò non tegit nobis aliquid ex eis, quæ ſunt poſt ipſum. Et propterea uidemus, quòd tota nox eſt ſecundum habitudinem unam, in qua non illuminatur nobis ex æthere aliquid: quamuis ſciamus ſecundum ſcientiam noſtram, quòd quàmplurimum eius ætheris eſt luminoſum, non tectum à ſole. Et uidemus quòd illud, quod ex eo ſoli apparet, & nihil aliud tegit, eſt in uiſione, ſicut illud, quod terra tegit, quod pyramis tenebrarum continet. Et non facit neceſſariò æqualitatem utriuſq apud uiſus noſtros, niſi illud, quod diximus de ſubtilitate aeris, & quòd non perducit illuminationem eius, & perducit nobis tenebroſitatem ipſius. Tunc autem non ceſſat habitudo umbræ apparere nobis ſecundum ſimilitudinem ipſius, quouſq incipiat ab oriente ſplendor diluculi & lumen ſparſum, cuius principium eſt in primis cum ſuperficie horizontis: & illius principij non eſt nobis cauffa, niſi ſol: cum ſit cauſſa illuminationũ. Et non eſt nobis principium illud ſol ipſe, nec radius eius tantùm, quoniam iam præmiſimus, quòd radij eius pertranſeunt uſq ad ætherem totum, quem uidemus, aut ad plurimum eius: & nõ eſt diuerſa eius habitudo in illa hora ab alia habitudine ante illud. Veruntamen radij eius ſuſpenduntur tunc cum aliquo corpore ſpiſsiore aere: ducit ergo nobis cum ſua ſpiſsitudine radium, quem induit. Et dico, quòd illud, quo ſuſpenſus eſt radius in illa hora, non eſt terra, neq extremitates plagarum eius diſtinctæ à nobis: quoniam cum uidens eſt ſuper æqualitatem terræ, non peruenit eius uiſus, niſi quaſi ad 23 milliaria [Italica] ab omni parte. Et ſi accidit ei, ut ſit ſuper altiorem montium, qui eſſe poteſt (& ille non pertranſit octo milliaria, ſecundum quod dixerunt ſapientes, intendentes hoc) uiſus non pertranſit tunc, niſi 250 milliaria ferè. Et hoc manifeſtum eſt ex eo, quòd noctẽ facit forma terræ: ſed altitudo loci uiſus à ſuperficie eius, hoc eſt ſpatium, quod diximus, abſcondit orbẽ in quarta horæ. Oportet ergo, ut oriatur ſol paululùm poſt crepuſculum matutinum per quartam horæ ad minus: illud ergo, quod eſt inter apparitionem crepuſculi & apparitionẽ ſolis, eſt plus hora multò. Hoc autẽ, quod diximus, nõ eſt, niſi propinquitas, propter eũ, qui non eſt exercitatus in geometricis. In ueritate uerò uiſus nõ peruenit ad punctum terrę, quod iã illuminatũ eſt à ſole, niſi cũ ipſe peruenerit & cõprehẽderit cornu ipſius ſolis: quoniã duæ lineæ contingẽtes unũ punctũ circuli à duabus partib. diuerſis cõiunctæ, ſunt linea una ſecundũ rectitudinẽ [ք 14 p 1: quia ſemidiameter circuli ad tactus punctũ ducta, efficiet cũ utraq angulos rectos ք 18 p 3.] Quãdo ergo illuminatũ apparet nobis, tũ non eſt illud terra ipſa, ꝓpter id, quod page 284 diximus: nec eſt aer implens totam ſphęram: quoniam, ut præmiſimus, ſuper totum aerem aut plurimum eius, ſemper cadit radius ſolis nocte & die: & nõ apparet illud in ipſo, propter ipſius ſubtilitatem. Et ſuper terram non eſt corpus ſpiſsius aere, niſi uapores aſcendẽtes, quibus non deeſt ſemper, quin illuminentur à ſole. Tunc uerò, quando pyramis umbræ ab eo remouetur, quod de uaporum ſphæra terram continente uiſus noſtri conſequuntur, & recipit eos corpus ſolis, & cadunt ſuper eos radij eius, ſuſpenditur cum eo radius, & defert ipſum nobis, & conſequuntur ipſum uiſus noſtri, & uidetur à nobis eius lumen, ſicut uidemus ipſum apparere in nubibus ex coloratione humiditatum aſcen dentiũ, & ſicut colores, qui in roribus uidentur, in forma portionis circuli, & aliorum modorum. Quãdo ergo uolumus ſcire, quanta ſit ultima eleuatio illorũ uaporum à ſuperficie terræ: tunc ad eam cognitionem præmittũtur quatuor res, quarum nulla excuſatur, & præter ipſas nulla alia re indigemus, ita ut nõ poſsit fieri per minus, nec ſit neceſſarium plus. Illa autem quatuor ſunt: corpus terræ: corpus ſolis: longitudo centri ſolis à centro terræ in omni ſitu: & quanta ſit depreſsio ſolis ab horizonte, donec appareat crepuſculum matutinum. Corpus autem terræ eſt ſicut inſtrumentum omnium aliorum: & quantitas circuli magni continentis eam, ſecũdum quod dixerunt ſapientes, & ſignificauerunt illud per propoſitiones certas, eſt 24000 milliaria. Et dixerunt, quòd per quãtitatem, qua medietas diametri terræ eſt pars una, eſt medietas diametri ſolis quinq partes, & medietas partis: & per eam eſt longitudo centri ſolis à cẽtro terræ in longitudine media, (non in omni ſitu) mille & centum & circiter decem partes: & quòd depreſsio ſolis ab horizonte, cum oritur crepuſculum, eſt 18 gradus: & iã inuenitur ſuper 19: & ſuper hoc fabricabo ſupputationem noſtram: quoniã cum narrator rei eſt cũ additione in ea, dignior eſt, ut recipiatur ſermo eius, cum non contradicit ei alius: quandoquidem narrator cũ additione ſcit, quod non ſcit alius, & con ſequitur, quod non conſequitur alius. Nã qui narrat de aliquo, quod uiderit illud, antequam uiderit ipſum alius, dignior eſt, ut conſequatur, quod intendit, quando nõ exiſtimatur de eo ſuſpicio. Præmittam igitur ad illud, quod inter manus meas eſt, propoſitiones quaſdam multi iuuaminis.

◉2. Si ſphæricũ luminoſum illuminet opacum æquale: hemiſphæriũ illuminabit. Vitell. 26 p 2.

◉DIco ergo, quòd omnium duarum ſphærarum æqualium, inter

quas non eſt aliud corpus, quod unam earum alteri abſcondat: illud, quod ex unaquaq earum uerſa facie reſpicit alteram, eſt medietas eius æqualiter. Et ſignifico per uerſam faciẽ unius reſpectu alterius: quòd ſi una earum eſt luminoſa, & altera recipiẽs lumen, illuminatur, & relucet medietas recipientis lumen. Cuius exemplum eſt, ut ſint duæ ſphæræ a & b æquales: & pono, ut aliqua ſuperficies plana tranſeat per centrũ utriuſq: ſecabit ergo duas ſphæras ſuper duos circulos æquales, & in ſuperficie una [per 1th. 1 ſphær. Theodoſij.] Sint ergo illi duo circuli a g h, b d c: & cõtinuabo a cum b: & protrahã duas lineas a g, b d perpendiculares ſuper lineam a b: [per 11 p 1] ergo ipſæ ſunt æquidiſtantes [per 28 p 1] & continuabo g cum d. Et quoniã duæ lineæ a g, b d ſunt ęquales [per 15 d 1: quia ſunt ſemidiametri ęqualium circulorum] & æquidiſtantes [è cõcluſo] duæ lineæ a b, g d ſimiliter erunt æquales & æquidiſtantes: [per 33 p 1] ergo duo] anguli ad g & d ſunt recti: [per ſecundam partem 34 p 1] ergo linea g d eſt contingens duos circulos [per conſectarium 16 p 3.] Et quando nos protrahemus g a & b d ſecundum rectitudinem, ad duas circumferentias duorũ circulorum, uſq ad duo puncta e & z, deinde cõtinuabimus e cum z: erit recta linea e z contingens duos circulos [ijſdem de cauſsis, quibus d g tangere oſtenſa eſt:] & erit una quæq duarum portionum g h e, d c z, quarum una eſt uerſa facie ad alterã, medietas circuli [per 17 d 1] quoniam unam quamq earum fecat diameter circuli. Et ſimiliter cõtingit in omnibus ſuperficiebus planis, quæ tranſeunt per duo centra duarũ ſphærarum. Iam igitur declaratum eſt, quòd lineæ egredientes ex una duarum ſphærarum ad alteram, contingunt utraſq ſimul, & comprehendunt ex unaquaque earum medietatem. Et illud eſt, quod declarare uoluimus.

◉3. Si ſphæricum luminoſum illuminet opacum minus: plus hemiſphærio illuminabit. Vitell. 27 p 2.

◉QVòd ſi una duarum ſphærarum eſt maior altera: tũc illud, quod ex minore uerſa facie reſpicit maiorem, eſt plus medietate minoris: & quod ex maiore uerſa facie reſpicit minorem, eſt minus medietate maioris. Cuius exemplum eſt, ut ſint duæ ſphæræ a & b: & ſphæra a ſit maior. Protrahã ergo ſuperficiẽ planã, tranſeuntẽ per cẽtra utriuſq: ſecabit ergo utrãq earũ in duo media ſuք duos circulos a g d, b e z [per 1 the. 1 ſphęr.] & cõtinuabo a cũ b, & protrahã ipſam ſecũdũ rectitudinẽ in partẽ h: & ponã proportionẽ medietatis diametri circuli a g d ad medietatẽ diametri circuli b e z, ſicut ꝓportio a h ad b h. Eius uerò acceptio eſt prõpta ex tractatu ſexto & ꝗnto Euclidis [ſi enim trib. rectis datis, differẽtia nẽpe ſemidiametrorũ circulorũ a & b: ſemidiametro b c minoris circuli, & ipſa a b, inueniatur ք 12 p 6 quarta ꝓportionalis b h: erit ք 18 p 5 ut a d ſemidiameter page 285 maioris circuli ad b c ſemidiametrum minoris b c: ſic a h ad b h.] Et protraham à puncto h lineam contingẽtem circulũ a g d [per 17 p 3] quæ ſit h c d. Dico ergo, quòd ipſa contingit etiã circulũ b e z: quod patet: quia cõtinuabo a cum d per lineam a d: ergo eſt perpendi

cularis ſuper lineam h d [per 18 p 3] & protraham à puncto b perpendicularem ſuper lineam h c d [per 11 p 1] quæ ſit b c. Et quoniam duæ lineæ b c, a d ſunt perpendiculares ſuper lineam h d [è fabricatione & concluſo] ſunt æ quidiſtantes [per 28 p 1.] Et quia linea b c eſt æquidiſtans ipſi a d, quæ eſt baſis trianguli: erit ergo proportio a d ad b c, ſicut ꝓportio a h ad h b [per 4 p 6: quia triangula a h d, b h c ſunt æquiangula per 29. 32 p 1] & iam poſuimus proportionem a h ad h b, ſicut proportionem medietatis diametri circuli a g d, ad medietatẽ diametri b e z: ergo linea b c eſt medietas diametri circuli b e z: ergo punctũ c eſt ſuper circumferẽtiam circuli b e z [per 17 d 1] & duos angulos ad d & c poſuimus rectos: ergo linea h c d contingit minorem circulum [per conſectarium 16 p 3] nos uerò iam protraximus eam contingentem maiorẽ: ergo ipſa eſt contingens utroſq ſimul. Et protraham ſimi liter ex puncto h lineam, contingentem duos circulos ſimiliter in parte z, quæ ſit linea h z k. Eſt ergo, quòd ex circulo a maiore uerſa facie reſpicit circulum b minorem, portio d g k: & eſt minor medietate circuli: quoniam angulus h a d eſt minor recto [per 32 p 1] quoniam ipſe eſt in trian gulo uno, & eſt triangulum d a h cum angulo a d h recto. Ergo eſt portio d g minor quarta circuli [per 33 p 6] & ſimiliter portio g k, æqualis e [quòd autem g k ſit æqualis d g, patet, ducta ſemidiametro a k. Quia enim rectæ d h, k h tangentes æquantur per conſectarium 36 p 3 & ſemidiametri a d, a k per 15 d 1, eſtq́ communis a h: ęquabitur angulus h a d angulo h a k per 8 p 1: quare per 26 p 3 peripheria d g æquabitur peripheriæ g k.] Ergo portio d g k eſt minor medietate circuli. Et quoniam linea b c eſt æquidiſtans lineæ a d [è concluſo] eſt angulus c b h æqualis angulo d a h [per 29 p 1] ergo erit portio c l ſimilis portioni d g, & tota portio c l z ſimilis portioni d g k [per 33 p 6.] Ergo unaquęq earũ eſt minor medietate circuli: remanet ergo portio c e z maior me dietate circuli: & illud eſt, quod ex circulo minore uerſa facie reſpicit circulum maiorem. Ergo duę portiones c e z, & d g k ſunt ex duobus circulis, qui uerſa facie ſe reſpiciũt. Et ſignifico quidem per hoc, quòd aliquid portionis unius nõ cooperitur ex circulo altero: & portio c e z eſt maior medietate circuli, & portio d g k minor. Etillud eſt, quod uoluimus declarare.

◉4. Si peripherias duorum circulorum æqualium duæ rectæ lineæ tangant: punct a ſemiperipheriarum cõuexis partibus ſe reſpicientium ſingula ſingulis appa

Fig. 246

e d a n b g m q t k z h l

rent, reliquarum uerò ſemiperipheriarum conuexis partibus ſenon reſpicientium latent.

◉ET dico, quòd quando ſunt duo circuli æquales, & protrahuntur duæ lineæ, quarum unaquæq contingit duos circulos ſimul, ſecundum formam, quam præmiſimus: tunc in unaquaq duarum portionum, quarum una uerſa facie reſpicit alteram, non eſt locus, qui abſcõdat aliquid ex circulo uno circulo alteri: & quòd in reliquis duabus portionibus duorum circulorum, quę non facie ad faciem ſe reſpiciunt, non eſt locus, qui appareat circulo alteri. Cuius exemplum eſt, quòd ſint duo circuli a b g d e, & z h t k l: & protrahantur duę lineæ b h, & d k contingentes duos circulos ſimul: ergo duæ portiones b g d, & h t k ſunt, quæ ſe facie ad faciem reſpiciunt: earum portiones b e d, & h l k ſunt, quæ ſe non facie ad faciem reſpiciunt. Dico ergo, quòd non eſt in portione b g d punctum, quod aliquid ex circulo z h abſcondat circulo a b: & quòd non eſt in portione b e d punctum, quod appareat penitus circulo z h: & quòd tota ipſa portio eſt abſcondita circulo z h: & quòd neq eſt in portione h l k punctũ, quod appareat circulo a b. Cuius demonſtratio eſt: quòd ego continuabo a cum z, per lineam a g z, & ſignabo ſuper arcum b g d punctum, qualiter uelim, quod ſit punctũ m. Si ergo fuerit punctum m à puncto g ad partem b: tunc protraham ex puncto m lineã æquidiſtantem lineæ b h [per 31 p 1] & ſi fuerit punctum m à puncto g ad partem d: tunc protraham ex puncto m lineam æquidiſtãtem lineæ d k: ſit ergo m t. Dico igitur quòd linea m t tota eſt extra circulũ b m g d e, de qua nõ cadit aliquid in eo. Cuius demõſtratio eſt: quòd ego cõtinuabo a cũ b, & protrahã lineã m t ſecundũ rectitudinẽ, donec cõcurrat cũ linea b a ſuper punctũ n [cõcurret aũt per lẽma Procli ad 29 p1: ꝗa m t parallela ducta eſt ipſi b h, quę cõcurrit cũ a b in b] ergo duo rũ angulorũ ad n unuſquiſq eſt rectus [ꝗa enim angulus n b h rectus eſt ք 18 p 3, & ipſi b h parallela ducta eſt t m n: ęquabitur per 29 p 1 angulus t n b angulo n b h, ideoq́ rectus, & per 13 p 1 an t rectus] page 286 & cõtinuabo m cũ a. Angulus igitur trianguli a n m eſt rectus: & iá protractú eſt latus n m ſecundú rectitudiné uſq ad t, & prouenit angulus a m t extra triangulũ, qui eſt maior recto [per 16 p 1] ſcilicet angulo n. Et quãdo protrahitur ab extremitate diametri circuli linea, quæ cũ ipla cõtineat plus angulo recto: tũc illa linea nõ ſecat circulũ, nec cadit de ea intra ipſum aliquid: ergo de linea m t nó cadit in circulo a m aliquid. Ergo punctũ m facie ad facié reſpicit circulũ z, & nõ abſcondit aliquid ei: quoniã quando nõ abſcondit ei aliquid ex corpore iſtiuſmetſphæræ a m: tunc nulla alia res tegit illud: quoniá nos poſuimus, ut inter duas ſphæras nõ ſit corpus aliud ab eis, quod tegat unam earũ alteri. Et ſimiliter oſtẽdetur hoc in omni pũcto ſuք arcũ h t k. Et dico iterũ, quòd nõ eſt in arcu b e d punctú, quod appareat circulo z: nec eſt poſsibile, ut continuetur cũ aliquo de circulo z p ք lineá, niſt & illa linea ſecet circulũ a b, & cadat intra ipſum. Quod ſi poſsibile eſt: ꝓtrahamus à pũcto e lineam peruenienté ad aliꝗ d de circũferentia circuli h t k l: & nó ſecet aliꝗd de circulo a e d: & ſi fuerit poſſibile, ſit linea e q l: & ꝓtrahá lineá d k in utraſq partes duarũ extremitatũ eius: neceſſe eſt ergo, ut occurrat lineæ e q l in duob. locis: quoniá linea d k, quá iá poſuimus contingenté duos circulos, nõ eſt poſsibile, ut ſecet unũ duorũ circulorum, nec cadat inter utroſq [per 16 p 3:] & quoniã nó cadit inter ipſos, tunc ſecabit lineam e l in duobus locis: ergo iam ſunt duæ lineæ rectæ continentes ſuperficiem:illud autem eſt contrarium & impoſsibile [per 12 axioma.]

◉5. Deperipheria maximi in terra circuli ſol illuminat partes 180, ſcrupula prima 27, ſcrupula ſecunda 52. Vitell. 59 p 10.

◉QVod aũt oportet nos facere ſecundũ illud, quod pręmiſimus, ut inueniamus, quãta ſit quãtitas arcus terræ illuminati à ſole: quã iã poſuimus maiorẽ eſſe medietate terræ: ponã ergo duos circulos ſolis & terræ, ſuper quos ſecat utroſq una ſuperficies plana, quales ſunt a b c d e, f h g. Circulus ergo a ſit terræ, & circulus ſolis f: & protrahã duas lineas contingẽtes unũquenq eorũ, ſicut diximus, quæ ſint duæ lineæ b h & e g. Igitur portio b c d e exterra, eſt illuminata à ſole, ſicut iam oſtendimus [3 n] & illud eſt plus me

dietate circuli. Quando ergo uolumus ſcire quantitatẽ eius, tũc nos cõtinuabimus a cum b & cũ f, & f cũ h: ergo b a & h fſunt æquidiſtãtes [per 28 p 1] quoniã utræq ſunt perpẽdiculares ſuper lineã b h, contingentẽ duos circulos [per 18 p 3.] Et ſecabo ex linea h f, quod ſit æquale lineæ b a [id uerò fieri poteſt, quia f h ex theſi ma ior eſt a b] & ſit linea h k: & continuabo a cũ k: ergo a k eſt perpẽdicularis ſuper h f [per 29 p 1] quoniã eſt æquidiſtãs ipſi b h: cũ cõtinuet totũ, quod eſt inter extremitates duarũ linearũ b a, & h k æqualiũ & æquidiſtantiũ: ergo angulus k eſt rectus. Et ꝓpterea quòd linea h f eſt quinq partes & medietas partis, ք quãtitatẽ, qua linea b a eſt pars una [ut dictũ eſt 1 n] remanet linea k f quatuor partium & medietatis unius partis ex illa quãtitate: & per eandẽ inuenitur linea a f 1110, in medijs lõgitudinibus [ſole cõſtituto.] Ergo per quantitatẽ, qua linea a f ſubtẽſa angulo recto, eſt 60 grad. eſt linea k f 14 minuta & tres quintæ unius minuti: ergo angulus k a f eſt 14 min. excepta tertia parte ꝗntæ partis unius minuti, [id eſt 13 minu. & 56 ſec. Nam ſecũdum pręcepta arithmetices quin cunx ſeu ꝗnta pars unius minuti ſunt 12 ſecunda, quorũ tertia pars per diuiſionẽ inuẽta, ſunt 4 ſecun. quibus ſubductis à 14 minutis, rectã 13 minuta & 56 ſecunda] per quãtitatem, qua angulus rectus eſt 90 grad. & illud eſt quãtitas arcus c d: ſed arcus b c eſt 90 grad. quoniã angulus b a c eſt rectus. Ergo arcus b d eſt 90 grad. 14 min. excepta tertia parte quintæ partis unius minuti: & arcus d e eſt ęqualis arcui b d. [Ducta enim à pũcto a parallela ip̀ſi e g: erit angulus à ſemidiametro e a & parallela cõprehenſus, rectus per 29 p 1, & æqualis angulo b a c per 10 ax. Et quia ducta parallela ſecat de ſemidiametro f g uerſus f æqualẽ ipſi f k ք 15 d. 34 p 1. 1 ax: & angulus à parallela & ſemidiametro f g cõprehẽſus, rectus eſt per 29 uel 34 p 1: ęquabuntur quadrata parallelæ & ſectæ de ſemidiametro f g uerſus f, quadrato f a per 47 p 1, cui per eandem æquantur quadrata ipſarũ a k & k f: ſubductis igitur quadratis æqualibus ipſarũ f k & ſectæ d e ſemidiametro f g uerſus f, relinquẽtur quadrata ipſarũ a k & ductæ parallelæ æqualia, ideoq́ recta a k æqualis erit ductæ parallelæ: & per 8 p 1 angulus d a c æquabitur angulo ab f a & parallela ad cẽtrum a cõprehenſo. ſed angulo c ab æqualis cõcluſus eſt angulus à ſemidiametro e a & parallela cõ page 287 prehenſus. Quare ſi æqualibus angulis æquales addãtur, æquabitur per 2 axio: totus angulus b a d toti angulo e a d: & per 26 p 3 peripheria b d peripheriæ e d.] Ergo totus arcus b c d e illuminatus à ſole, eſt 180 partes & 27 minuta & quatuorquintæ & tertia quintæ unius minuti cũ propinquitate [id eſt 52 ſecunda: nã ex arithmeticæ regulis 4/5 unius minuti ſunt 48 ſerupula ſecũda, & quinta pars unius minuti ſunt 12 ſcrupula ſecunda, quorũ tertia pars, 4 ſcilicet ſcrupula ſecunda addita cum 48 ſcrupulis ſecundis, efficiunt 52 ſcrupulà ſecunda.] Et illud eſt, quod uoluimus declarare.

◉6. Poſit a peripheria maximi in terra circuli 2 4000 milliarium Italicorum: erit ſumma uaporum in nubem coactorum à terra altitudo 5 2000 paſſuum. Vitell. 60 p 10.

◉INcipiamus ergo nũc ex eo, quod intẽdimus de cauſſa apparition is crepuſculi, & formæ apparitionis eius nobis, & figurationis ipſius in horizonte oriẽtali. Ponam ergo circulũ ſignatum ſuper ſphærã terræ, & ſuper quã abſcindit terrã ſuperficies plana, trãſiens per zenith capitũ & per ‡ centrũ terræ & ſolis circulũ a b, & locũ uiſus a: & faciã trãſire ſuper punctũ a lineam contingentẽ circulũ [per 17 p 3] & prolongabo duas extremitates eius in duas partes, ſuper quas ſint d, e. Manifeſtum eſt igitur, quòd ſuper totũ; quod cadit ſub linea d a e ad partẽ b, nõ cadit uiſus, quoniã terra abſcondit illud nobis: quia extẽſio uiſus nõ eſt, niſi ſuper lineã rectam [per primã hypotheſin opticorum Euclidis.] Et Euclides quidẽiam declarauit [16 p 3] quòd nõ egreditur à puncto cõtactus linea inter lineã cõtingent ẽ& circulũ. Viſus ergo nõ cadit ſub linea d a e, ſed cadit ſuper illud, quod eleuatur ab ea. Et ponã formã pyramidis tenebrarũ euenientiũ ex umbra terræ, parum ante crepuſculum, quãdo eſt depreſsio ſolis plus 19 gradibus per minutũ unũ, uerbi gratia; aut circiter: ſuper quam ſint g, e, f, c: totũ enim, quod cadit in hac pyramide deſignata (cuius caput eſt f, & baſis ipſius terra) eſt rectum ſoli, nõ apparẽs ei, neq illuminatũ ab eo, & eſt in ueritate tenebroſum: & quod cadit exterius ab ea, eſt apparẽs ſoli, & ſuper ipſum cadũt radij eius & lumẽ eius. Veruntamẽ quod ex corporib. eſt ſubtile ualde, nõ perducit ad uiſus noſtros illud, quod

ex radio induit, ꝓpterea quòd æquãtur in uiſibus noſtris illud, q ex aere ſubtile eſt intra pyramidẽ, & q eſt extra ipſum: & uidetur æther totus in forma luminis & tenebrarum. Et nos quidẽ ſcimus, quòd illud, quod cõtinet nos ex aere, & quod eſt propinquũ nobis, eſt tenebroſum, nõ apparẽs ſoli: & quod procedit in inceſſu in altũ, aut dextrorſum, aut ſiniſtrorſum, & anterius & poſterius, eſt luminoſum, apparẽs ſoli: & ſunt ambo cũ illo apud nos æqualiter in tota cõprehenſione uiſus: & nõ apparet aliquid uiſibus noſtris ante ortũ ſolis, & poſt occaſum ſolis, niſi ſit eleuatũ à ſuperficie horizontis, & niſi ſit extra pyramidẽ umbræ, & niſi ſit ſpiſsius aere ſubtili. Manifeſtum eſt igitur, quòd nõ apparet uiſibus noſtris aliquid in habitudine ſplẽdoris & illuminationis, niſi per aggregationẽ triũ conditionum in eo: quarũ una eſt, ut nõ ſit ſub linea d a e: quoniã ſi eſt ſub ea, prohibet ſphęra terræ inter ipſum & uiſum: quia nõ comprẽhendit ipſum uiſus luminoſum neq tenebroſum. Et alia eſt, ut nõ ſit in pyramide umbræ: nã ſi eſt in ea, eſt tenebroſum, propterea quòd priua tũ eſt facie ſolis & illuminatione ſua ab eo. Et alia eſt ut ſit ſpiſsius aere ſubtili implẽte ſphæram: quoniã iam ſciuimus, quòd aer altior extra pyramidẽ, cadit ſuper lineã d a e: & cũ illo non apparet nobis in eo aliquid luminis, propter tenuitatem & ſubtilitatẽ ſuam, & pro pterea quod uidemus in hoc loco, & eſt parum ante crepuſculũ, illud, quod comprehẽdimus de ſphæra, tectum, nõ illuminatũ, & non diuerſificatur pars eius à parte. Et ſcimus, quòd nõ eſt in eo punctũ neq locus unus, in quo aggregentur iſtæ cõditiones tres. Sed pun ctum e eſt: ubi occurrit ultimo ſtatui pyramidis linea d a e: & iã poſuimus in eo duas conditiones: quoniã nõ eſt ſub linea d a e, nec intra pyramidẽ: ergo cadit ſuper ipſum radius ſolis. Nõ ergo facit neceſſariam tenebroſitatẽ eius in oculis noſtris tũc, niſi priuatio eius à conditione tertia, quę eſt ſpiſſitudo. Iam ergo certificatur, quòd aer, ubi eſt punctũ e, in hoc loco eſt ſubtilis, & non perueniũt ad ipſum uapores ſpiſsi, aſeendentes de terra, qui ſunt ſpiſsiores aere. Deinde poſtquã eleuatur ſol parum, & fit depreſsio eius ab horizonte 19 graduũ tantùm, & fit forma pyramidis & figura eius, ſicut illa, ſuper quã ſunt i, m, h, k, & apparet in horizõte res luminoſa, & nõ fuerat antè illic res lum inoſa: ſeimus quòd ille eſt primus locorũ & hoſpitiorũ, in quo aggregãtur cõditiones tres prędictæ: quoniã ante illud parũ per illud, cui nõ eſt quantitas, nõ fuit illic aliquid de lumine: & primus locorũ, in quo aggregatur, ut non ſit ſub linea d a e, nec intret pyramidein tenebrarum, eſt punctum m. Ergo punctũ m eſt primus locorũ, in quo inuẽta eſt cõditio rertia, & eſt illic ſpiſsitudo aeris. Ergo pũctũ in eſt ultimus ſtatus uaporũ, & ſumma aſcẽſio eorũ: & nõ abbreuiãtur ab eo, neq pertrãſeũt ipſum. Quoniã ſi abbreuiarẽtur ab eo, eſſet punctũ m in aere ſubt li, & nõ appareret nobis in eo aliquid de lumine, ſicut nõ apparet in eo, qui eſt poſt ipſum, ad partem e: & ſi pertrãſirent ipſum, illuminaretur nobis punctũ e ante hoc: quoniã nõ ponimus in eo, quod eſt inter m & e, in his duobus locis rẽ ſen page 288 ſibilẽ. Ergo punctũ m eſt ultimus ſtatus, ad quẽ perueniũt uapores aſcendentes in altũ, & occurſus lineæ d a e cõtingentis ſphærã terræ cũ linea h i. Quando ergo uolumus ſcire longitudinẽ eius à facie terrę, tũc nos deſcribemus altitudinis circulũ, tranſeuntẽ per centrũ ſolis, quãdo eius depreſsio ab horizõte eſt 19 graduũ: & illud eſt a pud ortũ crepuſculi, ſuper quẽ ſint a, b, c, d: ſecabit ergo‡ſphęram terræ ſuper circulũ e f g h [per 1 the. 1 ſphær. Theodoſij] & linea a e k pertrãſeat per zenith capitum & per centrũ terræ, perpẽdicularis ſuper lineam b k d [per 11 p 1] ergo linea b k d ſecat terrã in duo media, [per 17 d 1] apparẽs & occultũ. Apparẽs ergo eſt illud, quod eſt ſupra ipſam, ad partẽ a, & occultum, quod eſt ad partẽ g: & nõ dicimus hoc, niſi dilatãdo & appropinquãdo. Veritas uerò eſt, quòd apparẽs nõ eſt, niſi illud, quod eſt ſuper lineã p e q o protractã, contingentem ſphærã ſuper punctũ uiſus: ueruntamen nõ eſt apud hũc or bẽ terræ magna quãtitas. Et ponã arcum b c 19 graduũ, qui ſunt depreſsio ſolis apud ortũ crepuſculi. Super punctũ ergo c eſt centrum ſolis: faciã igitur illic ſuper ipſum punctũ, circulũ, cũ lõgitudine quintupli & medietatis eius, quod eſt æquale lineę e k: qui ſit circulus l m: & ſuper ipſum ſcilicet punctũ c ſecat ſolẽ orbis a b c d: & continuabo lineã k g: deinde protrahã duas lineas contingẽtes duos circulos ſolis & terræ [per 17 p 3] continẽtes illuminatũ terræ à ſole, quæ ſint m h n, l f n, cõtingẽtes terrã ſuper duo puncta h & f: & ſunt termini pyramidis umbrę. Ergo linea m h n occurrit lineæ p o ſuper punctum q [per lẽma Procli ad 29 p 1: quia cõcurrit cũ b k d parallela ipſi p o per 28 p 1] ergo pũctum q, ſecundũ quod oſtẽdimus in figura, quę eſt ante hãc, eſt locus luminoſus apud ortũ cre puſculi: & eſt ultimus ſtatus aſcenſionis uaporum. Cum ergo uolumus cognoſcere longitudinem eius à ſuperficie terræ: tũc continuabimus k cũ q per lineã k r q: & continuabo k cum h. Ergo portio h g f eſt illuminata: quia facie ad faciẽ reſpicit ſolem. Iam ergo oſtẽdimus [præcedente numero] quòd ea eſt 180 grad. & 27 min. & 52 ſecũd. & arcus g h eſt medietas eius: [Quia enim l n, m n tangunt peripheriã circuli e f g h in punctis f & h per fabricationem, erunt anguli ad f & h recti per 18 p 3. Si igitur ſemidiametros k l, k m circuli a b c d ductas cogites: æquabuntur quadrata linearũ f l, f k quadrato ſemidiametri k l per 47 p 1, per quam etiã quadrata linearum h m, h k æquabuntur quadrato ſemidiametri k m: ſubductis igitur quadratis ipſarũ f k, h k per 5 d 1 æqualibus, à quadratis k l, k m ſimiliter per 15 d 1 æqualibus: relinquẽtur quadrata ipſarũ f l, h m æqualia, & iccirco rectę f l, h m æquales. Quare cũ triangula f k l, h k m ſint æquilatera, erunt æquiangula, & angulus f k l æqualis angulo h k m per 8 p 1. Rurſus ſi ſemidiametros l c, m c circuli l m ductas animo concipias: erũt triangula l k c, m k c æquilatera & æquiangula, & angulus l k c æqualis angulo m k c. Quamobrem ſi angulis f k l, h k m è concluſo æqualibus addas angulos l k c, m k c æquales: totus angulus f k g æquabitur toti angulo h k g per 2 axio: & peripheria f g peripheriæ h g per 26 p 3] & eſt grad. 90 & 13 min. & 56 ſecun. & illud eſt quãtitas anguli h k g: & iã fuit angulus b k c 19 grad quoniã eſt depreſsio ſolis: ergo remanet angulus h k b 71 grad. 13 min. 56 ſecun. ſed angulus e k b eſt 90: quia rectus exiſtit. Ergo remanet angulus e k h 18 grad. 46 min. 4 ſecun. Et quia linea k q diuidit eũ in duo media, & illud eſt manifeſtũ: [Quia enim e k, h k: item e q, h q æquãtur: illæ per 15 d 1, quia circuli e f g h ſunt ſemidiametri: hæ per ſecundũ conſectariũ 36 p 3, quia ab eodẽ puncto q peripheriã e f g h tangunt: & cõmunis eſt k q: æquabitur angulus e k q angulo h k q per 8 p 1. Quare angulus e k h bifariã ſectus eſt per rectã q k] angulus igitur q k e eſt 9 grad. 23. mi. 2 ſecund. ergo angulus k q e eſt cõplementũ recti [per 32 p 1: quia angulus ad e rectus eſt per 18 p 3] & illud eſt 80 grad. 36 min. 58 ſecun. Chorda ergo eius, quę eſt linea e k, eſt 59 grad. 11 min. 48 ſecun. per quantitatẽ, qua eſt linea k q 60 grad. [ut monſtrat tabula rectarũ ſubtenſarũ in circulo.] Verun tamen per quantitatẽ, qua eſt linea k e 60 grad. erit q r k 60 grad. & 48 min. & quinq ſextorũ unius minuti: ſed linea k r ex illis eſt 60 grad. ergo remanet r q 48 min. & 50 ſecun. & eſt illud ex miliaribus (quibus circumferentia terræ continet 24000) milliaria, 51 & 47 minut. & 34 ſecun. & 6 partes ex 11 partib. ſecundis. Et illud eſt ultimũ, ad quod eleuantur & perueniũt uapores aſcendentes ex terra. Et illud eſt, quod uoluimus.

◉Finis.

◉[...]

page

◉EPISCOP.