◉Vitellonis filii thvringorvm et polonorvm opticae liber nonvs.

◉IN præmiſſo libro paßiones ſpeculorum ſphæricorum cõcauorum pro noſtro poſſe pertractauimus: ſupereſt nũc, ut ſpeculorum columnarium & pyramidalium concauorũ proprietates aliquas demonſtremus. In his enim ſpeculis quaſi omnium præmiſſorum ſpeculorum proprietutes concurrunt: planorum quidem, cum in illis à linea longitudinis ſpeculi fit reflexio. Columnarium quo  & pyramidalium conuexorum plurimæ paßiones in hæc concaua ſpecula deſcẽdunt: quoniam iſtorum & illorum cõformis eſt generatio ſecundũ figur as, à quibus in utriſ prouenit quædam conformitas paßionum: niſi quòd hinc & inde ſecundum naturam conuexi & concaui illæ paßiones quodammodo ſecundũ ſitum contrariè diſponuntur. Ex quo accidit, ut quandoq lineæ reflexæ in cõuexis ſpeculis fiat locus imaginis in concauis, & econuerſo: & ob hæc eadem principia in his ſpeculis & in illis ſunt (præmißis figuris) conformiter aſſumenda. Sic ita omnium ſpeculorum regularium pro noſtrarum uirium & experientiæ poßibilitate paßionibus aliqualiter pertractatis, ad aliqua ſpecula figurarum irregularium & compoſitarum mentem conuertimus: uidentesq́ quòd antiquorum geometrarum diligentia & ſolicitudo circa ſpecula comburentia, (à quorum totali ſuperficie ad unum punctum natur alem uel mathematicum fit reflexio luminis & formarum incidentium) plurimum eſt uerſata: ut circa rem ſcientiæ geometriæ plurimam ſubtilitatem rebus naturalibus applicantem: actionem quoq naturalium formarum accelerantem in productione effectuum mirandorum: huic negotio curam conſequenter in hoc libro dedimus, ut rei, ad quam, ſicut ad finem nobilißimum, omne, quod de natura quorumlibet ſpeculorum præmiſimus, aliqualiter ordinatur. Ex præmißis uerò libris ſatis patet, quòd figur a talium ſpeculorum comburentium in una ſuperficierum planarum, ut patet per 65 th. 5 huius, non eſt poßibilis: ſicut nec ab aliqua una ſuperficierum conuexarum quacunque, ſiue illa couexa ſuperficies fuerit ſphærica, ut patet per 65 th. 6 huius, ſiue fuerit columnaris uelpyramidalis, ut patet per 59 th. 7 huius, poßibile eſt radios aliquos aggregari ad punctum unum mathematicum uel etiam naturalem. Á concauis quoſpeculis ſphæricis non fit ad unum axis punctum mathematicum reflexio, niſi à peripheria unius tantùm circuli, & à tota ſuperficie unius hemiſphærij ad totam ſemidiametrum ſiue axem ſpeculi, ut oſtenſum eſt per 68 th. 8 huius. Non fit autem omnium radiorum, æquidiſtanter axi ſpeculi ſuperficiei talis ſpeculi incidentium reflexio ad punctum unum. Sed ne ab aliqua ſuperficierum ſpeculorum columnariũ uelpyramidalium concauorũ eſt hoc poßibile fieri: prout infrà in præſenti libro demonſtrabimus. Reſtat ergo, ut ſuperficies alias huic noſtro propoſito competentes cum demonſtrationis diligentia perquiramus: quoniam illud, quod ex plurium ſpeculorum regularium compoſitione ad hũc effectum poßibile prius fore diximus, unius ſuperficiei (à qua totali ad unum punctum fiat reflexio) certitudinem non attingit: ne ad illorum peruenit commoditatem: ne in illis adeò relucet humani bonitas ingenij & utilitas figurarum. In his ita columnaribus & pyramidalibus, & alijs irregularibus quibuſcunque ſpeculis, & etiam in ipſis comburentibus page 368 ſpeculis ſupponimus principia, quæ in libris præcedentibus ſunt præmiſſa, ut patet in 5. 6 & præcipuè 7 & 8 libris huius ſcientiæ: quæ uerò ex præſuppoſitis principijs & cõcluſionibus demonſtranda de his ſpeculis prænominatis uidimus, ſunt iſta.

◉Theoremata

◉1. In ſpeculis column aribus concauis communis ſectio ſuperficiei reflexionis & ſpeculi quando eſt linea longitudinis ſpeculi: quando circulus: quando́ oxygonia ſectio. Alhaz. 89 n 5.

◉Quod hic proponitur, patet ex præmiſsis in libro 7 huius de ſpeculis columnaribus conuexisEt quia ſpeculum columnare concauum non minus participat formam & proprietatem columnæ quàm conuexum: patet quòd propoſita paſsio eodem penitùs modo demonſtráda eſt de ſpeculis. columnaribus concauis, ut de columnaribus conuexis. Patet ergo propoſitum: nec enim neceſſarium talibus amplius immorari. Et quando fuerit communis illa ſectio linea longitudinis ſpeculi: erunt modi reflexionum & loca imaginum ſicut in ſpeculis planis: quãdo uerò illa ſectio communis fuerit circulus: erunt modi reflexionis & loca reflexionum, ſicut in ſpeculis ſphæricis cõcauis. Eruntq́ loca imaginum quandoq ultra ſpeculum: quãdoq in ipſa ſuperficie ſpeculi: quandoq inter uiſum & ſpeculum: quandoq in ipſa ſuperficie uiſus: & omnium iſtorum idem eſt demonſtrandi modus, qui in illis ſphærieis concauis ſpeculis patuit per 11 th. 8 huius.

◉2. In ſpeculis pyramidalibus concauis communem ſectionem ſuperficiei reflexionis & ſpeculi lineam longitudinis ſpeculi aut ſectionem oxygoniam poßibile eſt eſſe: circulum uerò impoßibile. Alhazen 97 n 5.

◉Paſsiones propoſitæ de præſentibus ſpeculis eodem penitùs modo demonſtrabiles ſunt, quo & de ſpeculis pyramidalibus cõuexis ſunt oſtẽſæ per diuerias propoſitiones 7 huius. Patet ergo propoſitum. Et quando cõmunis ſectio ſuperficiei reflexionis & ſpeculi fuerit linea longitudinis: erũt modi reflexionum & loca imaginum, quæ & in ſpeculis planis oſtenſa ſunt per 49 th. 5 huius.

◉3. In omni ſuperficie reflexionis à ſpeculis columnaribus uel pyramidalibus concauis, centrũ uiſus: & punctum rei uiſæ: punctum reflexionis: & punctum axis, (in quem cadit perpendicularis duct a à puncto reflexionis ſuper ſuperficiem ſpeculum in puncto reflexionis contingẽtem) conſiſtere eſt neceſſe. Alhazen 46 n 4.

◉Sit ſpeculum columnare concauum: cuius axis ſit a b: ſitq́ centrum uiſus t: & punctum rei uiſæ d: reflectaturq́ forma puncti rei uiſæ, quod eſt d, ad uiſum t à puncto ſpeculi e: & in puncto e contingat ſuperficiem ſpeculi ſuperficies plana: ſuper quam ſuperficiem à puncto e ducatur linea perpendicularis per 12 p 11: quæ ſecetlineã a b axem ſpeculi in puncto f: & ſit linea e f. Dico quòd puncta t, d, e, f neceſſariò erunt ſemper in ea dẽ ſuperficie reflexionis. Aut enim hæc ſuperficies reflexionis æ quidiſta bit baſibus columnæ, aut nõ. Si ſic: patet per 100 th. 1 huius quòd cominunis ſectio ſuperficiei reflexionis & ſuperficiei ſpeculi erit circulus æquidiſtans baſibus columnę: & linea ducta à puncto reflexionis, quod eſt e, tranſiens per centrũ illius circuli, eſt perpendicularis ſuper ſuperficiem columnæ, ut patet per 96 & per 100 th. 1 huius. Et ſi centrum uiſus, quod eſt t, & punctum rei uiſæ quod eſt d, fuerint in illa linea: fiet reflexio formarum punctorum uiſorum tantùm ſecundum illam lineam per 21 th. 5 huius: eruntq́ illa quatuor puncta, (quæ ſunt t, d, e, f) omnia in ſuperficie reflexionis. Quòd ſi centrum uiſus uel punctum rei uiſæ non fuerit in hac linea perpendiculari: ſem per tamẽ linea e f perpẽdiculariter à puncto e ducta, cadet in axem a b per 96 th. 1 huius, & linea reflexionis continebit cum illa perpendiculari angulum acutum: quoniam cadet inter perpendicularem e f, & inter lineam, circulum (qui eſt communis ſectio ſuperficiei reflexionis & ſpeculi) in puncto e contingentem. Et quoniam hæc linea reflexionis cadit ſemperintra ſpeculum: quia ſecundum ſui partem, qua incidit ſpeculo, neceſſariò cadet inter ſuperficies planas per cẽtrum uiſus ductas, portionem apparentẽ ſpeculi contingẽtes: & quoniam per 20 th. 5 huius ſemper angulus incidentiæ eſt æqualis angulo reflexionis: patet quòd ſi unus illorum punctorum eſt in ſuperficie reflexionis, quod & reliquus. Quia enim angulus d e f erit æqualis angulo ſ e t, cadent hi anguli ex diuerſis partibus perpendicularis lineæ, quæ eſt e f, intra ſpeculũ. In eadẽ itaq ſuperficie cadent omnia puncta t, d, e, f. Et eodem modo demonſtrandũ eſt, à quocunq pũcto circuli, (qui eſt cõmunis ſectio ſuperficiei reflexionis & ſpeculi) fiat reflexio: ſem per enim illa quatuor pũcta erũt in ſuperficie reflexionis. Quòd ſi cõmunis ſectio ſuperficiei reflexionis & ſuperficiei ſpeculi ſit linea lõgitudinis ſpeculi: tũc iterũ à quocũq pũcto illius lineæ flat reflexio: page 369 ſem per propoſita quatuor puncta erũt in ſuperficie reflexionis, ut patet per 27 th. 5 huius. Similiter quoq patet idem, ſi cõmunis ſectio ſuperficiei reflexionis & horum ſpeculorum fuerit ſectio oxygonia: quoniam illa ſectio ſecabit ſpeculũ trans axem per 103 th. 1 huius: & linea à puncto reflexionis perpendiculariter ducta ſuperſuperficiem, ſpeculum in puncto reflexionis contingẽtem, ſemper cadet in axe, ut hæc in ſpeculis columnaribus & pyramidalibus conuexis ſunt amplius declarata. Et ille modus demonſtrãdi eſt uniuocus & iſtis ſpeculis. Quòd ſi ſpeculum propoſitum fuerit pyramidale concauum: tunc (ut ſuprà oſtenſum eſt per præmiſſam) impoſsibile eſt communem ſectionem ſuperficiei reflexionis & ſuperficiei ſpeculi circulum eſſe: quę ſectio ſi fuerit linea longitudinis uel ſectio oxygonia: tunc eadem erit declaratio quòd quatuor prædicta puncta t, d, e, f conſiſtunt in ſuperficie reflexionis, quæ prius in ſpeculis columnaribus concauis. Patet ergo illud, quod proponebatur.

◉4. Centro uiſus exiſtente intra ſpeculum columnare uel pyramidale concauum: à quolibet puncto ſpeculi fiet reflexio ad uiſum. Alhazen 49 n 4.

◉Sit ſpeculum columnare concauum: cuius axis ſit a b: & ſit centrum uiſus t, ſitq́ punctum t intra ſpeculum: dico quòd ab omni puncto ſuperficiei ſpeculi fiet reflexio ad uiſum. Siue enim cõmunis ſectio ſu perficiei reflexionis & huius ſpeculi ſuerit linea longitudinis columnæ ſpeculi: ut cum ſuperſicies reflexionis ſecat ſuperficiem ſpeculi ſecũdum axis longitudinem, ut patet per 93 th. 1 huius: ſiue fuerit circulus æquidiſtans baſibus colũnæ ipſius ſpeculi: ſiue fuerit ſectio oxygonia: ſemper patet per præmiſſam quòd punctus reflexionis & centrum circuli ſiue punctus axis, in quem cadit perpendicularis ducta à puncto reflexionis ſuper ſuperficiem ſpeculi, ſunt in eadẽ ſuperficie. Eſt ergo ſemper poſsibile, ut ab illo puncto flat reflexio ad uiſum: quoniam in concauitate talium ſpeculorum non eſt corpus aliquod denſum reſiſtens multiplicationi formarum per medium. A quolibet ergo puncto ſuperficiei talium ſpeculorum fiet formarum reflexio ad uiſum. Idem quoq patet in ſpeculis pyramidalibus concauis. Quoniam enim centrum uiſus ſemper eſt intra talia ſpecula, non refert à quocunq puncto ſuperficiei ſpeculi flat reflexio: quoniam ſemper poſsibile erit formam ad uiſum peruenire, niſi fortè denſitas occipitis in quibuſdã ſitibus impediat reflexionẽPatet ergo propoſitum, reſumpta figuratione pręmiſſæ, poſitoq́ puncto tintra ſuperficiẽ ſpeculi in linea t e. Quicunq enim punctus in utroq ſpeculorũ fuerit datus: ſit ille punctus e: & ab eo extrahatur perpendicularis ſuper ſuperficiem planam in illo puncto ſpeculum contingentem per 12 p 11. Et quoniam illa cadet in axem ſpeculi per 96 th. 1 huius: ſit, ut cadat in punctum f: & ſuper pũctum e terminũ lineæ e f flat per 23 p 1 angulus æ qualis angulo t e f, qui f e d. Palàm ergo quòd forma puncti d reflectetur ad uiſum in puncto t exiſtentem per 20 th. 5 huius. Et hoc proponebatur.

◉5. Centro uiſus exiſtente extra ſpeculũ columnare uelpyramidale concauum nõ integrum, à maiore parte ſuperficiei ſpeculi fiet reflexio ad uiſum. Alhazen 49 n 4.

◉Eſto ſpeculum columnare uel pyramidale concauum: cuius axis ſit a b: & ſit centrum uiſus punctum t: ſitq́ extra ſpeculum: dico quòd à maiore parte ſuperficiei concauæ ſpeculi flet reflexio ad uiſum. Imaginentur enim ſuperficies contin gentes columnam uel pyramidem à uiſu productæ ad ſpeculum: palamq́ per 1 p 7 huius quoniam ſolùm pars ſuperficiei ſpeculi interiacens illas ſuperficies contingentes eſt illa, à qua, ſpeculo exiſtente conuexo, fit reflexio ad uiſum. Eſt autem illa pars minor pars ſuperficiei ſpeculi, ut patet de ſpeculis columnaribus per 78 th. 4 huius, & de pyramidalibus per 84 th. 4 huius: ablata itaq illa parte remanet maior pars ſuperficiei ſpeculi. Fit autem à tota illa ſuperficie reflexio ad uiſum: quoniam omnis linea ducta ſub lineis contingentibus ſpeculum in aliqua illarum ſuperficierum, producta ſecat ſuperficiem ſpeculi per 4 th. 7 huius: ſecundum illam ergo poteſt fieri reflexio ad uiſum. Patet ergo propoſitũ.

◉6. Speculo pyramidali concauo integro exiſtẽte, oppoſito́ ipſo uiſui ex parte ſuæ baſis exiſtenti: nullius puncti forma uidebitur, niſi intra ſpeculum exiſtentis. Alhazen 50 n 4.

◉Eſto ſpeculum pyramidale concauum: cuius axis ſit a b: ſitq́ eius conica ſuperficies tota integra: baſis uerò eius, quæ eſt ſuperficies plana, ſit ſubmota ab ipſo ſpeculo: ſitq́ centrum uiſus c ex parte baſis ſubmotæ: dico quòd uiſus non percipiet formam alicuius puncti rei uiſæ, niſi illius, quę fuerit intra ipſum ſpeculum. Si enim centrum uiſus c in aliqua cõſiſtat linea longitudinis ſpeculi, fiatq́ reflexio ab illa linea longitudinis ad uiſum: tunc patet quia punctum rei uiſæ oportebit conſiſtere intra ſpeculum: quoniam ex hypotheſi centrum uiſus eſt ex parte baſis ſpeculi: oportebitq́ue punctum rei uiſæ in eadem linea longitudinis exiſtere: aliàs enim non fieret reflexio propter in æqualitatem angulorum. Quòd ſi centrum uiſus c ſit ſub aliqua linearum longitudinis ſpeculi: tunc adhuc patet propoſitum. Quoniam enim omnis perpendicularis ducta à quocunque puncto reflexionis, quæ fieri poſsit ad uiſum c in hoc ſitu, page 370 tenet angulum acutum cum linea reflexionis: patet per 33 th. 5 huius cũ ſemper fiat reflexio ex parte anguli maioris, quòd ſem per fiet reflexio ex parte acuminis pyramidis ſpeculi. Oportet ergo de neceſsitate, ut puncta rei uiſæ, quorum formæ reflectuntur ad uiſum à quibuſcunq punctis ſuperficiei totius ſpeculi, ſemper ſint intra ipſum ſpeculum. Patet ergo propoſitum. Si uerò auferatur à ſpeculo tali portio aliqua ſecundum longitudinem ſpeculi: tunc poterunt comprehendi exteriora, quæ ſunt extra ſpeculum: quoniam patebunt liberi introitus lineis incidentiæ formarum extrinſecarum, quę reflectentur ad uiſum. Similiter quoq accidit, ſi ſecetur pyramis ſpeculi ad modum annuli ſecundum aliquem circulum æquidiſtantem baſi, uel etiam ſecundum oxygoniam ſectionem, taliter, ut auferatur uertex pyramidis ſpeculi: tunc enim lineæ incidentiæ liberum habebũt ingreſſum: plures tamen formæ reflectentur ad uiſum ſi centrum uiſus fuerit ex parte ſuperficiei concauitatis ſpeculi, quàm ſi fuerit ex parte ſuæ baſis: quia tunc lineis incidentibus latior uia patet.

◉7. A quocun puncto ſpeculi columnaris uelpyramidalis concaui non eſt poßibile niſiformam unius puncti ad eundem uiſum reflecti. Alhazen 51 n 4.

◉Eſto, ut in præmiſſa, ſpeculum columnare uel pyramidale concauũ, cuius axis a b: ab eius quoq, puncto e reflectatur ad uiſum c forma pũcti d: dico quòd ab eodẽ puncto e formam alterius puncti, quàm d, ad uiſum exiſtentem in puncto c impoſsibile eſt reflecti. Ducatur enim à puncto reflexionis, qui eſt e, linea perpendicularis ſuper ſuperficiem ſpeculum in puncto e contingentem: quæ ſecabit axem ſpeculi per 96 th. 1 huius: ſecet ergo in puncto f. Palàm itaq per 3 huius quoniam puncta c, d, e, f ſunt in eadem ſuperficie. Et quoniam una ſola linea recta à centro uiſus, quod eſt e, ducibilis eſt ad punctum reflexionis, quod eſt e: patet quòd angulus c e f non poteſt uariari: ergo nec angulus d e f, qui per 20 th. 5 huius eſt æqualis angulo c e f. Linea ergo e d eſt tãtùm unica linea, cuius alicuius puncti forma poteſt reflecti ad uiſum c: ſed ex hypotheſi forma puncti d reflectitur ad uiſum: nullius ergo alterius puncti forma ad ipſum reflectetur. Cum enim aliqua linea incidentiæ peruenit ad aliquod punctum corporis: non poteſt forma alterius puncti per illam lineam incidere ſpeculo: quoniam punctus altior occultat poſteriorem, nec præſtat tranſitum formæ illius. Patet ergo propoſitum: quoniam in his ſpeculis à quocunq puncto facta reflexione formę unius puncti, non poteſt ab eodem puncto ſpeculi forma alterius puncti reflecti ad eundem uiſum. Sed à duobus uiſibus poſſunt in eodem puncto ſpeculi duorum punctorum formæ comprehẽdi, ſicut à pluribus uiſibus plures formæ diuerſorum punctorum: quoniam, ut patet per 18 th. 7 huius, infinitæ poſſunt ſumi ſuperficies ſuper perpendicularem e f ſe ſecantes, in quarum qualibet ex utraq parte perpendicularis e f ſumi poſſunt duo ariguli acuti æquales. Licet autem illud, quod hic proponitur, ſatis patuerit per 29 th. 5 huius: hic tamen idem declarauimus: ideo quia oppoſitum in his ſpeculis plus ueriſimile uidebatur.

◉8. Linea longitudinis ſpeculi columnaris uelpyramidalis concaui exiſtente communi ſectione ſuperficiei reflexionis & ſpeculi: unus eſt tantùm punctus reflexionis, & unius punctirei uiſæ ad unius uiſus centrum: & uidetur unica imago.

◉Non oportet huic propoſitioni declaran dæ aliter inſiſti, niſi ſicut idem oſtenſum eſt in ſpeculis planis, quòd ab uno tantùm puncto fit reflexio, & una tantùm occurrit uiſui imago, ut patet per 46 & 48 th. 5 huius. Linea enim recta eſt communis ſectio ſuperficiei reflexionis & ſuperficiei ſpeculi hinc inde: unicus ergo tãtùm eſt punctus reflexionis: unica tátùm ergo uidebitur imago ſub ſuperficie ſpeculi ſemper apparens, ut in planis ſpeculis: eritq́ per 49 th. 5 huius diſtantia imaginis ſub ſpeculo æqualis diſtantiæ rei uiſæ ſupra ſpeculum. Patet ergo propoſitum.

◉9. Communi ſectione ſuperficiei reflexionis & ſpeculi columnaris uel pyramidalis concaui oxygonia exiſtente: à pluribus punctis illius ſectionis poteſt fieri reflexio formæ eiuſdem puncti reiuiſæ adidem centrum uiſus. Alhazen 48 n 4. Item 93 n 5.

◉Sit ſpeculum columnare uel pyramidale concauum, cuius axis a b: ſitq́ centrũ uiſus c: & punctũ rei uiſæ ſit d, ut patet in figura 6 huius. Si itaq cõmunis ſectio ſuperficiei reflexionis & ſpeculi fuerit ſectio oxygonia: dico quòd forma puncti d ad centrum uiſus c à pluribus punctis illius ſectionis reflecti poteſt. Iam enim oſtendimus ſuprà per 22 th. 7 huius quòd à ſpeculis columnaribus conuexis ab uno tantùm pũcto ſectionis oxygoniæ fit formæ eiuſdem puncti reflexio ad uiſum eundem: & diximus quòd ſi diameter column æ fuerit æqualis diſtantiæ oculorum, quòd à duobus punctis ſectionis oxygoniæ poteſt fieri reflexio ad uiſum: aliàs enim latebunt uiſum puncta reflexionis ſe reſpicientia, ſcilicet illa, per quæ tranſit circulus columnæ, ductus per punctum reflexionis æ quidiſtanter baſibus: unde uiſo uno illorum punctorum alius pũctus latebit propter minoris portionis columnæ ipſius apparentiam. In his uerò ſpeculis columnaribus concauis apparet uiſui maiorportio columnæ, ut patet per 5 huius: unde ab unico uiſu poſſunt percipl ambo puncta, quæ ſunt extremitates diametri circuli æquidiſtãtis baſibus columnæ. Et eodem modo penitùs de ſpeculis pyramidalibus cõcauis declaran dũ eius enim ſuperficiei plus medietate uni uiſui occurrit: & duo pũcta per diametrũ circuli æ quidiſtãtis baſi pyramidis oppoſita uideri poſsũt. Patet ergo ꝓpoſitũ.

page 371

◉10. Communi ſectione ſuperficiei reflexionis & ſpeculi columnaris uelpyramidalis concaui oxygonia exiſtente: erit locus imaginis quando ultra ſpeculum: quando citra uiſum: quandoque in centro uiſus: quandoque in ſuperficie ſpeculi: quandoque inter uiſum & ſpeculum. Alhazen 90 n 5.

◉Eſto ſpeculum columnare concauum: cuius pars axis ſit d k: & eius ſuperficiei columnaris & ſuperficiei reflexionis communis ſectio ſit oxygonia: quæ a b g: dico quòd poſsibile eſt totum; quod hic proponitur. Ducatur enim in hac ſectione perpendicularis ſuper ſuperficiem ſpeculum cõtingentem in pũcto reflexionis, quæ ſit d g: hæc itaq per 112 & per 104 th. 1 huius erit ſemidiameter cuiuſdam circuli ſecundum illum punctum ſecantis columnam ſpeculi æquidiſtanter baſibus: ſecabitq́ axẽ ſpeculi, qui eſt k d: ſitq́, ut ſecet ipſum in puncto d: eritq́ illa perpendicularis tantùm una: cum à nullo alio puncto ſectionis a b g poſsit duci linea perpendicularis ſuper ſuperficiem contingentem ſpeculum in puncto reflexionis quàm ab uno puncto reflexionis: cum omnes aliæ lineæ à quibuſcunq punctis ſectionis a b g ductæ ad axem d h, ſint obliquæ ſuper ſuperficiem illam ſpeculum contingentem, ut patet per pręnominatas propoſitiones 1 huius. Sumatur item alius punctus ſectionis a b g, qui ſit b: & ducatur ab illo puncto b linea

perpendicularis ſuper lineam rectam contingẽtem ſectionem a b g in puncto b: & hæc quidem linea per 114 th. 1 huius neceſſariò concurret cum perpendiculari g d. Sit ergo, exempli cauſſa, cócurſus in puncto d: quoniam ſi concurrant ſub puncto d, eadem eſt demonſtratio: ſitq́ punctus b taliter ſumptus in ſectione a b g circa punctum g, ut angulus b d g ſit acutus. Deinde à puncto g ducatur in ſuperficie ſectionis a b g linea æquidiſtás lineæ b d per 31 p 1: quę ſit g h: & hæc linea cadet intra pyramidalẽ ſectionem: ideo quia cum angulus g d b ſit acutus ex hypotheſi, erit ſuus coalternus (qui eſt angulus h g d) ſimiliter acutus per 29 p 1: cum lineæ b g & g h adinuicem æquidiſtent. Item inter puncta d & h ducatur à puncto g linea in ſuperficie ſectionis, quæ per 2 th. 1 huius neceſſariò concurret cum linea b d: quoniam ipſa cõcurrit cum linea h g æquidiſtante lineæ b d: ſit ergo punctus concurſus n: cadet itaq linea g n inter lineas g h & b n. In hacitaq linea g n ſumatur pũctus quicunq, qui ſit o, inter duo puncta g & n, & ultra punctum n ſumatur punctus tin linea g n. Item à puncto g ducatur extra ambas lineas g h & b d, alia linea intra ſectionem a b g, quæ ſit g z. Hæc itaq linea g z, quia concurrit cum linea h g in puncto g, neceſſariò concurret cum linea d b producta ultra punctum b per 2 th. 1 huius: ſit concurſus in puncto e: & ſuper g terminum lineæ g d fiat angulus æqualis angulo z g d per 23 p 1, qui ſit angulus d g q: cadatq́ punctũ q in linea b d. Similiter quoq fiat angulus l g d æqualis angulo h g d: & fiat angulus m g d æqualis angulo n g d: ſintq́ omnia puncta q, l, & m in linea b d. Palàm itaq per 20 th. 5 huius, quòd ſi centrũ uiſus fuerit in puncto z, reflectetur ad ipſum forma puncti q à pũcto ſpeculi g: & erit per 37 th. 5 huius locus imaginis punctum e: & ſi fuerit centrũ uiſus in puncto h, reflectetur ad ipſum forma puncti l à puncto ſpeculi g. Et quoniá cathetus incidentiæ, quæ eſt l d, æ quidiſtat lineæ reflexionis, quæ eſt g h: palàm quòd lineæ l d & g h nunquam concurrent. Erit ergo locus imaginis in puncto ſuperficiei ſpeculi, à quo fit reflexio (quod eſt punctum g) qui locus eſt primus & proprius ipſius imaginis propter continuitatem totius formæ reflexæ, prout diximus in 12 th. 8 huius. Si uerò centrum uiſus fuerit in puncto o, reflectetur ad ipſum forma puncti m à puncto ſpeculi, quod eſt g: & locus imaginis erit punctum n. Si uerò centrum uiſus fuerit in puncto n: erit locus imaginis formæ puncti m in ipſo centro uiſus, quod eſt in puncto n. Quòd ſi cẽtrum uiſus fuerit in puncto t: erit iterum locus imaginis formæ puncti m in puncto n, quod erit tunc inter uiſum & ſuperficiem ſpeculi. Patet ergo propoſitum: quoniã in ſpeculis pyramidalibus concauis poterit ſecundum præmiſſa, cooperante 113 huius, demonſtratio faciliter coaptari. Hoc itaq proponebatur.

◉11. Centro uiſus & puncto rei uiſœ exiſtentibus in eadem linea perpendiculari ſuper ſuperficiem ſpeculi columnaris uel pyramidalis concaui: quando ab unopuncto ſpeculi: quando à duobus fit reflexio: & locus imaginis ſemper erit centrum uiſus. Alhazen 91 n 5.

◉Sit ſpeculum columnare concauum: cuius a xis ſit a b: ſitq́ centrum uiſus c: & punctum rei uiſæ d: ſintq́ puncta c & d in una linea perpendiculari ſuper ſuperficiẽ ſpeculi, quæ ſit e f, uel in alia linea perpendiculari ſuper lineá e f: quæ ſit h p, ita quòd punctus e ſit pũctus ſuperficiei ſpeculi, & pũctus f ſit pũctus axis a b: & producatur linea e f ad aliá partem ſpeculi in punctũ g. Dico quòd quandoq ab uno puncto ſpeculi, ut à puncto e: quandoq à duobus, ut à punctis e & g, poteſt forma puncti d 372 reflecti ad uiſum c. Palàm enim per 21 th. 5 huius quòd linea c e, in qua eſt punctus rei uiſæ, qui eſt d, reflectitur in ſeipſam: tunc enim infinitæ poſſunt intelligi ſuperficies ſecantes ſe ſuper lineam e f, quarum quælibet eſt erecta ſuper ſuperficiem contingẽtem ſpeculum per 18 p 11: cum linea e f, quæ eſt communis ſectio illarum ſuperficierum, ſit erecta ſuper ſuperficiem ſpeculum in puncto e contingentem. Quádo ergo quarundam illarum ſuperficierum & ſuperficiei ipſius ſpeculi communis ſectio eſt linea recta, quę eſt linea longitudinis ſpeculi æquidiſtans axi a b: tunc, ſicut per 21 th. 5 huius in ſpeculis quibuſcunq oſtendimus, non ſiet reflexio, niſi ſuper eandem lineam perpendicularem, quæ eſt e c: & (ut patet per 32 & 36. th. 5 huius) locus imaginis eſt centrum uiſus, qui eſt punctus c: nec uidebitur aliquis pũctus rei uiſæ, niſi ſolus ille, qui fuerit in ſuperficie ipſius uiſus. Quãdo uerò aliqua illarum ſuperficierum perpendicu

larium ſuper ſuperficiem ſpeculum in puncto e con tingentem, ſecat ſuperficiem concauam ipſius ſpeculi, ita quòd communis ſectio illarum ſuperficierũ eſt circulus æquidiſtans baſibus colũnæ, cuius centrum eſt f punctum axis: & tunc ſi punctum f fuerit in diametro p h inter punctum c, quod eſt centrum uiſus, & punctum d, quod eſt punctum rei uiſæ, ita quòd æqualiter diſtet ab utroq: ſitq́ linea c f æqualis lineæ f d: poterit forma puncti d ad uiſum c reflecti à duobus punctis ſpeculi, quæ ſunt e & g: & ſunt puncta terminantia diametrũ illius circuli. A quolibet enim illorũ punctorum fit reflexio formę puncti d ad uiſum c: ideo quòd angulus d e f eſt æqualis angulo f e c: & ſimiliter angulus d g f æqualis angulo f g c per 4 p 1. Duorum enim trigonorum d f e & f e c duo latera d f & f c ſunt æqualia ex hypotheſi, & latus f e eſt commune, angulusq́ d f e eſt æqualis angulo c f e: quia uterq eſt rectus: & ſimiliter eſt in trigonis d f g & c f e. Angulum itaq d e c per æqualia diuidit perpendicularis e f: & angulum d g c per æqualia diuidit perpendicularis f g ducta à puncto reflexionis ad centrũ illius circuli. Et quoniam cathetus incidentiæ, quæ eſt d f, cum linea reflexionis e c uel g c non concurrit niſi in centro uiſus, quod eſt c: patet per 37 th. 5 huius quoniam centrum uiſus eſt locus imaginis formæ puncti d. Alia uerò puncta lineæ perpendicularis, quæ eſt c d h, non reflectuntur ad uiſum c à puncto ſpeculi h, niſi ſolus ille punctus, qui eſt in ſuperficie ipſius uiſus, ut ſuprà patuit: ideo quòd nõ reflectitur niſi per eandem perpendicularem. Cum uerò alicuius illarum ſuperficierum perpẽdicularium ſuper ſuperficiem ſpeculum propoſitum in puncto e contingẽtem & ſuperficiei ſpeculi fuerit oxygonia ſectio: non poterunt puncta lineæ reflexionis reflecti ad uiſum ab aliquibus alijs punctis ſectionis: cũ (ſicut patet per 112 th. 1 huius) duæ lineæ perpendiculares ſuper ſuperficiẽ ſpeculi in ſuperficie ſectionis ſe interſecare nó poſsint, ſicut in ſuperficie circuli æquidiſtantis baſibus ſpeculi ſe tales duæ diametri ſecant ſupercentrum f, ut iam patuit, quę ſunt p h & e g. Non enim eſt diameter ſectionis (quæ eſt p h) perpendicularis ſuper ſuperficiem contingẽtem ſpeculum in puncto h, ſed obliquè incidit ſuper illam, quando diameter e g perpendicularis eſt ſuper ſuperficiem ſpeculi: & hoc accidit propter obliquationem ſectionis oxygoniæ ſuper axem columnæ ſpeculi. Non ergo reflectetur forma puncti d ad uiſum c per lineam c d h. Sed ſi puncta d & c æqualiter diſtent à puncto f, ita ut linea d f ſit æqualis lineæ f c: tunc à punctis ſpeculi e & g, quæ ſunt termini lineę perpendicularis ſuper ſuperficiem ſpeculi, quæ eſt linea e f g, poteſt fieri reflexio formæ puncti d ad uiſum c per 20 th. 5 huius, & per 4 p 1, ut ſuprà patuit: quoniam anguli d e f, & f e c ſunt æquales: & itẽ anguli d g f & f g c ſunt æquales, & punctum rei uiſæ, quod eſt d, & cẽtrum uiſus, quod eſt c, ſunt cum ambobus punctis reflexionis, qui ſunt e & g, & cum pũcto axis f, cui incidit linea e f g, quæ eſt perpendicularis ſuper ſuperficies contingentes ſpeculum in punctis e & g in eadem ſuperficie ipſius ſectionis. Patet ergo quòd fiet ab illis duobus pũctis reflexio formæ puncti d ad uiſum c: & erit l ocus imaginis in utriſq centrum uiſus, quod eſt c. Sed ſi puncta d & c fuerint in perpendiculari e f: tunc non fiet reflexio ab aliquo puncto ſectionis oxygoniæ, niſi ſolùm à puncto e: quoniam forma incidens ſuperficiei ſpeculi ſecundum lineam perpendicularem, reflectitur ſecũdum eandem perpendicularem: & in ſectione oxygonia eſt unica linea perpendicularis ſuper ſuperficiem ſpeculum contingentem. Quare, ut prius dictum eſt, per illam ſolam fit reflexio ſolius puncti lineæ perpendicularis, qui eſt in ſuperficie uiſus: & ſicut prius, erit locus imaginis in centro uiſus. Eodem quoque modo deducendo, patet idem propoſitũ in ſpeculis pyramidalibus concauis. Ducta enim à centro uiſus ad ſuperficiem contingẽtem ſpeculum pyramidale linea recta perpendiculari ſuper illam ſuperficiem: ſi in illa perpẽdiculari ſumatur punctus corporeus inter uiſum & ſpeculum: patet quòd non reflectetur ſorma eius ad uiſum ſecundum illam perpendicularem: quoniam punctus ille occultabit terminum perpendicularis, & non reflectetur ab ipſo. Si autem nullus punctus corporeus fuerit in illa perpendiculari: reflectetur ad uiſum ſecundum hác perpendicularẽ forma ſolius puncti ſuperficiei uiſus, quod punctum ex illa ſuperficie uiſus ſecat ipſa perpendicularis. Si communis ſectio ſuperficiei reflexionis & ſpeculi fuerit linea longitudinis ſpeculi: ab uno tantùm puncto ſpe 373 culi ſit reflexio, ſicut & in alio ſpeculo columnari præ oſtenſum eſt. Quòd ſi ſectio fuerit oxygonia, quandoq ab uno puncto: quandoq à duobus poteſt fieri reflexio ſecundũ diuerſitatem ſitus puncti rei uiſæ & centri uiſus: quoniam punctis c & d exiſtentibus in linea f p, fiet reflexio à puncto h: & ſi puncto c exiſtente in linea f g, punctus d ſit in linea f e: fiet reflexio ſortè à punctis h & p: & ſemper locus imaginis eſt centrum uiſus. Vniuerſaliter enim tam in ſpeculis pyramidalibus quàm columnaribus concauis, exiſtẽte axe ſpeculi inter uiſum & ſpeculum, non fiet reflexio per lineam ad uiſum perpendicularem, niſi ab uno tantùm puncto ſpeculi, quẽ ſecat illa perpẽdicularis: & ſolùm illius puncti ſuperficiei uiſus, quem ſecatilla perpendicularis ducta à cẽtro uiſus. Hoc quoq quod præmiſimus, tunc demum uerùm eſt, ſi linea f h ſuerit perpendicularis ſuper lineam longitudinis ſpeculi: quod eſt poſsibile fieri in ſpeculis pyramidalibus, non autẽ in ſpeculis columnaribus: quia tunc ſemper ſectio eſt obliqua ſuper ſuperficiem ſpeculi: & ſimiliter eſt de linea f p. Patet ergo propoſitum: quoniam ſectionem pyramidalem poſsibile eſt ſic diſponi, ut linea p h ſit perpendicularis ſuper ſpeculi ſuperficiem, & ut ordinetur reflexio ſecun dum illud.

◉12. Centro uiſus exiſtente in centro baſis ſpeculi columnaris cõcaui, aut circuli æquidiſtantis baſi: fiet reflexio formæ ipſius oculi ab arcu cir

Fig. 804

a b b

culi ſpeculi ſimili arcui circuli magni, qui eſt in ſuperficie oculi: erit́ locus imaginis centrum uiſus. Alhazen 92 n 5.

◉Sit ſpeculum columnare concauum: cuius axis ſit a b: ſitq́ centrum uiſus in puncto b: quod per 92 th. 1 huius eſt cẽtrum circuli, qui eſt baſis ſpeculi: dico quòd forma ipſius oculi uidentis reflectetur ad ipſum uiſum ab arcu circuli baſis ſpeculi, ſimili arcui circuli magni, qui eſt totius ſphæræ oculi, tranſiens per centrum foraminis uueæ & per centrum oculi: hoc eſt arcui, qui interiacet extremas perpendiculares, quæ à centro uiſus ſecantes peripheriam foraminis uueæ duci poſſunt ad peripheriam circuli ſpeculi. Imaginentur enim illæ lineæ à centro oculi per centrum foraminis uueæ & per totam peripheriam cuiuſdã arcus circuli magni ſphęræ ipſius oculi, ſecantis portionem ſphæræ oculi, cui correſpondet foramen uueæ, per æqualia. Illæ ergo lineæ omnes erunt perpendiculares ſuper ſuperficiem ſphæræ oculi per 72 th. 1 huius: quoniam ducuntur à centro: ſed eædem lineæ ad peripheriam circuli baſis ſpeculi productæ ſunt perpendiculares ſuper ſuperficiem ſpeculi per eandem rationem: quoniam exeunt à centro illius circuli, quod eſt b. Iſtæ ergo lineæ ſunt perpendiculares ſuper utraſq iſtas ſuperficies: ergo per 21 th. 5 huius ipſæ reflectuntur in ſeipſas. Formæ ergo punctorum ſuperficiei oculi in illis perpendicularibus cadentes, reflectũtur ad uiſum per eaſdem. Et quoniam circulus ſphæræ oculi & circulus baſis ſpeculi (cum idẽ centrum habeant) ſunt circuli æquidiſtantes: patet per defin itionẽ ſimilium arcuum, quòd arcus quaſq duas ipſarum ſemidiametros interiacentes ſunt ſimiles. Arcus itaque circuli ſpeculi, à

quo ſit reflexio, eſt ſimilis arcui oculi, qui reflectitur. Et fortè ille arcus hinc inde eſt quadrans circuli: quia ſicut in 4 th. 3 huius diximus, latus rectum ſubtenſum arcui circuli magni, & ſphæræ ipſius oculi tranſeunti per centrum uueæ & trans totum foramẽ uueæ, eſt quaſi æquale lateri quadrati inſcriptibilis ipſi ſphæræ oculi: illi autẽ correſpondet in centro angulus rectus, & in ſuperficie ipſius ſphæræ quadrans circuli per 33 p 6. Locus autem imaginis omnium pũctorum ſuperficiei oculi taliter reflexorum eſt in centro ipſius uiſus, ut patet per præmiſſam. Et quoniã de quocunq circulo ſpeculi æquidiſtante baſi eſt eadem demonſtratio: patet ergo propoſitum.

◉13. In ſpeculis columnaribus concauis ſumptis duobus punct is in axe ſpeculi: poßibile eſt unum reflecti ad alterum à toto uno circulo ſpeculi: locus́ imaginis erit quidã circulus extra ſuperficiẽ ſpeculi. Alhaz. 94 n 5.

◉Eſto ſpeculum columnare concauum: cuius axis ſit e z, ſintq́ t & h duo pũcta ſignata in axe: dico quòd eſt poſſibile unum illorum punctorum reflecti ad alterum, ut proponitur. Sint enim circuli a g & b d baſes ſpeculi: & diuidatur linea th per æqualia in puncto q per 10 p 1: & ſuper cẽtrum q deſcribatur circulus in ſuperficie ſpeculi æquidiſtás baſibus ſpeculi per 102 th. 1 huius: cuius diameter ſit linea l q m: ducantur quoq lineæ longitudinis ſpeculi per 101 th. 1 huius: quæ ſint b l a, & d m g: fiat quoq circa centrum h circulus: cuius diameter page 374 ſit linea k h p: & ducantur lineæ t l, t m, h l, h m. Et quia axis ſpeculi, qui eſt e z, per 92 th. 1 huius erectus eſt ſuք ſuperficiẽ circuli l m: patet quia anguli t q l & t q m & h q l & h q m ſunt recti: ſed & linea t q eſt æqualis lineæ q h exhypotheſi: & lineæ q m & q l ſunt æquales per definitionem circuli: ergo per 4 p 1 trigona quatuor, quæ ſunt t q m & h q m & t q l & h q l ſunt æquiangula: angulus itaq t l q eſt æqualis angulo q l h: & angulus t m q æqualis angulo q m h. Si itaq centrum uiſus fuerit in puncto t, & alicuius rei uiſæ punctus fuerith: reflectetur forma puncti h ad uiſum exiſtẽtem in puncto t, à puncto ſpeculi, quod eſt l: & ſimiliter à puncto m. Si itaq triangulus t l h, fixo manente latere t h, quod eſt pars axis ſpeculi, imaginetur moueri quouſq redeat ad locum, unde ſumpſit motus principium: tunc punctus l motu ſuo deſcribet circulum: & ſemper duo anguli t l q & q l h manebunt æquales: & ſemper in hoc motu reflectetur ſorma puncti h ad uiſum exiſtentem in puncto t. Quia uerò diameter p h k eſt perpendicularis ſuper ſuperficiem ſpeculi: palàm quia ipſe eſt cathetus incidentiæ formæ puncti h. Producatur itaq eadem cathetus p h k ultra pũctum k extra ſuperficiem ſpeculi, donec concurrat cum linea reflexionis, quæ t l, producta: cõcurret autem per 14 th. 1 huius: quoniam cũ angulus t h k ſit rectus, angulus h t l eſt acutus: ſit punctus concurſus f. Similiter quoq producta catheto h p ultra punctum p: cõcurret ipſe cum linea reflexionis, quæ eſt t m: ſit punctus concurſus r: eruntq́ per 37 th. 5 huius puncta f & r loca imaginũ ſormæ puncti h: motoq́ triangulo t l h, mouebitur ſimul cum illo triangulus t f h: & in hoc motu punctus f deſcribet circulum extra columnam ſpeculi: totusq́ ille circulus erit locus imaginis. Et idem erit probandi modus ſumptis quibuſcunq duobus pũctis in axe ſpeculi. Oportebit taméhoc modo uiſum taliter ſiſti, ut centrũ eius ſit directè in axe ſpeculi, & punctus rei uiſæ ſit in aliquo cẽtro circuli ſpeculi, aut circuli baſis, aut æquidiſtantis ei: aliàs enim locus imaginis nó occurret uiſui extra ſpeculũ. Patet ergo ꝓpoſitũ.

◉14. Communi ſectione ſuperficiei reflexionis & ſpeculi columnaris concaui exiſtẽte circulo: quando unum: quando duo: quando tria: quando quatuor erunt puncta reflexionis & non plura: & ſecũdum hæc loca ima

Fig. 806

a d e g b h e f

ginum numer antur. Alhazen 95 n 5.

◉Eſto ſpeculum columnare concauum, cuius axis a b: ſitq́ communis ſectio ſuperficiei reflexionis & ſpeculi circulus, quic d e f: cuius centrum ſit b: ſitq́ centrum uiſus g: & punctũ rei uiſæ h: quæ ſint intra illum circulum æqualiter uel inæqualiter diſtantia à centro b: ſintq́ ambo ab una parte centri b. Dico quòd uerum, quod proponitur. Ducantur enim diametri g b & h b: quæ producantur ad peri pheriam circuli: patetq́ per 40 th. 8 huius quoniá poſsibile eſt quádoq formam puncti h reflecti ad uiſum exiſtentem in puncto g ab uno tantùm puncto circuli c d e f: quandoq à duobus: quandoque uerò a tribus: quandoq uerò à quatuor: non autem à pluribus. Et quoniam in propoſito, cum reflexio fiat à circulo ſpeculi, nõ eſt aliqua differentia quo ad illud: patet ergo primum propoſitum. Patet etiã, prout oſtenſum eſt in 11 th. 8 huius, ſiue catheti incidentiæ concurrant cum lineis reflexionis ſiue æquidiſtent, quòd ſecũdum numerum linearum reflexionis imagines numerantur. Et hoc eſt totum, quod proponebatur.

◉15. In columnaribus cõcauis ſpeculis communi ſectione ſuperficiei reflexionis & ſpeculi exiſtente oxygònia: formarum punctorum rei uiſœ quarundam fit ab uno tantùm puncto ſpeculi reflexio ad uiſum: quarundam à duobus: quarundam à tribus: quarundam à quatuor: non autem à pluribus: & ſecundum hœc loca imaginum numer antur. Alhazen 95 n 5.

◉Eſto ſpeculum columnare concauum: cuius axis ſit linea x h: ſitq́ punctus rei uiſæ obliquè incidens ſpeculo, ita quòd non ſit in aliqua linearum perpẽdicularium ſuper ſuperficiem ſpeculi: qui ſit punctus a: taliter ut communis ſectio ſuperficiei reflexionis & ſpeculi ſit ſectio oxygonia. Dico quòd poſsibile eſt, ut ab uno puncto, uel à duobus, uel à tribus, uel à quatuor punctis alicuius oxygoniæ ſectionis fiat reflexio ad uiſum: & quandoq unica appareat imago, quãdoq duæ, quandoq tres, quandoq quatuor & non plures imagines: quoniam totidem ſunt puncta reflexionis tantùm poſsibilia. Imaginetur itaq ſuperficies plana tranſiens per punctum a æquidiſtans baſibus ſpeculi propoſiti: eritq́ cómunis ſectio huius ſuperficiei & ſuperficiei ſpeculi circulus per 100 th. 1 huius, cuius circuli centrum ſit h: ſumaturq́ in ſuperficie illius circuli aliud punctum, quod ſit b, inæqualiter diſtans à centro h cum puncto a: & ducantur à punctis a & b ad centrum circuli h lineæ a h & b h: & compleantur diametri illius circuli eiſdẽ lineis ad peripheriam circuli hinc inde productis. Palàm ergo per ea, quæ dicta ſunt in theoremate pręcedente, & in 40 th. 8 huius, quòd ab uno puncto arcus interiacentis duas ſemidiametros a h & b h poteſt forma puncti a reflecti ad uiſum exiſtentem in puncto b: uel forſitan à duobus uel à tribus: ſed nõ à pluribus: ab arcu uerò oppoſito iſti arcui (utpote ab illo arcu, qui cadit inter eaſdem ſemidiametros productas ad aliam partem peripheriæ circuli) non poteſt fieri reflexio formæ pũcti a ad uiſum b, niſi ab uno tantùm puncto. Eſto itaq quòd forma pũcti a reſlectatur ad uiſum b à tribus pũctis ſpeculi propoſiti arcus, ſcilicet unius page 375 inter iacentis ſemidiametros a h & b h: quæ ſint puncta g, d, e: & ducantur lineæ a g, h g, b g, a d, h d, b d, a e, h e, b e: & à puncto a rei uiſæ ducantur in eadem ſuperficie tres lineæ æquidiſtantes tribus ſemidiametris, quæ ſunt h g, h d, h e: quæ lineæ æquidiſtantes ſint a k, a f, an: ita quòd linea a k ſit æquidiſtás ſemidiametro h g: & linea a f ſemidiametro h d: & linea a n ſemidiametro h e. Cum itaq linea a k ſit æquidiſtãs ſemidiametro h g, & linea

b g concurrat cum eadem ſemidi a metro in pũcto g: palàm per 2 th. 1 huius quoniá linea b g concurret cum linea a k: ſit ergo punctus cócurſus k. Similiter quoq per eandem ration em linea b d con curret cum linea a f: ſit concurſus punctus f: ſimiliter quoque linea b e concurret cum linea a n: ſit punctus cõcurſus n. Deinde à puncto b erigatur perpendicularis ſuper ſuperficiem circuli, cuius centrum h, per 12 p 11: quæſit b t: & quoniam axis x h eſt perpẽdicularis ſuper ſuperficiem illius circuli: erit per 6 p 11 linea b t æquidiſtãs axi x h. Sumatur quoq in linea b t punctũ quodcũq, quod ſit t: & ab illo ducantur tres lineę ad tria puncta k, f, n, quæ ſint lineæ t k, t f, t n: & à tribus punctis g, d, e erigantur per 12 p 11 tres perpẽdiculares ſuper ſuperficiem circuli, cuius cẽtrum h: quæ ſint g m, d l, e q: erunt ergo per 6 p 11 lineæ b t & e q æ quidiſtantes. Et quoniam, ut patet per 1 th. 1 huius, omnes lineę æquidiſtantes ſunt in eadẽ ſuperficie: palàm per 1 p 11 quoniã lineæ b t & e q ſunt in ſuperficie trianguli b t n: igitur linea e q ſecabit lineam t n: ſit ut ſecet ipſam in puncto q: & penitus per eundem modum ſit, ut linea d l ſecet lineam t fin puncto l: & linea g m ſecet lineam t k in pũcto m: eruntq́ per 92th. 1 huius hæ tres lineæ ſcilicet e q & d l & g m partes linearum longitudinis ſpeculi: cum ſint in ſuperficie columnæ ſpeculi perpendiculariter productæ ſuper ſuper ficiẽ circuli, cuius centrum h: & per conſequẽs ſint erectæ ſuper baſes ſpeculi per 23 th. 1 huius. Et à puncto q ducatur per 31 p 1 linea æ quidiſtans lineæ n a: quæ ſit linea q u: hęc itaq per 30 p 1 erit æquidiſtans lineæ h e: quoniam ipſa h e æquidiſtat lineæ a n, ut patet ex præmiſsis. Quia itaq axis x h concurrit cum linea h e in puncto h: palàm per 2 th. 1 huius quoniam ipſe axis cõcurret cum eius æquidiſtante ducta à puncto q: ſit cõcurſus in puncto u: & ſit illa æquidiſtans linea q u: & ducatur linea t a: hæc itaq ſecabit lineam q u: quoniã linea q u ducitur à latere trianguli t b n, & à termino lineę e q æquidiſtantis baſi t b, & omnes illæ lineæ ſunt in eadem ſuperficie, lineaq́ t a producta eſt inter lineam t u æquidiſtantem axi h u, & inter ipſum axem: patet quòd linea t a ſecabit lineã q u: ſunt enim ambæ in eadem ſuperficie: ſit itaq linearum t a & q u pũctus ſectionis i: & ducatur linea q a. Quia itaq lineæ h e & a n ſunt æquidiſtátes, ut ſuprà patuit: palàm per 29 p 1 quia angulus b e h extrinſecus eſt æqualis angulo e n a intrinſeco, & anguli h e a & e a n ſunt æquales, quia coalterni: ſed & angulus reflexionis, qui eſt h e b, eſt æqualis angulo incidentiæ, qui eſt a e h, per 20 th. 5 huius. Erit ergo angulus e a n æqualis angulo a n e: ergo per 6 p 1 in trigono e a n duo latera e a & e n ſunt æqualia: ſed linea e q eſt perpendicularis ſuper ſuperficiem trigoni a e n: quia & ſuper ſuperficiem circuli, cuius cẽtrum eſt h, eſt erecta, ut ſuprà patuit. Cum itaq linea q e ſit communis duobus trigonis q e a & q e n: patet per 4 p 1 quoniam illa trigona ſunt æqualia: eritq́ linea q n æqualis lineę q a: ergo per 5 p 1 quia trigoni q a n duo latera q a & q n ſunt æqualia, erit angulus q a n æqualis angulo q n a. Quia itaq linea q i æquidiſtat lineæ a n: patet per 29 p 1 quoniam angulus t q i extrinſecus ęqualis eſt angulo t n a intrinſeco: & angulus i q a æqualis eſt angulo q a n, quia ſunt coalterni: erit ergo angulus i q t æqualis angulo i q a. Forma itaq puncti a per 20 th. 5 huius reflectetur ad uiſum exiſtentem in puncto t à puncto ſpeculi, quod eſt q. Et eodem modo demonſtrandum quòd forma puncti a reflectitur ad uiſum exiſtentem in puncto t ab alijs duobus punctis ſpeculi ſimilibus puncto q, quę ſunt puncta l & m. Sic ergo formæ puncti a ad uiſum in punctum t fiet reflexio à tribus punctis ſpeculi columnaris concaui, quę ſunt q, l, m, & ex eadem parte colũnæ ſpeculi: nec eſt poſsibile, ut fiat eiuſmodi reflexio à pluribus punctis ſpeculi exilla parte. Si enim detur quodcunq pũctum ſuperficiei ſpeculi columnaris concaui aliud ab iſtis tribus, à quo dicatur poſſe fieri reflexio formę puncti a ad uiſum in punctum t: ducatur ab illo puncto dato linea longitudinis ſpeculi ſuper circulum, cuius centrum h: & oſten detur modo præmiſſo, quòd à puncto peripheriæ illius circuli, cui incidit illa linea longitudinis, poteſt forma puncti a reflecti ad uiſum exiſtentẽ in pũcto b: & ſic à quatuor pun page 376 ctis arcus interiacentis diametros circuli, in quibus ſunt centrum uiſus & punctum rei uiſæ, fiet reflexio ad uiſum, ſcilicet à tribus punctis g, d, e, & à quarto dato: quod eſt contra 40 th. 8 huius, & impoſsibile. Non ergo ſiet reflexio formæ puncti a ad uiſum exiſtentẽ in puncto t, niſi à tribus punctis ſpeculi columnaris concaui: quę ſunt, q, l, m ex una parte ipſius ſpeculi. Si itaq alia pars columnaris ſpeculi abſciſſa fuerit: patet quòd tantùm fiet reflexio à tribus pũctis ſpeculi: quò d ſi totum ſpeculum integrũ fuerit, poſsibile eſt fieri reflexionẽ à pũctis quatuor. Iam enim patuit per 27 th. 8 huius, quòd ex arcu circuli, cuius centrũ h, oppoſito arcui g d e, poteſt forma pũcti a reflecti ad uiſum exiftentem in puncto b ab uno tantùm puncto. Sit ergo illud punctũ z: & ducatur ſemidiameter h z: & à puncto a per 31 p 1 ducatur linea ei æ quidiſtans: quæ ſit a s: & ducatur linea reflexionis, quæ ſit b z concurrens cum linea a s in puncto s: concurret autẽ per 2 th. 1 huius: quoniã concurrit cum linea h z æ quidiſtante ipſi a s: & à puncto z erigatur ſuper ſuperficiẽ circuli, cuius centrũ h, linea z o perpẽdiculariter per 12 p 11: hæc ergo per 6 p 11 æ quidiſtabit lineæ b t. Ducatur itaq linea t s, quæ, ſicut prius in alijs declarauimus, ſeca bit lineã z o: quoniá ſunt in eadẽ ſuperficie: ſit ergo punctus ſectionis o: patebitq́ ſecundũ pręmiſſo prius modos, quoniã forma punctis s reflectitur ad uiſum exiſtẽtem in puncto t à puncto ſpeculi, quod eſt o: nec erit poſsibilis reflexio ab aliquo puncto ſuperficiei ſpeculi ex illa parte, præter quàm à puncto o. Si enim detur, quòd ab aliquo alio pũcto hoc ſit poſfibile: ſequetur, ut prius deduximus, quòd ſimiliter ab alio puncto illius arcus circuli, cuius centrũ h, quàm à puncto z, poſsit forma puncti a reflecti ad uiſum exiſtentẽ in puncto b, quod eſt impoſsibile, & contra 29 th. 8 huius. Si itaq forma puncti a ab uno pũcto circuli, cuius centrũ h, reflectitur ad uiſum exiſtentem in puncto b: reflectetur eadẽ forma puncti a ex eadẽ parte ſpeculi columnaris concaui ad uiſum exiſtentẽ in puncto t ab uno tantùm ſpeculi puncto: & ſi à duobus pũctis ſpeculi fiat reflexio formæ puncti a ad b: & à duobus punctis ſpeculi reflectetur a ad t. Si uerò una harum reflexionum à tribus fiat punctis: ſiet etiá refliqua à tribus: & ab illa parte circuli uel ſpeculi non eſt poſsibile fieri plures reflexiones. Sicut autẽ ab uno tantùm puncto arcus oppoſiti in circulo fit reflexio formæ puncti a ad punctum b: ſic etiá ex illa parte ſpeculi ab uno tantum puncto fit reflexio formę puncti a ad uiſum exiſtentẽ in puncto t. Item linea t b æ quidiſtat axi x h: ſunt ergo in eadẽ ſuperficie per 1 th. 1 huius, quę eſt ſuperficies t b h u: nec enim poteſt alia ſumi plana ſuperficies, in qua fint illæ lineæ t b & h x per 1 p 11. Itẽ n ec poteſt ſumi aliqua plana ſuperſicies, in qua ſit punctus a, & axis x h, pręter ſuperficiẽ a u h, quę per 18 p 11 eſt electa perpẽdiculariter ſuper ſuper ficiẽ circuli, cuius centrũ eſt punctũ h: cum per 92 th. 1 huius axis h u ſit perpẽ dicularis ſuperipſam. Punctus ergo tnó eſt in eadẽ ſuperficie cũ pũcto a erecta ſuper ſuperficiẽ dicti circuli: ſed neq illa pũcta t & a ſunt in eodẽ circulo: ſed neq ſunt in axe ſpeculi: quoniá linea b t eſt æ quidiſtans axi ſpeculi, qui eſt x h. Superficies ergo, in qua forma pũcti a refle ctitur ad uiſum exiſtentẽ in pũcto t, eſt oxygonia ſectio. Verùm ꝓducta linea t a ex utraq parte ultra pũcta t & a, ut fiat linea p r: cũ quatuor ſint ſuperficies reflexionis: quia à quatuor pũctis fit reflexio, qu æ ſunt q, l, m, o, & in qualibetillarũ quatuor ſuperficierum neceſſe eſt eſſe duo puncta, quæ ſunt a & t: patet quòd linea p reſt communis illis quatuor ſuperficiebus per 1 p 11: quoniam in linea p r ſunt cẽtrum uiſus, quod eſt punctum t: & punctum rei uiſæ, quod eſt punctum a: quæ neceſſe eſt eſſe in omni ſuperficie refle xionis ſactæ ab his ſpeculis, ut patet per 3 huius. Quælibet autem illarum ſupetſicierum ſecat ſpeculum ſuper ſuperficiem contingentem ſpeculum in puncto ſuæ reflexionis: & cuilibet iſtarum ſuperficierum reflexionis & ſuperficiei in illo puncto ſpeculum contingentis communis ſectio eſt linea recta per 3 p 11. Et ſicut pũcta reflexionis non ſunt eadem: ſic neq lineæ communes illarum ſectionum ſunt eæ dem: linea itaq p reſt perpendicularis ſuper unam tantùm illarum quatuor communium linearum, non ſuper duas. Quoniam ſi eſſet perpendicularis ſuper duas illarum linearum: eſſet perpẽdicularis ſuper duas ſuperſicies ſpeculum ſecun dum puncta illarum linearum cõtingentes: linea itaq prneceſſariò tranſiret axem: cum tam en oſten ſum ſit prius, quòd linea t a, (quæ eſt pars lineæ t p r) cadat citra axem ſpeculi, qui eſt x h. Neceſſariò ergo oportet duci quatuor diuerſas lineas perpendiculares ad illas quatuor lineas communes à puncto rei uiſæ, quod eſt a: quæ erunt quatuor catheti incidentiæ perpendiculares ſuper oxygonias ſectiones, cõmunes illis ſuperſiciebus reflexionũ & ſpeculi. Quælibet itaq iſtanrũ perpendiculariũ aut erit æ quidiſtans lineæ refle xionis: aut cõcurret cũ illa ſiue intra ſpeculũ ſiue extra. Si fuerit æ quidiſtans: erit locus imaginis ipſe pũctus reflexionis, ut ſuperà patuit in 11 huius. Et cũ quatuor ſint huiuſmodi քpẽdiculares: erũt quatuor loca imaginũ, & quatuor imagines: ideo quòd quatuor ſunt loca reflexionũ. Si uerò oẽs illę quatuor perpẽdiculares cõcurrunt cũ lin eis ſuarũ reflexionũ: erũt itẽ quatuor imagines: quia quatuor ſunt cócurſus illarũ linearum. Sic ergo loca imaginũ num erátur ſecundũ num erũ punctorũ reflexionis. Et hoc eſt ꝓpoſitũ.

◉16. In ſpeculis columnaribus concauis dato centro uiſus & pũcto rei uiſæ, punctum reflexionis inuenire. Alhazen 96 n 5.

◉Sit ſpeculum columnare concauum, cuius axis ſit x h: ſitq́ punctum rei uiſæ a: & centrum uiſus b: quæ ſint in locis datis. Dico quòd eſt poſsibile punctum reflexionis inueniri. Si enim pũctum rei uiſæ (quod eſt a) & centrum uiſus (quod eſt b) fuerint in un a plana ſuperficie ſpeculũ trans axem ſecante: tũc patet per 93 th. 1 huius, quia communis ſection ſuperficiei reflexionis & ſpecnli eſt linea longitudinis. Poteſt itaq inueniri punctum reflexionis, ſicut in ſpeculis planis per 46 th. 5 huius. Quod ſi puncta a & b non ſuerint in tali ſuperficie: imaginetur ſuperſicies tranſiens per punctum a, ſecans ſpeculum æ quidiftanter bafibus: erit ergo per 100 th. 1 communis ſectio ſuperficiti illius & 377 ſuperficiei ſpeculi circulus. Centrum itaq uiſus, quod eſt punctum b, aut eſt in ſuperſicie illius circuli, aut non. Si ſic: poteſt reflexionis punctum inuenlri in peripheria illius circuli, ſicut ſuprà in 27 th. 8. huius d dcuimus in ſpeculis ſphæricis cõcuais. Si uerò centrum uiſus b non ſuerit in ſuperficie illius circuli: tũc cũ punctũ rei uiſæ, & centrũ uiſus ſemper ſint in ſuperficie reflexionis per; 3 huius. pater quòd cõmunis ſectio ſuperficiei reflexionis & ſpeculi in hoc ſitu eſt ſectio oxygonia. Ducatur ergo à puncto b cẽtro uiſus perpẽdicularis ſuper ſuperficiẽ illius circuli per 11 p 11: & replicetur tota ꝓbatio proximæ præ cedẽcedẽtis: & palàm, quia inuenietur pũctus reflexionis. Quod eſt ꝓpoſitũ.

◉17. Centro uiſus exiſtente in puncto, qui eſt communis ſectio axis & lineæ perpendicularis ſuper ſuperficiem, contingentem ſpeculum pyramidale concauum: fiet reflexio formæ ipſius oculi ab una totali peripheria circuli ſpeculi æquidiſtantis baſi: & ſolùm per line as perpẽdiculares: locus́ imaginis erit in centro uiſus. Alhazen 98 n 5.

◉Eſto ſpeculum pyramidale concauum, cuius axis ſit a h: & ducatur à puncto h linea perpendicularis ſuper ſupeficiem, contingentem ſpeculum in puncto b: erit itaq punctus h communis ſectio

axis a h & lineæ perpendicularis, quæ eſt h b. Dico quòd ſi centrum uiſus poſitum fuerit in puncto h: fiet reflexio formæ oculi uidentis a tota peripheria unius circuli ſpeculi æquidiftantis baſi, cuius polus erit punctus h. Sit enlm punctus a uertex ſpeculi: & ducatur linea a b: ut ergo pater per 95 th. 1 huius, erit linea a b pars lineæ lõgitudinis ſpeculi: eritq́ trigonum h b a orth ogonium: quoniam angulus a b h erit rectus propter perpendicularitatem lineæ h b ſuper lineam a b. Imaginẽtur ergo à puncto h plurimæ duci perpendiculares ſuper lineas longitudinis ſpeculi, ſicut eſt linea h b perpendicularis ſuper lineam longitu dinis, quæ eſt a b: uel remanente fixo a h latere trignoi a b h, & circum ducto trigono, quouſq ad locum, unde exiuit, redeat: deſcribet punctũ b circulum in concauitate ſpeculi, à cuius quolibet peripheriæ pũcto fiet reflexio ad uiſum exiſtentem in puncto h ſecundum lineas perpendiculares, ſimiles lineæ h b: hoc eſt ſecun dum lineas, quas motu ſuo determinabit linea h b. Fiet autem reflexio ſolùm ſuperficiei ipſius uiſus per 21 th. 5 huius: & ſolùm partis ſuperficiei uiſus, quam ſecant duę lineæ perpendiculares à centro oculi exeuntes, & maiorem angulum, qui eſt ibi poſsibilis, continentes. Erit autem in omnibus his reflexionibus ſemper locus imaginis in centro uiſus: quoniam non ſit reflexio niſi ſecundum lineas perpẽdiculares. Patet itaq propoſitum: ita tamen quòd inter centrum uiſus & ſpeculi ſuperficiem non ſit aliquod corpus ſolidum, quod obſiſtat.

◉18. Exiſtentibus centro uiſus puncto́ rei uiſæ in axe ſpeculi pyramidalis concaui: poßibile eſt reflexionem fieri à toto uno circulo ſuperficiei reflexionis ſpeculi: locus́ imaginis erit quidũ circulus extra ſpeculum. Alhazen 99 n 5.

◉Eſto ſpeculum pyramidale concauum: cuius axis ſit linea a h: & uertex a: ſitq́ centrum uiſus in

puncto h: & ſit punctus rei uiſæ in puncto axis: qui ſit t: imagineturq́ ſuperficies plana ſecans pyramidem ſpeculi ſecũdum axis longitudinem, quæ ſit a b h g. Et quoniam linea a h eſt axis ſpeculi: erunt lineæ a b & a g lineæ longitudinis ſpeculi per 90 th. 1 huius. Ducatur itaq â puncto rei uiſæ (quod eſt t) linea perpẽdicularis ſuper lineam a b: quę ſit t q: & producatur ultra punctum q extra ſpeculum ad pũctum l, donec linea q l ſit æ qualis lineæ t q: & à puncto h ducatut linea ad punctum l, quæ ſit h l. Hęc itaq: neceſſariò ſecabit lineam a b: quoniam eſt cũ illa in eadẽ ſuperſicie: ſit ergo, ut ſecet ipſam in puncto b: & à puncto b ducatur linea æ quidiſtans lineæ t q per 31 p 1: quæ producta ad axem ſpeculi, ſit linea b d, ſecans axem a h in puncto d: & copuletur linea t b. Palàm itaq, cum linea t q ſit perpendicularis ſuper lineam a b, & æ qualis lineę q l: erit per 4 p 1 triangulus t b q ęqualis triangulo q b l: & angulus q l b æqualis angulo q t b: ſed angulus q t b æqualis eſt angulo t b d per 29 p 1 quia ſunt coalterni: & angulus d b h extrinſecus eſt æqualis angulo q l bintrinſeco. Eſt ergo angulus t b d ęqualis angulo d b h: ergo per 20 th. 5 huius forma punctit reflectitur à puncto ſpeculi, quod eſt b, ad centrum uiſus exiſtens in puncto h. Et quoniam linea t q eſt perpẽdicularis ſuper ſuperficiem ſpeculi: pater per definitionem quoniam ipſa eſt cathetus incidentiæ formę puncti t: concurrit autem cathetus t q cum linea reflexionis, quæ eſt h b, in puncto l: eſt ergo punctus l locus imaginis formæ puncti t per 37 th. 5 huius. Si itaq fixo latere t h imaginetur trigonus t l h moueri, quouſq redeat ad locum, unde incepit: tũc page 378 punctus b motu ſuo deſcribet circulum in ſuperficie cõcaua ſpeculi: & à quolibet puncto peripheriæ illius circuli reflectetur forma puncti t ad uiſum exiſtentem in puncto h. Similiter quoq l motu ſuo deſcribet circulum extra ſpdculum, in cuius totali peripheria erit locus imaginis formæ puncti t: quoniam in tota illius circuli peripheria catheti incidentiæ formæ puncti t, & lineæ reflexionum formæ puncti t ad uiſum h, concurrent. Patet itaq propoſitum.

◉19. In pyramidalibus concauis ſpeculis cõmuni ſectione ſuperficiei reflexionis & ſpeculi oxygonia exiſtente, & centro uiſus, puncto́ rei uiſæ exiſtentibus in eadem ſuperficie baſis ſpeculi, aut ei æquidiſtantis, ne ſit ipſorum aliquod in axe ſpeculi: formarum punctorum rei uiſæ quarundam fit ab uno tantùm pũcto ſpeculi reflexio: quarundã à quarundã à tribus: quarundã à quatuor: nõ aũt à pluribus: & ſecundũ hæc loca imaginũ numerãtur. Alhaz. 100 n 5.

◉Eſto ſpeculum pyramidale concauum a g u: cuius axis ſit a d & uertex a: ſitq́ punctus e centrum uifus: & ſit z punctus rei uiſæ obliquè incidens ſpeculo: ita quòd nõ ſit in aliqua linearum perpendicularium ſuper ſuperficiem uiſus: neq ſit in axe ſpeculi, qui eſt a d: neq fiat reflexio ab aliqual linearum longitudinis ſpeculi: fiat tamẽ reflexio formæ puncti z ad uiſum e ab aliquo puncto ſuperficiei propoſiti ſpeculi. Erit ergo neceſſariò cõmunis ſectio ſuperficiei reflexionis & ſpeculi ſectio oxygonia per 2 th. huius: & ſint puncta e & z in eadẽ ſuperficie circuli baſis ſpeculi, aut æ quidiſtantis ei. Dico quòd eſt poſsibile, ut ab uno tantùm pũcto ſpeculi: uel duobus: uel tribus: uel quatuor: & non à pluribus fiat reflexio ad uiſum: & quandoq unica apparebit imago: quandoq duæ: quandoq tres: quandoque quatuor: nec eſt poſsibile uideri plures imagines: quoniam totidem tantùm ſunt puncta reflexionis poſsibilia. Imaginetur itaq ſuperficies plana tranſiens per pũctum z æquidiſtans baſi ſpeculi: hæc itaq ſuperficies per 100 th. 1 huius ſecabit ſpeculum ſecundum circulum: centrum itaq uiſus (quod eſt punctum e, ut patet ex hypotheſi) erit in ſuperficie illius circuli, cuius cẽtrum ſit t: & ducatur linea e z, quæ producta ſecet illum circulum. Palàm ergo per ea, quæ demonſtrata ſunt in ſpeculis ſphæricis cõcauis per 40 th. 8 huius, quoniam in tali diſpoſitione forma puncti z reflectitur ad uiſum exiſtentem in puncto e à peripheria illius circuli ex una parte, ſcilicet ab arcu interiacente ſemidiametros, in quibus puncta z & e conſiſtunt, aut ab uno puncto ſpeculi: aut à duobus: aut à tribus: & ex alia parte ab arcu ſcilicet interiacẽte illas ſemidiametros reliquas, in quibus puncta z & e non conſiſtunt, ab uno tantùm puncto. Sumatur itaq aliquis punctus circuli, à quo fiat hæc reflexio, quod ſit h: & ducantur lineæ z h & e h: & ſemidiameter th. Pater itaq per 18 p 3 quoniam linea th eſt perpendicularis ſuper lineam circulum in puncto h contingentem: & per 20 th. 5 huius palàm eſt quoniam linea t h diuidit angulum z h e per æqualia: ergo per 29 th. 1

huius linea th ſeca bit lineam e z: ſit ergo punctus ſectionis q: ducatur́ per 101 th. 1 huius linea longitudinis ſpeculi: quæ ſit a h: & â puncto q ducatur linea cadens perpendiculariter ſuper lineam a h per 12 p 1: quæ ſit q m, ſecans lineam a h in puncto m: & producta ultra punctum q fecet a xem ſpeculi, qui eſt a d, in puncto d: & ducantur lineæ z m & e m: & à puncto z, quod eſt pũctum rei uifæ ducatur in ſuperficle illius circuli linea æquidiſtans lineæ q h: quæ ſit z l. Quia itaq linea e h concurrit cum linea q h in puncto h: patet per 2 th. 1 huius quoniã linea e h producta ultra punctum h concutret cum linea z l: ſit concurſus punctus l: & à puncto h ducatur linea perpendicularis ſuper lineam l z, quæ ſit h p: deinde in ſuperficie e m z ducatur à puncto z linea æ quidiſtans lineæ q m: quæ ſit linea z o. Quia itaq linea e m concurrit eum linea m q: patet per 2 th. 1 huius quòd ipſa concurret cum linea z o ipſius æ quidiſtante: ſit ergo concurſus in puncto o: & ducatur linea lo: & à puncto p ducatur linea æ quidiſtãs lineæ l o; quæ ſit linea p n, ſecans lineam z o in puncto n: & ducatur linea m n. Palàm itaq ex præ miſsis, & per 20 th. 5 huius quòd angulus e h q eſt æqualis angulo q h z: ſed quia lineæ th & l z æquidiſtant: pater per 29 p 1 quòd anguli q h z & h z l ſunt æqualies: quia conalterni: ſed & angulus q h e extrinſecus eſt æ qualis angulo h l z intrinſeco: anguli ergo h l z & h z l ſunt æ qualies: ergo per 6 p 1 latera h l & h z ſunt æ qualia: ſed lineæ h p eſt perpẽdicularis ſuper lineã l z baſim iſoſcelis h l z: erũt ergo per 31 th. 1 huius trigona h l p & h p z ſimilia: ergo per 4 p 6, cum linea h p ſit ambobus illis trigonis cõmunis: erit linea l p æqualis lineæ p z: ſed in trigono l o z linea p n eſt æquidiſtans lineæ l o: ergo per 2 p 6 erit proportio lineæ z n ad lineam on, ſicut lineæ z p ad lineam p l. Eſt ergo linea z n æ qualis lineæ n o. Item cum, ſicut patet ex præmiſisi, linea o z ſit æ quidiſtans lineæ q m & linea h q ſit æ quidiſtans lineæ l z: ergo p 15 p 11 erit ſuperficies z l o æ quidiſtans ſuperficiei q m h: & ſuperficies e o l ſecat illas duas ſuperficies: ſuperficiẽ quidẽ q h m ſecundũ lineã h m, & ſuperficiẽ l o z ſecundũ lineã l o: ergo per 16 p 11 cõmunes ſectiones ſuperficiei e ol cum illis duabus ſuperficiebus æ quidiſtantibus ſunt æ quidiſtantes. linea ergo h m æ quidiſtabit lineæ l o: ſed page 379 linea p n æ quidiſtat lineæ l o: ergo per 30 p 1 lineæ h m & p n æ quidiſtant. Quia itaq linea h p cadit inter lineas h t & l z æ quidiſtantes: patet per 29 p 1 quia anguli h p l & p h t ſunt æ qualies: quia coalterni: ſed angulus h pleſt rectus: ergo angulus p h t eſt rectus: ergo per 16 p 3 linea p h contingit circulum: igitur ſuperficies a h p eſt contingens pyramidem ſpeculi: ergo per 95 th. 1 huius contingit illam ſecun dum lineam longitudinis, quæ eſt a h: & in hac ſuperficie erunt ambæ lineæ p n & n m: linea quidem m h, quoniam eſt part lineæ longitudinis, quæ eſt a h: linea uerò p n per 1 th. 1 huius: omnes enim lineę æquidiſtantes neceſſariò ſunt in eadem ſuperficie, & linea p n & h m æquidi ſtant: linea uerò n m eſt in eadem ſuperficie per 1 p 11, quoniam puncta n & m ſunt in illa ſuperficie: eſt autem linea d m perpendicularis ſuper ſuperficiem a h p ſpeculum contingentem: ergo linea d m eſt perpendicularis ſuper lineam n m per definitionem lineę perpendicularis ſuper ſuperficiem. Sed lineæ d m & o z æ quidiſtant, ut prius patuit: ergo per 29 p 1 linean m, quæ eſt perpendicularis ſuper lineam d m, erit perpendicularis ſuper eius æquidiſtantem, quæ eſt z o: ſed linea o n eſt æ qua lis z n: ergo per 4 p 1 erit linea m o æqualis m z: ergo per 7 p 5 erit proportio lineæ e m ad lineam m o, ſicut eiuſdem ad lineam m z: eſt autem proportio lineæ e m ad lineam m o, ſicut lineæ e q ad lineam q z per 2 p 6: cum lineæ m q & o z ſint æ quidiſtantes in trigono o z e: uel ſic: eſt autem proportio lineæ e m ad lineam m o, ſicut lineæ e h ad lineam h l: ſed lineæ l h & h z ſunt æqualies per præmiſſa: ergo per 7 p 5 eſt proportio lineæ e h ad lineam h z, ſicut ad lineam h l: eſt autem per 3 p 6 cum linea h q diuidat angulum e h z per æqualia, proportio lineæ e h ad h z, ſicut e q ad q z. Eſt ergo per 11 p 5 proportio lineæ e m ad lineam m z, ſicut lineæ e q ad lineam q z: ergo linea m q diuidit angulum e m z per æqualia per 3 p 6. Eſt ergo angulus e m q æqualis angulo q m z: ergo per 20 th. 5 huius forma puncti z reflectitur ad uiſum exiſtentem in puncto e à puncto ſpeculi, quod eſt m. Sicut itaq forma puncti z reflectitur ad uiſum exiſtentem in puncto e à ſolo puncto circuli, quod eſt h: ita ſimiliter reflectetur eadem forma puncti z ad uiſum e à ſolo puncto ſpeculi, quod eſt m. Quòd ſi fiat in hoc ſitu reflexio à duobus punctis circuli: erit etiam reflexio à duobus punctis ſpeculi: & per eadem demonſtrandum: & ſi à tribus punctis circuli fiat reflexio: fiet etiam à tribus pun ctis ſpeculi: & ſi fiat à quatuor punctis unius, fiet etiam à quatuor punctis alterius: & ſicut ab alia parte círculi fiet reflexio ab uno pũcto circuli, ita fiet etiam ab uno puncto ſpeculi ex eadem parte. Patet ergo propoſitum.

◉20. In ſpeculis pyramidalibus concauis, communi ſectione ſuperficiei reflexionis & ſpeculioxygonia exiſtente, & centro uiſus, puncto́ rei uiſæ exiſtentibus intra ſpeculum, non in axe, nec in eadem ſuperficie baſis ſpeculi, aut ei æquidiſt ante: formarum punctorum rei uiſæ quarun dam reflexio fit ab uno tantùm puncto ſpeculi: quarundam à duobus: quarundam à tribus: quarundam à quatuor: non autem à pluribus: & ſecundum hæc loca imaginum numerantur. Alhazen 101 n 5.

◉Sit, ut in propoſitione præcedente, ſpeculi pyramidalis concaui (quod ſit a g u) uertex a: & axis a d: ſitq́ punctus rei uiſæ z: & centrum uiſus e: ductaq́ per punctum z ſperficie ſecante ſpeculum æquidiſtanter baſi ſpeculi, non ſit punctúm e in illa ſuperficie, ſed ſub illa, uel ſupera illam. Sit autem nunc, exempli cauſſa, ſupera illam: quia ſi ponatur eſſe ſub illa, eadem erit demonſtratio: dico itaq quòd uerum eſt id, quod proponitur. Quia enim, ut patet per 100 th. 1 huius, cõmunis ſectio illius ſuperficiei & ſpeculi eſt circulus: ducatur à ueritice ſpeculi, quod eſt a, linea per centrum uiſus e, ſecans ſuperficiem præmiſsi circuli extra ipſius centrum in puncto h, quę ſit a e h: hoc autem eſt poſſibile: ideo quia centrum uiſus, quod eſt punctum e, ut patet ex hypotheſi, eſt intra ſpeculum, non in axe: ſiq́t; centrum illius circuli punctum q. Palàm itaq per 20 th. 8 huius quia forma puncti z poteſt reflecti ad uiſum exiſtentem in puncto h ab aliquo puncto circuli: ſit illud punctum t: & ducantur lineæ h t & z t & h z, & ſemidiameter q t: quæcum ſit perpendicularis ſuperlineam contingentem circulum in puncto t per 18 p 3, ergo per 26 th. 5 huius palàm quòd linea q t diuidit angulum h t z per æqualia: ergo per 29 th. 1 huius pater quòd linea q t ſecabit lineã h z: ſit punctus ſectionis n: & ducatur linea z e à puncto rei uiſæ ad centrum uiſus in punctum e, & linea longitudinis ſpeculi: quæ ſit a t. Palàm itaq ex præmiſsis, cum punctus z ſit ex illa parte diametri q t, & ex una parte eiuſdem ſit punctum e, quod eſt centrum uiſus, quoniam punctum h, quod eſt in linea a e, eſt in eadem parte ſemidiametri q t, in qua eſt & punctume. Pater ergo quòd linea e z ſecabit ſuperficiem a q t: ſit, ut ſecet ipſam in puncto o: & ab illo puncto o per 12 p 1 ducatur perpendicularis ſuper lineam at, ſcilicet lineam longitudinis ſpeculi: quæ perpendicularis ſit o p: hæc itaq producta ultra punctum o neceſſariò cadet ſuper axem ſpeculi, qui eſt a d, ut patet per 96 th. 1 huius: ſit, ut cadat in punctum d: & ducantur lineæ e p & z p. Dico quòd forma puncti z reflectitur ad uiſum exiftentem in puncto e à puncto ſpeculi, quod eſt p. Ducatur enim à puncto z linea æ quidiſtans ſemidiametro q t per 31 p 1, quæ ſit z f. Et quoniam linea h t concurrit cum linea q t in puncto t: palàm per 2 th. 1 huius quoniam ipſa concurret cum eius æquidiſtante, ſcilicet cum linea z f: ſit punctus concurſus f. Item à puncto z ducatur linea æquidiſtans lineæ o p: quæ ſit z k. Et quoniam linea e p concurrit cum linea o p: patet quòd ipſa producta ultra punctum p concurret cum illa z k: ſit punctus concurſus k: & ducantur lineæ k f & k h. Et quia, ut patet ex præmiſsis, angulus o pt eſt rectus, angulus uerò p t q minor recto per 89 th. 1 huius: quoniam ipſe eſt angulus, 380 quem continet linea longitudinis cum ſemidiam etro baſis: patet ergo per 14 th. 1 huius quoniam lineæ o p & q t concurrunt in aliquo puncto productæ ultra puncta d & q. Cum ita linea z f ſit æquidiſtans lineæ q t, & linea z k æ quidiſtãs lineæ o p, & lineæ z f & z k concurrãtin puncto z: lineę quoq d p & q t ſimiliter concurrant in aliquo puncto, ut præ oſtenſum eſt: patet quod ſuperficies f k z, & ſuperficies o p q t, quæ eſt ſuperficies a q t, ſunt æ quidiſtantes per 15 p 11. Quod qutem ſuperficies o p q t ſit pars ſuperficiei a q t, patet ex his. Quoniam enim linea p o producta cadit in punctum axis, quod eſt d, patet per 1 p 11 quòd linea p o eſt in ſuperficie a q t: ſed & linea q t eſt in illa ſu

perſicie: tota ergo ſuperficies o p q t eſt pars ſuperficiei a q k. Et quia ſuperficies h k f ſecat duas ſuperficies z k f & a q t ſuք duas lineast p & k f: patet quòd illæ duæ lineæ t p & k f ſunt ęquidiſtantes per 16 p 11. Ducatur itaq à pũcto t linea perpén dicularis ſuք lineã z f per 12 p 1: quæ ſit linea t s: erit ergo angu lus t s frectus: ergo ք29 p 1 angulus s t q eſt rectus: quoniã lineæ z f & t q æ quidiſtãt: ergo ք16 p 3 linea t s cõtingit in puncto t circuliũ, cuius centrum eſt punctũ q. Superficies itaq a t s eſt contingens pyramidem ſpeculi: continget ergo illam per 95 th. 1 huius ſecundum lineam longitudinis, quæ eſt a t. Sed linea o p eſt perpendicularis ſuper lineam a t: eſt ergo linea o p eracta ſuper ſuperficiem a t s contingentem pyramidem: quoniam linea o p eſt in ſuperficie a q t, tranſeunte per axem a d, & perlineam longitudinis a t: talis autem ſuperficies, ut patet per 97 th. 1 huius erecta eſt ſuper ſuperficiem contingentem ſpeculum in linea longitudinis, quæ eſt a t. Quia ergo ſuperficies a t s ſecat duas ſuperficies o p q t & z k f, quæ ſunt æ quidiſtantes: patet per 16 p 11 quoniam duæ lineæ, quæ ſunt illarum ſuperficierum communes ſectiones, ſunt æ quidiſtantes: quarum linearum una eſt linea p t, & altera ſit linea si ſecans lineam z k in puncto i. Patet quoq quia punctus i cadit inter puncta k & z: lineæ itaq p t & siæquidiſtant: ſed lineæ p t & f k æquidiftant ad inuicem: quoniam ſunt in ſuperficiebus æ quidiſtantibus: ergo per 30 p 1 lineæ si & f k ſunt æ quidiſtantes. Et quoniam lineæ q t & z f æquidiſtant: patet per 29 p 1 quòd angulus n t z eſt æqualis angulo t z f: quia ſunt coalterni: & angulus h t n extrinſecus eſt æqua lis angulo t f z intrinſeco: ſed anguli h t n & n t z ſunt æquales: ergo anguli t f z & t z f ſunt æquales: ergo per 6 p 1 lineæ t f & t z ſunt æquales: & linea t s eſt perpendicularis ſuper baſim iſoſcelis t f z: trigona itaq partialia (quæ ſunt t s f & t s z) ſunt ſimilia per 31 th. 1 huius: ergo per 4 p 6 cum linea ts ambobus illis trigonis ſit communis: erit linea s f æ qualis lineæ s z. Sed cum linea s i æ quidiſtet lineæ f k in trigono f k z: erit per 2 p 6 proportio lineæ f s ad lineam s z, ſicut lineæ ki ad lineam i z: erit ergo linea k i æ qualis lineæ i z: ducaturq́ linea p i. Cum ergo ſuperficies a t s i, in qua ducta eſt linea p i, ſit erecta ſuper ſuperficiem z k f, in qua cadit linea z k: erit per definitionem ſuperficiei ſuper ſuperficiem erectæ linea p i erecta ſuper lineam z k: ergo per 4 p 1 cum linea ki ſit æqualis lineæ i z, lineaq́ p i ſit communis, & anguli ad punctum i ſint æ qualies, quia recti: erit angulus p k z æqualis angulo p z k: ſed per 29 p 1 angulus e p o extrinſecus æqualis eſt angulo p k z intrinſeco: quoniam lineæ o p & z k æquidiſtant: & angulus o p z eſt æqualis angulo p z k: quia ſunt coaleterni: anguli ergo e p d & d p z ſunt æquales: cum anguli p k z & p z k ſunt æ qualies. Ergo per 20 th. 5 huius forma puncti z reflectitur ad uiſum exiſtentem in puncto e à puncto ſuperficieie ſpeculi, quod eſt p: quod eſt unũ propoſitorũ. si aũt ſumatur aliud punctũ in circulo, cuius centrum eſt punctum q, à quo forma puncti z reflectatur ad uiſum exiſtentẽ in puncto h: præ miſſo modo poteſt declarari quòd ab alio puncto ſpeculi reflectetur forma puncti z ad uiſum exiſtentẽ in puncto e ab alio pũcto  à puncto p. similiter quoq ſi forma puncti z reflectatur ad uiſum exiſtentẽ in puncto h à tribus punctis circuli: reflectetur forma puncti z ad uiſum e à tribus punctis ſpeculi: & ſi à quatuor punctis reflexio fiat in circulo: & à quatuor punctis reflexio erit in ſpeculo: & ſecundũ hæc loca imaginum numerantur. Patet ergo propoſitum. Quòd ſi dicatur quòd à pluribus punctis ſpeculi quàm à quatuor poſsit fieri reflexio formæ puncti z ad uiſum exiſtentem in puncto e: ducta ab illo puncto linea longitudinis ſuper peripheriam circuli, cuius centrum eſt punctum q: poterit per con uerſionem præmiſſæ demonſtratioris oſtendi, quòd forma puncti z reflectetur ad uiſum exiſtentem in puncto h à pluribus punctis circuli quàm à quatuor: quod eſt impoſsibile, & contra 40 th. 8 huius. Semper enim; ut patuit ex præmiſsis, à quotcunq punctis circuli reflectitur forma puncti z ad punctum h: à totidem punctis ſpeculi reflectetur eadem forma puncti z ad punctum e: & econ uerſo: & dicenti contrarium accidit impoſsibile modo prædicto. Pater itaq quòd punctorum rei uiſæ in his ſpeculis quædam habent unicam imaginẽ quæ dam duas: quæ dam tres: quæ dam quatuor: & quòd nõ eſt poſsibile cauſſari plures imagines in ſpeculis colũnaribus uel pyramidalibus concauis: ſicut neq in ſphæricis concauis: quod eſt notandum.

page 381

◉21. Dato centro uiſus & puncto rei uiſæ in ſpeculis pyramidalibus concauis, punctum reflexionis inuenire. Alhazen 102 n 5.

◉Sit ſpeculum pyramidale concauum, cuius axis ſit linea a d: ſitq́ punctus rei uiſæ z: & centrum uiſus ſit punctum e, quæ ſint in locis datis: dico quòd eſt poſsibile punctum reflexionis inueniri. Si enim punctum rei uiſę, quod eſt z, & centrum uiſus, quod eſt e, fuerint in una plana ſuperficie ſpe culum trans axem ſecante: tunc patet per 90 th. 1 huius quia communis ſectio ſuperficiei reflexionis & ſpeculi eſt linea longitudinis pyramidis ſpeculi: poteſt itaq punctum reflexionis inueniri ſicuti in ſpeculis planis per 46 th. 5 huius. Quòd ſi puncta z & b non fuerint in illa totali ſuperficie: imaginetur ſuperficies tran ſiens per punctum z, ſecans ſpeculum æquidiſtanter ſuæ baſi: erit ergo per 100 th. 1 huius communis ſectio illius ſuperficiei & ſpeculi circulus. Centrum itaq uiſus, quod eſt punctum e, aut erit in illa ſuperficie circuli, aut non. Quomodocunq autem ſit: qura, ut pater per 12 th 7 huius impoſsibile eſt communem ſectionem ſuperficiei reflexionis & huius ſpeculi circulum eſſe: ergo erit ſemper tunc illa cõmunis ſectio oxygonia: replicata ergo demonſtratione 19 huius, uel proximæ præmiſſæ: patebit ſaciliter inuentio puncti reflexionis. Forma enim puncti z re flectetur ad uiſum exiſtentem in puncto h ab aliquo puncto circumferentiæ circuli, cuius centrum eſt q: uel fortè à duobus: uel à tribus: uel à quatuor: &quotcunq fuerint, ſemper modo præmiſſo inuenietur punctum reflexionis illi puncto circuli correſpondens, inuento puncto reflexionis illorum punctorum in peripheria circuli, per ea, quæ declarauimus in diuerſis propoſitionibus octa ui huius. Patet ergo propoſitum.

◉22. Ambobus uiſibus à ſpeculis columnaribus uel pyramidalibus concanis quaſi unica occurrit imago.

◉In his enim ſpeculis puncta reflexionis formæ eiuſdẽpunctirei uiſæ, ad diuerſos uiſus einſdem uidentis non habent multam diuerſitatem diſtantiæ, propter uiſuum approximationem ad ſe inui cem. Vnde etſi puncti unius formæ imago ſit aliqualiter ambobus uiſibus occurrẽs duplicata: ſunt tamen illæ imagines contiguæ & admixtæ: unde uidebuntur quaſi unica imago. Diuerſitas enim locorum illarum imaginum propter ſui imperceptibilitatem non inducit aliquam diſtantiam in ui ſu, nec aliquẽ efficit errorem. Videtur ergo imago quſi una. Et ſimiliter per modum, quo in 59 th. 8 huius oſtendimus, poſsibile eſt quòd diuerſorum uidentium uiſibus diſtantibus & diuerſis, unica quandoq in his ſpeculis, ſicut & in alijs, occurrat imago: cui propter identitatem illius ſitus hic non duxim us immorandum. Patet ergo propoſitum.

◉23. Lineæ rectæ æquidiſtantis axi ſpeculi columnaris cõcaui (centro uiſus exiſtente in eadem ſuperficie uel in alia) reflexio fit à linea longitudinis ſpeculis ad uiſum.

◉Eſto axis ſpeculi columnaris concaui linea, quæ z k: ſitq́ linea uiſa axi ſpeculi æquidiſtans t q h, ſitq́ centrum uiſus punctum e: dico quòd forma lineæ t q h reflectitur ad uiſum e à linea longitudidinis ſpeculi a b g, quæ eſt communis ſectio ſuperficiei t h z k, & ſuperficiei ſpeculi: & hoc quidem ſi centrum uiſus (quod eſt e) non ſuerit in ſu

perficie t h z k, demonſtrari poteſt omnimodè ſicut in 30 th. 7 huius. Si uerò centrum uiſus fuerit in eadem ſuperficie, demonſtrabitur idem propoſitum, ſicut in 51 th. 7 huius: reflecteturq́ forma puncti t à puncto ſpeculi g: & forma puncti q à puncto ſpeculi b: & forma puncti h à puncto ſpeculi a. Erit itaq angulus t g n æqualis angulo n g e: & angulus q b m æ qualis angulo m b e: & angulus h a r æ qualis angulo r a e. Patet etiam per 30 th. 7 huius quòd lineæ e k, h a, q b, t g concur runt in puncto o. Patet etiam ibidem quòd li nea a b g eſt linea recta extenſa in longitudin e ſpeculi: & quòd lineæ g z, b l & a d ſunt perpendiculares ſuper ſuperficiem, contingentem ſpecualum, quà cõtingit ipſum ſecundũ lineam a b g: & quòd linea a b g eſt perpendicularis ſuper ſuperficiẽ, in qua eſt triangulus e b o: & quòd linea t q eſt æ qualis lineæ q h: & linea a b æ qualis lineæ b g. Palàm itaq, cum in his & in illis ſpeculis hinc inde eadem ſit demonſtratio: quoniam forma lineæ t q h reflectitur a b his ſpeculis à linea longitudinis ipſorum. Patet ergo propoſitum: quoniam ſiue linea longitudinis, quæ eſt a b g, ſit in con uexo uel in concauo ipſius ſpeculi, quantùm ad hoc, nulla eſt diuerſit as in propoſito.

◉24. Imago lineæ æquidiſtantis axi ſpeculi columnaris concaui (centro uiſus exiſtente in eadem ſuperficie) uidebitur recta, æqualis & conformis rei uiſæ.

◉Sit enim diſpoſitio, quę in pręcedente: reflectaturq́ forma lineę t q h à ſuperficie ſpeculi ſecundũ lineã lõgitudinis, quę eſt a g: & ſit centrũ uiſus e in ipſa ſupficie t h z k. Dico quòd imago lineę t q h page 382 uidebitur recta, æqualis ipſi lineæ t q h. Quælibet enim perpendicularis ducta ab aliquo punctorũ lineęt q h erit ſemper in eadem ſuperficie cũ centro uiſus & axe: & probabuntur loca imaginũ pun ctorum lineę t q h ſituari ſecundum lineam rectam, ſicut in ſpeculis planis per 52 th. 5 huius oſtenſum eſt de lineis rectis uiſis. Vt ſi aliqua linea recta rei uiſę imaginetur in his ſpeculis collocari in lo co imaginis, & uiſus ſituetur proportionaliter ad illam, ſicut nunc ſituatus eſt ad lineam t h: erit locus imaginis illius lineæ linea t h, & apparebit recta & æ qualis rei uiſæ. Similiter quoq illud, quod eſt in linea rei uiſæ ſuperius, erit in imagine ſuperius: & quod in re uiſa eſt inferius, erit in imagine inferius. Erit itaq imago conformis rei uiſæ. Latitudo uerò talium uiſorum erit maior quàm latitu do ſuarum imaginum: quoniam imagines ſecundum latitudinem conſtringuntur propter puncta reflexionum, quæ anguſtantur, & puncta latitudinis diuerſantur: quoniam ſiniſtrũ rei ſit dextrum imaginis, & dextrum rei fit imaginis ſiniſtrum. Patet ergo propoſitum.

◉25. Lineæ rectæ æquidiſt antis axi ſpeculi columnaris concaui (centro uiſus non exiſtente in eadem ſuperficie) imago quando uidebitur recta maior re uiſa: quando concaua: quando conuexa: quando unica: quando plures. Alhazen 51 n 6.

◉Remaneat diſpoſitio præcedentis, niſi quòd centrum uiſus (quod eſt e) non ſit in ſuperfioie t h z k: dico quòd erit, ut proponitur. Repetita enim demonſtratione 51 th. 7 huius, patebit quòd in ſpe culis columnari bus cõuexis locus imaginis formæ puncti h lineę t q h eſt in puncto s: & locus imaginis formæ q eſt in puncto c: & locus imaginis formæ puncti t eſt in puncto i. Sic ergo in linea s c i ſunt imagines formarum omnium punctorum lineæ h q t: & patet quòd punctus c eſt propinquior centro uiſus quod eſt e, quàm linea recta s i: & quòd linea s i eſt in ſuperficie trigoni u h t: & quòd duæ lineæ u h & u t ſunt æquales: & quòd duæ lineæ u s & u i ſunt æquales: relin quitur ergo, ut duę lineæ t i & h s ſint æquales: eſt ergo proportio lineę t i ad lineam i u, ſicut lineæ h s ad lineã s u: ergo per 2 p 6 linea s i æquidiſtat lineæ t h. Patet etiam ex eodem 51 th. 7 quia duæ s e & e i ſunt æquales. Ducatur ergo linea q u, quę ſecet lineã s i in puncto æ: diuidet ergo ipſam per æqualia: nam linea t h diuiſa eſt in duo æqualia in puncto q: & erit linea c u in ſuperficie trigoni q u e: quæ eſt ſuperficies circuli b f æ quidiſtãs baſibus ſpeculi. Punctus itaq c erit in ſuperficie trigoni c u e: & fimi liter erit punctũ t in ſuperficie trigoni c e i: eſt ergo punctũ c in linea, quę eſt cõmunis ſectio illarum duarũ ſuperficierũ, ſcilicet trigonorũ q u e & c e i: ſed hæc cõmunis ſectio eſt linea e b per 19 th. 1 huius. Punctus ergo c cadit in rectitudinẽ lineæ e b: linea ergo q c ſecat lineã e b in rectitudine ipſius: & duæ lineę h u & t u ſunt ſub duobus punctis d & z: nam duæ lineę h u & t u ſunt duæ catheti inci dentię, ſcilicet duę lineę perpendiculares exeuntes à duobus terminis lineę t h ſuper duas lineas, cõtingentes duas portiones duarũ ſectionum columnariũ ſpeculi, in quarũ circũferentia ſunt duo puncta a & g, à quibus ſit reflexio punctorũt & h a d uiſum in punctũ e. Superficies ergo trianguliu h t eſt ſub axe ſpeculi, qui eſt z k. Sed nullũ punctũ ipſius axis, etſi ꝓtrahaturin infinitũ, erit unquã in ſuperficie trianguli u h t. Nam ſi hoc eſſet poſsibile: tunc ſi axis k z continuaretur cũ aliquo puncto lineæ h t ſecundũ lineam rectã: tunc illa ſuperficies, in qua eſſet illa linea recta, & linea u h t eſſet ſuperficies trianguli u h t: & illa ſuperficies eſſet illa, in qua ſunt duæ lineæ æ quidiſtantes, quę ſunt h t, & axis z k: & ſic ſuperficies, in qua ſunt duæ lineæ h t & k z, eſſet ſuperficies trianguli h u t: & ſic totus axis z k erit in ſuperficie trianguli h u t: ſed ex hypotheſi axis eſt æ quidiſtãs lineæ h t: & ſic dum iſtum modũ accideret quòd axis k z ſecaret duas lineas h u & t u. Sed & linea t h ſecundũ eius punctũ h eſt in ſuperficie trianguli u e h, quæ eſt ſuperficies reflexionis: & ſectio cõmmunis huic ſuperficiei & ſuperficiei colũnaris ſpeculi eſt ſectio oxygonia: ſuperficies ergo e u h ſecat axẽ colũnaris ſpeculi in uno puncto, ſcilicet in puncto d, ut to tũ præ oſtenſum eſt in cõmento 51 th. 7 huius. Si ergo axis k z

ſecet lineã h u: pũctus ſectionis cũ linea h u erit in ſuperficie trianguli u e h: ſed in hac ſuperficie non eſt punctũ, ք q axis tráſeat, niſi punctũ d: ſecabit ergo axis k z lineam h u in puncto d: ſed per 114 th. 1 huius, uel per 44 th. 7 huius oſtenſum eſt, quòd linea h u ſecat axem ſub puncto d: in duobus ergo punctis ſecabit linea h u axem k z: quod eſt impoſsibile. Axis ergo k z totus eſt extra ſuperficiem h u t: & propin quior uiſui exiſtenti in pũcto e, quàm ſuperficies h u t. Superficies ergo, in qua ſunt lineę h t, & axis k z, propinquior eſt centro uiſus puncto e  ſuperficies u h t: & punctũ c eſt in ſuperficie, in qua ſunt linea h t, & axis k z: quia punctus c eſt in linea q l: & q l ք 7 p 11 eſt in eadẽ 383 ſuperficic cum lineis æ quidiſtantibus, quas copulat, quæ ſunt h t & z k. Punctum ergo c eſt propin quius puncto e centro uiſus; quàm ſit linea s i: ſed punctum c cum ſit communis ſectio linearum e b & q l, ut in 51 th. 7 huius præ oſtendimus: palàm quòd eſt in rectitudine lineæ e b. Si ergo linea e b educatur ultra punctum b, inſa perueniet ad punctum c: ſupponatur itaq perueniſſe ad punctũ c. His itaq ſic præ miſsis, patet quòd ſi linea s i (quę oſtenſa eſt per 51 th. 7 huius in ſpeculis columna. ribus conuexis eſſe imago lineæ t h, & eſſe æ quidiſtans lineæ t h, & axi z k) ſit in aliquo corpore uiſibili, & uiſus fuerit in puncto o ex parte concauitatis ſpeculi columnarisitunc forma lineæ s i refle ctetur a d uiſum in puncto o à linea longitu dinis ſpeculi, quę eſt a b g: & diuerſabuntur imagines eius ſecundum diuerſitatẽ diſtantiæ ſuæ a b axe ſpeculi, qui eſt z k. Quia enim angulus e b m eſt acu tus: ergo per 15 p 1 angulus l b c eſt acutus: & linea e b c eſt in ſuperficie circuli b f: & linea l b eſt ſemidiameter illius circuli per 21 th. 7 huius: linea ergo e b c ſecat circulum, & eius pars, quæ eſt b c, eſt intra circulum & intra concauitatem ſpeculi. Et ſimiliter eſt de linea o b, quoniam ipſa cadit intra concauitatem ſpeculi: ideo quòd angulus o b l eſt acutus: & duo anguli o b l & c b l ſunt æqua les: quonia n ipſi per 15 p 1 ſunt æquales duobus angulis q b m & m b e æ qualibus: & ſemidiameter l b eſt per pendicularis ſuper ſperficiem contingentem columnam ſpeculi ſecundum lineam longitudinis ſpeculi, tranſeuntem per punctum b. forma itaq puncti c incidit ſpeculo per lineam c b: & à puncto ſpeculi b reflectitur per lineam b o, & comprehen ditur à uiſu exiſtente in puncto o. Item patet per 51 th. 7 huius, & ibi declaratum eſt, quòd ſuperficies contingens ſpeculum columnare in puncto g, eſt ſub puncto e centro uiſus: linea ergo e g ſecat illam ſuperficiem contingentem. Secat ergo in puncto g (qui eſt punctus reflexionis) lineam in eodem puncto g contingentem peripheriam ſectionis columnaris; quæ eſt communis ſectio ſuperficiei reflexi onis formę pun cti t lineæ t h, & ſpeculi columnaris conuexi. Et quia ſecat illam lineam contin gentem in puncto ipſius ſpeculi, quod eſt g: ſecat ergo ſectionem oxygoniam, & cadit intra ipſam: cadit ergo intra con cauitate in ſpeculi: & eſt linea g i: duæ ergo lineæ o g & g i cadunt intra concauitatem ſpeculi: & linea z g eſt perpendicularis ſuper ſuperficiem contingentem columnam ſpeculi per 96 th. 1 huius: quoniam ducitur ab axe perpendiculariter ſuper lineam longitudinis ſpeculi, tranſeuntem per punctum g: & duo anguli o g z & z g i ſunt æ quales per 15 p 1 ut prius. Forma ergo puncti i incidit ſuperficiei concauæ ipſius ſpeculi ſecundum lineam i g: & à puncto ſpeculi greflectitur ad uiſum exiſtentem in puncto o ſecundum lineam reflexionis, quæ eſt g o. Et eodem modo patet quòd formæ puncti sincidit ſpeculo ſecundum lineam s a, & reflexctitur à puncto ſpeculi a ad uiſum exiſtentem in puncto o ſecundũ lineã reflexionis, quę eſt a o. Et etiã patuit in cõmento 51 th. 7 huius quoniam duæ lineæ h u & tu ſunt perpendiculares ſuper duas lineas contingentes ſectiones oxygonias, tranſeuntes per duo puncta a & g. Imago ergo formæ puncti s eſt in linea h u per 36 th. 5 huius: ſed linea a o eſt linea reflexionis formæ punctis s: quoniam à puncto reflexionis, quod eſt a, producitur ad uiſum exiſtentem in puncto o. Imago itaq formę puncti s eſt in linea s o, per 37 th. 5 huius: punctum ergo h, quod eſt communis ſectio linearum h u & o a, eſt locus imaginis formæ puncti s. Similiter quoq patet quòd punctum t eſt locus imaginis formæ puncti i. Ducatur quoq linea c l à puncto c ad punctum, centrum circuli b: eritq́ linea c l producta ultra punctum c perpen. dicularis ſuper lineam contingentem circulum per 18 p 3: eſt ergo linea c l cathetus incidentiæ formæ puncti c per definitionem illius catheti. Quia ergo forma puncti c reflectitur a d uiſum in punctũ o à puncto ſpeculi b: erit imago formæ puncti c in linea q c l, quæ eſt cathetus ſuæ incidentiæ: ſed & in linea reflexionis, quæ eſt b o, neceſſe eſt eſſe eandem imaginem per 37 th. 5 huius. Im ago itaq formæ puncti c neceſſariò erit in puncto, quod eſt communis ſectio linearum l c q & o b: hoc autem poteſt eſſe in partibus diuerſis. Patuit enim per 11 th. 8 huius quòd imago formæ puncti, quę reflectitur à cõcauitate circuli ſpeculi, quandoq occurrit uiſui inter uiſum & ſpeculum: quandoq ultra ſpeculum: quand oq in centro uiſus: quandoq ultra uiſum: quandoq in ipſa ſuperficie ſpeculi: & (ut patet per 40 th. 8 huius) quãdoq apparet una imago: quandoq duæ: quandoq tres: quand oq quatuor. Imago ergo puncti c, cum formæ ipſius reflexio fiat à puncto peripheriæ circuli æquidiſtantis baſibus ſpeculi, erit ſorte in linea h q ultra ſpeculum: & ſortè erit ultra lineam b q: & fortè ultra lineam b o retro uiſum: & fortè erit in linea b o inter uiſum & ſpeculum: & fortè erit in puncto o, ſcilicet in ipſo centro uiſus: & fortè erit unica imago, forté duæ: fortè tres: fortè quatuor. Si itaq locus imaginis formæ puncti c, uel alicuius puncti formæ lineæ s i (utpote illius, ſecundum quem b c producta ultra punctum c ſecat lineam i s: quia & illud punctum reflectitur à puncto ſpeculi columnaris coricaui, quod eſt b, ad uiſum exiſtentem in puncto o per 20 th. 5 huius) ſuerit punctum q: tunc linea h q t erit diameter imaginis formæ lineæ i s. Si ergo omnes imagi nes omnium punctorum lineæ s i fuerint in linea h q t: tunc imago eius erit linea recta: nam mediũ eius punctum, quod eſt punctum q, eſt in rectitudine duarum ſuarum extremitatum, quæ ſunth & t. Quòd ſi locus imaginis formæ puncti c fuerit ultra punctum q: tunc imago lineæ rectæ, quæ eſt s i, erit concaua: eiusq́ concauitas reſpiciet uiſum. Et ſi imago formæ puncti c fuerit in linea b o: uel in puncto o centro uiſus: aut inter ſpeculum & uiſum: tunc uidebitur imago lineæ s i conuexa, cuius conuexitas reſpiciet uiſum. Et ſi fuerit imago formæ puncti c in linea b o retro uiſum: tunc iterum uidebitur imago concaua, in cuius concauitate ſituabitur centrum uiſus. Quòd ſi punctum c plures habuerit imagines: tunc linea s i plures habebit imagines: quarum omnium extremitates cõiungchtur in punctis h & t, & media ipſorũ erunt diſtincta & ſeparata: & page 384 linea h terit communis diameter omnium illiarum imaginum, quotcunq ſuerint imagines: & ſortè linea h t, quæ eſt diameter imaginis, erit maior quàm linea rei uiſæ, quæ s i, in modica quantitate. Patet ergo propoſitum.

◉26. Superſicie lineæ rect æ uel curuæ cureæ uiſæ ſuperficiem (in qua eſt axis ſpeculi columnaris conca ui) or thogonaliter ſecante, centro́ uiſus exiſtente in utra ſuperficie: à circumferentia circuli (qui eſt communis ſectio dictæ ſuperficiei & ſpeculi) fiet reſlexio:

Fig. 814

f b d g t e h e

imago́ lineæ uiſæ quando erit rect a: uel aliquando conuexa.

◉Eſto, ſicut in 52 th. 7 huius proponitur, linea t h in ſuperficie pla na orthogonaliter ſecarite ſuperficiem, in qua ſunt centrum uiſus e, & axis dati ſpeculi columnaris, qui ſit d f: ſitq́ centrũ uiſus (quod ſit e) in eadem ſuperficie lineæ t h. Facta quoq figuratione 52 th 7 huius, compleatur demonſtratio, ut in illa propoſitione: eritq́ ima go lineæ rectæ, quæ eſt t h, curua. Si itaq ſpeculum idem, quod ibi conuexum accipitur, aſſumatur concauum: & in locum imaginis collocata intelligatur linea curua, ſecundum cuius terminos extre mos ducatur etiam linea recta, quæ ſit in ſuperficie rei uiſæ: & centrum uiſus diſponatur proportionaliter circa illam lineam in eadem ſuperficie: tunc locus imaginis lineæ curuæ uel rectæ uiſæ erit linea t h recta. Patet ergo propoſitum: & fortè linea imaginis erit æqualis recta uel fortè conuexa: ſicut oſtenſum eſt in 57 th. 8 hu ius: & hic eodem modo eſt deducendum.

◉27. Superficie lineæ rect æ uiſæ, orthogonaliter axem ſpeculi co lumnaris concaui ſecante, centro uiſus nõ exiſtente in eadem ſuperficie, reflexione́ facta aduiſum æqualiter diſtantẽ ab extremis illius lineæ: eius imago uideditur cõcauitatis magnæuiſum reſpiciẽtis. Alhazen 52 n 6.

◉Fiat omnimoda diſpoſitio figuræ, quæ in 53 th. 7 huius: dico quòd uerum eſt, quod proponitur. Patet enim per ea, quæ in commento illius dicta ſunt, quòd puncta t & h (quia æ qualiter diſtant à centro uiſus, puncto ſcilicet e) reflectuntur ad uiſum à duobus punctis oxygoniarum ſectio num, cadentibus tamen in quodam circulo æ quidiſtante baſibus ſpeculi, qui circulus erit medius inter lineam h t, & inter ſuperficiem tranſeuntem centrum uiſus e, ſecantem ſpeculum æ quidiſtan ter baſibus ipſius ſpeculi. Sit ergo, ut forma puncti h reflectatur in punctum e à puncto ſpeculi b, qui eſt punctus peripheriæ cuiuſdam ſectionis oxygoniæ (quæ eſt communis ſuperficiei reflexionis & ſuperficiei ſpeculi) cadens in circulo b g: lineæ ergo h b & b e continẽt angulos æquales cum linea contingente illum circulũ in puncto b. Et ſimiliter forma punctit reflectitur ad uiſum e à pun cto ſpeculi g: & lineæ t g & g e continent angulos æ quales cum linea contingente circulum ſpeeuli in puncto g. Lineæ quoq h b & t g concurrunt in puncto l: & linea h b continet cum linea perpendiculari, quæ eſt b o, angulum acutum: linea ergo h b ſecat ſuperficiem contingentem ſuperficiem columnæ in linea longitudinis, in qua eſt punctum b: linea itaq b l cadit intra concauitatem columnæ: & ſimiliter linea g l. Similiter quoq duæ lineæ l f & g y cadũt intra concauitatẽ colũuę: & per 15 p 1 duo anguli l b d & b b r ſunt æ quales: cum ipſorũ contrapoſiti, qui ſunt e b o & o b h ſint æ qua les per 20 th. 5 huius. Similiter quoq duo anguli l g d & d g y ſunt æquales. Si itaq linea r y (quæ in ſpeculo columnari conuexo eſt imago lineę t h) ſuerit nuncin aliquo uiſibili oppoſita ſpeculo columnari concauo, & centrum uiſus fuerit in puncto l: tunc form a puncti r incider in ſpeculo ſecundum lineam r b, & reflectetur ad uiſum in punctum l à puncto ſpeculi b: & linea h u eſt perpendicularis ſuper lineam contingentem ſectionem, in cuius peripheria eſt punctum b, à quo ſit reflexio: imago ergo formæ puncti r erit in cathero r h per 36 th. 5 huius: ſed & eadem imago neceſſario eſt in linea reflexionis, quæ eſt b l. Erit ergo in communi illarum ſectione in puncto h. eft ergo punctum h imago punctir, ut hæc omnia patent per 37 th. 5 huius. Similiter quoq declarabitur, quòd forma puncti y incidet ſpeculo per lineam y g: & reflectetur per lineam g l à puncto ſpeculi g: & eius imago uidebitur in puncto t. Et ducatur linea q u: hæc ergo ſecabit lineam r y: quoniam punctũ ueſt ultra lineamillam r y, quæ eſt inter duo puncta q & u: puncta quoq h, q, t, u ſunt omnia in ſuperficie circuli b g, ut patet ex præ miſsis: ſecet ergo linea q u lineam r y in punctom: punctum itaq m erit in ſuperficie tranſeunte per axem ſpeculi, & per centrum uiſus punctum l. Nam, ut in commento præaſſumptæ 53 propoſitionis 7 huius patuit, punctal & q ſuntin illa ſuperficie: nam, ut ibi acceptum eſt, patet quòd in illa ſuperficie, in qua erat centrum uiſus e, & axis ſpeculi, in eadem erat linea e l d: ſed & illa ſuperficies ſecabat lineam h t in puncto q, & in linea e d cadebat punctum u: ergo per 1 p 11 linea q u eſt in illa ſuperficie: ergo & punctum m. Et quia duo puncta m & l ſunt in ſuperficie tranſeunte per axem columnæ: ideo forma puncti m poteſt reflecti ad uiſum in punctum l in illa ſuperficie, & linea a z eſt communis ſectio ſuperficiei columnæ ſpeculi & ſuperficiei tranſeunti per ſuum axem; & per punctum l, quod eſt centrum diſus. forma ergo puncti m reflectetur ad uiſum in punctum l (quod eſt centrum uiſus) ab aliquo puncoto ſpeculi lineæ a z. Et ducatur page 385 linea e m, quæ erit in illa ſuperficie: & linea e l etiam erit in illa ſuperficie: & punctum e, ut ſuperà patuit, eſt elongatum à ſuperficie contingente columnam ſpeculi in linea a z, ut patet per 53 th. 7 huius, Si ergo linea a z ducatur in continuum & dire

ctum ultra punctum z, concurret cum duabus lineis e m & e l, quę ſunt in una ſuperficie cum linea a z: concurrat ergo cum linea e m in puncto i, & cum linea e l in puncto n. Punctum itaque n cadet inter duo puncta e & l: quia punctum l eſt intra cõ cauitatem columnę, & pũctum n eſt extra, in ipſius conuexitate in ſuperficie columnæ: quoniam eſt in linea longitudinis columnæ, quæ eſt a z: pun ctum uerò e, quod in ſpeculis columnaribus conuexis ſuppoſitum fuit eſſe centrum uiſus, eſt elongatum à ſuperficie columnaris ſpeculi. Patuit quo que in demonſtratione 53 th. 7 huius quòd circulus b g eſt medius inter lineam h t, & inter ſuperfi ciem exeuntem à puncto e ęquidiſtantem baſibus columnæ ſpeculi: & linea perpendicularis exiens â puncto e ſuper lineam a z, eſt in ſuperficie tranſeunte punctum e, & ſecante ſpeculum ęquidiſtan ter baſibus columnæ: ergo linea perpendicularis exiens à puncto e ſuper lineam a z n cadit extra triangulum e i n, & uerſus partem puncti n: quoniam linea e n l d u eſt communis ſectio ſuperficierum reflexionis, ſecundum quas reflect untur formæ punctorum h & t: quæ cum ſint oxyg oniæ ſectiones, patet per 103 th. 1 huius quoniam i p ſæ ſunt obliquè ſecantes axem ſpeculi: ergo & ipſarũ communis ſectio obliquè incidit illi axi ſpeculi: ergo per 32 p 1 angulus e in eſt acutus: ergo per 15 p 1 angulus m i a eſt acutus: & angulus m in erit obtuſus per 13 p 1. Educatur ergo per 12 p 1 à puncto m linea perpendicularis ſuper lineam ai: quæ ſit m k, ſecans lineam a i in puncto k: punctum ergo k erit inter puncta i & a. Quoniã ſi caderet inter pũcta i & n, fieret unius trigoni unus angulus rectus & alter obtuſus, qui eſt m i n: q  eſt impoſsibile: cadet ergo punctũ k inter pũcta i & a. Producatur itaq linea m k ultra punctũ k ad punctũ s, donec linea k s fiat æ qualis lineæ m k: erit ergo punctus s extra ſuperficiem ſpecul, & ultra concauitatem eius: & punctus l, in quo eſt centrum uiſus, erit intra ipſius ſpeculi concauitatem. ducatur itaque linea s l, quæ ſecabit lineam n k. Quoniam cum linea n k ſit pars lineæ longitudinis ſpeculi: patet quòd ipſa eſt cadens inter puncta s & l: ſecet ergo ipſam in puncto f: & à puncto f ducatur per 31 p 1 linea ęquidiſtans lineę k m, quæ producta ad axem ſpeculi ſecet ipſum in puncto x: ſitq́ linea f x. Erit ergo per 29 p 1 linea f x perpendicularis ſuper lineam longitudinis ſpeculi, quæ eſt a n: quoniam linea m k æ quidiſtans lineæ f x, eſt perpendicularis ſuper ipſam a n: eritq́ue linea f x in ſuperficie tranſeunte per axem ſpeculi, & per punctum l. Eſt ergo linea f x ſemidiameter circuli tranſeuntis per punctum f æ quidiſtanter baſibus columnę per 21 th. 7 huius: linea ergo f x eſt perpendicularis ſuper ſuperficiem contingentem columnam ſpeculi ſecundum lineam longitudinis, quæ eſt a z. Ducatur itaq linea m f. Quia ergo duorum trigonorum m k f & f k s duo latera m k & k s ſunt æ qualia ex hypotheſi, & latus k f commune ambobus illis trigonis, anguliq́ue ad punctum k ſunt recti: ergo per 4 p 1 latus m f eſt æ quale lateri f s: ergo per 5 p 1 angulus f m s æqualis erit angulo f s m: linea uerò f x æquidiſtat lineæ s m: ergo per 29 p 1 angulus x f l extrinſecus æ qualis eſt angulo f s m intrin ſeco, &anguli x f m & f m s ſunt æ quales, quia coalterni: angulus ergo x f m eſt æ qualis angulo x f l. Forma ergo puncti m incidens ſpeculo ſecundum lineam m f, ſecun dum lineam reflexionis, quæ eſt f l, reflectitur ad uiſum exiſtẽtem in puncto l à pũcto ſpeculi f, per 20 th. 5 huius: & linea x f eſt perpendicularis ſuper ſuperficiem contingentem ſpeculum in puncto f. Et quoniam linea m k eſt perpẽdicularis ſuper ſuperficiem ſpeculi: quia eſt perpendicularis ſuper lineam longitudinis, quæ eſt a z: patet quòd linea m k eſt cathetus incidentiæ formæ puncti m: in ipſa ergo erit locus imaginis formę puncti m per 36 th. 5 huius: ſed & idem locus eſt in linea reflexionis, quæ eſt l f. In illarum ergo linearum communi ſectione, quæ eſt punctus s, eſt locus imaginis formæ puncti m per 37 th. 5 huius. Et quia duæ lineę r y & h t ſunt æquidiſtantes & perpendiculares ſuper ſuperficiem tranſeuntem per axem ſpeculi & per centrum uiſus, quod eſt nunc punctũ l: quoniam linea h t taliter fuit diſpoſita in 53 th. 7 huius: duę igitur ſuperficies uniformiter exeuntes à duabus lineis h t & r y erunt æ quidiſtantes & perpendiculares ſuper ſuperficiem tranſeuntem per axem per 18 p 11. Et quia linea r y eſt perpendicularis ſuper ſuperficiem tranſeuntẽ per axem & per punctum l: ideo per 18 p 11 ſuperficies duarum linearum, quæ ſuntr my & m s, erit perpendicularis ſuper ſuperficiem tranſeuntem per axem, & per punctum l: & erit per 19 th. 1 huius linea m s communis ſectio illarum duarum ſuperficierum. Et quia linea a k, cum ſit pars lineę longi tudinis ſpeculi, quæ eſt a z, eſt in ſuperficie tranſeunte per axem: quia omnis ſuperficies ſecans co page 386 lumnam ſecundum lineam longitudinis per ęqualia, trãfit per axem illius columnę, ut patet per 93 th. 1 huius. Sed & linea a k eſt perpendicularis ſuper lineam m s, quæ eſt communis ſectio inter ſuքfi ciem tranſeuntem per axem, & inter ſuperficiem duarum linearum, quæ ſuntrm & m s: ergo linea a k n eſt erecta ſuper ſuperficiem r m s: & linea a n eſt æquidiſtans axi ſpeculi:ergo per 8 p 11 erit axis ſpeculi perpendicularis ſuper ſuperficiem, in qua ſunt duæ lineæ r m & m s. Illa ergo ſuperficies eſt perpendicularis ſuper axem columnæ. Punctum itaque s eſt in ſuperficie exeunte ex linea r y perpendiculariter ſuper axem columnæ ſpeculi:ſed linea h t eſt in ſuperficie perpendiculari ſuper axẽ ſpeculi, æquidiſtanti ſuperficiei exeunti exlinea r y: punctum ergo s eſt extra lineam h t, & propin quius puncto l centro uiſus, quàm ſint duo puncta h & t: & duo puncta h & t ſunt imagines formarum duorum punctorum r & y: & punctum s eſt imago formæ punctim. Palàm ergo quia imago for mæ lineę r m y eſt linea tranſiens per puncta h, s, t: ſed talis linea eſt arcualis: quia punctum s eſt extra rectitudinem lineę h t. Tranſeat itaque per puncta h, s, tlinea arcualis, quæ ſit h s t. Et quia linea h t ſecundum hypotheſim 53 th. 7 huius fuit elongata à conuexo columnæ: erit linea h t ultra ſuperficiem ſpeculi, reſpectu punctil, quod eſt nunc centrum uiſus. Etiam ſuprà oſtenſum eſt quòd punctum s eſt extra concauitatem ſpeculi, reſpectu punctil, & punctum l eſt intra concauitatem ſpeculi: punctum ergo l, quod eſt centrum uiſus, eſt extra ſuperficiem, in qua eſt linea h s t: arcualitas ergo lineæ h s tapparebit uiſui manifeſtè. Et quia punctum f eſt in ſuperficie columnæ ſpeculi extra ſuperficiem circuli b g, & linea t h eſt ultra ſpeculum in ſuperficie circuli b g: quoniam eſt in ſuperficie trigonil h t: erit linea l f s altior quàm ſuperficies trigoni l h t: linea ergo l s erit altior duabus lineis l h & l t, reſpectu uiſus l: punctum ergo s eſt altius quàm duo puncta h & t. Linea ergo h s t apparebit uiſui exiſtenti in puncto l concaua, concauitate uiſum reſpiciente. Quod eſt propoſitum.

◉28. Superficie incidentiæ lineærectæuiſæ, obliquè ſecantis axem ſpeculi columnaris concaui, centro uiſus exiſtente in eadem ſuperficie: imago uidetur concaua reſpectu uiſus & conuerſa ſecundum ſitum. Alhazen 53 n 6.

◉Eſto ſpeculum columnare concauum, quod ſecetur per ſuperficiem obliquã ſuper axem: erit ergo communis ſectio illius ſuperficiei & ſuperficiei ſpeculi ſectio oxygonia per 103 th. 1 huius: ſit illa fectio a b g: ſed in 11 huius oſtenſum eſt, quòd quandoque in ſuperficie oxygonię ſectionis à puncto reflexionis erit linea perpendicularis ſuper ſuperficiem contingentem ſpeculum columnare, ex cu ius duobus terminis ſcilicet ex duabus communibus ſectionibus ſui & ſuperficiei ipſius ſpeculi fit reflexio formarum ad uiſum. Sit ergo in ſectione a b g huiuſmodi perpendicularis, quæ ſit g a: & ſit linea b e k perpendicularis ſuper lineam contingentem peripheriam ſectionis in puncto b: & ſit pũctum b prope punctum g, ita quòd linea ducta à puncto b cum linea perpendiculari ducta ſuper ſuperficiem ſpeculi à puncto reflexionis (qui ſit g) contineat ſuper axem ſpeculiangulum acutum. Pa tet ergo per 44th. 7 huius quoniam linea b e k ſecabit lineam perpendicularem, quæ eſt g a, ſub axe ſpeculi, & continebit cum ipſa angulum acutum: fiat ergo illarum linearum ſectio in puncto e. Angulus ergo b e g erit acutus per 32 p 1, ut patet: cadatq́ punctum k in peripheriam ſectionis: & à pun cto g ducatur per 31 p 1 linea æquidiſtans line ę b k: quę ſit linea g d: erit ergo angulus d g e per 29 p 1 æqualis angulo b e g: ergo uterque eſt acutus: linea ergo g d erit intra concauitatem ſpeculi: quoniã linea à puncto g termino perpendicularis, quæ eſt a g, extra ſectionem ducta continget ſectionem, & continebit angulum rectum cum linea a g: aut non continget, & continebit angulum obtuſum

Fiatitaque per 23 p 1 ſuper punctum g terminum lineæ e g angulus ęqualis angulo e g d: quiſit e g l linea ergo g l concurret cum linea b e k per 14 th. 1 huius: ideo quòd anguli g e l & lge ambo ſunt acuti: ſit concurſus in puncto l: qui ſit punctus lineæ b k: & in linea le, ut contigerit, ſignetur punctũ m: & ducatur linea a m: erit ergo angulus m a g acutus ք 32 p 1: ideo, ut prius oſtendimus, quia angulus m e g, qui eſt maior angulo m a g, cum ſit ei extrinſecus, eſt acutus, ut patet ex pręmiſ ſis: linea ergo m a cadit intra ſectionẽ. Fiat quoque ſuper pũctum a terminũ lineæ a g angulus æqualis angulo g a m, qui ſit angulus g a d: linea enim a d concurret cum linea g d per 14th. 1 huius: ideo quia anguli d g a & d a g ſunt acuti: ſit ergo concurſus in puncto d. Linea itaque a d ſecabit lineam b k, concurrens cum ipſa per 2th. 1 huius: quoniam concurrit cum eius ęquidiſtante, quæ eſt d g: ſecet ergo ipſam b k in puncto t. Cum itaq linealk fuerit in aliquo corpore uiſibili, & centrum uiſus fuerit in puncto d:tunc forma puncti l uidebitur in puncto ſpeculi g, quod eſt punctum reflexionis: & hoc accidit per 10 huius: ideo quia forma punctil reflecti tur ad uiſum exiſtentem in puncto d à puncto ſpeculig, & linea k l b, quæ eſt cathetus incidentię for mæ punctil, æquidiſtat lineæ g d, quæ eſt linea reflexionis. Nunquam ergo concurrent: & ſic locus imaginis formæ punctil erit in puncto reflexionis, quod eſt g. Similiter quoque forma puncti m reflectitur ad uiſum exiſtentem in puncto d à puncto ſpeculi, quod eſt a: & cathetus incidentiæ, quæ eſt linea b m k, ſecat lineam reflexionis, quæ eſt a d, in puncto t: ergo punctũ t eſt locus imaginis for page 387 mæ punctim per 37 th. 5 huius. Tranſeatitaque per punctum d, quod eſt centrum uiſus, ſuperficies plana æ quidiſtans baſibus columnæ: hæc ergo ſuperficies ſecabit columnam ſpeculi ſecundum cir culum per 100 th. 1 huius: qui circulus ſit p o r. Et quoniam centrum uiſus deſt in ſuperficie ſectionis a b g: palàm quòd ille circulus p o r ſecabit ſectionẽ oxygoniam a b g in duobus punctis per 104 th.1 huius: ſuperficies ergo illius circuli ſecabit lineam b k: quoniam ſecat lineam g d æquidiſtantẽ lineę b k: ducitur enim per punctum d:ſit ergo, ut ſecet lineam b k in puncto k: ſitq́ centrum circuli p o r punctum h: & ducatur linea k h, quæ ducta per circulum ſecet ipſius peripheriam in puncto p: & ducatur linea d h: quæ producta ad peripheriam circuli incidat ipſi in punctor. Forma ergo pun cti k reflectitur ad uiſum exiſtentem in puncto d ab aliquo puncto arcusr p, ut patet per 27 th. 8 huius, ubi hoc oſtenſum eſt de reflexione formæ uiſibilis ad uiſum ſecundum talem ſitum ab aliquo puncto peripheriæ circuli. Sit ergo ut fiat illa reflexio àpuncto ſpeculi ſcilicetarcus p r, quod ſit pũ ctum o: & ducantur lineę k o, d o, h o: ergo angulus k o h eſt æqualis angulo h o d per 20 th. 5 huius. Et quoniam linea reflexionis, quę eſt d o, ſecat ſemidiametrum h p: ideo quia linea d h r tranſit per centrum circuli, citra quam reſpectu puncti o ducitur linea d o: hęc ergo ſecat ſemidiametrum h p: ſit, ut ſecetipſam in puncto n. Eſt aũt linea k h p cathetus incidentię formę puncti k: ergo per 37 th. 5 huius punctum n eſt locus imaginis formæ puncti k. Ducatur itaq linea k d: quæ per 19 th. 1 huius erit cõmunis ſectio ſuperficiei circuli p o r & ſectiõis a b g, uel pars illius cõmunis ſectionis: nã duo puncta k & d ſunt in utraq illarũ ſuperficierũ, & nihil deſuքficie ſectionis oxygoniæ (quę eſt a b g) eſt in ſuperficie circuli r p, niſi linea k d, uellinea, cuius pars eſt linea k d: punctũ ergo g eſt extra circulũ & ſimiliter pũctũ b: & ſunt in ſuperficie ſectionis: & punctũn eſt in ſuperficie circuli r o: & forma imaginis lineę l m k tranſit per puncta g, t, n: linea uerò pertranſiens hęc puncta eſt arcualis: quia ſuperſicies ſectionis eſt decliuis ſuper ſuperficiem columnę per 103 th. 1 huius: lõgior ergo diameter ipſius ſectionis non tranſit per totum axem colũnæ, neq eſt ſuperficies ſectionis æ quidiſtans baſi columnæ: linea ergo t n g, quæ eſt imago lineæ rectę k m l, cuius ſuperficies ſecat axem ſpeculi obli què, eſt curua maximæ curuitatis: & eius concauitas reſp cit uiſum exiſtẽtem in puncto d. Et quia punctum t eſt imago formæ punctim: & punctum n imago formę puncti k: & punctum g eſt imago formę punctil: patet quòd imago lineæ l m k eſt cõuerſa, ita quòd ſuperior punctus imaginis, reſpectu uiſus, quieſt g, correſpondet infimo puncto lineæuiſę, quieſt l, & infimus punctus imaginis, qui eſt n, correſpondet ſupremo puncto lineæ uiſæ, qui eſt k. Sic ergo ſitus partium imaginis non eſt cõ formis ſitui partium rei uiſæ, ſed conuerſus & difformis. Patet ergo propoſitum. Patet itaq exhac propoſitione & duabus præmiſsis, quòd lineę rectę ęquidiſtátes axi ſpeculi columnaris concaui, & ęquidiſtantes baſi eius, & etiá illæ, quę. ſunt obliquę ſuper ſuperficiem eius, quandoq uidebũtur ar cuales: quandoq rectę: quandoq cõuerſę. Forma ergo eorũ, quę cõprehenduntur in ſpeculis colũnarib, concauis, quandoq erit directa, cõformis in ſuo ſitu ſitui partiũ rei uiſæ: & quandoq erit difformis, cõuerſum habẽs ſitũ ſuarum partiũ, reſpectu uiſus partiũ rei uiſæ, & in reſpectu ad uiſum.

◉29. Imago lineæ rectæ exicttentis in ſuperficie ſpeculum columnare concauumtrans axem orthogonaliter ſecante, centro́ uiſus exiſtente in eadem ſuperficie, uidebitur recta: quan do maior: quando æqualis: quando minor reuiſa: ſed ſemper conuerſum habens ſitum: & quando una: quando plures imagines uiſui occurrent. Alhazen 54 n 6.

◉Sit ſecundum diſpoſitionem 48th. 8 huius circulus a b z in ſu perficie ſpeculi columnaris concaui æquidiſtans baſibus ſpeculi:cuius centrum e: & ſit centrum uiſus in puncto d: erit ergo linea d g, ut in prædicta 48 præmiſſum eſt, perpendiculariter erecta ſuper ſuperficiem circuli: & ſint duæ lineę e a & e b perpendi culares ſuper ſuperficies cõtingentes ſuperficiem columnę ſpe culi: & erit ſuքficies trianguli d e g քpendiculariter erecta ſuper ſuperficiẽ circuli a b z per 18 p 11: quia linea g d eſt perpendicularis ſuper ſuperficiem circuli: hoc eſt ſuper eam ſuperficiem, cuius ſectio efficit circulum a b z. Superficies ergo trigoni d e g, ut patet per 19 p 11 & per 92 th. 1 huius, tranſit per totum axem ſpeculi, & per centrum uiſus, quod eſt punctum d: & neutra ſuperficies earum, quæſunt d b o & d a o, quæ ſecant ſe in linea d o, ut patet per 19 th. 1 huius, tranſit per totum axẽ: & in neutra illarũ ſuperficierum eſt aliquid de axe, niſipunctum e, quod eſt centrum circuli a b z. Vtraque ergo ſuperficies, quęſunt d b o & d a o, ſecat ſuperficiem columnarem ſpeculi ſecũdum oxygoniam ſectionem: & fit reflexio formarum ad uiſum à duobus punctis illarum ſectionũ quæ ſunt a & b, ut patet per præmiſſa in 48 th. 8 huius. Forma ergo puncti r reflectur ad uiſum exiſtentem in puncto d à puncto ſpeculi, quod eft b: & forma puncti m reflectetur ad uiſum in punctum d à puncto ſpeculi, quod eſt a. Et quoniam 388 cathetus incidentiæ formæ puncti r eſt linear e n, ſecans lineam b d, quæ eſt linea reflexionis, in pũ cto n: & cathetus incidentiæ formę puncti m eſt linea m e u, ſecans lineam reflexionis, quæ eſt a d in puncto u: patet quòd puncta n & u ſunt loca imaginum formarum pũctorum r & m: & erit linea n u diameter imaginis formæ lineę m r: & eſt minor quá linea m r, ut patuit in 49 th. 8 huius. Et ſimiliter formę duorum punctorum h & l reflectentur ad uiſum in punctum d à duobus punctis ſpeculi, quæ ſunt a & b: & erit per modum prius dictum, linea t k diameter imaginis formę lineę l h: & ſecundum. pręmiſſa in 48th. 8 huius erit diameter imaginis t k æqualis diametro rei uiſæ, quę eſt linea l h. Simi liter quoque linea p i erit diameter imaginis formę lineę f q: & eſt maior quã diameter rei uiſæ, quæ eſt linea f q: & omnes iſtæ imaginies erunt cóuerſę, ut oſtẽſum eſt in 50 th. 8 huius. Siuerò centrũ uiſus fuerit in puncto o, & formæ linearum, quæ ſunt p i, t k & n u, reflectantur ad uiſum in puncto o à punctis ſpeculi, quæ ſunt a & b: tunc erit ecõuerſo. Erit enim diameter imaginis lineę p i, quę eſt linea f q, minor diametro t k rei uiſæ & erit linea l h diameter imaginis lineę t k, & ęqualis ei: & erit linea m r diameter imaginis lineæ n u, & maior quáilla: omnesq́ imagines linearum iſtarum rectarũ erunt rectæ ſed conuerſę ſecundum ſitum & ordinem partiũ, quem habent ipſæres. Nam dextrũ rei fit ſiniſtrum imaginis, & ſiniſtrum reifit dextrum imaginis: & fimiliter eſt de partib. quę ſunt ſur ſum & deorſum. Item cũ utraq extremitatum harum linearum unicã habuerit imaginẽ, & aliquod aliud punctũ in medio plures habuerit imagines: tunc forma illius lineę tot habebit imagines, quot punctum medium ipſius: & omnes iſtę imagines copulabuntur ad puncta extrema illius imaginis: & erit illa linea unica diameter omnium illarum imaginum. Et ſi utraq extremitas illius lineę uel altera ipſarum plures habuerit imagines, punctum uerò medium habuerit tantùm unam: iterũ tota illa linea tot habebit imagines, quot eius puncta extrema ambo, uel ſaltem alterũ ſuum punctũ extremum. Et ſiutraq extremitas uel altera plures habuerit imaginies, & ſimiliter punctum medium multas habuerit imaginies: tunc tota linea habebit imagines ſecundum numerum maiorem: & hoc patebit, ſicut patuit ſuprà de imaginibus ſpeculorum ſphæricorum concauorum. In ſpeculis enim columnaribus concauis accidit fallacia in omnibus, quæ in eis comprehenduntur, ſicut accidit in ſpeculis ſphæricis concauis: ſcilicet de formis ſpecierum uiſibilium: & de quantitatib, & de numero ſuarum imaginum: & de conformitate ipſarum ad res, quarum ipſę ſunt imagines: & de difformitate ſitus ipſarum ſecundum cõuerſionem formarum partialium, cum omnib. fallacijs, quę appropriã tur conuerſioni: & omnes fallaciæ ſunt in his, ut in ſpeculis prędictis ſphęricis concauis. Patet ergo illud, quod proponebatur.

◉30. Line æ rectæuiſæ, non æquidiſtantis axi ſpeculi columnaris concaui, cuius ſuperſicies incidentiæ ſecat axem obliquè, centro uiſus non exiſtente in eadem ſuperficie, uidetur imago curua, diuerſæ curuitatis ſecundum diuer ſitatem ſui ſitus: & conuerſa.

◉Fiat in iſto propoſito theoremate diſpoſitio totalis, quæ in 28 huius: apparebitq́ totum, quodibi proponitur in his ſpeculis columnaribus concauis. Poſito itaq, ut aliqua linea recta non ęquidiſtet axi ſpeculi columnaris concaui, cuius ſuperficies incidentiæ obliquè ſecat illum axem, ſicentrũ uiſus fuerit in illa ſuperficie: tũc patet per 28 huius quòd imago illius lineę uidetur curua, reſpectu ui ſus, & conuerſa ſecundum ſitum ipſius rei uiſæ. Quòd ſi centrum uiſus fuerit extra illam ſuperficiẽ in linea erecta ſuper illam ſuperficiem à puncto d, in quo eſt illic centrum uiſus: tunc ſi à pũctis a, g, o(à quibus fit ibi reflexio) erigãtur lineæ longitudinis ſpeculiper 101th. 1 huius, & inueniantur pũ cta reflexionum formarũ punctorũ m, b, k: patebit ſecundũ modũ plurium præmiſſarum, quòd formę punctorum k, m, b reflectentur ad uiſum ſecundum diſpoſitionẽ ſuo ſitui diuerſam: & ſecundũ hoc diſponetur curuitas imaginũ & conuerſio figuræ. Quòd ſi centrum uiſus nõ fuerit in linea perpendiculariter erecta ſuper illã ſuperficiẽ à pũcto d: tũc à centro uiſus ducatur perpendicularis ſuper illam ſuperficiem per 11 p 11, & inuentis punctis reflexionum formarum punctorum b, m, k: pate bit propoſitum ut prius. Ethoc proponebatur.

◉31. Forma alicuius line æ curuæ incidẽtis uertici ſpeculi pyramidalis cõcaui obliquè ſuper axẽ, reflectitur ad centrũ uiſus inter illãlineã & ſuperficiẽ ſpeculi conſtitutũ, à linea logitudinis ſpeculi: imago́ ipſius uidetur recta: & ſi illa linea incidẽs fuerit rect a: eius imago uidebitur curua, modicæ curuitatis, cuius conuexitas uel concauitas eſt ad uiſum. Alhazen 55 n 6.

◉Fiat diſpoſitio omnimoda, quę in 55 th. 7 huius: inuenieturq́ in ſpeculis pyramidalib. conuexis li neęrectę, quę eſt a n, propoſito modo illud ſpeculum reſpicientis, imago curua intra concauitatem ſpeculi, quę eſt a p y. Punctum quoq, quod eſt ſub ſuperficie ſpeculum cótingente ſecundum lineá lógitudinis ſpeculi, quę eſt a e, à qua fit reflexio formę lineę rectę uiſę, quę eſt a n, ad uiſum exiſtentẽ in puncto r, erat illic punctum f: in quo puncto f ſi fuerit centrum uiſus, erunt omnia pũcta, quęſunt in illa curua imagine, uel quę ſunt in linea recta, ſcilicet in diametro imaginis, reflexa ad punctũ f: & imago lineę curuæ, quæ a p y, erit linea recta, quæ eſt a n:uel imagines duarum extremitatum lineę a p y erunt in linea a n, & in extremitatibus illius: & loca imaginis punctip, quod eſt in medio lineę a y, diuerſabuntur. Et hoc poteſt eodem modo declarari, ſicut ſibi ſimile declaratum eſt in 55 th. 7 huius. Quoniam enim, ut ibi declaratum eſt, angulus z r f eſt ęqualis angulo z f r per 29 p 1: fed per eandem 29 p 1 angulus h z f eſt ęqualis angulo z f r: eſt ergo angulus p z h æqualis angulo h z f. Palàm ergo page 389 per 20 th. 5 huius quoniam fiet reflexio formę puncti p ad uiſum exiſtentem in puncto f à pũcto ſpe culi pyramidalis concaui, quod eſt z. Et quoniam linea h p o eſt cathetus incidentiæ formæ puncti

p: & linea f z o eſt linea ſuę reflexio nis ad uiſum exiſtẽtem in puncto f: patet per 37 th. 5 huius quoniam punctum o eſt locus imaginis formæ puncti p. Similiter quoq angulus y e d eſt ęqualis angulo k e r per 15 p 1, qui per 29 p 1 eſt ęqualis angulo er ſ: & per eandem 29 p 1 angulus d e f eſt æqualis angulo e fr: ſed, ut in commento 55th. 7 hu ius oftenſum eſt, angulus e f r eſt æqualis angulo e r f: eſtigitur angulus y e d æqualis angulo d e f: ergo per 20 th. 5 huius forma pun cti y reflectitur ad uiſum exiſtentẽ in puncto f à puncto ſpeculi concaui, quod eſt e. Et quoniam linea y n eſt cathetus incidentię formæ puncti y: & linea f e n eſt linea ſuę reflexionis: patet per 37 th. 5 huius quòd locus imaginis formę puncti y eſt pũctũ n: & pũctũ a, ſicut reflectitur à uertice ſpeculi, ſic locus imaginis ſuę eſt ibidem per ea, quæ dicta ſunt in 11 & 12 th. 8 hu ius, & in 10 huius. Erit ergo imago totius lineæ a p y curuæ linea a o n recta: quoniá de alijs punctis eſt eodem modo demonſtrandum. Quòd ſi aliquod uiſibile ſtatuatur in loco lineæ rectæ a y, quę eſt diameter illius curuæ imaginis lineę a p y: tunc duæ extremitates lineę a y (quæ ſunt a & y) habebunt, ut prius, loca ſuarum imaginum in punctis a & n. Loca uerò imaginis puncti medij correſpon dentis puncto p, qui cadit in producta linea z p, & aliorum punctorum mediorum diuerſabuntur: & ſecundum diuerſitatem concurſus cathetorum in cidentiæ formarum illorum punctorum cum lineis ſuarum reflexionum, ſecundum quas à punctis lineę longitudinis, quę eſt a z e, ſpeculi propo ſiti concaui reflectuntur ad uiſum exiſtentem in puncto f, uel ultra lineam a o n uel citra illam loca imaginum illorum punctorum diuerſabuntur, quandoque ad concauitatem: quandoq ad conuexi tatem, reſpicientem centrum uiſus. Erit tamen illa curuitas modica: quoniam prędictorum locorũ imaginum (reſpectu lineæ a o n) modicus eſt exceſſus. Palàm itaque ex pręmiſsis quòd ſi linea recta, quæ eſt diameter imaginis curuæ, quæ eſt a p y, fuerit in aliquo uiſibili, & centrum uiſus fuerit in puncto f: tunc imago lineę rectę pręmiſſo modo diſpoſitę fortè uidebitur cõuexa, & fortè uidebi tur concaua. Quod eſt propoſitum.

◉32. Lineæ rectæ uiſæ ſuperficie incidentiæ axẽ ſpeculi pyramidalis concaui orthogonaliter ſecã

Fig. 819

u r h d b o y m x l n f i g t q k z e c s a

te, centro́ uiſus non exiſtente in eadem ſuperficie, imago uidebitur concaua, mir abilis concaui tatis, uiſum reſpicientis.

◉Sit, ut in 27 huius libri, centrum uiſus punctum l: & linea uiſa r m y: cuius extrema puncta, quæ ſunt r & y, æ qualiter diſtent à centro uiſus l: ſitq́ue centrum uiſus extra ſuperficiem lineę r y: quę pro ducta ſecat ſpeculum pyramidale cõcauum æ quidiſtanter baſi ſecundũ circulum, qui ſit b g: cuius centrũ ſit d: reflectaturq̃; forma puncti r ad uiſum l à puncto ſpeculi b, & forma pũcti y refle ctatur ad uiſum l à puncto ſpeculi g: erũtq́ pũcta b & g, quãuis ſint in circulo, ut tñ ſunt puncta reflexionum, erunt in duabus oxygonijs ſectionib. ſecantib. ſe ſecundum lineam d l:ut patent hæc per 7 th. 7 huius, & per 19 th. 1 huius. Et quoniam quantùm ad propoſitum demonſtrandũ non eſt aliqua diuerſi tas inter ſpecula columnaria & pyramidalia concaua: tunc patet quòd reiterata demõſtratione 27 huius, erit locus imaginis formę pũcti r in pũcto h: & locus imaginis formę pũcti y erit in puncto t: locus uerò imaginis formæ pũcti m erit punctũ s, quod eſt extra rectitudinẽ lineę t h. Imago itaque lineę r m y eſt in quadã linea trãſeũte ք pũcta h, s, t: ſed talis linea eſt curua, Eſt ergo lineę rectę, quæ page 390 eſt r m y, imago curua. Et quoniam punctum s eſt ultra concauitatem ſpeculi, reſpectu punctil centri uiſus, & punctum l eſt intra illam cõcauitatem: palàm quòd punctum l eſt extra ſuperficiem, in qua eſt linea h s t: curuitas ergo lineę h s t apparebit uiſui maniſeſtè. Et quia punctũ f cadit in ipſa ſuperficie ſpeculi pyramidalis concaui extra ſuperficiem circuli b g, & linea t h eſt ultra ſpeculum in ſuperficie circuli b g: erit linea l f s altior quàm ſuperficies trigoni l h t: linea ergo l s erit altior duabus lineis l h & h t: punctũ ergo s, reſpectu uiſus l, eſt altius  duo puncta h & t. Linea ergo h s t appa rebit uiſui exiſtẽti in pũcto l cõcaua maxima cõcauitate uiſum reſpiciente. Et hoc eſt propoſitum.

◉33. Line æ rect æ uiſæ non æquidiſtantis axi ſpeculi pyramidalis concaui, cuius ſuperficies incidentiæ ſecat axem ſpeculi obliquè, imago uidetur curua, diuerſæ curuitatis ſecundum diuer ſitatem ſuiſitus.

◉Quoniam enim, ut in 31 huius oſtenſum eſt, forma lineæ rectæ incidentis uertici huius ſpeculi propoſiti obliquè ſuper axem, imaginiem curuam uiſui, ad quem fit reflexio, repræſentat: & per præ miſſam proximam patet, quòd linea recta, cuius ſuperficies incidentiæ ſecat axem ſpeculi orthogo naliter, uidetur mirabilis concauitatis uiſum reſpicientis. Si ergo inter has diſpoſitiones ſituetur linea recta, cuius ſuperficies incidentiæ, ut hic proponitur, obliquè ſecet axem ſpeculi: patet quòdimago illius lineę diuerſificabitur ſecundum modos diuerſæ curuitatis: qui accidunt hinc & inde lineis ſecundum ambos præmiſſos modos ſituatis, cuius conformis eſt demonſtratio cum præmiſſis. Patet ergo propoſitum: nec enim dignum uidimus talibus immorandum, quę ex prædemonſtratis concluſtionibus ſuæ certitudinis ſubſiſtentiam lucidè accipiunt: unde talia relinquimus animæ perquirenti.

◉34. Imago line æ; rectæ exiſtentis in ſuperficie ſpeculũ pyramidale trãs axem ſecante, centro́ uiſus existente in communi ſectione eiuſdem ſuperficiei, & ſuperficiei ſpeculum ſecũdum axem ſecantis, uidebitur rect a: quando maior: quando æqualis: quando minor reuiſa: ſed ſemper conuerſum habens ſitum: & quando una: quandoque plures imagines uiſui occurrent. Alhazen 56 n 6.

◉Fiatitem (utin 29 huius) eadem diſpoſitio figuræ, quæ facta eſt in 48 th. 8 huius. Siergo aliquod punctum commune ambabus ſuperficiebus d a o & d b o, fuerit in axe pyramidis, ut punctum o: &

ſi duæ lineæ a e & b e fuerint perpendiculares ſuper ſuperficies contingentes pyramidem ſpeculi: hoc autem eſt poſsibile, quia li neę a e & b e ſunt æquales: poſſunt enim cum axe continere duos angulos acutos æquales. Cum ergo hæ duæ lineę fuerint perpen diculares ſuper illas ſuperficies, & uiſus fuerit in puncto d: tune ſuperficies trigoni d e g, in qua ſunt lineæ g e & d e, tranſibit per totum axem & per centrum uiſus: & utraque ſuperficies d a o & d b o erit decliuis ſuper axem ſpeculi: & communes ipſarum ſectiones cum ſuperficie conica ſpeculi erunt duę ſectiones oxygo niæ & formæ trium punctorum, quæ ſunt r, h, q, reflectentur ad uiſum exiſtentem in pũcto d à puncto ſpeculi, quod eſt b. Formę quoque trium punctorum, quæ ſunt m, l, f, refle ctentur ad uiſum in punctum d à puncto ſpeculi a. Cum ergo lineæ m l f & r h q fue rint in aliqua ſuperficie corporis uiſibilis, & uiſus fuerit in puncto d: tunc, ut ſuprà in 29 huius patuit, linea n u erit imago lineæ m r: & linea t k erit imago lineę l h: & linea p i erit imago lineæ f q: erit itaque imago lineę m r, quæ eſt linea n u, minor quàm linea m r: & imago lineę f q, quæ eſt p i, erit maior quàm linea f q: & imago lineę l h, quę eſt t k, erit æqualis ipſilineæ l h. Omnes quoque iſtę imagines conuerſum habebunt ſitum, reſpectu rerũ, quarum ipſæ ſunt imagines, uiſu exiſtente in puncto d. Quòd ſi uiſus fuerit in puncto o, & lineę n u, t k, & p i, quæ ſunt imagines linearum m r, l h & f q, uiſu exiſtente in puncto o, fuerint in ſuperficiebus corporum uiſibilium: tunc per eandem præmiſſam rationem in 29 huius imagines illarum linearum n u, t k, & p i erunt lineæ m r, l h & f q: eritq́ue imago lineæ p i, quæ eſt linea f q, minor quàm linea p i: & imago lineæ t k, quæ eſt linea l h, erit æqualis ſuæ: & imago lineæ n u, quæ eſt linea m r, erit maior ipſa linea n u: & iſtæ imagines omnes erunt lineæ rectæ: & apparebunt ultra centrum uiſus, quod eſt in puncto o. Et ſi imaginentur continuari capita illarum linearum per lineas n t p & u k i: eruntloca imaginum illarum linearum lineæ m l f & r h q. Puncta itaque iſtarum imaginum, quæ ſunt m, l, f, comprehenduntur ſuper eandem lineam reflexionis, quę eſt a o: & puncta r, h, q comprehenduntur ſuper eandem lineam reflexionis, quę eſt b o: & imago puncti remotioris à uiſu, erit propinquior uiſui, & imago puncti propinquioris uiſui, erit remotior à uiſu. Con page 391 uerſum ltaq habebunt ſitum omnes iſtæ imagines. Quod eſt propoſitũ. Patet itaq exhis quatuor propoſitionibus, quòd lineæ rectæ quandoq in his ſpeculis pyramidalibus concauis uidẽtur conuexæ: quandoq concauæ: quandoq rectæ: & quandoq maiores: & quandoq minores: & quãdoque æquales rebus uiſis: & ſunt omnes rectæ imagines difformem ſitum habentes, reſpectu ſitus rerum, quarũ ſunt imagines. Et accidit in his ſpeculis, ſicut in alijs ſpeculis, numerari imagines ſecundum numerum punctorum reflexionis: & fortè imagines eiuſdem rei diuerſarum erunt forma rum ſecundum diuerſum ſitum ſuarum partium: quæ omnia ex pręmiſsis principijs poſſunt faciliter declarari. Hæc itaq de regularibus ſpeculis ſufficiant ad præſens. Deinceps uerò in ſequẽtibus huius libri ad tractatum quorũdam irregularium ſpeculorum & cõburentiũ ingeniũ cõuertemus.

◉35. Poßibile eſt ſpeculum ex conuexo & concauo compoſitum fieri, in quo dextra apparent dextra, & ſiniſtra ſiniſtra, & multa diuerſitas imaginum occurrit. Euclides 30 th. catoptr. Pto lemæus 3 th. 2 catoptr.

◉Aſſumatur in illa magnitudine, qua quis conſtruere uoluerit tale ſpeculum, circulus, qui ſit a b g: & inſcribatur ei latus pentagoni inſcriptibilis eidem circulo per 11 p 4: quod ſit a b: & ſimiliter in

ſcribatur eidẽ circulo latus hexagoni per 15 p 4, quod ſit b g: eritq́ per eádem 15 p 4 linea b g ęqualis ſemidiametro circuli. Et abſcindatur ab illo circulo portio a e b, cuius arcus a b ք 28 p 3 eſt æqualis quintæ parti peripheriæ circuli. Et ſimiliter abſcindatur ab eodem circulo portio g z b, cuius arcus b g eſt æqualis ſextæ parti circuli. Fiant quoq formæ regulares ad quantitatem illarum duarum portionum: quarum una fiat ſecundum quantitatem portionis a e b, quæ ſit concaua, ut eſt figura, quam deſcripſimus, z h t f k m l: altera uerò facta ad quantitatem portionis, quę eſt g z b, ſit conuexa, ut eſt figura x o p. Et aſſumatur petia uel pars ferri rectangula, cuius longitudo ſit maior quàm ambę chordę a b, & b g, latitudo quoque ſit maior quàm chorda b g: & incuruetur ferrũ taliter, ut eius longitudo ſit conuexitatis portionis a e b, ita ut ſuperficies cõcaua, quæ eſt k f t, ſibi extrin ſecus applicetur: & eius latitudo ſit in parte lon gitudinis reſiduæ concauitatis portionis g z b, ita ut cóuexitas ſuperficiei x o p ſibi intrinſecus applicetur. Taliter uerò fiat, ne forma cóuexita tis impedimentum accipiat ex forma concauitatis, ſed in eadem ſuperficie ſpeculi ipſarũ quęlibet imprimatur: poliaturq́ ſpeculum ex partibus ambabus: propter quod oportet ut lamina ſpeculanda ſit conuenienter ſpiſſa, ut ex utraque parte ſalua diſpoſitione reliqua ualeat poliri. Hoc itaque ſpeculum ſi ſuper ſedem uolubilem ad hoc præparatam componatur, & ſuper ipſam uoluatur, ita quòd nunc conuexa, nunc concaua ſuperficies uiſui ſe offerat: tunc apparebunt dextra dextra, & ſiniſtra ſiniſtra: & diſtanti quaſi duobus cubitis apparet imago commenſurata & ſimilis ueræ formę: magis uerò diſtan ti protenditur imago in anterius: propius uerò accedenti ad conuexam ſuperficiem ſpeculi, fit imago penitus informis: & magis accedenti informitas plus augetur, & contraria ei, quod uidetur, fit imago, magisq́ accedẽti prolixior apparet, & fit facies uidentis cõſimilis formæ equi: & ſemper magis inclinato ſpeculo, imago apparet plus inclinata. Permutato quoque ſpeculo, imago quandoque habet caput ſurſum & pedes deorſum: & quandoque pedes ſurſum & caput deorſum: & plus experientia, quàm ſcriptura, docebit imaginum diuerſitates: quia ſi connectantur duo ſpecula ſphærica, quorum unum ſit concauum, reliquum conuexum, non moto etiam ſpeculo, uariatur diſpoſitio imaginum. Propter reuerberationem enim formæ reflexæ ab uno ſpeculo in alterum, dextra apparebunt dextra, & ſiniſtra ſiniſtra: & in parte conuexa non mutabitur ſitus imaginis ſecundum ſurſum & deorſum: ſed in parte concaua uidebitur imago ſupercapitalis, uelut antipodes. Cauſſa uerò omnium horum in ſimplicibus ſpeculis dicta eſt per præmiſſa: modo quoq tali in præmiſſo ſpeculo permiſcentur imaginies. Et ſi in eadem continuitate ſit ſpeculum planum ipſis ſpeculis ſphęricis conuexis & cõcauis interpoſitum: uaria bitur imaginum quátitas: page 392 quia in planis eſt imago æqualis rei uiſę ք 52 th. 5 huius: in cõuexis uerò eſt minor ք 39 th. 6 huius: in cõcauis uerò quádoq æqualis: quádoq maior: & quádoq minor, ut patet ք 45. 47. 49 th. 8 huius: & tale ſpeculũ poteſt taliter cõponi. Sit ſuperficies aliqua plana, quę a b: & fiant in ipſa ſpecula cõuexa, quę ſint a c g & t r k: & ſimiliter fiant in ipſa ſpecula cõcaua, quæ ſint g d e & z i t: & fiant ſpecula plana, quę ſint e z & k b: ponaturq́ res uiſa in puncto m, quæ à ſpeculis illis ad uiſum reflectatur. A planis itaq ſpeculis apparent æqualia idola & æqualiter diſtãtia: & à cõuexis minora & mi nus diſtátia: à cócauis uerò diuerſa & diuerſi modè uiſui occurrentia, ſicut in alijs prędemonſtratũ eſt. Ingeniũ uerò modernorû & fu turorũ addat, quod libuerit: quia ſufficiẽter dedimus cogitantibus principia multarum talium adinuentionum: & nos, quætalia digna memoria inuenerimus, peſterius conſcribemus.

◉36. A ſpeculis columnaribus uel pyramidalibus concauis ignem difficile eſt accendi.

◉Si enim in ſpeculis colũnaribus cõcauis ſuperficiei reflexionis & ſpeculi cõmunis ſectio ſit linea longitudinis, nó eſt neceſſariũ ignẽ ab ipſis accẽdi, ſicut neq à ſpeculis planis, etiã ſi ſuperficies reflexionis oẽs ſe in axe colũnę interſecẽt: radij enim æquidiſtáter ſuperficiei ſpeculi incidẽtes, æqui diſtáter utiq reflectẽtur: perpẽdiculares quidẽ in ſe ipſos ad diuerſa pũcta ſpeculi colũnaris ſecundum quę, cũ ipſi ſpeculo incidebãt, axẽ ſecabãt & ita nunquã in pũcto concurrent, ſed in tota linea axis diſtendẽtur: nõ perpẽdiculares uerò radij, obliquè ſcilicet ſuperficiei ſpeculi incidentes, quoniã ſecundũ angulos, quos faciũt cũ perpendiculari ducta ab axe ad lineã lõgitudinis, quę eſt communis ſectio ſuperficiei reflexionis & ſuperficiei cõtingentis columnã, ad partẽ aliã in eadẽ ſuperficie à dicta perpendiculari reflectuntur. Patet ergo quia ſecundũ quod ęquidiſtantes ad inuicẽ incidunt, ſic quaſi æquidiſtãtes ad inuicẽ reflectuntur, & nõ in puncto, ſed in linea cõcurrent ք 29 p 1. Quòd ſi dicatur, quòd aliquæ ſuperficies reflexionis ſe in axe colũnę nõ interſecent, ſed ſint æquidiſtantes (quod eſt impoſsibile, ut patet per 7 th. 7 huius) palàm tamẽ eſt quòd in eis reflexi radij nunquã cõcurrẽt. Siuerò ſectio cõmunis ſuperficiei reflexionis & ſuperficiei columnę ſit circulus: tunc patet quòd ք eius centrũ tranſeuntes radij (quoniá oẽs ſunt perpendiculares ſuper ſuperficies cõtingentes in punctis ſuæ incidentiæ, ut per 21 th. 7 huius oſtenſum eſt) oẽs reflectuntur in ſeipſos, & cõcurrentin centro circuli illius ſiue ſit baſis columnæ ſpeculi, ſiue ſit circulus baſi æqui diſtans. Hoc aũt centrũ erit ſemper in axe: & ſunt tot cẽtra talium circulorũ in axe, quot ſunt circuli in columna: ad unũ ergo punctũ non reflectuntur radij totius ſuperficiei ſpeculi columnaris, ſed ad totã axis lineam. Quod ſi radij reflexi ſecundũ circulum nõ tranſeunt centrũ circuli: tunc ſecundũ angulorũ incidentiæ diuerſitatẽ fiet diuerſitas reflexionis ad ſemidiametrũ circuli: nec fiet concurſus in centro circuli radiorũ, ſed in tota ſemidiametro: & ſic ignis difficiliter accendi poterit, ſicut etiã prius dictum eſt in ſpeculo ſphærico concauo, ut patet per 68 th. 8 huius. Quòd ſi cõmunis ſectio dictarũ duarum ſuperficierũ ſit ſectio columnaris: tunc radij pauciſsimi cõcurrent. Patet ergo quòd nõ eſt poſsibile oẽs radios ſuperficiei ſpeculi columnaris concaui in unũ locũ uel etiá in unã lineam aggregari: & ob hoc pauci antiquorum tali ſpeculo pro cõbuſtionibus ſunt uſi. Ex ſpeculis etiá pyramidalibus lumen aggregatũ ignẽ accendere non eſt neceſſariũ, quáuis ad hæc multa rum acclinetur imaginatio: cuius cauſſa eſt, quia in talibus ſpeculis communis ſectio ſuperficiei reflexionis & ſuperficiei ſpeculi non poteſt eſſe circulus aliquis nec baſis, nec æquidiſtans baſi: propter hoc, quod prius dictum eſt, & petet per 2 th. huius. In nullo ergo euentu poſſunt radij à peripheria circuli in centro concurrere: ſicut aliqualiter accidit in ſpeculo colũnari. Quòd ſi ſectio com munis ſuperſicierum dictarũ ſit linea lõgitudinis ſpeculi: tũc, quoniã ſuperficies ſpeculũ contingẽs contingit in linea longitudinis, accidet in his ſpeculis, ſicut prius dictũ eſt in planis & colũnaribus ſpeculis. Radij enim incidentes quoſcunq angulos fecerint cũlinea longitudinis, eoſdẽ facient cũ eadẽ reflexi: & ſic radij incidẽtes ęquidiſtát, & ęquidiſtáter reflectũtur. Nõ ergo cõ currẽt, etiá ſi ſint in eadẽ ſuperficie reflexionis: & ſi in diuerſis ſint ſuperficiebus, patet q nó cõcurrent niſi in axe: quia ſuքficies reflexionis ſe ſuper axẽ pyramidis interſecát: & tũc cõcurſus radiorũ fiet in linea, nõ in pũcto. Si cõmunis ſectio ſuperficierũ dictarũ ſit ſectio pyramidalis: nec adhuc oẽs uel plures radij eiuſdẽ ſuperficiei uel diuerſarũ aliqualiter concurrẽt. Nullo ergo modo radij incidentes pyramidali ſpeculo omnes, uel plures ipſorum, uel etiam pauci in puncto uno poſſunt concurrere, ut aliquid ignitioni reſiſtens ualeant ignire: nec etiam pluralitas coniun ctorum ſpeculorũ aliquid ualidum reſpectu laboris ſuperadditi apportabit. Patet ergo illud, quod prop onebatur.

◉37. Ex plurium ſpeculorum ſphæricorum concaurum interſectione ſpeculum comburens conſtitui eſt poßibile.

◉Verbi gratia, ſit circulus alicuius ſpeculi ſphęrici concaui, qui a b c d: & eius centrum ſit e: inter page 393 ſecentq́ fe in ipſo duę diametri a c & b d orthogonaliter: incidantq́ radij ſolares illi circulo: palàm itaq per ea, quæ in 68 th. 8 huius dicta ſunt, quoniam radius incidens circulo ſecundum aliquá dia metrorum (uerbi gratia, ſecundum diametrum a c) reflectitur in ſeipſum trans centrum: radiorũ uerò æ quidiſtantium illi diametro a c, is, qui contingit circulum, palàm quia incidit in punctum b per 29 p 1: angulus enim, quem linea contingens cõtinet cũ diametro, eſt rectus per 18 p 3, & angulus b e a eſt rectus ex hypotheſi. Ille ergo radius contingens circulum non reflectitur: quia nihil inuenit reſiſtens: procedit ergo in continuum & directum. Alius uerò radius æquidiſtãs diametro a c cum linea in puncto ſuæ incidentię ſpeculum contingente continet angulum rectilineum acu

tiſsimum, & modicam abſcin dit portionem circuli incidens, & modicùm ſe reflectẽs, ſed æqualiter. Sic itaq omnes radij æquidiſtantes diametro a c incidentes cir culo ſpeculi æquales abſcindũt circuli portiones: ſemper enim angulus reflexionis eſt æqualis angulo incidentię: illi autem anguli æquales ſemper æquales abſcindunt portiones per 43 th. 1 huius: ſolus autem radius incidens circulo ęquidiſtanter diametro a c, abſcindens portionem, cuius arcus eſt ſexta pars peripherię circuli, & cuius chorda eſt æqualis lateri hexagoni inſcriptibilis eidem circulo, reflectitur ad punctum c terminum diametri c a: eſt enim diameter a c æquidiſtans medio lateri hexagoni ſuo circulo inſcripti, quẽ hexagonũ diuidit illa diameter per æqualia, ut patet per 63 th. 1 huius: ſitq́, ut talis radius incidat circulo in pũcto f. O ẽs quoq rad j ę quidiſtantes ſemidiametro a c, incidentes reliquo arcui quartę circuli, cuius chorda eſt æqualis reſiduo lateri hexagoni, & eſt arcus f c, reflectũtur ad illá partem circuli portiones æquales abſcidentes: & omnes illi radij tranſeunt per aliquod punctum ſemidiametri c e: & quodcunq punctum reflexionis imaginetur moueri circa axem a c, quouſq redeat ad locũ à quo exiuit: illud pũctũ motu ſuo deſcribet circulũ, cuius polus erit punctũ c: & à tota illius circuli peripheria fiet reflexio ad idẽ punctum ſemidiametri ſpeculi, quę eſt c e: fietq́ in illis punctis diametri combuſtio, oppoſita aliqua materia cõbuſtibili, ſed debilis & cũ mora tẽporis. Quòd ſi fieri poſsit, ut loca plura cóbuſtionis uel omnia in unũ punctũ congregẽtur, fiet fortior cóbuitio: hoc aũt uiſum eſt poſsibile fieri ք interſectionẽ ſphęricã plurium ſpeculorũ ſphęri corũ cõcauorũ: nõ aũt inęqualiũ: quia in illis nõ cõueniẽter uniformis poteſt inueniri ꝓportio. Re linꝗtur ergo quòd ęqualiũ ſpe culorum ſphęricorũ ſit illa in terſectio: ita, ut illud q uariat in locis cõ buſtionũ diuerſitas diſtátiæ ra diorũ ęqui diſtãtium axi ſpeculi, & ad ipſum axẽ reflexorũ, cõformet diuerſifica tio centro rũ: utſi cẽtra ſphęrarũ ſpeculo rũ ſe inter ſecantium ſecundum omnia puncta unius ſemidiametri ſphæræ uarientur: tunc enim puncta combuſtionis aut omnia, aut plurima in unũ pũctũ colligẽtur: & fortificabitur cóbuſtio ſecũdum illud. Huius aũt rei mechanicũ artificiũ tradẽdũ cogitauimus illis, ꝗք manualẽ fabricã intẽdere uoluerint p̃miſsis, page 394 cuius forma talis eſt. Aſſumatur regula lignea uel ænea quadrágula planarũ ſuperficierũ, quáta pla cet: & ſit eius latitudo tripla ſuæ ſpiſsitudini uel circa illud: deinde in medio ſuæ latitudinis cauetur ſecundũ lineã rectã, & planetur ſoramẽ, & or dinetur taliter, ut intra ipſam decurrere poſsit nauicula ad modũ artificij tornatorũ, in qua nauicula uncus ferreus in figatur. & hęc regula ſic cõcaua ta & diſpoſita, taliter ſituetur, ut eius cauata ſuperficies ſit erecta ſuper ſuperficiem horizontis, & li neæ profunditatis ſuæ concauitatis ſint perpendiculares ſuper ſuperficiem horizontis: ſitq́ linea, quá motu ſuo deſcribet uncus motæ nauiculę, æqualis ſemidiametro propoſiti circuli, quæ eſt e d, ita quòd pũctũ e cadat in intrinſeca ſuperficie ipſius unci ferrei, qui motu nauiculæ, cui infixus eſt, mouetur. Deinde aſſumatur alia regula lignea uel ænea ſimiliter quadrangula, ut prima, & planarũ ſuperficierũ: & hæc ſimiliter in ſui ſuperficie latiori cauetur ſubtiliter ſecũdum lineas rectas, & planentur ſuperficies cócauitatis, ita ut ſine impedimẽto ք illã cõcauitatẽ poſsit alia ſubtilis regula uel funiculus moueri: ſitq́ cõcauitas illius regulæ duplalineæ e d, hoc eſt ut ſit æqualis diametro circu li, quæ eſt a c: & hæc regula cũ priori regula taliter adaptetur, ut eius ſuperficies nõ cõcauata æquidiſtet horizonti, & eius ſuperficies cauata reſpiciat cauaturã regulæ prioris: & ordinetur orthogonaliter ſuper illá, ita ut angulus d e c ſit rectus: & ſit medius pũctus lógitudinis ſuæ cócauitatis correſpondens puncto e, qui eſt punctus unci ipſius nauiculæ: & ſint omnia hæc in eadẽ ſuperficie æquidiſtante ſuperficiei horizontis. Fiat quoq tertia regula ęnea longa quadrangularũ ſuperficierú planarú & rectarũ linearũ, quę ſit e f g: ſit q́ eius pars e f æqualis ſemidiametro circuli, quæ eſt e c: ſitq́ taliter diſpoſita, ut per aliquã armillã uel foramẽ applicetur unco nauiculę ſecundum pũctum e, & ut ipſa moueri poſsit per cócauitaté lineæ a c: ſit q́ in puncto f nodus, cuius diameter ſit maior diametro concauitatis regulæ a c: fiat quoq reliqua pars lineæ e f g, quę eſt f g, longitudinis placitæ cuiuſcunq: & in puncto g adhibeatur clauus acutus in fine acuitatis, qui ſit illius quátitatis, ut mota linea e f g, attingere poſsit pauimentum uel illi aliam ſuperficiem ſubſtratam. His itaq omnibus ſic diſpoſitis immittatur regula e f g ſecundum foramen puncti e in uncum nauiculę, & trahatur na uicula planè per cochleam uel modo alio, ut uidebitur, plano tamen & æquali tractu: & ſequetur re gula e f g tractum nauiculę, decurretq́ punctus f in ſuperficie regulę a c: & ſemper mutabitur centrum circuli, cuius diameter eſt linea e f. Cum itaq punctus e peruenerit in punctũ d: tũc punctus f erit in medio puncto lineæ a c, quod eſt centrum circuli præmiſsi: omniumq́ punctorum reflexionis luminis uel quarum cunq formarum à quarta circuli, quæ eſt c b, concurſus radiorum uel diffu ſæ uirtutis erit in centro circuli, quod eſt e: quoniã omnia puncta combuſtionum concurrentia in axe e b, reducta ſunt ad punctum e, quod eſt centrum circuli, utpote omnium radiorum incidentiũ circulo ſpeculi æquidiſtáter diametro a c. Similiter quoq, ſi placet, fiat in alia quarta circuli deſcen dente planè ipſa nauicula, reducendo punctum f ad pũctum a: tunc enim punctum g lineę f g motu ſuo deſcribet quandam lineam, quę per clauum ſibi affixum in pauimento figurabitur: & hác lineá dicimus lineam eccentralem: quoniam eſt interſectio infinitorum circulorum. Quilibet enim pun ctus illius lineæ (exceptis punctis extremis correſpondentibus punctis a & c, ipſius diametri a c, & quibuslibet duobus punctis æqualiter diſtantibus à puncto medio totius lineæ eccentralis) diuerſo correſpondet centro, ſicut & quęlibet duo puncta æqualiter diſtantia à puncto ſui medio, reſpiciunt idem centrum: & ſunt puncta unius circuli alterum circulum ſecantis. Hac ergo linea ad conſtitutionem propoſiti ſpeculi utemur ſecundum ipſam aliquam ſpecularem ſuperficiem conca uantes, ſicut per modum demonſtrationis & artificij inſerius dicetur. Patet ergo propoſitum.

◉38. Ex interſectione plurium ſpeculorum pyramidalium concauorum ignem est poßibile accendi.

◉Quod hic proponimus, primum fuit, quod nobis harum rerum ſcientiam perquirentibus occur rit, & in cuius rei inuentione primò animus noſter conquieuit. Quia etſi non ad unum punctum mathematicum, ad unum tamen punctum naturalem modicam & quaſi inſenſibilem latitudinem habentem radij unius totalis ſuperficiei poſſunt faciliter aggregari: quę nobis uerò poſtea occurrerunt, ualidiora ſunt. Nihil tamen iſtorum duximus prętermittendum, ut poſteriorum animi in al tius excreſcát. Pręſenti itaq demõſtrationi opus ipſum mechanicũ duximus aliqualiter immiſcen dũ, nihil tamẽ de demõſtrationis ſubſtantia omittentes. Aſſumatur ergo quæcũq pyramis, quæ ſit a b c d: cuius uertex ſit punctũ a: ſintq́ lineę lõgitudinis illius pyramidis a b & a c: & ſit axis ipſius li nea a d: quæ ſit, exempli cauſſa, partes 18, ſecundũ quod diameter circuli ſuę baſis, quę eſt f b e c, eſt partes 6: eritq́ per 89 th. 1 huius punctũ d cẽtrũ circuli, qui eſt baſis ipſius pyramidis: inſcribaturq́ circulo baſis linea æqualis ſemidiametro ipſius per 1 p 4: quę ſit f e: ſitq́ aliqua diameter in circulo æquidiſtans inſcriptæ lineæ: quoniã diuiſa linea f e per æqualia ex 10 p 1, ꝓducatur à pũcto diuiſio nis (ꝗ ſit g) perpendicularis ſuper illam lineam ex 11 p 1: hęc quoq tranſibit per centrũ circuli per 1 p 3: producaturq́ linea illa ad utranq partẽ circũferentiæ: & ſit b c: extrahatur ergo perpẽdicularis à centro circuli baſis, quod eſt d, ſuper diametrum b c: quæ ſit d h: & producatur ad partem aliã circuli: fietq́ diameter, quę ſit h k, æquidiſtans lineæ e f per 28 p 1: producanturq́ à punctis h & k duę lineæ longitudinis pyramidis ad uerticem, quę ſint h a & k a. Producatur quoq à puncto e linea æquidiſtans lineę k a, & à puncto f æquidiſtans linea h a ex 31 p 1: & concurrant productę lineæ in puncto x: concurrent autem ideo, quia ipſarum æquidiſtantes, quę ſunt k a & h a, concurrunt in puncto a. Inter duas ergo lineas e x & f x continuata plana ſuperficies & terminata ad lineam f e page 395 (quæ ſit trigonum f e x) palàm quoniam interſecabit pyramidem: eritq́ triangulus x f e propter æquidiſtantiam laterum ęquidiſtans triangulo magno in pyramide, qui eſt a h k: & ſicut triangulus

a h k diuidit pyramidem per æqualia, eò quòd ſit duabus lineis lon gitudinis & diametro baſis contentus: ſic etiam triangulus x f e ali quam pyramidis reſecat portionem. Abſcindatur ergo hæc portio â tota pyramide, quæ ſit l f b e g: ducanturq́ lineę rectæ, quæ ſint l e & l f: eruntq́ lineę l f & l e per 89 th. 1 huius partes æquales unius ſectióis conicæ, quę eſt e l f, diuiſa per æqualia in ſui ſupremo puncto, qui eſt l. Linea uerò l b, quę eſt pars lineæ longitudinis pyrami dis, erit minoris quantitatis qualibet linearum l e & l f: eritq́ linea b g linea proſun ditatis huius portionis: linea uerò f e linea latitudinis: & linea l g latus portionis erectum, æquidiſtans lineæ d a, quę eſt axis pyramidis. Expedit ergo ut operi mechanico conſulentes notitiam harum linearum omniũ per quiramus, ſupponentes ea, quę in chordis & arcubus ſunt probata. Palàm autẽ ex præmiſsis quoniã linea f e, quæ inſcripta circulo, quia eſt æqualis eius ſemidiametro, eſt partes 60, ſecũdũ quod diameter circuli eſt 120: arcus ergo f e ſimiliter eſt 60: ſecũdũ q circulus eſt 360. Ducátur quoq lineę b f & b e. Et quoniã diameter b c diuidit chordá f e per æqualia & orthogona liter: patet quoniã line ærectę f b & b e ęquales ſunt ք 4 p 1: ergo arcus f b & b e ſunt ęquales per 28 p 3: arcus itaq f e diuiſus eſt per æqualia in pũcto b: ergo arcus f b eſt partes 30: chorda ergo f b eſt 31 partes, 3 minuta, & 30 ſecunda: ſed quoniá m linea f g eſt medietas lineę f e, quę fuit 60: patet q linea f g eſt 30: quadrentur ergo ex 46 p 1 linea f b, & ſimiliter linea f g. Et quia quadratũ lineæ f b in triangulo f b g ſubtenditur angulo recto: palá ex 47 p 1 quia quadratũ lineæ f b ualet ambo quadrata linearũ f b & b g: ablato ergo ex quadrato f b quadrato f g, remanet quadratũ b g. Extrahatur ergo radix quadrata illius reſidui, & ipſa eſt quanti tas lineæ b g: & ſecundũ quod linea f g eſt 30 partes, erit ipſa 8 partes, 2 minuta, 29 ſecunda: ſecundũ uerò quòd diameter b c eſt partes 6, & ſemidiameter f e partes 3, & linea f g partes 8 & 30 minuta: erit linea b g 24 minuta & 6 ſecunda, prout ex tribus notis quartũ ignotum perquirens auxilio 19 p 7 diligens inquiſitor facile poteritinuenire. Quoniam uerò linea g l erecta ęquidiſtans eſt axi pyramidis, quę eſt d a, patet ex 29 p 1 quoniam trianguli d a b & g l b ſunt ęquianguli: ergo per 4 p 6 erit proportio lineę d a ad lineam g l, ſicut lineę d b ad lineam g b: ergo per 16 p 5 erit permutatim proportio lineę d a ad lineam d b, ſicut lineę l g ad lineam g b: ſed linea d a ſextupla eſt ad lineam d b ex hypotheſi: erit ergo linea l g ſextupla lineę b g: patet ergo quoniam linea l g erit 2 partes, 24 minuta, 36 ſecunda, ſecundum quod linea d a eſt partes 18. Sed quia in triangulo l b g angulus l g b eſt rectus: quia latus g l, quemadmodum linea d a, orthogonaliter erectum eſt ſuper ſuperficiem circuli baſis pyramidis per 89 th. 1 huius, & per 8 p 11: patet ergo quia quadratum lineę l b ualet quadrata ambarum linearum l g & b g ex 47 p 1: componantur ergo quadrata, & aggregati radix quadrata extrahatur, & ipſa eſt quantitas lineę l b: quę ſecundum propoſitum numerum quo ſemidiameter baſis eſt 3 partes, erit 2 partes, 26 minuta, 35 ſecunda. Et quia linea l g erecta eſt ſuper ſuperficiem baſis pyramidis: palàm ex definitione lineę erectę ſuper ſuperficiem, quoniam ipſa cum lineis g f & g e angulos rectos facit, ſicut etiam cum omnibus lineis in dicta ſuperficie productis. Quadratum ergo lineę e l rectę, quę in triangulo rectilineo (qui eſt e g l) angulo recto opponitur, ualet quadratum lineæ l g & lineæ g e: coniunctis ergo illis quadratis, ipſius aggregati extrahatur radix: & patet quòd linea recta, quæ eſt l e, eſt 2 partes, 50 minuta, 19 ſecunda. Et quia per eadem quadratum lineæ rectæ, quę eſt fl, ualet quadratũ lineæ f g, quæ eſt æqualis lineæ g e, & quadratum lineæ l g: patet quia linea l f eſt æqualis lineæ e l: erit ergo li nea f l 2 partes, 50 minuta, 19 ſecunda. Habetur itaq notitia omnium linearũ portionis pyramidis aſſumptæ, neceſſariæ operi præſenti. Cum autẽ difficile ſit aſſumi pyramidẽ propoſito cõpetẽtem, (quoniã oporteret, ut ipſa tota eſſet concaua ſolidi corporis dẽſi & polibilis pro factura ſpeculi, ut prius dictum eſt, & ab illa difficilis fieret abſciſio) ſufficiat ipſam habere mathematicam in imaginatione. Cum ergo ad opus ſpeculi libeat procedere: fiat de corpore polibili albo, utpote argenteo uel ferreo bono portio pyramidis concaua, ſic ut baſis illius ſectionis ſit portio circuli, qui eſt baſis imaginatæ pyramidis, cuius chorda ſit medietas diametri imaginati circuli, & eſt linea f e: eritq́ par tes 3: ſinus uerò uerſus, qui g b, ſit ſecundum illam quantitatẽ 24 minuta, 6 ſecunda, quę eſt linea ꝓfunditatis acceptæ ſectionis: & fortè, quádo protrahitur, aſsimilatur ſagittæ, ſecundum quod illę li neæ chordæ & arcui aſsimilátur: & erunt lineæ e l & f l rectæ æquales: & ipſarum quęlibet eſt 2 partes, 50 minuta, 19 ſecunda: & erit linea l b 2 partes, 26 minuta, 35 ſecunda, ſecundum dictã quantitatẽ: quę omnia ſi bene menſurata ſuerint: patet q habetur portio pyramidis, cuius circuli baſis dia page 396 meter eſt partes 6, & axis pyramidis partes 18: eritq́ tale ſpeculũ latius  ſit lõgum, & in breue ſpatium radios plurimos cõgregabit. Quòd ſi axẽ pyramidis imaginatus ſueris 24 partes, ſecun dũ q diameter eſt partes 6: tunc erit linea l g 4 partes, & longius radij protendentur: eruntq́ exharum li nearum notitia, & ex notitia linearũ e g & g f (quarum notitia ſupponitur, eò quòd ſunt medietas ſemidiametri) oẽs aliæ lineæ notę cõponenti quadrata linearũ notarum, & radicẽ lateris oppoſiti recto angulo extrahenti: & numerorũ taliũ eſt infinitas, eò quòd ſecun dum omnẽ numerum axem pyramidis accipi eſt poſsibile, diametro tamẽ circuli baſis nõ mutata ſecundũ numerũ, & ſi mutetur ſecundum quãtitatẽ partium numeratarum. Certitudo ergo numerorum operationi indagato ris ſoliciti relin quatur: ſinus enim uerſus & medietas ſemidiametri, circulo in ſcriptæ, ſecundũ quã fit baſis portionis abſciſsio, nõ poterũt uariari: ex quorum notitia ad aliarum linearum notitiã poterit procedi. Quòd ſi radios ad longã diſtantiã aggregari placuerit (ex quo tamẽ uirtutẽ ipſorum debilitari patulum eſt, niſi quãtitas aggregationis quãtitatẽ uincat diſtãtiæ) illud erit in exceſſu la teris erecti ipſius ſcilicet axis pyramidis, reſpectu ſemidiametri baſis, & ſemidiametri baſis, reſpectu ſinus uerſi. Poteſt ergo, ſiplacet, circulo baſis inſcribi medietas ſemidiametri: hæc aũt cũ ſit partes 30 ſecundum quod tota diameter eſt partes 120, ſi ex notis notum extrahatur: inuenietur arcus ſibi correſpódens in circulo 28 partium, 57 minutorum, 21 ſecundorum, qui ex 30 p 3 ſi per æqualia diuidatur, erit medietas ipſius 14 partes, 28 minuta, 40 ſecunda, 30 tertia, ſecundum quod circulus eſt 360, cuius arcus chordá operás inueniet 15 partes, 7 minuta, 13 ſecunda, 20 tertia, ſecundum q diameter eſt 120: ſemidiameter quoq partes 60. Sed ſecundũ quod ſemidiameter eſt partes 3: erit prædicta chorda 45 minuta 21 ſecunda, 40 tertia: ſitq́ latus f b. Sed linea f e inſcripta circulo ęqualis medietati ſemidiametri, per diametrum orthogonaliter ſuperſtátem ei, ex 3 p 3 diuiditur per æqualia in puncto g: ergo linea f g eſt medietas lineæ f e (quę eſt pars & 30 minuta) linea ergo f g eſt 45 minuta. Quadratum itaq f g auferatur ex quadrato f b, & reſidui extrahatur radix quadrata, & erit linea g b (quę eſt ſinus uerſus ipſius arcus f e) 5 minuta, 42 ſecunda, 44 tertia: cuius immutabi li hic poſita quãtitate numerali, axe pyramidis quomodocunq in numero & quátitate uariato, dia metro baſis 6 partium cuiuſcunq quãtitatis exiſtẽte, oés lineæ abſciſſæ ſectionis, ut prius, operãti poſſunt faciliter inueniri. Fabricata itaq ſectione pyramidis, ſi placet, ex ferro cõpetẽtis ſpiſsitudi nis, menſurationeq́ facta linearum pręmiſſarum in illa, ſecundum proportionẽ axis imaginatæ py ramidis, & ſecundum diuerſitatẽ lineæ baſi inſcriptæ, quá fieri poſſe diximus ſecundũ quátitatem ſemidiametri uel medietatẽ ipſius, ut ſecundum hęc quátitas ſinus uerſi & tota proportio uarietur, planetur ſpeculum intrinſecus ne partes partibus multum pręmineant, quátùm eſt poſsibile. Quia uerò, & ſi hoc ſpeculum ſecũdū ultimum poſsibilitatis poliretur: tamẽ quia eſt pars pyramidis, oẽs radios ipſius uel plures ad unum punctũ aggregari eſſet impoſsibile, ut patet per 36 huius: oportet ergo ante politionẽ completã aliã ſibi adhibere medelã, ſcilicet, ut in eo fiant diuerſarũ interſectiones pyramidum: q ք tale artificium poterit cõpleri. Quoniam enim in aſſumpta pyramidis portione, triangulus l b g, qui continetur à lineis intra ſectionem aſſumptis, eſt notorum laterũ: æqualis ei triangulus in aliquo plano deſcribatur, qui ſit item l b g: qui ſi duplatus fuerit, protracto laterelg, quouſq linea g m ſit æqualis lineæ g l, & compleatur triangulus l b m: palàm quòd ſiue ſit or thogonius, ſiue amblygonius, ſiue oxygonius, quia ex doctrina 5 p 4 circulus ſibi poteſt circũſcribi: circũſcribatur ergo: quod ut facilius fiat, aſſumatur prior diſpoſitio, ſcilicet, ut linea b g ſit 24 mi nutorũ, 6 ſecun dorũ, & linea l g 2 partiũ, 24 minutorũ, 36 ſecũ dorũ: eritq́ l g ſextupla lineę b g. Producatur ergo linea b g in continuum & directum ad punctum p, donec linea g p ſit ſextupla lineæ l g: erit ergo proportio lineæ p g ad lineam g l, ſicut lineæ g l ad lineam g b: ergo per 17 p 6 illud, q fit ex ductu lineæ g p in lineá b g, erit æquale quadrato lineæ g l: ſed quadratum lineæ g l æquale eſt ei, quod fit ex ductu lineæ g l in lineam g m, quia linea l g eſt æqualis lineæ g m. Illud ergo, quod fit ex ductu lineę p g in lineam g b, eſt æquale ei, quod fit ex ductu lineę l g in lineá g m: ergo lineæ p g & l m in circulo aliquo ſeinterſecant ex conuerſa 35 p 3: ſed linea p b ſecat lineam l m per æqualia, & orthogonaliter ei ſuperſtat exprius datis: tráſit ergo linea b p per cẽtrũ circuli ex 1 p 3: quę diuidatur per 10 p 1 per ęqualia, & erit in puncto diuiſionis centrum circuli circumſcriptibilis triangulo l g b: & erit diameter circuli, quę eſt linea b p, 14 partes, 51 minuta, 42 ſecunda: cuius medietas eſt 7 partes, 25 minuta, 51 ſecunda: & eſt punctus ille poſt completam fabricam locus aggregationis page 397 radiorum ſpeculi ſecundum dictam diſpoſitionis quantitatem, præter quàm modicum, quod perditur in limando. Quòd ſi baſi eiuſdem pyramidis inſcribatur medietas ſemidiametri axe pyramidis exiſtente 18: erit linea b g 5 minuta, 42 ſecunda, 44 tertia, cuius ſextuplum eſt latus l g, quod erit 34 minuta, 16 ſecunda, 24 tertia: cuius item ſextuplum erit linea g p: & ipſa erit 3 partes, 25 minuta, 38 ſecunda, 24 tertia: adiecta ergo linea b g, erit linea b p 3 partes, 31 minuta, 21 ſecunda, 8 tertia: cuius medietas eſt pars una 45 minuta, 40 ſecunda, 34 tertia: & eſt punctus ille locus aggregationis radiorũ ſpeculi ſecundũ talẽ quátitatẽ diſpoſiti, pręter illud, q deperditur in limádo. Similiter etiã eſt in reliquis formis ſpeculorũ ſecúdũ quátitates uarias acceptorũ & ſemper ſecũdũ ꝓportio nẽ axis pyramidis, reſpectu diametri baſis, & ſemidiametri, reſpectu ſinus uerſi, fit diuerſitas elóga tionis pũcti aggregationis radiorũ à ſpeculo, qui ſecundũ eundem modum eſt in omnibus perquirendus. Aſſumatur ergo pars circuli circum ſcribentis triangulum l m b, & reſecetur ſecundum lineam b p, quæ eſt diameter: & deinde ducatur à centro illius circuli (quod ſit q) linea q l: & re ſecetur circulus ſecundum illam, remaneatq́ q l b ſector: in quo poſtea fiant interſectiones triangulorum diuerſarum pyramidum hoc modo. Quoniam enim angulus l b g eſt angulus ſemicirculi: patet ex 16 p 3 quoniam ipſe eſt maximus omnium angulorum acutorum: ergo eſt maior quolibet angulo trianguli cuiuslibet pyramidis. Reſecetur ergo ab ipſo angulo alicuius trianguli, cuius latus tertium à centro circuli puncto q productum rectum angulum contineat cum linea b q, quæ eſt ſemidiameter circuli: producaturq́ à puncto b linea ſecans arcum b l, prout uicinius poſsit puncto b: & ſit arcus reſectus b t. Deinde adhuc à puncto b ducantur latera aliorum triangulorum interſecantia arcum b l: & ſint loca interſectionum t, d, e, f, l: eruntq́ lineæ productæ, quoniam angulum acutum continent cum linea b q, omnes concurrentes cum linea à puncto q orthogonaliter imaginata erigi, quæ ſit q s, ut patet per 14 th. 1 huius: facientq́ triangulos includentes ſemper altiores ipſis triangulis incluſis ex 21 p 1: ſintq́ omnium illorum trigonorum ſuperiora puncta ſignata per notam s: quorum triangulorum quilibet ſi moueatur, latere erecto fixo manente, deſcribet pyramidem rotundam: & pars motus partem pyramidis efficiet axi copulatam, & pars trianguli reſecta cauſſabit partem pyramidis habentem proportionem ad totam pyramidem, ſicut pars trianguli ad totum triangulum, & ſicut partialis motus ad totum motum. Quoniam uerò patet per 2 huius quòd in ſpeculo pyramidali concauo ſecundum lineas longitudinis pyramidis fit reflexio, ita quòd angulus, quem facit radius incidens cum linea longitudinis ſpeculi, eſt æqualis angulo reflexionis, ſcilicet ei, quem facit radius reflexus cum eadem linea longitudinis ſpeculi (ut ſi ſuper lineam longitudinis pyramidis alicuius ſpeculi, quæ ſit a b, reflectatur radius e c, æquidiſtanter ſemidiametro baſi incidens, quæ ſit b d: patet quia angulus e c a æqualis eſt angulo d c b: quoniam, ut patet per 20 th. 5 huius, quoſcunque angulos facit radius incidens cum perpendiculari erecta ſuper ſuperficiem contingentem ſpeculum in puncto incidentiæ, eoſdem facit radius reflexus cum eadem perpendiculari: uniuerſaliter enim angulus incidentiæ eſt æqualis angulo reflexionis.) Reſumatur ergo q l b ſector, & eius trianguli: quia quod demonſtratum eſt in pyramidibus, uerum etiam eſt in triangulis cauſſantibus pyramides. Incidat ergo ipſi ſectori in puncto e radius page 398 æquidiſtans lineæ q b, qui ſſt h t. Erit ergo angulus incidentiæ, qui eſt h t s, ęqualis angulo reflexionis: ſed angulus h t s æqualis eſt angulo q b t per 29 p 1, & angulus q b t eſt per 5 p 1 æqualis angulo q t b: ideo quòd latera q b & q t ſunt æqualia per definitionem circuli: erit ergo angulus reflexionis æqualis angulo q b t: ergo linea reflexionis æqualis erit lineæ q b per 6 p 1: ſecundum lineam ergo q t fit reflexio. Incidens ergo radius in punctum b, & reflexus à puncto t, concurrunt in puncto q: quia à puncto t aliam lineam æqualem lineæ q b, continentem cum linea b t angulum æqualem angulo q b t duci eſt impoſsibile. Similiter etiam angulus incidentiæ, qui eſt k d s, æqualis eſt angulo reflexionis: ſed & idem eſt æqualis angulo q b d ſecundum præmiſſum modum deducendo ex 29 p 1: ergo angulus q b d & angulus reflexionis radij k d incidentis ſunt æquales: ergo ſecundum lineam q d fit reflexio. Similiter etiam eſt & in alijs demonftrandum. Patet ergo quòd omnes radij incidentes in puncta ſectionum factarum per latera triangulorum productorum à puncto b uerſus axem q s reflectuntur ad punctum unum, qui eſt centrum accepti circuli. Et quia ſectiones illæ fieri poſſunt quaſi infinitæ ab una linea ſic ordinata in ſectore, ad unum punctum mathematicum fiunt aggregationes radiorum quaſi infinitæ. Hoc ergo demonſtrato patet quòd omnes radij incidentes punctis b, t, d, e, f, l reflectuntur ad unum punctum, qui eſt q. Et ſi portiunculæ præeminentes auferantur, regulabunt termini t d & e f interiacentes lineas, ita quòd reflexio ab illis facta, non multùm diſtabit à puncto reflexionis, qui eſt q: eritq́ aggregatio omnium radiorum totali lineæ b l incidentium ad unum punctum ſenſibilem naturalem, in circuitu puncti q. Hæc ergo linea b l motu ſuo ſuperficiem ſectionis præaſſumptæ ſuperius pyramidis limando & cauando producet: à qua tota fiet reflexio ad punctum unum naturalem, ut inferius docebitur. Patet ergo propoſitum: faciunt enim iſti trianguli motu ſuo pyramides ſe interſecantes.

◉39. Siſectionem parabolam linea recta contingat, & à puncto contactus ducatur recta perpendiculariter ſuper diametrum ſectionis productam ad concurſum cum contingente: erit pars diametri interiacens perpendicularem & peripheriam ſectionis æqualis parti interiacen tiſectionem & contingentem.

◉Sit ſectio parabola, cuius nomen prius libro primo in commento propoſitionis 98 expoſuimus: quæ ſit l a g, cuius latus rectum ſit l g: & dia meter a d: contingatq́ hác ſectionẽ in pun cto b linea recta: quæ ſit h b k: concurratq́ diamcter: quæ ſit d a, producta extra ſectionem cum linea contingente, quæ eſt h b k, in puncto h: & à puncto contin

gentiæ, quod eſt b, ducatur per 12 p 1 linea perpendicularis ſuper diametrum a d, ſecans ipſam in puncto z: & ſit b z. Dico quòd linea z a pars diametri interiacens punctum ſectionis perpendicularis b z, & peripheriam ſectionis, quæ eſt l a g, eſt æqualis lineæ a h, parti eductæ diametri, quæ interiacet punctum h, quod eſt punctum concurſus diametri cum linea contingente, quæ eſt h b k, & pũctum a, quod eſt terminus diametri, cadens in ipſam peripheriam ſectionis. Et hoc uniuerſale eſt: etiam ſi linea recta ſectionem contingat in puncto g. Hoc autem demonſtratum eſt ab Apollonio Pergæo in libro de Conicis elementis: & hic utemur ipſo, ut demonſtrato.

◉40. Omne quadr atum lineæ perpendicularis ductæ ab aliquo puncto ſectionis parabolæ ſuper diametrum ſectionis, est æquale rectangulo contento ſub parte diametri interiacente illam perpendicularem & peripheriam ſectionis, & ſub latere recto ipſius ſectionis.

◉Verbi gratia: ſit, ut in præmiſſa, ſectio parabola, quæſit l a g: cuius latus rectum ſit l g, & eius diameter ſit a d: & à puncto aliquo ſectionis, quod ſit b, ducatur ſuper diametrum ſectionis, quæ eſt a d, perpendicularis b z. Dico quòd quadratum lineæ perpendicularis, quæ b z, eſt æquale ei rectangulo, quod fit ex ductu lineæ z a, quæ eſt pars diametri a d, interiacens ipſam perpen dicularem b z, & peripheriam ſectionis, in lineam l g, quæ eſt latus rectum ipſius ſectionis. Eſt ergo per 17 p 6 proportio lineæ l g ad lineam z b, ſicut ipſius z b ad lineam z a. Hoc autem ſimiliter demonſtratum eſt ab Apollonio Pergæo in libro de Conicis elementis: & nos ipſoutemur, ut demõſtrato. Hæc uerò duo theoremata cum alijs Apollonij theorematibus in principio librinon connumerauimus: quia ſolùm illis indigemus ad theorema ſubſequens explicandum, & in nullo aliorum theorematum totius huius libri.

page 399

◉41. Si in ſectione parabola ab extremitate diametri ex parte peripheriæ ſectionis reſecetur æquale quartæ parti lateris recti ipſius ſectionis: omnis linea æquidiſt anter diametro incidens alicui puncto ſectionis, & linea ab eodem puncto ſectionis ad punctum abſcißionis diametri producta, cum linea contingente ſectionem ſuper illud punctum, continent angulos æquales.

◉Sit, ut ſuperius, ſectio parabola, quæ l a b g: cuius diameter ſit a d: & eius latus rectum ſit l g: ab extremitate quoque diametri a d ex parte peripheriæ ſectionis, hoc eſt à parte puncti a reſecetur per 3 p 1 linea a e æqualis quartæ parti lateris recti ipſius ſectionis, quod eſt l g: incidatq́ linea t b puncto ſectionis, quod eſt b, æquidiſtanter diametro a d: & continuetur linea à puncto b ad punctum e, quod ſeparat à diametro a d lineam a e æqualem quartæ parti lineæ l g: & ducatur à puncto b linea contingens ſectionem: quæ ſit h b k. Dico quòd duælineæ t b & b e cum linea ſectionem contingente, quæ eſt h b k, in puncto b continent angulos æquales: ita quòd angulus

t b k eſt æqualis angulo e b h. Angulus enim b e h non poteſt euadere unam trium conditionum. Aut enim erit acutus: aut rectus: aut obtuſus. Sit primò acutus: & à puncto b ducatur per 12 p 1 ſuper diametrum a d perpendicularis b z: cadetq́ per 32 p 1 punctum z inter duo puncta a & e: & producatur diameter a d ultra pun ctum a, donec per 2 th. 1 huius concurrat cum linea contingente ſectionem, quę eſt k b h: ſitq́ concurſus in puncto h: eritq́ angulus a h b acutus: cadet ergo perpendicularis b z inter puncta h & e, & erit per 39 huius linea a z æqualis lineæ a h. Quia itaque linea a e eſt diuiſa in puncto z, & ei eſt æqualis uni parti diuidentium adiecta, quæ eſt a h: erit ergo per 8 p 2 quadratum lineæ e h æquale ei, quod fit ex ductu lineæ e a in lineam h a, uel in lineam a z quater, & quadrato lineæ z e: ſed linea e a eſt quarta pars lineæ l g ex hypotheſi: ergo per 1 p 2 uel per 1 p 6 illud, quod fit ex ductu lineæ a z in lineam a e quater, eſt æquale ei, quod fit ex ductu lineæ a z in lineam l g ſemel. Illud ergo, quod fit ex ductu lineæ a z in lineam l g cum quadrato lineæ z e eſt æquale quadrato lineæ e h: ſed per præmiſſam patet, quòd illud, quod fit ex ductu lineæ a z in lineam l g, eſt æquale quadrato lineæ b z: quoniam linea b z eſt perpendicularis ſuper diametrum a d: duo uerò quadra ta b z & z e ſunt per 47 p 1 æqualia quadrato lineæ b e: quadrata ergo linearum e h & e b ſunt æqualia: ergo linea e b eſt æqualis lineæ e h: ergo per 5 p 1 in trigono e b h angulus e h b eſt æqualis angulo e b h: ſed linea t b & d a ſunt æquidiſtantes: ergo per 29 p 1 angulus t b k extrinſecus eſt ęqualis d h b intrinſeco: angulus ergo e b h eſt æqualis angulo t b k. Eodem quoque modo dem onſtrandum de qualibet linea æquidiſtante diametro a d & b e linea copulata ad punctum e, quando illa linea ſuper punctum e cum diametro a d angulum continet acutum. Patet ergo propoſitum ſecundum hunc modum. Quòd ſi angulus b e h fuerit rectus, adhuc patet propoſitum, Quòd angulus t b k eſt æqualis angulo e b h. Quoniam enim angulus b e h eſt rectus: patet quòd linea b e eſt perpendicularis ſuper diametrum a d: ergo linea e a per 39 huius eſt æqualis lineę a h: ſed linea e a ex hypotheſi eſt quarta pars lineæ l g: ergo linea h e, quæ eſt dupla lineæ a e, eſt medietas lineæ l g: ergo per 4 p 2 quadratum lineę e h eſt quarta pars quadrati lineæ l g. Id quoq, quod fit ex ductu lineæ e a in lineam l g eſt æquale quartæ parti quadrati lineæ l g per 1 p 6: quoniam linea e a eſt ex hypotheſi quarta pars lineæ l g. Illud ergo, quod fit ex ductu lineæ e a in lineam l g eſt æquale quadrato lineæ e h: ſed id, quod fit ex ductu lineæ e a in lineam l g, eſt æquale quadrato lineæ e b per præmiſſam: quoniam linea e b eſt perpendicularis ſuper diametrum a d: quadratum ergo lineæ e h eſt æquale page 400 quadrato lineæ e b: ergo linea e h eſt æqualis lineæ b e: ergo, ut prius per 5 p 1 anguli e b h & e h b ſunt æquales. Et quoniam linea t b æquidiſtat lineæ a d: patet per 29 p 1 quoniam angulus t b k eſt æqualis angulo e b h. Et ſimiliter demonſtrandum de omni linea incidente ipſi ſectioni, cum angulus b e h eſt rectus: & illud eſt, quod proponebatur. Siuerò angulus b e h ſit obtuſus: dico quod adhuc angulus t b k eſt æqualis angu lo e b h. Ducatur enim linea perpendicularis, quæ ſit b z à puncto b ipſius ſectionis, cui incidit linea æquidiſtans diametro a d, quæ eſt t b: illa quoque perpendicularis ſuper dia metrum a d ſit b z: cadetq́ hæc perpendicularis b z inter puncta diametri, quæ ſunt d & e: aliàs enim duo anguli unius trigoni b e z fierent maiores duobus rectis: quoniam uno exiſtente recto, qui b z e, angulus b e z eſſet obtuſus: quod eſt impoſsibile: cadit ergo pun ctum zinter puncta e & d: linea ergo a z eſt maior quàm linea a e. Et quoniam linea h b k contingit ſectionem, & linea b z eſt perpendicularis ſuper diametrum a d: erit per 39 hu ius linea a z æqualis lineæ a h: ergo linea h a eſt maior quàm linea a e: ſiat per 3 p 1 linea a m æqualis lineæ a e: remanet ergo linea h m æqualis lineę z e: linea ergo e m addita utrobique, erit linea z m æqualis lineæ h e: quadratum ergo lineę z m eſt æquale quadrato lineę e h. Quia itaque linea z a eſt diuiſa in puncto e, & ei eſt adiecta æqualis uni diuidentium, quę eſt m a, æqualis ipſi a e: patet per 8 p 2 quòd illud, quod fit ex ductu lineę z a in lineam a m, uel in eius æqualem lineam a e quater, cum quadrato lineæ z e, eſt æquale quadrato lineę z m, uel lineę e h, quę ſunt æquales: ſed illud, quod fit ex ductu lineę z a in lineam a e quater, ut patet ex pręmiſsis, eſt æquale ei, quod fit ex ductu lineę a z in lineam l g per 1 p 2 uel per 1 p 6: quoniam linea a e eſt æqualis quartę parti lineę l g ex hypotheſi. Illud ergo, quod fit ex ductu lineę a z in lineam l g, cum quadrato lineę z e, eſt æquale quadrato lineę e h: ſed illud, quod fit ex ductu lineę z a in lineam l g eſt æquale quadrato lineę b z per præcedentem: quoniam linea b z eſt perpendicularis ſuper diametrum a d: quadratum uerò lineę b e per 47 p 1 eſt ęquale quadratis ambarum linearum b z & e z. Patet ergo quòd quadratum lineę b e eſt ęquale quadrato lineę e h: ergo linea e b eſt ęqualis lineæ e h: ergo per 5 p 1 anguli e b h & a h b ſunt ęquales: ſed, ut prius, lineę t b & d h ſunt æquidiſtantes: angulus ergo t b k per 29 p 1 eſt æqualis angulo d h b: ergo & angulus e b h. Et ſimiliter demonſtrandum in omnilinea incidente ſectioni æquidiſtanter diametro a d, cum angulus b e h eſt obtuſus. Patet itaq generaliter propoſitum. Nam omnis linea incidens peripherię ſectionis ęquidiſtanter diametro, & alia linea, quę ab illo eodem puncto ducitur ad punctum abſcindens à diametro ex parte peripherię ſectionis partẽ, æqualem quartæ partilateris recti ipſius ſectionis, cum linea ſectionem in illo puncto contingente continent angulos ęquales. Ethoc proponebatur.

◉42. In omni ſuperficie concaua conca

Fig. 833

l a b h k e g t d z

uitatis ſectionis parabolæ, ſiab extremitate axis contingentis ſectionem abſcindatur pars æqualis quartæ lateris recti ipſius parabolæ: omnis linea æquidiſtanter axi incidens illi ſuperficiei, & linea à puncto incidentiæ ad punctum ſignatũ in axe producta, cũ linea in illo pũcto ſuքficiẽ cõtingẽte cõtinẽt angulos æquales.

◉Sit ſuperficies concaua concauitate ſectionis parabolę, cuius uertex ſit pũctũ a: & hęc eſt ſuperficies illa, quã motu ſuo circa axẽ fixũ efficit ipſa parabola per 117 th. 1 huius. Et quoniã, utibidẽ patuit, huius ſuperficiei baſis eſt circulus, quẽ circa pũctũ d motu ſuo deſcribit linea g d: ſit ille circulus g e z: & ſit huius ſuքficiei concauę axis linea a d, quę fuit prius diameter ſectionis parabolę: & ab extremitate axis à puncto ſcilicet a abſcin datur ab axe linea a h ęqualis quartę partl page 401 lateris recti ipſius ſe ctionis, quę ſit linea g z, cuius quartę parti ęqualis ſit linea a h: & ducatur à pun cto ſuperficiei b linea b t ęquidiſtanter axi a d per 31 p 1: & ducatur linea b h. Dico quòd duę lineę t b & h b continent cum linea continegnte ſuperficiẽ concauam propoſitam in pũcto b duos angulos æ quales. Quoniam enim linea a d & b t ſunt ęquidiſtantes: patet quòd ipſę ſunt in eadé ſuperficie per 1 th. 1 huius: ſed linea b h cadit inter illas: ergo per 7 p 11 ipſa eſt in eadẽ ſuperficie cum illis: lineę ergo t b & b h & a d ſunt in una ſuperficie. Sit itaq, ut aliqua ſuperficies plana contingat ſuperficiẽ propoſitam ſuper punctum b: ſuperficies itaq b t d a ſecabit ſuperficiem concauã: & erit per 19 th. 1 huius communis ſectio ipſarum parabola: quę ſit a b g: cuius diameter erit linea a d: & erit communis ſectio ſuperficiei b t d a & ſuperficiei planę contingentis iſtam ſuperficiem concauam linea con tingens ſectionem a b g in puncto b: quę ſit linea l b k. Quia itaq linea l b k contingit ſectionẽ a b g in puncto b, & linea a h eſt quarta pars lateris recti, & linea t b ęquidiſtat lineę a d: patet per pręmiſſam, quoniam duę lineę t b & b h continent angulos æquales cum linea l b k contingente ſectionẽ in puncto b: & quòd imaginata moueri ſuperficie b t d a circa axem fixũ, qui eſt a d: patet quòd pun ctum b motu ſuo eſficit circulum in ſuperficie cõcaua, à cuius totali peripheria lineę ductę ad punctum h continent angulos ęquales. Et idem accidit in quacunque parte ſectionis parabolę, quę eſt a b g, cadat punctus b: ſiue angulus b h a fiat acutus, rectus uel obtuſus. Patet itaq quòd omnis linea ęquidiſtans axi a d & incidens ſuperficiei concauę propoſitę, & linea ab illo puncto ad punctũ h ducta continent angulos ęquales cum linea in illo pũcto ſuperficiẽ cõtingẽte. Et hoc eſt ꝓpoſitũ.

◉43. Speculo concauo concauitatis ſectionis parabolæ ſoli oppoſito, ita ut axis ipſius ſit in directo corporis ſolaris: omnes radij incidentes ſpeculo æquidiſtanter axi, reflectuntur ad punctũ unum axis, distantem à ſuperficie ſpeculi ſecundum quart am lateris recti ipſius ſectionis parabole, ſpeculi ſuperficiem cauſſantis. Ex quo patet quòd à ſuperficie talium ſpeculorum ignem est poßibile accendi.

◉Sit ſpeculũ concauum concauitate ſectionis parabolæ: cuius uertex ſit pũctum a: & baſis ipſius ſit circulus q e z: & eius axis a d: & diſtantia puncti axis (quod ſith) à puncto uerticis ſpeculi (q eſt a) ſit æ qualis quartæ parti lineę q z, ſcilicet lateris recti ſectionis parabolæ a g q, cauſſantis motu ſuo ſuper axem a d ſuperficiem ipſius ſpeculi concaui: quod ſoli opponatur ſecundum eius axẽ ad. Sit enim corporis ſolaris centrum k: ſitueturq́ ſpeculũ taliter, ut eius axis a d ſic productus per ueniat ad centrum ſolis in punctum k. Dico quòd

omnes radij ſolares æquidiſtanter radio k a ſuperficiei ſpeculi propoſi ti incidétes, reflectuntur ad pun ctum h lineę a d, quę eſt axis ſpeculi. Quoniá enim omnes radij egredientes â quocunq puncto corpo ris ſolaris ſuper aliquod punctum ſuperficiei ſpecu li, egrediuntur ſecundum lineas rectas, ut patet per 1 th. 2 huius: tunc palàm eſt quia linea k a eſt linea re cta. Sit itaq ſuper peripheriam alicuius ſectionis pa rabolæ ipſius ſpeculi (quę ſit g a z q) pũctũ g ſigna tum, utcunq contingit: & à puncto ſpeculi g per 31 p 1 ad aliquod punctum corporis ſolaris (quod ſit t) ducatur linea g t æquidiſtans radio a k, qui incidit ſuperficiei ſpeculi ſecũdum axem a d. Eſt autem neceſſarium omnem lineam à quocunq puncto ſpe culi æquidiſtanter radio a k productam ad ſuperficiem corporis ſolis incidere: quoniá ſuperficiei ſpeculi ad ſuperficiẽ ſolaris corporis aut nulla, aut modica eſt proportio: ſit ergo punctum t, quod eſt terminus lineæ g t, in ipſa ſuperficie corporis ſolaris. Omnes itaque lineæ, quæ poſſunt duci à ſuperficie ipſius ſpeculi ęquidiſtanter ſuo axi a d, incidunt cor pori ſolari, & ſecũdum illas lineas fit incidentia ſuperficiei ſpeculi, reſpectu radij, qui incidit ſecũdum axem omnium æquidiſtantium axi radiorum: hoc autem eſt omnium radiorum cuicunque puncto ſuperficiei totius ſpeculi incidẽtium: quoniam per 31 p 1 à quolibet pũcto propè uel remotè dato ſcimus cuilibet datæ lineæ, utin propoſito eſt axis a d, duce re lineam æquidiſtantem. Dico itaq quòd omnes illi radij reflectuntur à totali ſuperficie ſpeculi ad unum punctum axis ſpeculi, quod eſt punctum h. Omnes enim illi radij cum ſint lineæ rectæ: patet per præmiſſam, quòd cum lineis ab omnibus pũctis ſuarum incidentiarũ ad punctũ h ductis continent 402 angulos æquales: ergo per 20 th. 5 huius omnes illi radij reflectuntur ſecundum illas lineas tranſeuntes punctum h. Et ex hoc pater, quòd omnes radij incidentes peripheriæ ſectionis æquidiſtanter radio incidenti ſecundum lineam, quę eſt diameter ipſius ſectionis, reflectuntur ad punctũ diametri, qui abſcindit ex capite diametri à parte peripherię ſectionis partem æ qualem quarię parti la teris recti ipſius ſectionis g a z q: quoniam omnis reflexio à quolibet corporum politorum regularium fit ſecundum æ qualitatem angulorum, quos continent linea incidens & reflexa cum linea in illo puncto ſuperficiem ſpeculi, à qua fit reflexio, contingente. Et quoniam omnes illę lineę ſecant ſe in puncto h: patet quòd in puncto h eſt concurſus omnium illorũ radiorum. In illo ergo puncto aggregatur omnis uirtus omnium radiorum totali ſuperficiei ſpeculi incidentium. Et quoniã quilibet radiolus defert ſecũ aliquid uirtutis actiuę corporis ſolaris: patet quòd in illo puncto tota uir tus eſt concurrẽs, omnium ſcilicet radiorũ ſuperficiei ſpeculi ęquidiſtanter ipſi axi a d incidentiũ. Ex quo patet quòd in illo puncto h poſito aliquo combuſtibili ignem eſt poſsibile accendi. Et hæc eſt melior & fortior figura omniũ figurarũ radios ſolares ad unũ pũctũ aggregãtiũ: quoniá à tota eius ſuքficie, & à quolibet pũcto ipſius radij ſolares in unũ pũctũ aggregãtur. Patet ergo ꝓpoſitum.

◉44. Speculum ſecundũ formã ſectionis parabolæ, uel lineæ eccentr alis, uel interſectionis pyra midalis, uel cuiuſcun alterius regularis uel irregularis datæ lineæ artificialiter conſtituere.

◉Lineam, quá dicimus peripheriá ſectionis, inueniat induſtria operantis: quę & apud nos multis conatibus artificialiter eſt inuenta: faciliter tamen eſt imaginabilis: quoniam, ut in 98 th. 1 huius diximus, ipſa eſt linea, quę eſt cõmunis ſectio ſuperficiei conicę cuiuſcunq pyramidis, maximè uerò rectangulę & ſuperficiei pyramidem per diametrum baſis ſecanti æquidiſtanter alicui lineę longitudinis illius pyramidis: utpote ei, cuius & axis pyramidis cõmunis ſuperficies eſt erecta ſuper pla nam ſuperficiem dicto modo pyramidẽ ſecantem. Talis itaq ſectio parabola ſic artificialiter inuen ta ſit a e g: & aſſumatur lamina ferri boni uel chalybis, menſuræ & quantitatis cuius placuerit: quę ſit a b g d: & protrahatur in ipſa ſectio parabola, quę

ſit æqualis & ſimilis ſectioni a e g: & abſcindatur lamina ſecũdũ illam ſectionẽ a e g, uel ſecundũ aliquá partem ipſius: ſiue placeat à parte uerticis, qui eſt a: ſiue ex parte unius ſui capitis, quod eſt g: ſiue ex par te alterius ſui capitis, quod eſt in latere eius recto op poſitum puncto g: fit enim magna diuerſitas proiectionis radiorum ſecũdum illá partium ſectionis diuerſitatem. Reſecta itaq lamina a b d g ſecundũ formam & figurá ſectionis a e g: acuatur extremitas laminę, quę eſt ſecũdum formam ſectionis, acuitione bona, ſcilicet ut radere ualeat totum illud, ſuper q mouetur. Et aſſumatur item alia lamina de chalybe forti alicuius competentis ſpiſsitudinis: quę incidatur iterum ſecundũ formá pręaſſumptę partis illius ſectionis: & illa ſuperficies ſimilis parabolę ſecetur cótiguè multis ſectionibus ad modum limę, ita ut ք ipſam poſsit limari ferrũ. Deinde fiat corpus ferreũ cõueniens illi figurę, cuius ſuperficiẽ ſecundũ formã intentã ꝓponimus cõcauare & polire ad modũ ſpeculi: ſiue illud ſit ſecundũ ſormã partis ſectionis adiacentẽ uertici ſectionis parabolę, ſiue capitis. In his enim eſt multa diuerſitas formę uel figurę ſpeculi. Forma enim figurę ſpeculi cõcauati ſecundũ partes adiacẽtes uertici ſectionis, ęqualiter hinc inde diſtátes à pũcto uerticis, eſt figurę quaſi annularis: & for ma ſpeculi cõcauati ſecundũ partes adiacentes capi tibus ſectionis, eſt figurę quaſi oualis, hoc eſt ad modũ longitudinis oui. Limeturitaq ſpeculũ cuiuſcun que figurę fieri debuerit per limam ſibi ſimilẽ in figu ra, taliter ut ſuperficies limę, quę eſt ſecta ad limádũ, occurrat toti ſuperficiei ipſius ſpeculi. Si ergo ſpecu lum limatũ fuerit ſecundũ figurã oualẽ: tunc ordine tur in loco fixo, ita ut eius cõcaua ſuperficies, quãtũ ad lineã peripherię ſuę baſis, ſit in peripheria il lius circuli baſis: uel ſi fuerit figurę annularis, ad peripheriá circuli ęquidiſtátis baſi: & in loco axis figatur lamina limę ſuperficiẽ radendã planãtis, moueaturq́ ad cõcauandũ ſpeculũ: & tornetur, ſicut tornantur alia inſtrumẽta, donec peripheria acutę laminę occurrat toti ſuperficiei ſpeculi, & euacuetur omnis aſperitas ipſius: planetur quoq, quãtũ eſt poſsibile: eritq́ tũc ſuperficies illius ſpe culi ſecundũ ſe totá habens figurá ſectionis parabolę: & fiet ab omnibus punctis ſuę ſuperficiei reflexio in punctũ unũ. Simili modo faciat ingenioſus artifex in alijs lineis quibuſcunq, utin illis li page 403 neis, quas per 37 & 38 huius docuimus inuenire: quoniam in omnibus his idem eſt operandi modus: ut ſecundum fixam diametrum a c in 37 huius: uel ſecundum fixum punctum q in 38 huius fiat dictarum linearũ reuolutio ſuper ſubiectas ſibi proportionales corporis ferrei ſuperficies: proueniẽtq́ figuræ ſimiles illis lineis, à quarum ſuperficiebus reflexi radij omnes ad unum punctũ naturalem uel mathematicum concurrent. Patet itaque propoſitum.