◉Vitellonis filii thvringorvm et polonorvm opticae liber octavvs.

◉NOTIFICATIS aliqualiter paßionibus ſpeculorum planorum & cõuexorum regularium, ut ſphæricorum, columnarium & pyramidalium: ſuperſt nunc, ut de ſpeculorum concauorum proprietatib. aliqua conſcribamus, ſicut de illis, in quibus plus reſultat reflexionum diuerſitas & mirabilis diffuſio naturalium formarum, uiſuum que aſpicientium deceptio multiformis. Specula uerò concaua regularia (prout in 5 huius ſcientiæ libro th. 8 declar auimus) ſunt tantùm tria, ſcilicet ſphæricum, columnare & pyramidale: inter quæ primò de ſphæricis concauis in præſentis libro tractabimus, utpote de illis, quorum paßiones ueluti ſimpli ciores alijs, in reliqua concaua ſpecula deſcendunt. Et quoniam principia communia his ſpeculis ſphæricis concauis & ſphæricis conuexis, in principio 6 libri ſciẽtiæ huius præmiſimus: ideo ipſa, ut ex præmißs ſuppoſita, hic non reiter amus: ea tamen, quæ propria ſunt his ſpeculis, duximus explicanda.

◉Definitio.

◉Imaginem conuerſam dicimus, quæ totalem ſitum rei uiſæ uariat: ut ſi caput intuentis, quod eſt ſurſum, uideatur deorſum: & ſecũdum hoctotus ſitus partium imaginis, reſpectu ſitus partium rei uiſæ uarietur.

◉Theoremata

◉1. Oppoſito uiſui ſpeculo ſphærico concauo: communis ſectio baſis pyramidis uiſionis & ſuperfi ciei concauæ ſpeculi erit circulus ſphæræ, quando magnus, quando minor illo.

◉Quandoq enim tota ſphæræ concauæ ſuperficies uidetur, quandoque pars eius maior, quãdoque minor, ut patet per 72 th. 4 huius. Secundum hoc ergo illa communis ſectio baſis pyramidis ui ſionis & ſuperficiei ſpeculi uariatur. Cum autem ſuperficies baſis pyramidis ſit ſuperficies plana, & ſuperficies concauorum ſpeculorum ſit ſphærica: patet per 110 th. 1 huius quod ipſorum communis ſectio ſemper eſt circulus. Hic ergo quando que eſt circulus magnus, ut quando tranſit cẽtrum ſpeculi: quando que minor circulo magno, ut cum non tranſit centrum ſpeculi, ſed cadit extra illud. Pa tet ergo propoſitum.

◉2. Communem ſectionem ſuperficiei reflexionis & ſuperficici ſpeculi ſphærici concauineceſſe eſt circulum magnum uel arcum circuli magni ſuæ ſphæræ eſſe: ex quo patet, quòd omnis ſuperficies reflexionis ſecat ſphæram ſpeculi concaui per æqualia.

◉Huius propoſiti theorematis non eſt alia demonſtratio, quàm quæ ſacta eſt ſuprà in 1 th. 6 huius:

310 ubi idem proponitur de ſpeculis ſphęricis conuexis. Et quia ſphæræ concauitas ſic reſpicit centrũ, ſicut & ipſius conuexitas, & ſuperficies reflexionis eſt ſemper ſuքfi cies plana erecta ſuper ſuperficiem ſpeculi per 25 th. 5 huius: patet propoſitum: quoniam idem erit modus demonſtrandi hic, qui ſuprà. Eſto enim ſpeculum ſphæricum concauum a b c: cuius centrũ d: & ſit centrum uiſus g: reflectaturq́ue forma puncti e ad uiſum g à puncto ſpeculi b. Dico quòd ſuperficiei reflexionis, quę e ſt e b g, & ſuperficiei ſpeculi communis ſectio eſt circulus a b c. Sit enim ſuperſicies plana contingens ſph ęram in puncto b, à quo puncto erigatur linea f b ſuper ſuperficiem ſpeculum in illo puncto b contingentem per 12 p 11: hæc ergo cadet neceſſariò in ipſam ſuperficiem reflexionis per 27 th. 5 huius, & eadem linea f b producta ultra pun ctũ b neceſſariò tranſibit centrũ ſphæræ per 72 th. 1 huius, q eſt d: ꝓducta quoq fit diameter ſphærę: ergo & circuli magni illius ſphę rę. Et quoniam hęc diameter communis eſt 4uperficiei reflexionis & ipſi ſphærę: palàm ergo propoſitum.

◉3. In omni ſuperficie reflexionis à ſpeculis ſphæricis concauis, centrum uiſus: centrum ſpeculi: punctum reflexionis: punctum uiſum: terminum́ diametri uiſualis à centro uiſus per cẽtrum ſphæræ ductæ ad ſphæræ ſuperficiem, conſistere eſt neceſſe. Alhazen 23. 45 n 4.

◉Cum ſuperficies reflexionis contineat lineam incidentiæ & reflexionis: palàm quoniam continet punctum rei uiſæ, cuius forma reflectitur, & punctum reflexionis, à quo reflectitur, & centrum uiſus, ad quod reflectitur. Et quoniam communis ſectio ſuperficiei reflexionis & ſuperficiei ſpeculi ſphęrici concaui eſt circulus magnus per æqualia diuidens ſphęram per pręmiſſam: palàm quia in qualibet ſuperficie reflexionis eſt centrum ſpeculi: quia quælibet ipſarũ tranſit cẽtrum ſphærę ipſius ſpeculi, cum quęlibet illarum ſuperficierum ſit erecta ſuper ſuperficiem planam ſpeculum in pũcto reflexionis contingentem per 25 th. 5 huius: ſed per 1 p 11 producta diametro uiſuali per centrũ uiſus & centrum ſphęrę, terminus illius diametri neceſſariò erit in eadem ſuperficie cum alijs duobus ſuis punctis. Parædicta ergo quinq puncta neceſſariò ſunt in omni ſuperficie reflexionis, quę ſit à propoſitis ſpeculis. Et hoc eſt propoſitum.

◉4. Centro uiſus uel puncto rei uiſæ in centro ſpeculi ſphærici concaui exiſtente: à quolibet pun cto fiet reflexio in ſe ipſum. Ex quo patet quòd in hoc ſitu uiſus non comprehendet niſi ſetantùm: & quòd punctus rei uiſæ exiſtens in centro ſpeculi nõ reflectitur aliqualiter ad uiſum. Euclides 24 th. catoptr. Ptolemæus 1 th. 2 catoptr. Alhazen 44 n 4. Item 62 n 5.

◉Eſto ſpeculum ſphæricum concauum, cuius centrum ſit a: & ſignetur in ipſo aliquis ſuorum magnorum circulorum, qui b c d e: & centrũ uiſus ſit in centro ſpeculi, quod eſt punctum a. Dico quòd à quocunque puncto ſiet reflexio ad uiſum: ſemper oportet ut reflectatur radius in ſeipſum. Dato enim quòd à puncto b fiat reflexio ad centrum ſpeculi a, in quo eſt cẽtrum uiſus: palàm ergo per 72 th. 1 huius quoniam linea b a, quę eſt linea reflexionis, eſt per pendicularis ſuper ſuperficiem cõtingentem ſpeculum in puncto b: ſed omnis perpendicularis in ſe ipſam ſem per reflectitur per 21 th. 5

huius. Si ergo linea b a eſt per pẽdicularis ſuper ſu perficiem ſpeculi: palàm quia linea incidens fuit perpendicularis, & eadem cũ linea b a. Dato enim oppoſito, ſequitur angulũ incidentię inę qualẽ eſſe angulo reflexionis: quod eſt contra 20 th. 5 huius, & impoſsibile. Linea itaq a b reflectitur in ſeipſã, ut ipſa eſt ſacta linea b a. Et quo niam in hoc ſitu ui ſus, omnes lineę incidẽtes ſuperficiei ſpeculi, ſunt ſemidiametri ipſius: palàm quoniam omnes angu li incidẽtię ſunt inter ſe ęquales per 43 th. 1 huius: quia ſunt anguli ſemicirculorum. Reflectuntur ergo neceſſariò in ſeipſos: uidebiturq́ in tota ſuperficie ſpeculi forma aſpicientis oculi una forma, & apud ſuperficiem ſpeculi apparebit: & nulla alia forma tunc uidebitur reflecti ad uiſum. Et ex hoc patet, cũ uiſus ſuerit in centro a, quòd ipſe uidebit ſe à quolibet pũcto ſpeculi dati քpẽdiculariter: & q nihil aluid uidebit ք reflexionẽ à ſuքficie ſpeouli: quoniã ab uno pũcto ſpeculi ad cẽtrum plures perpendiculares duci nõ eſt poſsibile, ut patet per 20 th. 1 huius. Similiter neq punctus rei uiſę exiſtens in centro uiſus reflectitur ad uiſum, ſed ſolùm in ſe ipſum: quoniã omnes lineę incidentię ſunt perpendiculares ſuper ſuperficiẽ ſpeculi: unde page 311 non reflectentur niſiin ſeipſas. Et hoc eſt propoſitum. Ethæc quidem dicta ſunt, non præſtante im pedimentum uiſui capitis denſitate. Siergo centrum uiſus hominis uidentis conſtitutum fueritin diametro ſphæræ ſpeculi concaui, & in centro eius (cum quęlibet linea à uiſu ad ſuperficiem ſpecu li ducta ſit perpendicularis ſuperipſam) tunc, ut prius demonſtratum eſt, comprehendetuiſus ſe ipſum, & non comprehendetur forma alicuius puncti ſpeculi, niſi puncti portionis circuli interiacentis lineas longitudinis pyramidis uiſualis, quę à centro ſpeculi intelligitur protendi: quoniam forma cuiuslibet alterius puncti cadetin ſpeculum ſuper lineam à uiſu declinatam, & neceſſariò re fle ctetur ſuper illam lineam declinatam. Quare linea reflexionis non tranſibit per centrum ſpeculi: & ita non pertinget ad centrum uiſus. Patet ergo propoſitum.

◉5. Centro uiſus exiſtente in aliqua ſemidiametro ſpeculi ſphærici concaui extra centrum ſpeculi: impoßibile eſt ad uiſum reflecti formam alicuius punctorũ illius ſemidiametriobliquè ſpeculo incidentem: reliquæ uerò ſemidiametri eſt poßibile. Alhazen 63 n 5.

◉Hoc, quod hic proponitur, euidenter declaratur. Sienim cẽtrum uiſus fueritin in ſemidiametro aliqua propoſiti ſpeculi, ſed non in centro: non comprehendet uiſus formá alicuius puncti ſemidiametri, in qua eſt, obliquè ſpeculo incidentem: quoniam angulus, quem efficient duę lineæ, quarum una ducitur à puncto ſumpto in illa ſemidiametro, & alia à centro uiſus in idem ſpeculi punctũ, nó poterit diuidi per lineam perpendicularem ab illo puncto ſpeculi ductam: cum illa perpendicularis tẽdat ad centrũ ſpeculi, formam uerò alicuius puncti alterius ſemidiametri coniunctæ ſemidiametro, in qua eſt centrum uiſus, ad complendam diametrum ſpeculi, in qua conſtitutus eſt uiſus, obliquè ſpeculo incidentem percipere poteſt uiſus: utpote formam illius puncti, à quo ducta linea incidentię ad aliquod punctum ſpeculi, ab eodem puncto ſpeculi ducta linea reflexionis ad uifum, an gulus ab illis lineis contentus diuiditur per æ qualia per lineam ab illo puncto reflexionis ad centrum ſpeculi productam. Hæc enim eſt proprietas reflexionis in omnibus ſpeculis, ut angulum à linea incidentię & linea reflexionis contentum diuidat perpendicularis à puncto reflexionis ducta per æqualia per 26th. 5 huius. Ille ergo punctus poteritin ſpeculo uideri: & non eſt niſi unicus talis punctus in quibuſcunq diametris ſpeculi conſiſtens, qui ab uno circulo ſpeculi ad uiſum reflecti poſsit. Quoniam centro ſpeculi, ad quod terminatur perpendicularis ducta à puncto reflexionis, & centro oculi exiſtentibus fixis, erit punctus ab uno circulo ſpeculi reflexus ſemper unus: à diuer ſis uerò circulis ſpeculi diuerſa puncta diametri poſsibile eſt reflecti. Patet ergo propoſitum.

◉6. Poſito uiſu extra centrum ſpeculiſphærici concaui: à quolibet puncto ſpeculi poteſt fieriformæ alterius reflexio ad uiſum, niſiſolùm ab illo puncto, cuiincidit diameter uiſualis. Alhazen 45 n 4.

◉Eſto per 2 huius communis ſectio ſuperficiei reflexionis, & ſuperficiei ſpeculi ſphærici concaui circulus magnus, qui fit g d c: cuius centrum ſit b: & centrum uiſus ſit a: & ducatur à cẽtro uiſus per b centrum ſpeculi diameter uiſualis: quę ſit a b d, incidens ſuperficiei ſpeculi in puncto d. Dico quòd à quolibet puncto ſpeculi dati poteſt fieri reflexio formę puncti alterius rei uiſibilis ad uiſum a, niſi à ſolo puncto d. Sit enim datus alius punctus, qui ſit g: ducaturq́e ad ipſum ſemidiameter b g: & continuetur linea reflexionis, quæ ſit g a: & ducatur linea f g l contingens circulum magnum ſpeculi tranſeuntem pũcta g, d, c. Palàm per 18 p 3 quia anguli b g f & b g l ſunt recti. Patet etiam per

42 th. 1 huius quoniam angulus b g a erit acutus: cadit enim linea a g inter diametrum & lineam contin gentem f g l, quæ eſt extra ſpeculum, ubicunq pona tur eſſe cẽtrum uiſus, ſiue intra ſiue extra circulum g c d. Conſtituatur quoque per 23 p 1 in eiuſdem circuli ſuperficie ſuper lineam l g ad punctum g angulus æ qualis angulo f g a: qui ſit h g l: erit ergo angulus h g b æ qualis angulo b g a. Et quoniam angulus contingentiæ eſt minimus angulorum per 16 p 3: pa làm quòd ab angulo b g l recto abſciſſo quocunque angulo acuto rectilineo, ſemper linea illum acutum angulum continẽs cadetintra circulum g c d: quoniam ſolus angulus contingentiæ cadit extra circu lum. Poſito itaque quocunque puncto uiſibili in linea h g: ſemper fiet reflexio formæ alicuius ſui puncti ad uiſum a. Et eodem modo de quolibet alio ſpeculi puncto extra punctum d dato dem onſtrãdum. Sed & à puncto d fit reflexio. Cum enim linea a d ſit perpendicularis ſuper ſuperficiem contingentem ſpeculum in puncto d: palàm quia linea a d reflectitur in ſeipſam per 21 th. 5 huius. Siergo aliquid interponatur non diaphanum inter centrum uiſus, quod eſt a, & punctum ſpeculi d, nulla fiet reflexio ad uiſum impediẽte medio: ſi uerò nullum tale interponatur, ſolius puncti ſuperficiei oculi forma uidebitur ab eodem oculo, nihilq́ aliud, Et hoc eſt propoſitum.

page 312

◉7. In ſpeculis ſphæricis concauis ſi ſupraperipheriam uelextra ponatur centrum uiſus: oculus non uidetur, niſi per diametrum ſpeculireflectatur. Euclides 25 th catoptr.

◉Sit ſpeculi concaui ſphęrici circulus magnus a b g: ſitq́ue centrum uiſus in puncto b ſuper ſpecu li peripheriam: & ducantur lineę b a & b g non per centrum. Et quoniam angulus maioris portio

nis, ut patet per 43th. 1 huius, eſt maior: angulus uerò reflexionis ſemper debet eſſe æ qualis angulo incidentiæ, ut patet per 20 th. 5 huius: palàm quia non fiet reflexio ſecundum lineam a b, ſed fiet ad partem maioris anguli: & ſimiliter eſt de puncto g: quoniam non fiet reflexio ſecundum lineam b g, ſed ad partem anguli maioris per 33 th. 5 huius. Si enim forma puncti b à punctis a & g reflecteretur in ſeipſam: tunc anguli portionum ad punctum a & ad punctũ g eſſent æquales: quod eſt impoſsibile, & contra 43 th. 1 huius: per diametrum tamen cuiuſcunq circuli magni totius ſpeculi ſphærici concaui poteſt uiſus incidens reflecti in ſeipſum: quoniam omnium ſemicirculorũ eiuſdem cir culi anguli ſunt æ quales per idem 43 th. 1 huius: ſed tunc non fiet reflexio niſi unius puncti ſuperficiei ſpeculi diametraliter incidentis, ut ſecundum lineam b c: qui non percipitur, quia indiuiſibilis eſt: & omne, quod uidetur, diuiſibile eſt, quia ſub angulo uidetur per 18th. 3 huius: alij uerò puncti incidẽtes obliquè reflectuntur ad partẽ anguli maioris, & non perueniunt ad uiſum, niſi illi, quorum reflexionis lineę incidunt ſuperficiei uifus, & figuranturin illo partium rei uiſæ ſitibus permutatis: quod autem non ſic reflectitur, non uidetur. In his itaq ſpeculis ſphæricis concauis, ſiſupra peripheriam ſpeculi ponatur centrum uiſus, non uidetur oculus, niſi per diametrum ſpeculireflectatur. Idem enim accidit, ſi extra peripheriam ſpeculi propoſiti oculus ponarur: & eodem modo dem onſtrandum: quoniam linearum inæqualitas naturam reflexio nis non immutat per 20 th. 5 huius. Patet ergo propoſitum.

◉8. Ab alter a parte productæ diametri extra circulum ſpeculi ſphærici concaui uiſu poſito, ſiue in tranſuerſali diametro, ſiue extraillam, ſiue citr a illam: nihilrerum in illa parte diſpoſit arum poßibile eſt uideri. Euclides 26th. catoptr.

◉Eſto communis ſectio ſuperficiei reflexionis & ſpeculi ſphærici concaui circulus a g d: cuius cen trum ſit z: & producatur ſemidiameter z g extra peculum ad punctum h ducaturq́ à centro z per 11 p 1 alia diameter perpendiculariter ſuper lincam h g, quæ a z d: & ſit centrum uiſus in puncto b ab altera parte diametri h g: & à puncto b ducatur linea ęquidiſtans lineæ h g per 31 p 1, quę ſit linea b e, incidens ſuperſiciei ſpeculi m puncto e. Dico quòd nulla rerum uiſibilium poſitarum ab illa par te diametri h g, & lineę b e, in qua ſcilicet eſt uiſus, poteſt uideri, Detur enim, ſi ſit poſsibile, ut pun

ctus q ab illa parte poſitus ad uiſum exiſtentem in pũcto b reflexus ualeat uideri: incidatq́ forma puncti q ad punctum ſpeculi, quod eſt e, producta linea incidentiæ, quæ ſit q e: & à puncto e contingens circulum per 17 p 3: quæ ſit p e o: & ducatur linea e z. Si ergo for ma puncti q à pũcto ſpeculi e reflectatur ad uiſum exiſtentem in puncto b: palàm per 20 th. 5 huius quoniam angulus q e o erit æqualis angulo b e p: ſed angu lus b e p eſt maior angulo recto: quia per 18 p 3 eſt angulus z e p rectus: ergo & angulus q e o eſt maior recto: quod eſt contra 13 p 1. Palàm ergo quòd forma pũcti q non reflectitur à puncto e ad uiſum b. Sed neque ab aliquo alio puncto arcus e d: quoniam idem accidit impoſsibile. Sed ſuper terminum lineæ z e per 23 p 1 conſtituto angulo æquali angulo b e z, poſsibile erit punctorum lineę productæ, quæ ſit r e, formas à puncto e reflecti ad uiſum exiſtentem in puncto b. Idem quoque patet uiſu poſito in puncto t citra diametrum a d, producta linea t k: uel poſito ipſo in puncto m diametri a d, ducta linea m n: copulatis quoque lineis z k, z n, & facta deductione ut prius. Patet ergo propoſitum.

◉9. In concauis ſpeculis ſphæricis ſi inter centrum ſpeculi & peripheriam fuerit punctũ reiuiſæ: poßibile eſt, ut quando in centro unius uiſus à diuerſis punctis ſpeculi lineæ reflexionis concurrant. Euclides 6 th. catoptr.

◉Sitſpeculum ſphæricum concauum, cuius maior circulus ſit a g: centrum quoq: ſit punctus d: & page 313 ſit punctus rei uiſæ b conſtitutus inter centrum d & peripheriam circuli a g: fiatq́ reflexio formæ puncti b à puncto ſpeculi, quod ſit a i & à puncto ſpeculi, quod eſt g. Dico quòd lineæ incidentiæ, quæ ſunt b a & b g, poſſunt reflecti ad centrum unius uiſus in puncto uno exiſtentis. Sit enim primo, ut linea b g reflectatur ad uiſum exiſtentem in puncto p: producantur quoq lineæ incidentiæ à punctis a & g ad aliam partem peripheriæ, quæ ſint lineæ a c & g h. Hæ ergo lineæ aut ſunt æquales, aut inæquales. Sint primò æquales: erit ergo arcus a g c per 28 p 3 æqualis arcui g c h: erit ergo per 43 th. 1 huius angulus portionis (qui eſt c a g) æqualis angulo portionis, qui eſt b g c: ſed & angulus h g c eſt æqualis angulo p g a per hypotheſim & per 20 th. 5 huius, quoniam angulus incidentiæ eſt æqualis angulo reflexionis: & angulus c a g ſit æqualis angulo l a i: relinquitur ergo æqualibus angulis hinc & inde ablatis, ut angulus h g p ſit æqualis angulo c a l. Sit autem punctus,

in quo linea p g ſecat lineam c a, punctus r: angulus ergo p r c per 16 p 1 maior eſt angulo p g h: ergo & angulo l a c. Quia ergo angulus p r a cũ angulo p r c eſt ęqualis duobus rectis per 13 p 1: patet quòd angulus p r a cum angulo r a l minor eſt duobus rectis: ergo per 14 th. 1 huius lineæ g p & a l concurrent: ſit concurſus punctus p. Si itaq in pũcto p ponatur cen trum uiſus: palàm quòd ipſe uidebitformã puncti b reflexam à duobus punctis ſpeculi, quæ ſunt a & g: ſimiliterq́ demonſtrandum ſi lineæ a c & g h fuerint in æquales: ut ſi linea a c ſit maior quàm linea g h: tũc enim per 43 th. 1 huius angulus portionis, qui eſt c a g, erit maior angulo portionis, qui eſt h g c: remanetq́ per modum, quo proceſsimus prius, angulus h g p maior angulo c a l: fietq́ angulus p r b maior angulo h g p & maior angulo l a r: ergo, ut prius, lineæ g p & a l concurrent: ſitq́ cõcurſus punctus p: & eſt idem, quod prius. Quòd ſi linea a c fuerit minor quàm linea g h: tunc per modum, quo uſi ſumus prius, erit angulus l a c maior angulo p g h: ſed & angulus p r b maior eſt angulo p g h. Si itaq angulus l a c ſit minor angulo p r b, concurſus fiet, ut prius, linearum a l & g p ad punctum p per 14 th. 1 huius. Si uerò angulus l a c ſit maior angulo p r b: fiet idem per 14 th. 1 huius concurſus illarum linearum ultra arcum a g, qui impeditur per corpulentiam ſpeculi: unde tunc non fiet reflexio ad uiſum. Similiter quoq ſi angulus l a c fuerit æqualis angulo p r b: tunc per 28 p 1 lineę a l & g p æquidiſtabunt. In nullo ergo puncto concurrent. Nunquam ergo fiet formæ unius puncti, quod eſt b, reflexio ad unum centrum uiſus à duobus punctis ſpeculi ſphærici concaui. Patet ergo propoſitum.

◉10. Lineæ reflexionis à ſpeculis ſphæricis concauis (puncto rei uiſæ exiſtente in peripheria ſpeculi uel extr a illam) nõnunquam in uno centro uiſus à diuerſis punctis ſpeculi concurrunt. Euclides 5 th. catoptr. Ptolemæus 2 th. 2 catoptr.

◉Sit ſpeculum ſphæricũ concauum g a b s: ſitq́ punctũ rei uiſæ g: quod ſit conſtitutũ in aliquo cir cunferentiæ puncto, quod ſit etiá punctũ g: ſit q́ ut g punctum rei uiſę refle ctatur à duobus punctis arcus g a b, quæ ſint puncta a & b: fiatq́ reflexio formæ puncti g à puncto ſpeculi b ad punctũ e: & à pun cto a ad punctũ l. Dico quod lineas reflexionũ, quæ ſunt b e & a l, poſsibile eſt concurrere. Ducantur itaq lineæ contingentes ſpeculum in punctis a & b: contingatq́ ipſum linea k a p in puncto a: & linea k b f in puncto b: & ducantur lineæ e b & b g & l a & a g. Sit quoq, ut lineæ a l & g b ſecent

ſe in puncto h. Quia itaq omnes anguli conſtituti ſuper punctũ b ſunt æ quales omnibus angulis conſtitutis ſuper punctum a per 13 p 1, & per 20 th. 5 huius angulus e b f eſt æ qualis angulo k b g, & angulus l a k æ qualis eſt angulo p a g, & anguli cõtingentiæ omnes ſunt æ quales per 16 p 3: angulus uerò g a b maioris portionis circuli, maior eſt angulo g b s minoris portionis per 43 th. 1 huius: ergo angulus k b h maior eſt angulo p a g: ergo angulus e b f maior eſt angulo k a h propter æqualitatem angulorum hincinde per 20 th. 5 huius: palàm ergo quia angulus e b g minor eſt angulo l a g: ſed angulus l a g eſt minor angulo g h l per 16 p 1: angulus ergo g h l eſt maior angulo g b e: ſed angulus l h g cum angulo b h l ualet duos rectos per 13 p 1: ergo anguli g b e & b h l ſunt minores duobus rectis: ergo per 14 th. 1 huius lineæ a l & b e concurrent: ſit concurſus punctus e. Si itaq centrum uiſus fuerit in puncto e: patet quòd à duobus punctis ſpeculi fiet ad ipſum formæ puncti g reflexio. Quòd ſi extra periphe page 314 riam ponatur punctus g, accidet hocidem: & eadem eſt demonſtratio. Non eſt tamen hoc uniuerſale: quia poſsibile eſt non concurrere: utſi anguli g b e & g h l ſint æquales uel maiores duobus rectis: tunc enim lineæ b e & a l non concurrent: uel ſi concurrant hoc erit retro ſpeculum, ubi uiſus conſtitutus retro ſpeculum formas reflexas non poterit uidere. Patet ergo propoſitum.

◉11. Locus imaginum formarum à ſpeculis ſphæricis concauis reflexarum quando eſt in ipſo puncto reflexionis: quando eſt ultr a ſpeculum: quando inter uiſum & ſpeculum: quando in ſuperficie ipſius uiſus: quando retro uiſum. Alhazen 60 n 5.

◉Quando enim forma puncti rei uiſæ uidetur ſecundũ cathetum ſuæ incidentiæ: tunc neceſſariò imago uidetur in ipſa ſuperficie ſpeculi, in puncto ſcilicet ſuæ reflexionis: quando uero formæ obli què incidunt ſuperficiebus propoſitorũ ſpeculorum: tunc diuerſificantur loca imaginũ, ut proponitur. Ad quod declarandum ſit a centrum uiſus: & punctus d centrum ſpeculi ſphærici concaui: & ducatur ſuperficies plana per hæc duo puncta, quæ erit ſuperficies reflexionis: quoniã ipſa eſt orthogonalis ſuper quamlibet ſuperficiem, contingentem ſpeculum ſecundum punctũ illum ſuperfi ciei ſpeculi, cui incidit diameter uiſualis. Secabit ergo ſuperficiem ſpeculi dati: & erit communis ſectio illarum ſuperficierum circulus magnus per 2 th. huius. Sit ergo ille circulus h b f g: & ducatur linea à centro uiſus ad centrum ſpeculi: quę ſit a d: & à puncto a ducatur ad circuli peripheriam linea maior quàm linea a d, quæ ſit a e: & à puncto d ducatur ad circulum linea æ quidiſtans lineæ a e: quæ ſit d h: & producatur linea a d ex utraq parte ſui ad circumferentiam in puncta i & b, taliter ut compleatur diameter i a d b: & ducatur linea d e. Quia itaq linea a e eſt maior quàm linea a d: pa làm per 18 p 1 quoniam angulus a e d eſt minor angulo a d e: eſt ergo per 32 p 1 angulus a e d minor angulo recto, ſiue angulus a d e fuerit rectus uel obtuſus, uel acutus: ſed per 29 p 1 angulus e d h eſt æ qualis angulo a e d: quia ſunt coalterni: eſt ergo angulus e d h minor recto. Super punctum quoq e lineæ d e fiat per 23 p 1 angulus æ qualis angulo a e d, qui ſit d e t. Palàm itaq quoniam linea e t ca

dit intra circulum. Quoniam ſi caderet extra circulum, fieret ille angulus aut rectus, ſi linea producta circulum cõtingeret, aut obtuſus, ſi ſecaret: quod totũ patet ducta linea contingente circulum in puncto e per 17 p 3: & quia hoc eſt impoſsibile, ut patet ex præmiſsis: palàm quia linea t e cadet intra circulum, ſecabitq́ lineam d h: ſitq́ punctus ſectiõis t: & erit linea e t ęqualis lineę d t per 6 p 1: ſunt enim anguli e d t & d e t æ quales. Et quoniã angulus a d e maior eſt angulo a e d per 18 p 1: palàm quia angulus a d e maior eſt an gulo d e t: ergo per 14 th. 1 huius linea e t non æquidiſtat lineæ a b: concurrent ergo: ſitq́ punctus concurſus z. Deinde à puncto a du catur ad arcum e h linea an: quæ cum concurrat cum linea a e in puncto a, & inter ipſam lineam d h ſibi ęquidiſtantem producatur, palàm per 2 th. 1 huius quia concurret cum linea d h. Sit ergo punctus concurſus l: & ducatur linea d n: & ſuper punctum n lineæ d n fiat angulus æ qualis angulo d n a per lineam m n, qui ſit m n d. Et quia angulus d n a eſt acutus per 42 th. 1 huius, erit etiam angulus d n m acutus. Ideo enim, quia angulus in ſemicirculo eſt rectus per 31 p 3, omnis angulus cõtentus à quacũq linea & termino diametri palàm quòd eſt acutus: cõcurret ergo linea n m cũ linea d h: ſit con curſus in puncto m. Ducatur etiam à puncto a linea ad arcum e i f, quæ ſit a g: & ducatur linea d g fiatq́ angulus q g d æqualis angulo d g a. Et quoniam, ut prius, angulus d g a eſt acutus per 42 th. 1 huius, erit etiã angulus q g d acutus: cõcurret ergo linea g q cũ linea d h: ſit concurſus in puncto q. Palàm quoq, cum linea g a concurrat cum linea a e, quoniam per 2 th. 1 huius concurret cum linea d h illius æ quidiſtante: ſit concurſus punctus o ex parte puncti f: angu lus enim g a d eſt maior angulo e a d: ergo per 14 th. 1 huius ad partem minorum angulorum fiet concurſus: ſecetq́ linea g o periphe riam circuli in puncto y: ſitq́ arcus g y maior arcu g h. Quòd autem linea g q cadat inter puncta d & h, palàm ſatis eſt ex præmiſsis: ſed & idem patere poteſt ex hoc. Quia cum arcus, quẽ ſecat linea g o ex circulo h b f g, (qui eſt arcus g y) ſit maior arcu g h: producatur linea g d ad peripheriam circuli in punctum p: eritq́ arcus h p maior arcu y p: ergo per 33 p 6 erit angulus h g d maior angulo a g d: ſed angulus q g d eſt æ qualis angulo a g d, ut patet ex præmiſsis: ergo angulus h g d eſt maior angulo q g d: linea ergo g q diuidit angulum h g d: ergo per 29 th. 1 huius diuidit & baſim d h: cadet ergo punctum q inter puncta d & h. Item à puncto a ducatur ad arcum f b linea a k ſecans lineam d f in puncto s, ita utſit linea k s maior quàm pars diametri, quæ eſt s d. Hoc autem facile per 7 p 3: ut ſi linea d f diuidatur per æ qualia in puncto aliquo, & linea a k ducatur per illum punctum, aut per punctum alium uerſus punctũ d. Hac itaq linea a k ſic ducta, ducatur linea d k. Palàm ergo per 42 th. 1 huius quòd angulus d k a eſt acutus. Fiat ergo ſuper punctum k terminũ lineæ d k angulo d k a page 315 angulus æ qualis, qui ſit d k u. Cum itaq per 18 p 1 angulus k d s ſit maior angulo d k s: ideo quia linea s k eſt maior quàm linea d s: erit ergo angulus k d s maior angulo d k u: palàm ergo per 14 th. 1 huius, quia linea u k concurret cũ linea d h: ſit ergo concurſus in puncto u. Palàm itaq per 20 th. 5 huius & ſecundum prædicta, quòd forma puncti t à puncto ſpeculi e reflectitur ad uiſum, qui eſt in puncto a: cathetus quoq incidentiæ formæ puncti t eſt linea t d, quæ per 72 th. 1 huius eſt perpendi cularis ſuper ſuperficiem contingentem ſpeculum, cum ſit tranſiens per eius centrum, & ipſa eſt æquidiſtans lineæ reflexionis, quæ eſt a e: nunquam ergo concurret cum illa. Apparebit ergo imago formæ puncti t in ipſo puncto refle xionis, quod eſt e. Forma uerò puncti z reflectitur ſimiliter à puncto e ad uiſum exiſtentem in puncto a: cathetus quoq ſuæ incidentiæ, quę eſt b z d ducta à pun cto z per centrum ſpeculi concurrit cum linea refle xionis, quæ eſt a e in puncto a: locus itaq imaginis formæ puncti z per 37 th. 5 huius erit centrum uiſus, quod eſt a. Forma uerò puncti m à puncto ſpeculi, quod eſtn, reflectitur ad uiſum a: & perpendicularis ducta à puncto m, quæ eſt cathetus incidentiæ, quæ m d, concurrit cum a n linea reflexionis in puncto 1, quod eſt ultra ſpeculum: & forma puncti m habet locum imaginis in puncto l ſub ſpeculo. Forma uerò puncti q peruenit ad punctum ſpeculi, quod eſt g, & ex puncto g reflectitur ad uiſum a: & locus imaginis ſuæ eſt in puncto o, quod eſt ultra uiſum. Et forma puncti u peruenit ad punctum ſpeculi, quod eſt k, & reflectitur ad uiſum in puncto a: & cathetus ſuæ incidentiæ, quæ eſt perpendicularis ab eo ducta trans centrum ſpeculi d, eſt linea u d, concurrens cum linea a k linea reflexionis in puncto s: locus itaq imaginis ſuæ eſt punctum s, quod eſt inter uiſum & ſpeculũ. Palàm itaq ex prædictis quòdimaginum à ſpeculis ſphæricis concauis reflexarum quædam uidentur in ſuperficie ipſius ſpeculi, ut in ipſo puncto reflexionis: quædam uidentur ultra ſpeculum: quædam inter uiſum & ſpeculum: quædam in ſuperficie ipſius uiſus: quædam citra uiſum. Quod eſt propoſitum. Et ſi centrum uiſus ſit extra circulum ſpeculi uel in circumferentia ipſius, idem accidit, & eodem modo eſt dem onſtrandum: quoniam ſemper linea a e ſit maior quàm linea a d: & accidunt omnia, ut prius. Patet ergo, quod proponebatur.

◉12. Imaginum reflexarum à ſpeculis ſphæricis concauis diuerſafit à uiſu comprehenſio, ſecun dum ſuorum locorum propr iam diuerſit atem. Alhazen 61 n 5.

◉Remaneat diſpoſitio præcedentis in tota forma figurationis. Cum itaq locus imaginis fuerit ultra ſpeculum, ut in puncto l: aut inter uiſum & ſpeculum, utin puncto s: tunc, quia formas ſibi oppoſitas ſemper perfectius acquirit uiſus, comprehenditur ueritas illius imaginis. Cum uerò locus imaginis fuerit in puncto reflexionis: ut cum perpendicularis ducta à puncto rei uiſę quidiſtat lineæ reflexionis: tunc enim locus imaginis eſt in puncto e: quia cum punctus e per 3 th. 2 huius ſit punctus naturalis diuiſibilis, ſenſibilis, utpote capax imaginis formę rei ſenſibilis, quæ eſt diuiſibilis, cum ſit naturalis (ſumpto in ſui medio puncto intellectuali) erit imago cuiuſcunq illius puncti ſenſibilis pars, quæ fuerit ultra medium punctum ſumptum, apparens ultra ſpeculum, & imago partis alterius, quæ fuerit citra punctum medium, apparebit inter uiſum & ſpeculum. Et cum totalis forma ſecundum partes ſui ulteriores ſuperficie ſpeculi & citeriores uerſus uiſum ſemper uideatur una & continua, neceſſariò forma illius puncti ſenſibilis pro ximi puncto intellectuali uidebitur in ipſius ſpeculi ſuperficie, in puncto ſcilicet reflexionis: aliæ quoq partes formæ ſenſibi lis circumiacentis illud punctum uidebuntur ab illo puncto declinare modo dicto: quæ dam ad uiſum & intra ſpeculum: quædam ultra ſpeculum. Verùm in imaginibus, quarum locus eſt punctus a, quod eſt centrum uiſus, ueritas ipſarum non comprehenditur: unde ſæpius accidit error uiſui in formis ſic uiſis. Ad huius autem maiorem euidentiam, ut non ſolùm demonſtratio, ſed etiam experientia doceat, quod præmiſimus: erigatur ſuper ſuperficiem ſpeculi ſphærici cõcaui ſtipes ligneus uel ferreus perpendiculariter, qui ſit minor medietate ſemidiametri ſpeculi: & circa caput huius ſti pitis ponatur centrum uiſus: & dirigatur uiſualis radius ad punctum ſpeculi, cuius diſtantia à ſtipi te ſit maior quàm diſtantia centri uiſus à diametro per ſtipitem tranſeuntem: apparebit quoq imago illius ſtipitis ultra uiſum: nec erit certa comprehenſio formæ ipſius: imò apparebit quaſi curua, cum tamen ſtipes ſit formæ lineæ rectæ. Ex quo patet quòd in his ſpeculis non comprehenditur ue ritas imaginis, niſi cuius locus fuerit ultra ſpeculum, aut inter uiſum & ſpeculum, ut hæc patere poſſunt per experientiá ſitum ſtipitis & uiſus uariè diuerſificanti: & accidit eidem, quòd, cum centrum uiſus fueritin perpendiculari per lignum tranſeunte, nó plenè comprehendet formam illius ligni. Patet ergo propoſitum.

◉13. In ſpeculo ſphærico concauo eſt proportio catheti incidentiæ ad rectam à centro ſpeculi ad locum imaginis productam, ſicut lineæ à puncto rei uiſæ ad finem cõtingentiæ ductæ, adline am à fine contingentiæ ad locum imaginis productam. Alhazen 64 n 5.

◉Eſto ſpeculum ſphæricum concauum, cuius centrum ſite: & ſit b punctus rei uiſæ: & ſit a centrum uiſus: & ſit g punctus reflexionis: & contingat linea z g circulũ, qui eſt cõmunis ſectio ſuperfi ciei reflexionis & ſpeculi, in puncto g: ducaturq́ linea e g à puncto reflexionis ad centrũ ſpeculi, & linea incidentiæ, quę b g, & cathetus incidentiæ: quæ ſit linea e b, quæ producta concurrat cum linea z g in puncto t: concurrẽt autem per 14 th. 1 huius, cum ſintin eadem ſuperficie reflexionis per 3 huius & per 1 p 11, & cum per 18 p 3 angulus e g z ſit rectus, angulus uerò g e b ſit acutus. Sit ergo 316 punctus t finis contingentiæ, ut patet è 6 defin. 6 huius. Educatur quoq extra circulum linea refle xionis, quæ ſit a g. Cathetus itaq e b concurret cum a g linea reflexionis extra punctum g, qui eſt punctus reflexionis: & hoc ideo, quia lineæ e b & a g ſunt duæ lineæ rectę, quarum a g ſecat lineam z g in puncto g, & fit angulus a g t obtuſus, quoniam angulus e g t eſt rectus: linea uerò e b ſecat lineam z g in puncto t, & fit angulus e t g acutus per 32 p 1. Non ergo concurrũt lineæ e b & a g in pun cto g. Autigitur lineæ a g & e b (cum non ſunt æ quidiſtantes, ut patet ex hypotheſi) concurrent ultra punctum g: autinter puncta g & a. Sit ergo, ut

concurrant ultra punctum g: & ſit concurfus in puncto h, qui erit locus imaginis per 37 th. 5 huius. Dico quòd eſt eadẽ proportio catheti e b ad lineam e h (interiacentem centrũ ſpeculi, & pun ctum concurſus lineæ reflexionis & catheti incidentiæ, qui eſt locus imaginis) quę eſt proportio lineæ b t (interiacentis punctũ rei uiſæ, & finem contingentiæ) ad lineam t h, quæ interiacet finẽ contingentiæ, & punctum concurſus lineæ refle xionis cum incidentiæ catheto, qui eft locus ima ginis formę puncti b, qui eſt pũctus rei uiſæ. Producatur enim perpendicularis, quæ e g, ultra ſpe culum: & à puncto h, qui eſt locus imaginis formæ puncti b, ducatur linea æ quidiſtãs lineę inci dentiæ, quæ b g, per 31 p 1: quę neceſſariò per 2 th. 1 huius concurret cum producta linea e g: cum ſua æ quidiſtans, quę b g, concurrat cum eadẽ. Sit punctus concurſus l: & à puncto b ducatur linea æquidiſtans lineæ g h, quæ, ut prius, neceſſariò concurret cum linea z t per 2 th. 1 huius, cum linea g h cõcurrat cum eadem: ſit cõcurſus punctus q. Et quoniam angulus b g e eſt æqualis angulo a g e per 20 th. 5 huius: ſed angulus b g e eſt æqualis angulo g l h per 29 p 1, & angulus a g e æqualis eſt angulo l g h per 15 p 1: erit ergo angulus g l h æqua lis angulo h g l: ergo per 6 p 1 erit linea l h æqualis lineæ g h. Similiter quoq angulus b g q æ qualis eſt angulo a g z: quia cũ anguli e g z & e g q ſint æquales, quia recti, & angulib g e & e g a ſint æ quales: remanent anguli reſidui æquales: ſed & angulus a g z æ qualis eſt angulo b q g per 29 p 1: angulus ergo b g q æ qualis eſt angulo b q g: ergo per 6 p 1 linea b g eſt æ qualis lineæ b q. Proportio itaq lineæ b g ad lineam h l eſt, ſicut lineę b q ad lineam h g per 7 p 5: ſunt enim antecedentia æ qualia inter ſe & conſequentia æ qualia inter ſe. Quia uerò angulus g h t æqualis eſt angulo t b q per 29 p 1: ſunt enim illi anguli coalterni inter lineas æquidiſtantes: & angulus q t b æ qualis eſt angulo h t g per 15 p 1: ſed & angulus h g t æ qualis eſt angulo t q b per 29 p 1: ergo triangulit q b & g t h ſunt æ qui anguli: ergo per 4 p 6 eſt proportio lineę q b ad lineam h g, ſicu lineæ b t ad lineam t h: ſed linea b q æ qualis eſt lineæ b g: ergo per 7 p 5 eſt proportio lineæ b g ad lineam h g, ſicut lineæ b t ad lineã th: ergo per 11 p 5 eſt proportio lineæ b t ad lineã t h, ſicut lineæ b g ad lineã h l. Quia uerò ք 29 p 1 trianguli h e l & b e g ſunt æ quianguli: erit per 4 p 6 proportio lineę e b ad lineam e h, ſicut lineæ b g ad lineam h l: ergo, ut prius, erit proportio lineę e b ad lineã e h, ſicut lineæ b t ad lineam t h: quod eſt propoſitũ. Eadem quoq eſt demonſtratio, ſi locus imaginis fuerit inter a centrum uiſus, & g punctum reflexionis: aut ſi fuerit in puncto a: aut ultra illũ. Si uerò linea in puncto reflexionis ſpeculũ contingens, quæ eſt z g, non cõcurrat cum catheto incidentiæ, quæ eſt b e h, ſed ſit ei æ qui 317 diſtans: ducatur à puncto contingentiæ, quod eſt g, linea perpendicularis, quæ ſit g e, ſuper lineam b h per 12 p 1: eritq́ per 29 p 1 linea e g perpendicularis ſuper lineam z g. Quia itaq angulus b e g eſt æ qualis angulo h e g: qula uterq eſt rectus: & angulus b g e æ qualis eſt angulo h g e per 20 th. 5 huius: palàm per 32 p 1 quoniã triangulus b g e æ quiangulus eſt triangulo h g e: ergo per 4 p 6 eſt proportio lineę b e ad lineã e h, ſicut lineæ b g ad lineam g h: quod eſt propoſitũ, ut prius. Non enim tali facta diſpoſitione eſt alius punctus finis contingentiæ quàm punctus g, qui eſt punctus contingentię. Similiterq́ demonſtrandum, ſi locus imaginis fuerit in ipſo centro uiſus: tunc e nim punctum h, qui eſt concurſus lineæ reflexionis & catheti incidentiæ, & eſt locus imaginis, fit idẽ cum puncto a: qui eſt centrũ uiſus: nec oportet in illius demonſtratione aliud adijci, niſi quia per 3 p 6 eſt proportio catheti b e ad lineam e a ductã à centro ſpeculi a d locum imaginis, ſicut lineæ b g ad lineam g a: quoniam linea g e diuidit angulum a g b per ęqualia per 20 th. 5 huius. Erit ergo, ut prius, proportio lineæ b t a d lineam t a, ſicut lineæ b e ad lineam e a: quod eſt propoſitum. Et hoc eſt uniuerſale ad omnes modos imaginum ubicunq uiſui occurrentium. Pater ergo propoſitum.

◉14. In ſpeculis ſphæricis concauis poßibile eſt quando reflexionem fieri ſecundum totam peripheriam unius circuli. Alhazen 65 n 5.

◉Sit circulus magnus ſpeculi ſphærici concaui, qui a b g d: cuius diameter eſt b e d, & centrũ e: ſignenturq́ ſuper diametrũ b e d duo puncta exutraq parte centri e: quæ ſint h & z æ qualiter diſtan tia à centro e: erunt ergo lineæ h e & z e æ quales. Ducatur quoq à centro per 11 p 1 diameter g e a perpen diculariter ſuper diametrum b d: & copulentur

lineæ h a & z a. Quia itaq in trigonis h e a & z e a duo la tera h e & z e ſunt æ qualia exhypotheſi, & linea e a com munis, & utriuſq trigonorum anguli h e a & z e a ſunt æ quales, quia recti: palàm per 4 p 1 quoniam angulus h a e eſt æ qualis angulo z a e: ergo per 20 th. 5 huius puncta h & z ad ſeinuicẽ mutuò reflectuntur à puncto ſpeculi, quod eſt a. Idem quoq patet ductis lineis h g & z g: quoniam iſtorũ punctorũ mutua reflexio fiet à puncto g. Si itaq fixa diametro b d, imaginemur reuolui trigonum a h z circa diametrũ b d, linea trigoni (quæ eſt h z) manente fixa: tũc punctum a motũ peruenit in punctũ g, & exinde reuertetur ad locum ſuum primum, motuq́ ſuo deſcribet in concauitate ſpeculi circulum, à quo totali fiet formarũ punctorum h & z ad ſeinuicem mutua reflexio: quoniã ad quemcunq punctum illius circuli ducantur lineæ à punctis h & z, ſemper ducta ſemidiametro à centro ad illud punctum, anguli ad punctum illius circuli erunt æ quales: & ita ab illo puncto fiet reflexio per 20 th. 5 huius. Si ergo centrũ uiſus fuerit in puncto h, reflectetur adipſum forma puncti z à tota peripheria illius circuli. Si tamen puncta h & zinæqualiter diſtent à centro e, non fiet reflexio à circulo illo, ſed fortè fiet ab alio circulo, quem deſcribit motu ſuo punctus refl exionis. Patet ergo propoſitum.

◉15. Duobus pũctis in una diametrorũ ſpeculi ſphæ

Fig. 728

b p q h a e g t k z d

rici concaui ſe orthogonaliter ſecantiũ exiſtentibus, ſub inæquali diſtantia à centro: impoßibile eſt ab aliquo punctorũ peripheriæ ſemicirculi, in quo eſt punctus à centro remotior illorum punctorũ adinuicem fieri reflexionem: à reliqui uerò ſemicirculi duobus punctis eſt poßibile.

◉Sit ſpeculi ſphærici concaui circulus magnus, qui a b g d: cuius centrũ e: ſecentq́ ſe in ipſo duę diametri or thogonaliter, quæ ſint a g & b d: in quarũ una, quæ b d, ſint duo pũcta h & z inæ qualiter diſtãtia à cẽtro e: ſitq́ h ꝓpinquius centro e, & z remotius: ſitq́ punctus h in ſemicirculo a b g, & pũctus z in ſemicirculo a d g. Dico q ab aliquo punctorũ ſemicirculi a d g non poteſt fie ri iſtorũ punctorũ adinuicem reflexio. Sit enim, ſi poſsi bile eſt, ut fiat à puncto a: & ducatur linea h a: abſcinda turq́ à linea e z linea æ qualis lineæ h e ք 3 p 1, quæ ſit e t: & ducatur linea t a. Palá ergo per 4 p 1 quia 318 angulus h a e eſt ęqualis angulo t a e: ſed angulus e a t ք 29 th. 1 huius eſt minor angulo e a z: angulus ergo h a e eſt minor angulo z a e. Non ergo fiet punctorũ h & z mutua reflexio à pũcto ſpeculi a per 20 th. 5 huius. Sed neq ab aliquo alio puncto arcus a d g. Sit enim, ſi poſsibile eſt, ut fiat iſtorũ punctorũ reflexio à puncto k peripheriæ ſemicirculi, qui a d g: & ducátur lineę h k, e k, & z k. Eruntitaqք 20 th. 5 huius anguli h k e, & z k e ę quales: linea ergo k e diuidit angulũ h k e ք ę qualia: ergo ք 3 p 6 erit ꝓportio lineæ h k ad lineã k z, ſicut lineę h e ad lineã e z: ſed linea e h eſt minor  linea e z, ut pa tet ex hypotheſi: ergo linea h k eſt minor  linea h z: eſt aũt linea h k maior  linea k z: quoniam eſt maior  linea e k per 19 p 1. ut enim patet, angulus h e k eſt obtuſus maior angulo h e a recto: ſed linea e k eſt æ qualis lineę e a, quę eſt maior  linea k z, ut patet. Eſt ergo linea h k maior  linea z k: & ſequitur ex datis ipſam eſſe minorem: quod eſt impoſsibile. Non ergo fiet reflexio form æ puncti had punctũ z, uel econuerſo ab aliquo punctorũ arcus a k g. Ab aliquibus uerò punctis peripheriæ ſemicirculi a b g mutuam reflexionem iſtorum punctorum fieri eſt poſsibile: quoniam eſt poſsibile eſſe aliquod punctum arcus a b, utpote p, ad quod ductis lineis h p, e p, z p, fiat proportio lineæ z p ad lineam h p, ſicut lineæ z e ad lineam e h: ergo per 3 p 6 angulus h p z diuidetur per æ qualia per li neam e p: & ſimiliter poteſt fieri in arcu b g. Patet itaq quod proponebatur: quoniã ab aliquo puncto arcus b g, ut à puncto q, ſimiliter poteſt fieri reflexio ductis lineis h q, e q, z q.

◉16. Duobus punctis in una diametro ſpeculi ſphærici ſuperficiei concaui exiſtentibus, ſub inæquali diſt antia à centro ſpeculi, ſi exceſſus diſtantiarũ ad minorẽ diſt antiã proportionẽ habeat, quã pars diametri interiacẽtis ambo puncta, ad partẽ interiacentẽ punctũ cẽtro propinquius & ſpeculum: impoßibile eſt à circulo illius diametriillorum punctorũ fieri mutuã reflexionem.

◉Sit ſpeculi ſphærici concaui magnus circulus a b g d: cuius centrũ e: & diameter b d: ſintq́ duo puncta z & h conſtituta ſuper illam diametrum b d: quorum remotior â centro e ſit punctus z, & propinquior punctus h: erit ergo linea z e maior quàm linea h e: ſitq́ ipſarũ exceſſus linea z t. Dico quòd ſi proportio lineę z t ad lineã t e, uel ad lineã h e fuerit, ſicut lineæ z h ad lineã h b, q impoſsi bile eſt reflexionẽ fieri ab aliquo punctorũ circuli a b g d. Patet enim per præmiſſam quod non poteſt fierl reflexio ab aliquo pũctorũ ſemicirculi a d g: ſed neq ab aliquo punctorũ ſemicirculi a b g. Detur enim, ſi ſit poſsibile, ut fiat à puncto l arcus a b: & ducatur linea l b, & ipſi æ quidiſtãs ducatur à centro ſpeculi per 31 p 1, quę ſit linea m e n: & ducan tur lineæ l z, l e, & l h: ſecabit itaq per 2 th. 1 huius li

nea l z lineam n m: ſit punctus ſectionis m. Producatur quoq linea l h ultra punctũ h, quæ ſimiliter per 2 th. 1 huius ſecabit lineam m n: ſit punctus ſectionis n. Quia itaq ex hypotheſi eſt proportio lineæ z t ad lineam t e, ſicut lineæ z h ad lineam b h: erit ergo per 18 p 5 coniunctim proportio lineæ z e ad lineam t e, uel per 7 p 5 ad lineam h e, ſicut lineæ z b ad linea b h: ergo per 16 p 5 erit permutatim proportio lineæ z e ad lineam z b, ſicut lineæ h e ad lineam b h. Quia uerò lineæ b l & n e æ quidiſtant: patet per 15 & 29 p 1 quia trigona b l h & n h e ſunt æ quiangula: ergo per 4 p 6 eſt proportio lineę e n ad lineã b l, ſicut lineæ e h ad li neam b h. Similiter quoq trigona b l z & e m z ſunt æ quian gula per 29 p 1, quia lineæ b l & e m æ quidiſtant: erit ergo proportio lineę e m ad lineam b l, ſicut lineæ z e ad lineam z b: ſed eadẽ eſt proportio lineæ e h ad lineam h b, quæ lineæ z e ad lineam z b: eadem ergo eſt proportio lineæ e n ad lineam b l, quę li neæ e m ad eandem lineam b l. Quia ergo linearũ n e & m e ad lineam b l eadem eſt proportio: ergo per 9 p 5 lineę n e & m e ſunt ęquales. Quia itaq angulus n l m diuiditur per ęqualia per lineã le, ut patet per 20 th. 5 huius: (fit enim reflexio punctoru h & z à puncto l) erit per 3 p 6 proportio lineæ l n ad lineam l m, ſicut lineæ n e ad lineã e m: eſt ergo linea l n æ qualis lineæ l m: linea uerò l e eſt com munis ambobus trigonis l e n & l e m: ergo per 8 p 1 anguli l e m & ſunt æ quales: ſunt ergo recti per definitionem angulorum rectorũ: ergo per 29 p 1 angulus b l e erit rectus: linea ergo blcontingit circulũ, & oadit extra circulum per 16 p 3: quod eſt impoſsibile: eſt enim ducta ſecás circulũ per 2 p 3. Non ergo fiet reflexio à puncto l. Sequitur autem magis impoſsibile, ſi ſit proportio lineæ zt ad lineam t e, ſicut lineæ z h ad aliquam lineam minorem linea h b. Patet ergo propoſitum: quoniã de quolibet dato puncto eſt penitus eodem modo deducendum.

◉17. Centro uiſus & puncto rei uiſæ exiſtentibus in una diametro ſpeculi ſphærici concaui, & inæqualiter diſtantibus à centro, ſi exceſſus diſt antiarum ad minorem diſt antiam proportionẽ habeat, quam pars diametri interiacentis puncta data adlineam maiorem parte diametri interiacente punctum centro propinquius & peripheriam, fiet reflexio: poßibile́ eſt punctum re flexionis inueniri.

◉Sit ſpeculi ſphęrici concaui maior circulus a b g d: cuius centrum e: & diameter ſit b d: in qua ſit page 319 centrum uiſus, quod ſit z: & punctus rei uiſę, qui ſith: diſtetq́ centrum uiſus z plus à centro ſpeculi, quod eſt e, quàm punctus rei uiſæ, qui eſt h: ſitq́ proportio exceſſus diſtantiæ maioris, quæ eſt z e, ad minorem, quę eſt h e, ſicut partis diametri inter puncta data cadentis, quæ eſt z h, ad lineam maiorem parte diametri, quæ eſt inter pũctum h & peripheriam, quę eſt h b. Dico quòd in hoc ſitu fiet reflexio: & quòd eſt poſsibile punctum reflexionis inueniri. Ducatur enim diameter a g orthogonaliter ſuper diametrum b d. Et quia linea z e eſt maior quàm linea h e: ſit linea e t æqualis lineæ h e per 3 p 1: erit ergo linea z t exceſſus lineæ z e ſuper lineam h e: quæ ergo eſt proportio lineæ z t ad lineam he, eadem ſit per 3 th. 1 huius pro

portio lineæ z h ad aliam lineam, quæ ſit h k: eritq́ ex hypotheſi linea h k maior quàm linea h b: cader ergo pũctum k extra peripheriam circuli. A puncto itaq k ducatur linea contingens circulum a b g d per 17 p 3, quæ ſit k l, contingens circulum in puncto l: & copulentur lineę lz, & l h, & l e: & à puncto e per 31 p 1 ducatur linea æ quidiſtans lineæ k l: quæ ſit n e m ſecans lineam l zin puncto m: & linea l h producatur: hæc ergo per 2 th. 1 huius concurret cum linea m e n: quia concurrit cũ eius æ quidiſtante, quę eſt linea l k: ſit punctus concurſus n. Quia itaq eſt proportio lineæ z h ad lineam h k, ſicut lineæ z t ad lineam e h, uel ad eius æqualem lineam, ſcilicette per 7 p 5: erit per 18 p 5 coniunctim proportio lineæ z k ad lineam h k, ſicut lineæ z e ad lineam t e: eritq́ permutatim per 16 p 5 proportion lineæ z k ad lineam z e, ſicut lineę h k ad lineam t e, uel ad eius æ qualem lineam h e. Eſt autem proportio lineę k h ad lineam e h, ſicut lineæ k l ad lineam e n per 4 p 6: quoniam trigona h l k & h n e ſunt æ quiangula per 29 p 1: ideo quia lineæ k l & n e ſunt æ quidiſtantes. Proportio uerò lineę k z ad lineam e z, eſt ſicut proportio lineæ k l ad lineam e m per 4 p 6: quoniam trigona k l z & e m z ſuntæ quiangula per 29 p 1, quia linea e m æ quidiſtat lineę k l. Lineæ itaq n e & m e ad lineam k l ean dem habent proportionẽ: quoniam ex hypotheſi eſt proportio lineę k z ad lineam z e, ſicut lineæ k h ad lineam h e: ergo per 9 p 5 lineę en & e m ſunt æ quales: linea ueròl e eſt cõmunis duobus trigonis l e n & l e m, & anguli l e n & l e m ſunt æ quales, quia ſunt recti per 29 p 1, angulus enim k l e eſt rectus per 18 p 3: ergo per 4 p 1 duo anguli z l e & e l h ſunt ęquales. Ergo per 20 th. 5 huius forma puncti h reflectitur ad punctum z, uel econuerſo, à puncto ſpeculi, quod eſtl. Pater ergo propoſitum. Oſtenſum eſt enim quia fit reflexio mutua datorum punctorũ in hoc ſitu: & inuentus eſt punctus reflexionis: quód proponebatur. Ex his itaq manifeſtum eſt, quòd ſi linea e z fuerit maior quàm linea e h, & ſit proportio lineæ k z ad li neam z e, ſicut lineæ k h ad lineã e h; quòdin omnibus ſpeculis ſphęricis concauis conſtitutis ſuper centrum e, quorum ſemidiameter fuerit maior quàm linea e h, & minor quàm linea e k, fiet mutua reflexio punctorũ h & z adinuicem à duobus punctis cõmunis ſectionis circuli ſpeculi & circuli, cuius diameter eſt linea e k. Sit enim in linea k h punctus, qui ſit b: & ſuper cẽtrum e deſcribatur circulus ad quantitatem ſemidiametri e b, qui ſit a b g d: ſitq́ in ſpeculo ſphærico concauo: & diuidatur linea e k per æqualia in puncto f per 10 p 1: fiatq́ ſuper centrum ſcirculus, cuius diameter ſit e k: hic ergo ſecabit circulum a b g d in duobus pũctis per 10 p 3, quę ſint puncta l & p. Dico quòd punctorum h & z mutua reflexio fiet à punctis l & p. Ducátur enim lineę k l, k p, el, e p: erit ergo angulus k l e rectus per 31 p 3: ergo per 16 p 3 linea k l contingit circulum a b g d, cum ſit perpen dicularis ſuper ſemidiametrum ipſius, quæ eſt e l. Ducta itaq à puncto e linea n e m ęquidiſtanter lineę k l, dem onſtrabitur ut prius, quoniá puncta h & z mutuò reflectentur adinuicem à puncto l. Similiter quoque ductis lineis z p & h p, & linea q e s ęquidiſtante lineę k p: nam eadẽ eſt demõſtratio hinc inde. Semper enim anguli incidentię & reflexionis ad puncta l & p fiunt ęquales. Patet etiam expręmiſsis quòd ſi linea in cidentię uel reflexionis, quę eſt hl, ſit perpen dicularis ſuper lineam e k, quoniá lineá z l neceſſariò circulum cõtingit, cuius diameter eſt linea e k: efficiturq́ tunc angulus z l h maximus illorũ angulorum, ſecundũ quos in hoc ſitu page 320 poteſt fieri reflexio. Ducatur enim à puncto f, quod eſt centrum circuli k l e p, linea fl: erit per 5 p 1 angulus fle ęqualis angulo fel: ſed angulus fel eſt ęqua lis duobus angulis e z l, & e l z per 32 p 1, cũ ſit illis extrinſecus in trigono z e l: angulus ergo fl e eſt æ qualis duobus angulis e z l, & e l z: ſed angulus e l z eſt ęqualis angu lo e l h ex præmiſsis: remanet ergo angulus fl h æqualis angulo e z l. Sit quoq angulus h l z communiter additus utrobiq: erit ergo angulus flz ęqualis duobus angulis e z l & h l z: ſed quia angulus l h z ex hypotheſi eſt rectus: patet per 32 p 1 quòd illi duo anguli (qui ſunth l z & h zl) ſunt æ quales uni recto. Angulus ergo flz eſt rectus. Linea ergo l z contingit circulum k l e p per 16 p 3. Sequitur ergo idem, quod prius. Et hoc eſt notandum, quòd in hac diſpoſitione cẽtri uiſus & ipſorum uiſibilium ſemper locus imaginis eſt in centro uiſus per 37 th. 5 huius: quoniam, ut patet, ibi concurrit cathetus incidentiæ cum linea reflexionis: patetq́ ex præmiſsis, quomodo in hac diſpoſitione de facili inuenitur punctus reflexionis: imò puncta duo, quæ ſuntinter ſectiones duorum circulorũ. Pater ergo propoſitum.

◉18. Duorum punctorum in eadem diametro ſpeculi ſphærici concaui exiſtentium formis ex aliquo puncto ſpeculi adinuicem reflexis: eaſdem ab aliquo pũcto alio eiuſdem quartæ illius circuli impoßibile eſt reflecti.

◉Sit diſpoſitio, quæ in figuris proximis: reflectaturq́ forma puncti h ad punctum z à puncto ſpe culi l. Dico quòd impoſsibile eſt, ut formarum illorum punctorum reflexio fiat ad inuicem ab ali.

quo alio puncto illius eiuſdem quartæ circuli, quæ eſt b a, quàm à puncto l. Sit enim, ſi poſsibile eſt, ut fiat à puncto s eiuſdem quartæ: & ducantur lineæ z l, h l, z s, h s, e l, e s. Quia itaq angulus z l h diuiſus eſt peræ qualia per lineá e l: pater per 3 p 6 quia eſt proportio lineæ z l ad lineá l h, ſicut lineæ z e ad lineam e h. Similiter quia angulus z s h diuiſus eſt peræ qua lia per lineam e s: erit per 3 p 6 proportio lineæ z s ad lineam s h, ſicut lineæ z e ad lineam e h: ergo per 11 p 5 erit proportio lineæ z s ad lineam s h, ſicut lineæ z l ad lineam l h: ergo per 16 p 5 erit permutatim proportio lineæ z s ad lineam z l, ſicut lineæ s h ad lineam l h: ſed linea z s eſt minor quàm linea z l per 7 p 3: ergo linea s h eſt minor quàm linea h l: quod eſt contra eandem 7 p 3: quoniam eſt linea s h propinquior centro ſpeculi, quod eſt e, quàm linea h l. Et quoniam de quolibet puncto arcus a b poteſt eadem fieri deductio: patet ergo quòd nõ poteſt fieri reflexio ab aliquo puncto quartæ circuli ab alio quàm à puncto l. Similiter quoq demonſtrandum eſt in quarta circuli, quę eſt b g. ſi ab illius aliquo puncto fiat reflexio. Patet ergo propoſitum.

◉19. Centro ſpeculi ſphærici concaui exiſtẽte extra lineam connectentem cẽtrum uiſus, & punctum rei

Fig. 734

h e k z a d g x b

uiſæ in diametris diuerſis exiſtentia, & æqualiter diſtantia à centro ſpeculi: ab uno tantùm puncto ſemicirculi, in cuius ſemidiametris illa puncta non conſiſtunt, fit reflexio ad uiſum.

◉Sit ſpeculi ſphærici concaui circulus a b g: cuius cen trum ſit d: diameter a g: & ſemidiameter d b orthogona liter erigatur ſuper diametrum a g: ſitq́ centrum uiſus punctum z: & punctus rei uiſæ ſit h: & ducatur linea z u ſecans productã ſemidiametrũ d b in pũcto e, ita quòd centrũ ſpeculi d ſit inter lineã z h & ſuperficiẽ ſpeculi, à qua fit reflexio: diſtentq́ pũcta z & h æ qualiter à pũcto d, q eſt centrũ ſpeculi: ꝓpter q erit linea bd e քpendicularis ſuք lineã z h ք 8 p & 10 defi. 1. Dico quòd forma pũcti h reflectitur ad uiſũ z ab uno tãtùm page 321 puncto ſemicirculi a b g, quod eſt b. Ducantur enim lineæ d z, d h, z b, & b h. Et quia per 3 p 3 lineæ b d e diuidit lineam h z per æqualia: patet quòd duo latera b e & e h ſunt æqualia duobus lateribus b e & z e, & anguli b e h & b e z ſunt æquales, quia recti: ergo per 4 p 1 patet quoniam angoli z b e & h b e ſunt æquales. Fit ergo per 20 th. 5 huius reflexio form æ puncti h à puncto ſpeculi b ad centrum uiſus, quod eſt z. Dico itaque quòd non poteſt ab aliquo alio puncto ſpeculi fieri hæc reflexio. Si enim detur, quòd fiat à puncto t: ducantur lineæ z t & t h: & à centro d ducatur ad punctum refle xionis t linea d t: quæ producta ad lineam z h ſecet ipſam in puncto k. Quia ita que per 20 th. 5 huius linea k t diuidit angulum z t h per æqualia: patet per 3 p 6 quoniam eſt proportio lineæ z t ad lineam t h, ſicut lineæ z k ad lineam k h: ſed linea z k eſt minor quàm linea z e: ergo & minor quàm linea k h. Erit ergo linea z t minor quàm linea t h: ſed per 7 p 3 linea z t eſt maior quàm linea z b, & linea h b maior quàm linea h t: erit ergo z b minor quàm linea h b, quod eſt contra præmiſſa & contra 4 p 1. Non ergo reflectetur forma puncti h ad centrum uiſus exiſtens in puncto z à puncto ſpeculi t. Similiter quoque demonſtrandum eſt de quolibet puncto ſemicirculi a b g. Patet ergo propoſitum.

◉20. Centro niſus & puncto reiuiſæ exiſtentibus in diametris diuerſis circuli magni ſpeculi ſphærici cõcaui: poßibile eſt reflexionem fieri ab aliquo pũcto arcuũ interiacentiũ diametros cir culitranſeuntes per illa puncta: non autem ab aliquo puncto arcuum aliorũ. Alhaz. 66 n 5.

◉Circulus (qui eſt communis ſectio ſuperficiei reflexionis & ſpeculi ſphærici cõcaui) ſit d g t q: & ſit a centrum uiſus intra ſpeculum ſphæricum concauum: & ſit e centrum ſpeculi: & ſit b pũctus rei uiſæ: & ducatur diameter d a g per centrum uiſus a: & ducatur diameter t q, ut contingit. Dico quòd ſi fuerit b punctus rei uiſæ in ſemidiametro e t, poteſt fieri reflexio formæ eius ad uiſum a ab aliquo puncto ſemicirculi d t g, & ab aliquo pũcto ſemicirculi ſibi oppoſiti, qui eſt d q g. Ducatur enim à puncto b rei uiſæ ad aliquẽ punctum ſemicirculi g t d arcus quartæ t d, qui ſit pũctus m, linea incidentiæ, quæ ſit b m: & ducantur lineæ b a & m a: & ducatur ſemidiameter e m, quæ quia diuidit b aſim a b trigonia m b, diuidit ergo angulum b m a ք 29 th. 1 huius. Producatur ergo ſemidiameter m e ad partẽ circũferentiæ, quæ opponitur puncto m, in

punctũ, qui ſit punctus h, arcus g q: & ducátur lineę b h & a h: ſecabit quoq linea a h diametrũ t q. Sit. ut ſecet ipſam in pũcto c: & linea h b ſecabit eandẽ diametrũ t q in pũcto b. Sunt quoq pũcta b & c ex diuerſis partibus cẽtri e: linea ergo e h diuidet angulũ a h b per 29 th. 1 huius, quoniá diuidit baſim ei ſubtenſam, quæ eſt b c. Dico itaq quòd forma puncti b poreſt reflecti ad uiſum a ab aliquo pũcto arcus interiacentis ſemidiametros et & e d, in quibus ſunt puncta a & b, qui eſt arcus t d: & ſimiliter ab aliquo puncto arcus illi arcui oppoſiti, interiacentis alias ſemidiametros illis conterminales, quæ ſunt e g & e q, utpote ab aliquo puncto arcus, qui eſt q g: & q non poteſt reflecti ab aliquo puncto arcus g t. Si enim hoc dicatur eſſe poſsibile: ſumatur tunc aliquis pũctus arcus g t, qui ſit k, propinquior pũcto t: & ducãtur lineæ a k & k b: & producatur linea k b, donec cadat ſuք diametrũ d g in punctũ o: cadet autem per 14 th. 1 huius: ideo quia angulus b e d eſt rectus, & angulus k b t eſt acutus: & oẽs illę lineę ſunt in eadẽ ſuperficie. Quoniam ergo puncta o & a ſunt in eadẽ parte centri circuli, q eſt e, patet quòd perpendicularis ducta à puncto k ad centrũ e, nõ di uidit angulũ o k a: & ita forma pũcti b nõ poteſt reflecti ad uiſum a à puncto ſpeculi, quod eſt k. Similiter ſumpto alio puncto, quod ſit f, ita ut linea b f ſit ęquidiſt ans diametro d g, uel quòd angulus f b t fiat obtuſus. Semper enim tunc patebit quoniam perpendicularis e f non diuidet angulum b f a per 29 th. 1 huius: quoniam cadet extra a b baſim trigoni a b f. Non ergo poteſt reflecti forma puncti b ad uiſum a à pũcto ſpeculi f: ergo neq ab aliquo pũcto arcus oppoſiti arcui g t, qui eſt arcus d q. Eodem quoq modo demonſtrandum, ſi b punctus rei uiſæ fuerit in ſuperficie ſpeculi aut extra ſpeculum: dum tamen punctum a, quod eſt centrum uiſus, ſit intra ſpeculum: & idem erit modus probãdi. Similiter quoq ſi punctus a centrum uiſus fueritin ſuper 322 ficie ſpeculi, & punctus b fuerit interius uel exterius, idem eſt probandi modus. Si etiam centrnm uiſus a ſuerit extra ſpeculum, & punctus b rei uiſæ fuerit intra ſpeculum: patet idem, quod propoſitum eſt. Ducantur enim à puncto a centro uiſus lineæ contingẽtes circulum g t d per 17 p 3, quæ ſint lineæ a h & a z: & ducantur duæ diametri, una uiſualis, quæ ſit a e g, & alia, quæ ſit t e q: & ſit b punctus rei uiſæ in diametro t e q. Palàm ita q ex præmiſsis, quia reflectitur forma puncti b ad uiſum a ab aliquo puncto arcus t d. Igitur ab aliquo puncto arcus t z: quia impoſsibile eſt, utreflectatur ab aliquo puncto arcus z d: quoniam ille arcus cadit ſub puncto contingentiæ, & etiam propter inæqualitatem angulorum: quoniam per 18 p 3 angulus e z a eſt rectus, & angulus b z e per 42 th. 1 huius eſt minorrecto, cui fiunt inæquales omnes anguli conſtituti ſuper lineam z a. Similiter quoq ab aliquo puncto arcus q g (qui eſt oppoſitus arcui t d) poteſt fieri reflexio formæ puncti b ad uiſum exiſtentem in puncto a ſed ab arcu t g uel d q nulla fiet reflexio propter ſupradicta: ſimiliterq́ permutato puncto b in aliam diametrum, quę ſit eadem diameter t q, idem accidet, quod prius. Patet ergo propoſitum.

◉21. Centro uiſus & puncto rei uiſæ exiſtentibus in diuerſis diametris circuli magni ſpeculi ſphærici concaui, ſi à centro uiſus ducatur linea æquidiſtans diametro, in qua eſt punctum rei uiſæ ſecans circulum: erũt omnia loca imaginum punctorum reflexorum ab arcu ſpeculi interiacente terminum diametri rei uiſæ & illam æquidiſtantẽ, extra ſpeculum: & loca imaginum refle xarum à reliquo arcus interiacente diametros, erunt ultra uiſum: oppoſiti uerò arcus loca imaginum erunt inter centrum uiſus & ſpeculum. Alhazen 67 n 5.

◉Sit diſpoſitio, quæ prius: & ducatur à puncto a linea æquidiſtans ſemidiametro t e, quæ ſit a p. Dico quòd loca imaginum reflexarum à punctis arcus t p erunt extra ſpeculum: loca uerò imaginum arcus p d erunt ultra centrum uiſus, quod eſt a: loca uerò imaginum arcus q g erunt inter centrum uiſus & ſpeculi ſuperficiem. Dato enim quòd form a puncti b exiſtens in ſemidiametro t e, reflectatur ad uiſum a exiſtentem in ſemidiametro d e ab aliquo puncto arcus p t, quiſit m: palàm per 14 th. 1 huius quòd lineæ a m & b e concurrentultra puncta m & b extra ſpeculum. Sit quoque punctus concurſusl, qui per 37 th. 5 huius erit locus imaginis formæ puncti b. Quòd ſi à puncto n arcus d p fiat reflexio: patet per eandem 14 th. 1 huius quoniam lineæ a n & b e concurrent ultra puncta a & e: ſit concurſus in puncto s: eritq́ue punctum s locus imaginis formæ puncti b retro uiſum. Si uerò forma puncti b reflectatur ad uiſum a ab aliquo puncto arcus q g: quoniam in præmiſſa oſtenſum eſt hoc eſſe poſsibile: ſit, ut illa reflexio fiat à puncto arcus q g, quod ſit u. Palàm itaque quoniam linea b e producta diuidit angulum a e u: ergo per 29 th. 1 huius patet quòdipſa ſecat baſim a u: ſit, ut ſecet ipſam in puncto x. Linea itaque a u, quæ eſt linea reflexionis, & cathetus incidentiæ ſormæ puncti b, quæ eſt b e, ſecant ſe in puncto x: eſt ergo per 37 th. 5 huius punctum x locus imaginis formæ puncti b: & ipſe eſtinter uiſum & ſpeculum. Secundum hæc itaq loca imaginum diuerſantur, ut etiam declaratum eſt in 11 huius. Nunquam autem eſt poſsibile locum imaginis eſſe in centro uiſus, niſi cum punctus rei uiſæ & centrum uiſus in eadem ſunt diametro. Tunc enim facta reflexione, utcunq ſit poſsibile, ſemper patet quòd linea reflexionis & cathetus incidentiæ concurrunt in centro uiſus: quoniam ſolus ille punctus ambabus illis lineis eſt communis. Patet itaq, quod proponebatur. Semper enim eodem modo eſt demonſtrandum propoſitum, ſiue punctum a centrum uiſus ſit intra ſpeculum: ſiue in ſuperficie ipſius ſpeculi: ſiue extra ſpeculum: dum tamen linea à puncto a ducta æ quidiſtanter diametro, in qua eſt punctus rei uiſæ, ſecet circulum ſpeculi, & non contingat ipſum. Forma uerò reflexa à puncto p ſecundum lineam p a (ſi punctus, cuius forma reflectitur, fuerit in ſemidiametro t e, cui æquidiſtat linea a p) poteſt uideri in ipſa ſpeculi ſuperficie, ut oſtendimus in 11 & 12 th. huius.

◉22. Quilibet punctus diametri circuli magniſpeculi ſphærici concaui poteſt eſſe locus imaginum, quantumcun producatur. Alhazen 68 n 5.

◉Sit a g diameter circuli ſpeculi ſphærici concaui, qui ſit a t m g: cuius circuli cẽtrum ſit d: producaturq́ extra circulum: & ſignetur in ipſa punctum z: ſitq́ punctus e centrum uiſus intra circulum in ſemidiametro m d. Dico quòd punctus z poteſt eſſe locus imaginis. Ducatur enim linea e t z per t punctum circumferentiæ circuli: & ducatur linea d t: eritq́ue angulus e t d acutus per 42 th. 1 huius. Fiat itaque angulus d t l ſuper terminum lineæ d t æqualis angulo e t d per 23 p 1: ſecetq́ linea tl diametrum d a in puncto l. Palàm itaque per 20 th. 5 huius quoniam forma puncti l reflectitur ad uiſum exiſtentem in puncto e à puncto ſpeculi quod eſt t: & eius imaginis locus eſt in puncto z per 37 th. 5 huius: quoniam in illo puncto concurrit cathetus page 323 incidentiæ, qui eſt d l z, cum linea reflexionis, quæ eſt c e. Et ſi ſumatur punctus diametri a gintra circulum, qui debet oſtendi poſſe eſſe locus imaginis, utſi ille punctus ſit l: palàm quia & ipſe erit locus imaginis alicuius formæ. Dueatur enim linea e l, & producatur uſque ad punctum circumferentiæ, quod ſit b, & ducatur linea

d b: eritq́ angulus d b e acutus per 42 th. 1 huius. Fiat ergo æqualis ſibi, qui ſit d b p. Palàm itaque per 20 th. 5 huius quoniam reflectitur forma puncti p ad uiſum e à puncto ſpeculi b: & locus imaginis formæ puncti p eſt punctus l per 37 th. 5 huius. Sumpto quoq quolibet puncto alio eadem eſt probatio. Patet ergo propoſitum.

◉23. Centro uiſus & puncto rei uiſæ in eadẽ circuli magni diametro exiſtentibus: punctorũ reflexorum à ſpeculis ſphæricis concauis, quibus eſt locus imaginis centrum uiſus, poßibile eſt, ut ab uno tantùm ſemicirculi puncto fiat reflexio ad uiſum: uel tantùm à quolibet unius alterius circuli determinati puncto. Alhazen 69 n 5.

◉Eſto circulus ſpeculi ſphærici concaui g z b a: cuius centrum ſit d: & interſecent ſe in ipſo duæ diametri z a & g b orthogonaliter: & ſit in diametro z a punctus e: qui ſit centrum uiſus: & h, qui ſit punctus rei uiſæ, ſit in eadem diametro z a: quoniam ubicunque fuerint centrũ uiſus & pũctus rei uiſę in una illius circuli diametro, ſemper poſſunt dictæ diametri taliter produci, ut ſe orthogonaliter interſecent, diametro z a per puncta e & h tranſeunte. Aut ergo linea e d interiacens cẽtra uiſus & ſpeculi eſt æqualis lineæ d h: aut non. Si ſit

æqualis, ita quòd illa pũcta æqualiter diſtent à centro ſpeculi: ducantur lineæ h g, h b, e g, e b. Palàm itaq per 4 p 1 quoniam triangulus h g d eſt æqualis triangulo g d e, & æqualis triangulo h d b & triangulo e d b, & ipſorum anguli reſpicientes æqualia latera ſunt æquales. Et quoniam angulus h g d eſt ęqualis angulo d g e: palàm quía angulus h g e diuiditur per æqualia per lineam g d: poteſt ergo per 20 th. 5 huius forma pũcti h à puncto ſpeculi g reflecti ad uiſum in punctum e: & erit per 37 th. 5 huius locus imaginis punctus e, qui eſt cẽtrum uiſus. Similiterq́ poteſt forma puncti h à puncto ſpeculi b reflecti ad uiſum in punctum e: & erit iterum locus imaginis punctum e per eadem, quæ prius. Si itaq diametro z a manente immobili, ſemicirculus z g a imaginetur moueri per ſphæram ſpeculi, aut etiam ſolus triangulus h g e moueatur fixo manente latere e h: palàm quia punctus g motu ſuo deſcribit circulum, & à quolibet puncto illius circuli reflecti poteſt forma puncti h ad uiſum e: & locus imaginis erit ſemper punctus e, quod eſt centrum uiſus. Quòd autem ab alio puncto ſpeculi quàm ab aliquo puncto illius circuli non poſsit forma puncti h reflecti ad uiſum e, manifeſtum eſt. Si enim reflecteretur ab alio circulo quàm ab illo, quem motu ſuo cauſſat punctum g uel punctum b: tunc reflecteretur ab alio puncto illius ſemicirculi a g z. Sit ergo, ut reflectatur à puncto illius, qui ſit c: & hoc erit extra illum circulum imaginatum in ſuperficie ſpeculi. Ducantur quoque lineæ h c & e c: eritq́ linea e c maior quàm linea e g per 7 p 3, & erit linea h c minor quàm h g per eandem 7 p 3: non ergo erit proportio lineæ e c ad lineam h c, ſicut lineæ e dad lineam b d, quæ ſunt æquales: ergo per 3 p 6 angulus e ch non diuiditur in duo æqualia per lineam d c. Non ergo reflectitur forma puncti h ad uiſum e à puncto ſpeculi c. Et eadem eſt deductio, ſi ſumatur punctus c inter puncta g & z in arcu z g. Palàm itaque quoniam centro uiſus, quod eſt e, & puncto rei uiſæ, qui eſt h, exiſtentibus in eadem diametro, & æqualiter diftantibus à centro ſpeculi, ſemper fit reflexio formæ puncti uiſi ad uiſum modo propoſito. Quòd ſi puncta dicta in eadem diametro exiſtentia inæqualiter diſtent à centro ſpeculi, puncto d, utpote ſi linea e d fuerit maior quàm linea d h, addatur lineæ d h linea h q per 126 th. 1 huius, taliter, utillud, quod fit ex ductu lineæ e q in q h ſit æquale quadrato lineæ d q: erit ergo per 17 p 6 proportio lineæ e q ad lineam d q, ſicut lineæ d q ad lineam h q. Fiat ergo circulus ad quantitatem ſemidiametri d q, cuius centrum fit q. Et quoniam ille circulus interſecat circulum g z b a in duobus locis per 10 p 3: ſint illa loca ſectionis puncta g & b: & ducantur lineæ e g, e b, q g, q b, d g, d b, h g, h b. Et quia linea q g eſt æqualis lineæ q d per definitionem circuli: palàm per 7 p 5 quoniam eadem eſt proportio lineæ e q ad lineam q g & ad lineam q d: eſt ergo proportio lineæ e q ad lineam q g, ſicut lineæ g q ad lineam q h: angulus uerò g q h communis eſt utrique triangulorum, qui ſunt e q g & h q g: ergo per 6 p 6 illi duo page 324 trianguli ſunt æquianguli: erunt quoq eorum latera proportionalia per 4 p 6: erit ergo proportio lineæ e q ad lineam q g, ſicut li neæ e g ad lineam g h: erit quoq per 19 p 5 proportio lineæ e d ad lineam d h, ſicut lineæ e q ad lineam d q: ergo per 11 p 5 erit pro portio lineæ e d ad lineam d h, ſicut lineæ e g ad lineam g h: ergo per 3 p 6 linea d g diuidit angulum h g e per æqualia. Igitur per 20 th. 5 huius forma puncti h à pũcto ſpeculi g reflectitur ad punctum e, qui eſt centrum uiſus: & eſt punctus e locus imaginis ſuæ. Et ſimiliter forma pũcti h à puncto ſpeculi b reflectitur ad punctum e, qui eſt centrũ uiſus: & eſt punctũ e locus imaginis ſuæ. Si ergo imaginetur moueri triangulus e g h trans ſphæram ſpeculi (linea h e remanente immota) tunc punctus g deſcribet circulum in ſuperficie concaua ſpeculi, à cuius quolibet puncto reflectetur forma puncti h ad uiſum exiſtentem in puncto e: & ſemper erit locus imaginis punctus e. Quòd uerò ab alio puncto quàm ab aliquo punctorum illius circuli, non poſsit forma puncti h reflecti ad uiſum e, patet, ut prius. Si enim ſumatur punctus c inter puncta g & a: erit per 7 p 3 linea e c maior quàm linea e g, & linea h c minor quàm linea h g: non erit igitur proportio lineæ e c ad c h, ſicut e d ad d h per 8 p 5: ergo per 3 p 6 linea c d non diuidit angulum e c h per æqualia. Non ergo reflectetur forma puncti h ad uiſum e à pũcto ſpeculic. Similiter quoq ſi punctus c, à quo debeat fieri reflexio, cadat in arcum g z, idem ſequitur impoſsibile. Patet ergo propoſitum. Sicut autem hæc de punctis & circulis mathematicis demonſtrata ſunt: ſic de punctis medijs naturalium imaginum reflexarum intelligenda ſunt. Forma enim puncti h continua uidetur formis aliorum punctorum: & eſt media intelligenda in tota imagine naturali reflexa: & punctus medius totius illius formæ erit in puncto e, quod eſt centrum uiſus, & reflectetur tota forma à loco circulari ſpeculi habẽte ſenſibilem latitudinem, cuius medium mathematicum eſt circulus prædictus: & ſunt puncta e & h poli illius circuli. Cum autem linea e d fuerit maior quàm linea d h, in tantum poterit eſſe maior, quòd non reflectetur forma puncti h ad uiſum e à puncto ſpeculi g, prout oſtendimus per 17 huius: niſi enim fuerit proportio exceſſus lineæ e d ſupra lineam d h ad lineam h d maior quàm lineæ e h ad lineam a h, non poterit forma pũcti h reflecti ad uiſum e per 16 huius: eritq́ proportio lineæ e a ad lineam a h, maior quàm lineæ e d ad lineam d h: aliàs enim non poterit reflecti forma puncti h ad uiſum in punctum e. Quia ſi detur, quòd poſsit reflecti: ſit, ut reflectatur à pũcto g. Dico itaq quòd neceſſariò ſequitur, ut maior ſit proportio lineæ e a ad lineam h a, quàm lineæ e d ad lineam d h: erit enim ex 42 th. 1 huius angulus h d g acutus: erit quoq peridẽ 42 th. 1 huius angulus d g h minor recto. Ducatur itaq à puncto g linea contingens circulum a g z b, quæ ſit g f: hæc ergo neceſſariò concurret cum linea e h per 14 th. 1 huius: cum angulus h d g ſit a cutus, & angulus d g f rectus per 18 p 3: ſit concurſus punctus f: erit ergo per 13 huius proportio catheti incidentiæ, quæ eſt h d, ad lineam d e ductam à centro ſpeculi ad locum imaginis, ſicut lineæ h f ductæ à puncto rei uiſæ ad finem contingentiæ, ad lineam f e ducta m à fine contingentiæ ad locum imaginis. Ergo per 5 th. 1 huius erit econuerſo proportio lineæ e f ad lineam fh, ſicut lineæ e d ad lineam d h: ſed maior eſt proportio lineæ e a ad lineam a h, quàm ſit lineæ e f ad lineam fh per 4 th. 1 huius: quoniam æquali linea (quę eſt f a) addita utrobiq, ininuitur proportio: igitur maior eſt proportio lineæ e a ad lineam h a, quàm ſit lineæ e d ad lineam d h. Si itaq forma puncti h reflectitur ad uiſum e: neceſſarium eſt, ut proportio lineæ e a ad lineam h a ſit maior quàm lineæ e d ad lineam d h. Hoc itaque cum fuerit, erit in hac diſpoſitione centri uiſus & puncti rei uiſæ, ſicut prius, demonſtrandum. Palàm ergo ſunt omnia, quæ propoſita ſunt; cum centrum uiſus & punctus rei uiſæ ſuerint in eadem diametro circuli propoſiti ſpeculi. Patet ergo propoſitum.

◉24. Puncto rei uiſæ & centro uiſus exiſtentibus extra ſpeculum ſphæricum concauum non in eadem diametro circuli (qui eſt communis ſectio ſuperficiei reflexionis & ſpeculi) non eſt poſſibile, ut fiat ad uiſum reflexio niſi ab uno tantùm puncto: & unicus tantùm imaginis erit locus. Alhazen 70 n 5.

◉Eſto t punctus rei uiſæ: & h centrum uiſus: & ſit d centrum ſpeculi: & ducantur lineæ h d, t d, h t: ſuperficies itaq reflexionis, quæ per 3 huius eſt ſuperficies h d t, ſecat ſuperficiem ſpeculi per 2 huius ſuper circulum, qui ſit e b q g. Palàm itaq quòd forma puncti t non reflectitur ad uiſum h, niſi ab aliquo puncto huius circuli: non enim fit aliqua reflexio extra ſuperficiem reflexionis. Producatur page 325 itaq linea h d ultra centrum d, donec ſecet circum ſerẽtiam circuli: & ſit punctus ſectionis a: & producatur linea t d ultra punctum d, ſecans circulum in puncto q: incidatq́ linea h d circul o in pũcto g, & linea t d in puncto b. Palàm ergo (cum per 20 huius ſolùm ſit poſsibilis reflexio ab arcubus interiacentibus diametros, in quibus ſunt centrum uiſus, & pũctus rei uiſæ) quòd forma puncti t ad uiſum exiſtentem in puncto h non reflectitur ab aliquo puncto arcus q g uel arcus b a: refle ctitur itaq aut ab aliquo puncto arcus g b, aut ab aliquo puncto arcus q a. Diuidatur itaq angulus t d h per æqualia per 9 p 1: diuidatq́ ipſum linea d e l, ſecans circuli peripheriam in puncto e, & lineá h t in puncto l: & à puncto e ducatur linea contingens circulum per 17 p 3: quæ ſit k e f. Si itaq puncti t & h fuerint ſuper illam lineam contingentem, ubicunq conſiſtant: palàm quòd non eſt poſsibile reflecti formam puncti t ad uiſum h ab aliquo puncto arcus b g. Si enim à puncto t ducatur linea ad aliquem interiorem punctum huius arcus, linea à puncto h ad idem punctum ducta cadet ſuper eundem arcum exterius & nó interius, cum punctum ſit extra ſpeculum: & ita non erit reſlexio à parte interiori concauitatis ſcilicet ſpeculi, ipſo corpore ſpeculi impediente. Ab arcu uerò a q poſsibile eſt ut fiat reflexio: quoniam lineas ductas à puncto t & à puncto h, concauitati illius arcus poſsibile eſt incidere. Producatur itaq linea l d donec ſecet arcum a q: & ſit punctus ſectionis z. Dico quòd à puncto z reflectetur forma puncti t ad h centrum uiſus. Ducantur enim lineæ t z, h z: ſecetq́ linea h z cathetum incidentiæ, quæ eſt t d q, in puncto p. Cum itaq angulus t d h ſit diuiſus per æqualia: patet quòd angulus t d z eſt æqualis angulo h d z per 13 p 1. Lineæ itaq t d & h d aut ſunt æquales, aut non. Si ſunt æquales, & linea d z eſt communis: erit per 4 p 1 triangulus t z d æqualis triangulo h z d: & angulus t z h eſt diuiſus per æqualia per lineam d z: ergo per 20 th. 5 huius forma puncti t reflectetur ad uiſum in pũctum h à puncto ſpeculi z. Sed neq eſt poſsibile à puncto alio arcus a q reflecti formam puncti t ad h. Sit enim, ſi eſt poſsibile, quòd reflectatur à puncto o, & ducantur lineæ t o & h o: linea quoq o d m ducta per centrum ſpeculi diuidat angulum t o h per æqualia: ſecetq́ lineam h t in puncto m. Palàm ergo per 8 p 3 quoniam linea t z eſt minor quàm linea t o, & linea h o eſt minor quàm linea h z: eſt autem per 3 p 6 (cum angulus t z h ſit diuiſus per ęqualia) proportio lineæ t z ad lineam h z, ſicut lineę tl ad lineam h l: proportio uerò lineæ t o ad lineam h o per eandem 3 p 6 eſt, ſicut lineę t m ad lineam m h: ſed per 9 th. 1 huius maior eſt proportio lineæ h z ad lineam t z, quàm lineæ h o ad lineam t o: ergo per 11 p 5 maior eſt proportio lineæ h l ad lineam l t, quàm lineæ h m maioris, quàm ſit linea h l, ad lineam m t minorem, quàm ſit linea l t: quod eſt impoſsibile. Semper enim eſt minor proportio quantitatis minoris ad maiorem quàm maioris ad minorem: quod faciliter patet per 9 th. 1 huius. Non ergo fiet reflexio form æ puncti t ad uiſum h à puncto ſpeculi o. Similiter etiam demonſtrandum quod à nullo alio niſi à ſolo puncto z: quod eſt propoſitum. Quòd ſi lineæ t d & h d ſint inæquales, fiat reſectio maioris ad æqualitatem minoris per 3 p 1: & ordinetur demonſtratio, ut prius. Et quoniam forma puncti cuiuſcunq rei uiſæ in eadem linea exiſtentis ſemper reflectitur ab eodem puncto cuiuſcunq ſpeculi ad uiſum in quocunq puncto eiuſdem lineæ exiſtentis (quoniam linearum inæqualitas naturam reflexionis non immutat, ut patet per 20 th. 5 huius: ſemper enim angulus incidẽtiæ eſt æqualis angulo reflexionis) patet quòd quæcunq iſtarum linearum fuerit maior quàm alia, quòd non impedietur propter hæc reflexio: & quòd tantùm ab uno puncto ſpeculi fiet reflexio: & hoc per diligentiam perquirentis ſecundum modum præmiſſum poterit declarari. Et quia in tali diſpoſitione centri uiſus & puncti rei uiſæ ab uno tantùm puncto ſpeculi fit reflexio ad uiſum: patet quòd unica eſt linea reflexionis, quæ h z: unicus eſt ergo locus imaginis, ſcilicet pũctus p, in quo linea reflexionis (quæ eſt h z) ſecat cathetum incidentiæ, quæ eſt t d q. Patet ergo propoſitum.

◉25. Si angulum à duabus diametris circuli magni ſpeculi ſphærici concaui contentum diuidat tertia diameter per æqualia, & à puncto ſectionis circumferentiæ & diametri medio ducantur perpendiculares ſuper alias duas diametros: punct a diametrorum, in quæ cadunt perpendiculares, ad ſe inuicem reflectuntur tantùm ab illo puncto circumferẽtiæ, & à puncto ſibi oppoſito: & quodlibet punctum diametri interiacens illa puncta, & centrum ſpeculi reflectitur ad punctum alterius diametri æqualiter ei condiſtans à centro, ab eiſdem duobus punct is: & loca imaginum erunt tantùm duo. Alhazen 71 n 5.

◉Sint circuli (qui eſt communis ſectio ſuperficiei reflexionis & ſpeculi ſphærici concaui) cuius centrum d, duæ diametri a g & b q: & diameter e d z diuidat angulum b d g per æqualia per 9 p 1: & à puncto ſpeculi, cuì incidit diameter z d e, ducantur duæ perpendiculares ſuper duas ſemidiametros b d & d g per 12 p 1, quæ ſint e t & e h. Palàm ergo per 26 p 1 quòd trianguli e t d & e h d ſunt æquales & æquianguli. Quoniam enim angulus b d g diuiſus eſt per æqualia per lineam d e, & anguli e t d & e h d ſunt recti, & linea e d eſt ambobus illis trigonis communis: patet ergo quòd anpage 326 gulus t e d eſt æ qualis angulo d e h: ergo per 20 th. 5 huius forma puncti t refle ctitur ad uiſum exiftentem in puncto h à puncto ſpeculi, quod eſt e: & eodem modo forma puncti h reflectitur ad uiſum exiſtentem in puncto t à puncto ſpeculi e. Similiterq́ fiet reflexio à puncto z ductis lineis t z & h z. Cum enim ex præmiſsis lineæ t d & h d ſint æ quales, & per 13 p 1 anguli h d z & t d z ſint æqua les: erunt per 4 p 1 anguli t z d & d z h æquales: fiet ergo mutua reflexio pũctorum t & h ad inuicem à puncto ſpeculi, quod eſt z. Patet autem per 20 huius quòd nõ reflectetur forma puncti t ad uiſum exiſtentem in puncto h ab aliquo puncto arcus a b, uel ab aliquo puncto arcus g q: nec ab aliquo puncto arcus a q, niſi à puncto z per 19 huius, & quòd idem accidet impoſsibile contra 9 th. 1 huius, quod in proxima pręmiſſa, ducta prius linea th. Quòd uerò ab aliquo puncto arcus b g alio quàm à puncto e, non poſsit fieri reflexio formæ puncti t a d uiſum h, ſic patebit. Detur enim quòd illa reflexio poſsit fieri à puncto o: & ducanturline æ t o & h o, d o: fiatq́ circulus ſecundum quantitatem diametri d e. Palàm ergo cũ anguli e t d & e h d ſint recti, quoniá ille circulus tranſibit per quatuor pun

cta, quæ ſunt t, d, h, e per 31 p 3. Cum itaq pũctus e ſit communis utriq illorum circulorũ, & ſit ſuper eandem diametrum e d, continget circulus maior mino rem tantùm in puncto e per 13 p 3, & non in alio. Circulus ita que minor, qui eſt e t d h, ſecabit lineam d o productam in maiori circulo. Quoniam ſi non ſecaret, tunc contingeret in pũcto o circulum maiorem, & ſic ipſum cótingeret in duobus punctis, quod eſt impoſsibile. Sit, ut ſecet ipſam in puncto l: & ducantur lineæ t l & h l. Quia uerò, ut patet ex præmiſsis, linea t d eſt æqualis lineæ d h: erit arcus d h circuli minoris æqualis arcui d t per 28 p 3: ergo per 27 p 3 angulus tl d eſt æqualis angulo d l h: ergo per 13 p 1 angulus t l o eſt æqualis angulo h l o: ſed angulus l o t eſt æqualis angulo l o h per 20 th. 5 huius, & ex hypotheſi, & latus o l eſt cómune ambobus trigonis t o l & h o l: ergo per 26 p 1 illi trigoni ſunt æquales & æquianguli: erit ergo linea t o æqualis lineæ h o, quod eſt impoſsibile: quoniam per 7 p 3 linea h o eſt maior quàm linea h e, & linea t o eſt minor quàm linea t e per eãdem 7 p 3: linea uero t e, ut præmiſſum eſt, æqualis eſt lineæ h e: eſt ergo linea h o maior quàm linea t o. Non ergo reflectetur forma puncti t ad uiſum exiſtentem in puncto h à puncto ſpeculi o: ſed neq ab aliquo alio puncto arcus e b. Similiterq́ eſt de ducendum, ſi punctus o, à quo ſupponitur fieri reflexio, cadat in aliquem punctum arcus e g inter puncta e & g. Reſtat ergo, ut forma puncti t non reflectatur ad uiſum h ab aliquo puncto arcus b g, niſi à ſolo puncto e: nec ab aliquo puncto arcus a q, niſi à ſolo puncto z. Item à puncto e ducatur, ut contingit, linea e m ſuper partem diametri b q, quæ eſt t d: & ſecetur â linea h d pars æqualis lineæ d m per 3 p 1: quæ ſit d n: & ducatur linea e n. Palàm per 16 p 1 quòd angulus e m d eſt obtuſus, cum angulus e t d ſit rectus. Ab angulo itaq e m d per 27 th 1 huius reſecetur angulus rectus, qui ſit d m p: & ducatur linea m p. Hæc ergo erit æquidiſtans lineæ e t per 28 p 1: concurret ergo linea m p per 2 th. 1 huius cum linea e d; cum qua concurrit ſua æ quidiſtans, quæ eſt e t: ſit concurſus punctus p: & ducatur linea n p: & fiat circulus ſecundum quantitatem diametri d p: eritq́ per 31 p 3 ille circulus tranſiens per quatuor puncta m, d, n, p. Quia cum angulus p m d ſit rectus, & angulus m d p æ qualis angulo p d n, & latus p d commune, erit per 4 p 1 angulus p n d rectus. Cum itaq arcus d n ſit æqualis arcui d m per 28 p 3, erit angulus d p n æqualis angulo d p m per 27 p 3, eruntq́ trianguli d m p & d n p æquianguli per 32 p 1. Et quia linea n d eſt æqualis lineæ d m: erit per 4 p 6 linea m p æqualis lineæ n p. Et quia angulus m p d eſt æqualis angulo n p d: erit ergo per 13 p 1 angulus m p e æqualis angulo n p e: ergo per 4 p 1 linea e p exiſtente communi triangulo n e p, & triangulo m e p, erit angulus n e p æqualis angulo m e p. Palàm ergo quòd forma puncti m reflectitur ad uiſum exiſtenté in puncto n à pũcto ſpeculi, quod eſt e: & eorum adinuicem fiet mutua reflexio: ſimiliter à puncto z: & non ab aliquo puncto arcus b a, uel arcus g q per 20 huius: neq ab alio puncto arcus b g, quàm à puncto e: nec ab alio puncto arcus q a, quàm à puncto z. In his enim eſt eadem deductio, quæ prius. Palàm itaq ſecundum modum prædictum: quia ſumpto puncto lineæ m d, & ductis lineis ad punctum illud à punctis t d h, & ſumpto puncto ultimo, in quo circulus minor ſecabit diametrum, & à puncto ſectionis ductis lineis ad punctat & h: ſemper formæ illius puncti erit reflexio ad punctum ſibi ſimile lineæ d n, tantundem 327 diſtans à centro ſpeculi, quod eſt d: fietq́ illa reflexio à puncto ſpecûli e, & à pũcto illi oppoſito diametraliter, qui eſt punctus z: eruntq́ loca imaginum tantùm duo, in quibus duæ lineæ reflexionis, quæ ſunt e h & z h, concurruot cum catheto incidẽtiæ, quæ t d. Patet ergo propoſitum. Hoc tamen eſt magis euidens, ſi diametri b q & a g ſecent ſe ad angulos non rectos: quoniam tunc loca imaginum cadunt aut retro uiſum; aut inter uiſum & ſpeculum. Si uerò illæ diametri ſecuerint ſe ad angulos rectos: tunc a d huc loca imaginum erunt tantùm duo: quoniam tunc, ut patet per 28 p 1; linea reflexionis, quæ e h, eſt æquidiſtans catheto incidentiæ, quæ eſt t d: & uidebitur una imago formæ puncti tin pũcto reflexionis, quod eſt e, per 11 huius: reliqua uerò uidebitur in pũcto x, qui ſit communis ſectio lineæ reflexionis, quæ eſt z h, & catheti incidẽtiæ, quæ eſt td. Et ſic loca imaginum diuerſantur ſecundum quantitates angulorum à diametris contentorum. Patet ergo propoſitum.

◉26. Si angulum à duabus diametris magni circuli ſpeculi ſphærici concaui contentum diuidat tertia diameter per æqualia, & à puncto ſectionis cir cumferentiæ & diametri medio ducantur perpendiculares ſuper alias duas diametros: quilibet punctus unius diametrorum ſectarum interiacens perpendiculares & circumferẽtiam, reflectitur ad punctum alterius diametri æqualiter ei condiſtans à centro, à quatuor tantùm circumferentiæ punctis: & ſecũdum hæc loca imaginum numer antur. Alhazen 72 n 5.

◉Sint, ut in proxima, circuli (qui eſt communis ſectio ſpeculi ſphærici cócaui, & ſuperficiei reflexionis) duæ diametri b q & a g ſecantes ſe ſuper punctum d centrum ſpeculi ſphærici concaui: & diameter e z diuidat an gulum b d g ab eis in centro contentum per æ qualia: & ſumatur in ſemidiametro b d punctus t ſupra punctum, in quem cadit perpẽ dicularis ducta à puncto e ſuper ſemidiametrum b d: & in linea d g ſumatur eius pars (quæ ſit d h) æqualis lineæ d t per 3 p 1, & ducantur lineæ t e & h e. Dico quòd forma punctit refle ctitur ad uiſum exiſtentem in puncto h à puncto ſpeculi, quod eſte, & à puncto z ſibi diametraliter oppoſito: non autem reflectitur ab aliquo puncto arcus b a, uel arcus g q. Eſt autem neceſſarium formam puncti t refle cti ad uiſum exiſtétem in puncto h ab aliquo puncto arcus e g, & ab aliquo puncto arcus e b. Extrahatur enim à puncto t perpendicularis ſuper lineam t d per 11 p 1, quæ ſit t o. Et quia linea t o eſt æquidiſtans perpendiculari ductæ à puncto e ſuper ſemidiametrum d b per 28 p 1: palàm quia linea t o producta cadet extra circulum ſpeculi, non ſecans punctum e. Producatur er

go linea d e ultra punctum e. Et quia angulus b de eſt acutus: ideo quia ſemidiameter d e diuidit angulum b d g per æqualia: propter quod uterq ipſorũ eſt minor recto: palàm quòd linea t o per 14 th. 1 huius concurret cum linea d e: concurrant ergo in puncto o: & ducatur linea h o. Palàm itaq per 4 p 1 cum angulus d t o ſit rectus, quòd etiam angulus d h o eſt rectus. Fiat ita q per 5 p 4 circulus tranſiens per tria puncta t, d, h, qui per 31 p 1 neceſſariò tranſibit per punctum o: & erit linea d o diameter eius: & ducarur per 17 p 3 linea contingens circulum b a z g in puncto e, quæ ſit k e. Et quoniam circulus t d h o ſecat circulũ b a z g: neceſſe eſt ipſum ſecari in duobus punctis per 10 p 3: ſint illa duo puncta l & m: & ducantur lineæ t l, h l, d l, t m, h m, d m. Cum itaq linea recta, quæ eſt t d, ſit æqualis lineæ h d, ut patet expræmiſsis, erit arcus t d æqualis arcui d h per 28 p 3 erit ergo per 27 p 3 angulus t l d æqualis angulo d l h: & ita forma puncti treflectitur ad uiſum h à puncto l. Et ſimiliter angulus t m d eſt æqualis angulo d m h per 27 p 3: ergo forma puncti treflectitur ad uiſum h à puncto m. Palàm igitur quòd forma punctit reflectitur ad uiſum h à quatuor punctis e, z, l, m. Et quoniam lineæ reflexionis ſunt quatuor, ſcilicet h e, h l, h m, h z: patet quòd in communi ſectione uniuſcuiuſcunq ipſarum & catheti incidentiæ, quæ eſt t d, ſit locus imaginis. Et ſi aliqua illarum linearum fuerit æquidiſtans catheto t d: erit locus imaginis in puncto reflexionis per 11 & 12 huius. Loca ergo imaginum ſunt quatuor, ſecũdum numerum locorum reflexionis. Non poteſt autem forma puncti treflecti ad uiſum hab alijs punctis præter hęc. Detur enim, ſi poſſibile eſt, ut fiat reflexio formæ puncti t ad uiſum h à puncto alio ſpeculi præter hæc quatuor, quod ſit punctum f: & ducantur lineæ t f, h f, d f: & producatur d f, quouſq concurrat cum linea contingente circulum b a z q in puncto e: & ſit, exempli cauſſa, punctus concurſus k, qui ſit communis ſectio lineæ e k, & peripheriæ circuli t d h o: concurrent autem lineæ d f & e k per 14 th. 1 huius: & ducantur lineæ t k & h k: erit itaq ex hypotheſi, & per 20 th 5 huius angulus t f d æqualis angulo d fh: ergo per 13 p 1 erit angulus t f k æqualis angulo h f k: ſed angulus t k f eſt æqualis angulo f k h per 27 p 3: arcus enim in quos ad peripheriam cadunt illi anguli, ſcilicet arcus citculi t d h o (qui ſunt d h & d t) ſunt æquales, & linea f k eſt communis: erunt ergo per 26 p 1 trianguli t k f & h k f æquianguli: eſt ergo per 4 p 6 linea t k æqualis lineæ h k: quod eſt impoſsibile: quoniam, ut patet per 7 p 2, page 328 linea h k eſt maior quàm linea h o, & linea t k minor eſt quàm linea t o: linea uerò t o eſt æqualis lineæ h o, per præmiſſa, Et eodem modo deducendũ, ſi in arcu m g ſit datus pũctus f: quoniam idem ſequitur impoſsibile dato puncto fin arcu g b ubicunq extra tria puncta m, e, l. Quia ſi punctus k, qui eſt pũctus lineę con tingentis, cadat extra peripheriam circuli m d t o, copulatis lineis à punctis ſectionis lineæ e k ad peripheriam circuli minoris, præmiſſo modo erit deducendum. Palàm ergo quòd non reflectitur forma puncti t ad uiſum h ab aliquo alio puncto quàm ab his quatuor punctis. Sienim circulus fiat habẽs centrum in linea d z ad modum circuli t d h o habentis centrum in linea d o: palàm per modum 24 huius, ducta linea t h, quoniam lineæ à punctis t & h ad punctum z terminum diametri d z ductæ, ſi ad partem aliam ultra puncta t & h fuerint productæ: arcus interiacẽtes earum alteram & diametrum e d z, qui ſunt p e & s e æquales reſecant: ergo æquales angulos cum diametro in puncto z conſtituunt: & eſt poſsibilis reflexio, quæ fit à puncto z. Ad alia uerò pun cta arcuum uicinorum productæ à punctis t & h lineæ ſemper arcus inæ quales reſecant: & ob hoc inæquales angulos cóſtituunt ſuper circumferentiam circuli maioris: & per modum, quo uſi ſumus in 24 huius, ſequitur impoſsibile contra 9 th. 1 huius, ut manifeſtũ eſt per ea, quę præmiſſa ſunt. Patet ergo propoſitum: quoniam tantùm à quatuor punctis fit reflexio tali exiſtente diſpoſitione: & tantùm ſunt quatuor loca imaginum. Quod eſt propoſitum.

◉27. Puncto reiuiſæ & centro uiſus in eadem ſuperficie circuli magni ſpeculi ſphærici cocaui, diuerſis tamen diametris, & ſub inæquali diſtantia à centro ſpeculi exiſtentibus, in arcu illius circuli interiacente reliquas ſemidiametros, in quibus illa puncta non conſiſtunt, punctum reflexionis inuenire: ex quo patet, quòd ab unot antùm puncto illius arcus fit reflexio in hoc ſitu. Alhazen 73 n 5.

◉Sit, ut prius, circulus (qui eſt communis ſectio ſuperficiei reflexionis & ſuperficiei ſpeculi ſphærici concaui) a b g q, cuius centrum d: & ducantur duæ diametri a d g & b d q: & diameter e d z diuidat angulum ab alijs duabus diametris contentum per æqualia: ſitq t punctus rei uiſæ poſitus in ſemidiametro b d propinquior centro ſpeculid, quàm ſit punctus h, qui ſit centrum uiſus pofitus in ſemidiametro g d. Dico quòd in hac diſpoſitione punctorum t & h, poſsibile eſt in arcu a q punctum reflexionis inueniri: & quòd in illo arcu unicus huius reflexionis eſt punctus. Sumatur enim extra circulum linea l y: & diuidatur per 119 th. 1 huius in pũcto m taliter, ut ſit proportio lineæ y m ad lineam m l, ſicut lineæ h d ad lineam d t: & diuidatur item linea y l per æqualia in puncto n per 10 p 1: & à puncto n educatur perpendicularis n k ſuper lineam y m per 11 p 1: & ſuper punctum l terminum lineæ y l fiat per 23 p 1 angulus æqualis medietati anguli a d t per lineam fl: erit itaq angulus f l y acutus, ſiue angulus a d t fuerit acutus ſiue rectus, uel etiam obtuſus: ſed an gulus f n l eſt rectus: ergo per 14 th. 1 huius linea f l concurret cum linea n k: concurrant ergo in puncto f: & per 134 th. 1 huius à puncto m ducatur linea ad baſim fl, concurrens cum latere n k in puncto k: ſecetq́ lineam l fin puncto c taliter, ut ſit proportio lineæ k c ad lineam c l, ſicut lineę h d ad lineam b d. Deinde ſuper punctum d terminum lineæ a d fiat angulus æqualis angulo l c m, qui ſit i d a: ſitq́ punctus circumferentiæ, qui eſt a, ſupra punctum z, uel infra illum: & ſuper punctum i terminum lineæ d i fiat angulus æqualis angulo c l m, qui ſit o i d, ducta linea o i ſecante lineam d a in puncto o: quæ producatur ultra punctum o: & ſuper lineam o i ducatur perpendicularis à puncto h per 12 p 1, quæ ſit h r: & producatur linea r x, quouſq ipſa æqualis ſit lineæ r i: & ducantur lineæ h x & h i. Palàm autem per 120 th. 1 huius quoniam à puncto m impoſsibile eſt duci aliam lineam ſuper lineam fl, diuidentem eam ſecũdum proportionẽ, qua diuiſit ipſam linea m c k. Cum itaq angulus o d i ſit æqualis angulo l c m, & angulus o i d æ qualis angulo c l m: erit per 32 p 1 angulus i o d æqualis angulo l m c: erit ergo per 13 p 1 angulus r o h æqualis angulo k m n: & angulus h r o eſt æqualis angulo k n m: quia uterq eſt rectus: ergo per 32 p 1 angulus n k m eſt æqualis angulo r h o. Trigona itaq n k m & r h o ſunt æquiangula: ergo per 4 p 6 latera ipſorum æquos angulos reſpicientia ſunt proportionalia. Producatur itaq linea i d ultra punctum d, donec concurrat cum linea h r: concurret autem per 14 th. 1 huius: angulus enim h r i eſt rectus, & angulus r i d eſt acutus: concurſus autem punctum ſit s: eritq́ angulus s d h æqualis angulo k c f per 15 p 1. Erunt ergo trigona f c k & s d h æquiangula per 32 p 1: ergo per 4 p 6 erit proportio lineæ s d ad lineam d h, ſicut lineæ f c ad lineam k c: ſed lineæ h d ad lineam d i per 7 p 5 eſt proportio ſicut lineæ h d ad lineam d b: quoniam per definitionem circuli 329 lineæ d i & d b ſunt æquales: eſt ergo proportio lineæ h d ad lineam d i, ſicut lineæ k c ad lineam c l. Ex pręmiſsis enim eſt pro

portio lineæ k c ad lineam c l, ſicut lineę h d ad lineam b d: eſt ergo per 22 p 5 per æquam ſcilicet proportionem proportio lineę s d ad lineam d i, ſicut lineę f c ad lineã c l: ergo per 18 p 5 erit cõiunctim proportio lineę si ad lineam d i, ſicut lineę flad lineá l c. Sed cũ triangulus d i o ſit æquiangulus triãgulo cl m, ut ſuprà patuit: palàm per 4 p 6 quoniam eſt proportio lineæ d i ad lineam i o, ſicut lineæ c l ad lineam l m: eſt igitur per 22 p 5 proportio lineæ s i ad lineam i o, ſicut lineæ fl ad lineá l m: ergo per 5th. 1. huius erit econtrariò proportio lineæ i o ad lineam s i, ſicut lineæ l m ad lineam fl: ſed eſt proportio lineæ s i ad lineam i r, ſicut lineæ fl ad lineam l n per 4 p 6: quoniam triangulus ris eſt ſimilis triangulo fl n per 32 p 1. Cum enim anguli s r i & f n l ſint æquales, quia recti, & anguli r i s & n l f ſunt æquales ex præmiſsis: erit angulus r s i æqualis angulon fl: igitur per 22 p 5 erit proportio lineæ i o ad lineam i r, ſicut lineæ l m ad lineam l n: erit ergo econtrariò per 5th. 1 huius proportio lineæ i r ad lineam i o, ſicut lineæ l n ad lineam l m. Et quoniam linea x i eſt dupla lineæ i r, & line y l eſt dupla lineæ l n: erit per 15 p 5 eadem proportio lineæ x i ad lineam i o, ſicut lineæ y l ad lineam l m: ergo per 17 p 5 erit diuiſim proportio lineæ y m ad lineam m l, ſicut lineæ x o ad lineam i o. Ducatur itaq à puncto i linea æquidiſtans lineæ h x per 31 p 1, quæ ſit iu. Producatur quoq linea da, donec concurrat cum linea i u: concurret autem per 2th. 1 huius: quia concurrit cum eius æquidiſtante, quæ eſt h x: ſit itaq concurſus punctus u: eritq́ triangulus o u i per 15 & 29 p 1 æquiangulus triangulo h o x: ergo per 4 p 6 eſt proportio lineæ h o ad lineam o u, ſicut lineæ x o ad lineam o i: eſt autem, ut patuit ex præmiſsis, proportio lineæ x o ad lineam o i, ſicut lineæ y m ad lineam m l: ergo per 11 p 5 erit proportio lineæ h o ad lineam o u, ſicut lineæ y m ad lineam l m: eſt ergo per eandem 11 p 5 proportio lineæ h o ad lineam o u, ſicut lineæ h d ad lineam d t. Sed quoniam triangulus h r i æquiangulus eſt triangulo h r x per 4 p 1, quoniam ex hypotheſi linea x r eſt æqualis lineæ r i, & linea h r eſt perpendicularis ſuper lineam x i: palàm quia angulus h x r eſt æqualis angulo r i h: ergo angulus r i h eſt æqualis angulo u i o: quia per 29 p 1 anguli h x i & u i o ſunt æquales: cum ſint coalterni inter lineas x h & u i æquidiſtantes: ergo per 3 p 6 erit proportio lineæ h o ad lineam o u, ſicut lineæ h i ad lineam i u: eſt ergo proportio lineæ h i ad lineam iuper 11 p 5 ſicut lineæ h d ad lineam d t. Verùm angulus u i d, ut patet per præmiſſa, maior eſt angulo d i h: ſecetur ergo ab angulo u i d angulus æqualis d i h angulo per 27 th. 1 huius: & ſit angulus p i d: ſitq́ punctus p in diametro d a: & ducatur linea p t. Palàm itaq per 13 th. 1 huius quòd proportio lineę h i ad lineam iu conſtat ex proportione lineæ h i ad lineam p i, & ex proportione lineæ p i ad lineam i u: ſed per 3 p 6 proportio eſt lineæ h i ad lineam i p, ſicut lineæ h d ad lineam d p: quoniam angulus p i h diuiſus eſt per æqualia per lineam d i: igitur proportio lineæ h i ad lineam i u, quæ eſt proportio lineæ h d ad lineam d t, conſtat ex proportione lineæ h d ad d p, & lineæ p i ad i u: & proportio lineæ h d ad d t conſtat ex proportione lineę h d ad lineam d p, & exproportione lineæ d p ad lineam d t: eſt igitur per 13 th. 1 huius proportio lineæ d p ad lineam d t, ſicut lineæ p i ad lineam ui. Verùm, ut ſuprà patuit, angulus ri u eſt medietas anguli u i h: quoniam angulus uir eſt æqualis angulo h xi per 29 p 1, & angulus h x i eſt æqualis r i h per 4 p 1: eſt ergo angulus r i h medietas anguli u i h: & angulus d i h eſt medietas anguli p i h: reſtat ergo, ut angulus d i o ſit medietas anguli p i u: ſed angulus d i o, cũ ſit æqua lis angulo fly, eſt medietas anguli p d t: igitur angulus p i u eſt æqualis angulo p d t. Eſt autem, ut patet per præmiſſa, proportio lineæ d p ad lineam d t, ſicut lineæ p i ad lineam i u: igitur per 6 p 6 trianguli p i u & d p t ſuntę quianguli: igitur per 4 p 6 illi trigoni ſunt ſimiles: & angulus u p i ęqua lis eſt angulo d p t: ergo per 14 p 1 linea t p i eſt linea una recta: cum angulo enim o p t uterq illorum angulorum æqualium, qui ſunt u p i & t p d, ualet duos angulos rectos per 13 p 1. Quoniam ergo lineat p i eſt linea una recta: erit ipſa linea incidentiæ formę puncti t: & anguli ti d & d i h ſunt ęquales, ut patet ex præmiſsis. Palàm ergo per 20 th. 5 huius quòd forma pũcti treflectitur ad uiſum exiſtentem in puncto h à puncto ſpeculi, quod eſti: ſem perq́ eadem eſt probatio, ſiue punctus rei uiſæ, qui eſt t, ſit extra circulum ſpeculi, ſiue intra: ſimiliter ſiue punctum, quod eſt centrum uiſus, ſit extra circulum ſpeculi, ſiue intra: dum tamen diſtent inęqualiter à centro ſpeculi. Patet ergo pro poſitum. Fit enim reflexio ab uno tantùm puncto arcus a q interiacéte illas ſemidiametros, in quibus puncta h & t non conſiſtunt. Et quoniam à puncto m impoſsibile eſt duci aliam lineam ſuper lineam fl, diuidentem ipſam ſecũdum proportionem, qua diuiſit ipſam linea m c k, ut patet per 120 330 th 1 huius: manifeſtum eſt quia non eſt poſsibile in propoſito arcu inueniri aliud punctum pręmiſſæ reflexionis. Patet ergo, quod proponebatur.

◉28. Si angulum à duabus diametris circuli magni ſpeculi ſphærici concaui contentum diuidat alia diameter per æqualia: ab omni puncto arcus interiacentis ſemidiametros primas, in quibus punct a reflexanõ conſiſtunt (præter punctum, cui incidit diameter angulum diuidens) infinit a punctorum paria inæqualiter à centro circuli diſtantiũ reflectuntur. Alhaz. 74 n 5.

◉Sit diſpoſitio figuræ præ cedentis: ſecentq́ circulum (qui eſt communis ſectio ſuperficiei reflexionis & ſuperficiei ſpeculi ſphærici concaui) duæ diametri, quæ ſint b q & a g, ſuper centrum d: diuidatq́ diameter e d z angulum b d g per æqualia. Dico quòd quicunq punctus ſumatur in arcu a q, pręter punctum z, ab illo poſſunt reflecti infinita paria punctorum inæqualiter à centro diſtantium. Sumatur enim in arcu a q punctus h: & ſumatur in ſemidiametro d g punctus l: & à ſemidiametro b d ſecetur linea m d æqualis lineæ l d: & ducantur lineæ l m, l h, m h, d h: ſecabitq́ diameter e z lineam m l per 29 th. 1 huius, quia ſecat angulum b d g, cui ſubtenditur linea l m: ſit ergo punctus ſectionis f: eritq́ per 4 p 1 & ex hypotheſi linea m f æqualis lineæ fl. Producatur quoq linea h d, quouſq cadat ſuper lineam m l: cadet autem per 29 th. 1 huius: ſitq́ punctus ſectionis n: eritq́ linea l n minor quàm linea n m: ideo, quia linea d n ſecat angulum f d l: quia angulus h d z (qui per 15 p 1 eſt æqualis angulo n d f) minor eſt angulo a d z. Ve

rùm eum angulus f d m ſit æqualis angulo ſ d l ex hypotheſi, & angulo q d z per 15 p 1, & angulus m d a ſit æqualis angulo l d q: & angulus a d h æqualis angulo n d l: angulus uerò m d n eſt maior angulo n d l, & angulus h d q eſt maior angulo a d h: ergo totus angulus l d h eſt maior toto angulo m d h: igitur per 24 p 1 linea l h eſt maior quàm linea h m, cum linea m d ſit æqualis lineæ d l, & linea d h communis ambobus trigonis m d h & l d h. Erit ergo angulus d h l minor angulo d h m. Quoniã ſi detur, quòd ſit æqualis: tunc erit proportio lineæ l h ad lineam m h, ſicut lineæ l n ad lineam n m per 3 p 6: quod eſt impoſsibile per 8 p 5. Si uerò detur quòd angulus d h l ſit maior angulo d h m: ergo per 27 th. 1 huius ſecetur ex angulo d h l angulus æqualis angulo d h m: & ſequetur impoſsibile, ut prius, producta illa linea ſecante, ad lineam l n per 29 th. 1 huius. Eſt igitur angulus d h l minor angulo d h m. Secetur igitur ab angulo m h d angulus æqualis angulo d h l, qui ſit angulus t h d. Ergo forma puncti t per 20 th. 5 huius refle ctetur ad uiſum exiſtentem in puncto l à puncto ſpeculi, quod eſt h: & linea t d eſt minor quàm linea l d: quoniam eſt minor quàm linea d m. Similiter ſi ſumantur in ſemidiam etris b g & g d alia pũcta quàm l & m, æqualiter diſtantia à punctis l & m: ſimiliter probabitur quòd à puncto h fit reflexio punctorum in æqualiter diſtantium à centro adinuicem: & ita de infinitis punctis in his diametris ſumptis ſemper ſimilis erit probatio: & à quocunq puncto arcus a q, præter quàm à puncto z, eadem eſt demonſtratio. A puncto uero z non eſt poſsibilis reflexio propter angulorum t z d & d z linæqualitatem: quæ patet per 4 p 1, reſecta per 3 p 1 linea l d in puncto p ad æqualitatem lineæ d t, & copulata linea p z. Patet ergo propoſitum.

◉29. Puncto rei uiſæ & cẽtro uiſus intra ſpeculum in diuerſis diametris circuli magni ſpeculi ſphærici concaui exiſtẽtibus, inæqualiter́ diſtantibus à centro: ſi ab aliquo puncto ſpeculi arcus ſci

Fig. 747

b a t h e p d z n l k g q

licet interiacentis ſemidiametros, in quibus illa punct a non conſiſtunt, fiat reflexio formarũ eiuſdem puncti ad eundem uiſum: ab alio puncto eiuſdem arcus eſt impoßibile reflecti. Alhaz. 75 n 5.

◉Remaneat omnimoda diſpoſitio theorematis pręcedentis: & ſit, ut pũctus rei uiſæ, (qui eſt t) in ſemidiametro circuli d b à puncto arcus a q, (quod ſit h) refle ctatur ad uiſum exiſtentẽ in pũcto l ſemidiametri d g plus diſtantẽ à cẽtro ſpeculi, q eſt d, quã pũctus rei uiſæ, qui eſt t: ſintq́ puncta t & l ambo intra ſpeculũ. Dico quòd formá pũcti t ad uiſum limpoſſibile eſt reflecti ab alio pũcto arcus a q, quàm à pũcto h. Si enim ſit ipſum poſsibile ab alio puncto reflecti ad uiſum l: ſit illud punctũ k: & ducátur lineæ t k, l k, d k, l t, t h, l h: & linea n d h: & producatur linea k d, quouſq cadatin lineá l t in punctũ p: cadet autẽ per 29 th. 1 huius, ut in præmiſſa oſtendimus. Quia 331 itaq, ut patet ex hypotheſi, forma puncti t refle ctitur ad uiſum exiſtentem in puncto l à puncto ſpe culi h: palàm per 20 th. 1 huius quoniam angulus th l diuiditur per æ qualia per lineam n d h. Ergo per 3 p 6 patet quoniam eſt proportio lineæ l h ad lineam t h, ſicut lineæ l n ad lineam n t. Et ſimiliter cum angulus t k p ſit æqualis angulo l k p ex hypotheſi: erit per eandem 3 p 6 proportio lineæ l k ad lineam t k, ſicut lineæ l p ad p t: ſed linea lh eſt maior quàm linea l k per 7 p 3, & linea t h eſt minor quàm linea t k: igitur per 9 th. 1 huius maior eſt proportio lineæ l h ad lineam t h, quàm lineæ l k ad lineam t k: maior ergo erit proportio lineæ l n ad lineam n t, quàm lineæ l p ad lineam p t: quod eſt impoſsibile, & contra idem 9 th. 1 huius. Quocunq uerò alio puncto dicti arcus h q dato, idem accidit impoſsibile. Palàm ergo quoniam ab alio puncto arcus a q, quàm à puncto h, eſt impoſsibile formam puncti t ad l centrum uiſus reflecti. Ergo nec aliquem punctorum æqualiter diſtantiũ à puncto t, & à puncto l, poſsibile eſt ab alio puncto arcus a q, quàm à puncto h reflecti. Et hoc eſt ꝓpoſitũ. Ex his itaq duob. theorematibus patet uniuerſalis paſsio, quę accidit uiſibilibus, & uiſui ſic diſpoſito, reſpectu centri ſpeculi ab omnibus punctis arcus a q: quoniam à nullo puncto aliorum arcuũ eſt poſsibilis reflexio punctorũ taliter diſpoſitorũ, ut etiam hoc patet per 27 huius.

◉30. Centro uiſus intra circulum (qui eſt cõmunis ſectio ſuperficiei reflexionis & ſpeculi ſphæ rici concaui) in eius diametro existente: à quolibet puncto illius ſemicirculi reflectuntur ad uiſum formæ punctorum æqualis uelinæqualis diſtantiæ à centro ſpeculi cum ipſo centro uiſus. Alhazen 76 n 5.

◉Sit a centrum uiſus: centrum uerò ſpeculi ſphærici concaui ſit b: & ſit a intra ſpeculum: ducaturq́ una diameter, quæ ſit d a b g: & imaginetur ſuperficies plana, in quaſunt puncta a & b quocunq modo extenſa: hæc ergo per 69 th. 1 huius ſecabit ſphæram ſpeculi ſecundum circulum, qui ſit d l g. Dico quòd à quolibet puncto alterius iſtorum ſemicirculorum reflectuntur ad uiſum a for

mæ punctorum inæ qualiter diſtantiũ à centro ſpeculi cũ ipſo puncto a. Sumatur enim in alicuius ſemicirculorum illorum peripheria punctus e: & ducantur lineæ e a & e b. Palàm itaq quoniam angulus a e b erit acutus per 42 th. 1 huius, & quia cadit in minorem arcum ſemicirculo. Super punctum itaq e terminum lineæ b e fiat per 23 p 1 angulus æqualis angulo a e b, qui ſit p e b: & producatur linea p e quántum placet. Palàm itaq per 20 th. 5 huius quoniam quodlibet punctum illius lineæ reflectitur ad uiſum a à puncto ſpeculi, quod eſt e. Ducta quoq à centro ſpeculi, quod eſt b, ad lineá p e perpendiculari per 12 p 1: aut illa perpendicularis erit æqualis lineæ b a, ſecundum quam diſtat centrum uiſus à centro ſpeculi: aut maior: aut minor. Si fuerit æ qualis: tunc, cum omnes lineæ ductæ à centro b ad lineam p e, præter illam perpendicularẽ, ſint maiores illa perpendiculari per 19 p 1, quoniam opponuntur angulo recto in illo triangulo: palàm quòd omnes lineæ erunt maiores quàm linea b a: & ita quodlibet punctum lineæ p e, excepto puncto unico, in quod cadit perpendicularis ducta à centro b ſuper lineæ p e, inæ qualiter diſtabit à centro b cum puncto a centro uiſus. Siuerò perpendicularis fuerit maior quàm linea b a: tũc patet ſecundũ præmiſſa, quòd omnia puncta lineæ p e plus diſtabunt à centro b, quàm punctus a. Si aũt illa perpendicularis fuerit minor quàm linea b a: tũc poſsibile eſt duci à puncto b duas lineas ex diuerſis partibus perpendicularis æ quales lineæ b a: quod fiet ſubtenſis illis angulis, rectis ex utraq parte lineis, æ qualibus lineę a b per 26 th. 1 huius: & omnes lineę aliæ ductæ à centro b ad lineã p e aut ſunt minores, aut maiores, quàm linea b a. Palàm itaq per 28 huius quoniã à puncto e reflectũtur omnia pũcta lineę p e ad a cẽtrũ uiſus, quorũ diſtantia à centro ſpeculi in æqualis eſt diſtantiæ centri uiſus, quod eſt a, ab eodẽ cen tro ſpeculi. Sed, ut patet ex præmiſsis, inter hæc ſunt puncta æqualiter diſtantia à centro ſpeculi cũ puncto a. Sumpto quoq quocũq puncto in toto ſemicirculo illo, in quo ſumptũ eſt punctum e, ſemper eſt eodem modo demonſtran dum. Eodem quoq modo poteſt in alio ſemicirculo circuli d l g demonſtratio fermari. Patet ergo propoſitum.

page 332

◉31. Centro uiſus extra circulũ (qui ect cõmunis ſectio ſuperficiei reflexiõis & ſpeculi ſphærici concaui) exiſtente, ſi à uiſu ducantur duæ lineæ circulum contingentes, & diameter circuli: à quolibet puncto arcus interiacentis terminum ultimum diametri & punctum contingentiæ (præter quàm ab illis punctis) poteſt fieri reflexio ad uiſum punctorum inæqualiter diſtantium à centro circuli cum centro uiſus. Alhazen 77 n 5.

◉Huius demonſtratio euidens eſt per præmiſſa. Sit enim centrum uiſus h extra circulum d t g q, cuius centrum eſt b: & ducatur diameter h d b g: patetq́ per 6 huius quòd à puncto g non fit aliqua reflexio ad uiſum: ducanturq́ à puncto h (quod eſt centrum uiſus) duæ lineæ contingentes circulum d t g q per 17 p 3 quæ ſint lineæ h t & h q: palamq́ eſt per ea, quæ dicta ſunt in 24 huius, quoniam ab arcu q d t nulla fit reflexio ad uiſum exiſtentem in puncto h: ſed nec ab aliquo punctorum contingentiæ, quæ ſunt q & t, poteſt fieri refle xio ad uiſum exiſtentem in puncto h: quoniam angulus contingentiæ eſt indiuiſibilis: & lineæ q h & t h ſunt circulum contingentes, & ut patet per 42 th. 1 huius omnis angulus contentus ſub termino chordę & diametri eſt acutus: angulus uerò b q h eſt rectus. Non ergo fiet ab illis punctis reflexio alicuius formæ ad uiſum in punctum h: à reliquis uerò punctis arcus q g t, excepto puncto g, poteſt fieri reflexio, demonſtratione 6 & 24 huius repetita. Patet ergo propoſitum, ſeruata hypotheſi præmiſſa.

◉32. Centro uiſus intra circulum (qui eſt cõmunis ſectio ſuperficieireflexionis & ſpeculi ſphærici concaum) exiſtente, facta́ reflexione ab aliquo puncto circumferentiæ formæ alicuius punctorum inæqualiter diſtantiũ à cen tro ſpeculi cum centro uiſus: diameter circuli, in qua eſt punctus reflexus, cum diametro, in qua eſt centrum uiſus facit angulum extrinſecum angulo reflexionis quando maiorẽ: quando minorem angulo conctante ex angulis incidentiæ & reflexionis. Alhazen 78 n 5.

◉Stante priori diſpoſitione 30 huius, ducatur à centro ſpeculi, quod eſt b, linea b f perpendicularis ſuper lineam e p. Aut ergo linea b a eſt perpendicularis ſuper lineam e a: aut non. Sit primò perpendicularis: & erũt duo anguli f b a & f e a æquales duobus rectis per 32 p 1, ideo quòd in quadrilatero f b a e alij duo anguli ſuntrecti ex hypotheſi. Ducatur itaq linea b o ſuper lineam e f: & erunt duo anguli o b a & o e a minores duobus rectis: ideo quòd angulus b o e eſt obtuſus, & angu lus b a e rectus: erit ergo angulus o b g (qui per 13 p 1

cũ angulo o b a ualet duos rectos) maior angulo o e a, qui eſt angulus cõſtans exangulo reflexionis & incidentiæ. Et cum triangulus e b f ſit æ qualis trian gulo e b a: quia cum angulus b f e ſit æ qualis angulo b a e (quoniam uterq rectus) & angulus b e f eſt æ qualis angulo b e a per 20 th. 5 huius: erit per 26 p 1 angulus e b a æ qualis angulo e b f: eſt enim b e la tus utriq illorum trigonorum cõmune: eritq́ per 4 p 6 latus f b æ quale lateri b a: quoniam ipſa reſpi ciunt angulos æ quales. Sed latus o b per 19 p 1 eſt maius latere b f: ergo & ipſum eſt maius latere b a. Ducta uerò linea b n ſuper aliquod punctum lineæ f p: erũt per præmiſſa duo anguli n b a & n e a maiores duobus rectis: ſed per 13 p 1 duo anguli n b a & n b g ualent duos rectos: ergo angulus n b g min or eſt angulo n e a: & linea n b cũ ſit per 19 p 1 maior  linea b f, erit ipſa maior quàm linea b a. Itaq forma puncti n reflectitur ad uiſum exiſtentem in puncto a, à puncto ſpeculi, quod eſt e: & in æ qualiter diſtat à centro ſpeculi, quod eſt b, cum centro uiſus, quod eſt a: & diameter b n, in qua eſt punctus rei uiſæ, quod eſt n, cum diametro a b g, in qua eſt centrum uiſus, quod eſt a, facit angulum n b g minorem angulo n e a, qui eſt angulus conſtans ex angulis incidentiæ & reflexionis: diameter uerò o b cum diametro a b g continet angulum o b g maiorem angulo o e a. Patet ergo propoſitum. Siuerò linea b a non fuerit perpendicularis ſuper lineam e a: tunc per 12 p 1 à puncto b ſuper productam lineam e a ducatur perpendicularis, quę ſit b k: quę quidẽ ſiue cadatultra lineam a b, uel citra uerſus punctũ e, ſemper eadẽ probatio. Sit enim linea b f perpendicularis ſuper lineã e p: & ſit linea f t æqualis lineę a k: & ducatur linea t b. Palãitaq quoniã in trigonok e b angulus e k b eſt rectus æqua page 333 lis angulo f b e trigoni fe b: & angulus k e b per 20 th. 5 huius eſt æqualis angulo f e b, linea uerò e b eſt latus commune: ergo per 26 p 1 illa trigona f b e & k b e ſunt æ qualia: & erit linea b f æ qualis lineæ k b: ſed linea a k æ qualis eſt lineæ f t ex hypotheſi: ergo per 4 p 1 in trigonis b t f & b k a erit linea b t æ qualis lineæ b a: & angulus a b k æqualis angulo f b t: addito ergo utrobiq communi angulo f b a, erit angulus k b f æ qualis angulo a b t: ſed duo anguli k b f & fe a ualent duos rectos per 32 p 1, quia in quadrilatero k b ſ e alij duo anguli (qui ſunt b f e & b k e) ſunt recti: ergo duo angulit b a & t e a ualent duos rectos: ſed per 13 p 1 angulus t b g cum angulo t b a ualet duos rectos: ergo angulus t b g æqualis eſt angulo t e a, quieſt angulus conſtans ex angulo incidentiæ & angulo refle xionis. Si igitur à centro ſpeculi, quod eſt b, ad lineam t e ducatur linea ultra punctum t, faciet an gulum cum diametro b g ex parte puncti g minorem angulo t e a: quoniam faciet minorem angulo t b g, qui eſt æ qualis angulo t e a: & erit illa linea maior quàm linea a b: quia erit per 19 p 1 maior quàm linea b t, quæ eſt æ qualis lineæ a b. Quælibet uerò linea ducta ab aliquo puncto lineæ t e ad centrum ſpeculi, quod eſt b, faciet angulum cum diametro b g maiorem angulo t b g: ergo & maiorem angulo t e a: & erit quælibet illarum linearum minor quàm linea b t: ergo erit minor quàm linea b a. Patet ergo propoſitum.

◉33. Centro uiſus & puncto rei uiſæ in diuerſis diametris circuli (qui eſt communis ſectio ſuperficiei reflexionis & ſpeculi ſphærici concaui) exiſtentibus, & inæqualiter diſtantibus à centro ſpeculi: ſi ab aliquo puncto circumferentiæ circuli fiat reflexio, impoßibile eſt diametrum, in qua eſt punctus rei uiſæ cumdiametro, in qua eſt centrum uiſus, angulum extrinſecum æqualem conſtituere angulo conſtanti ex angulis incidentiæ & reflexionis. Alhazen 79 n 5.

◉Sit b centrum uiſus: & centrum ſpeculi ſphærici concaui ſit g: & ducatur diameter per puncta b & g: quæ ſit z d: ſitq́ a punctus rei uiſæ: & eſto, ut aliqua ſuperficies plana ſecet ſphæram ſpecu li ſuper circulum z e d per 69 th. 1 huius. Dico (ſi forma puncti a exiſtentis in diametro h g e reflecti tur ad uiſum exiſtentem in puncto b ab aliquo puncto circuli z e d: & ſi in

æqualis eſt diſtantia punctorum a & b à cen tro ſpeculi, q eſt g) quòd dia meter a g cũ dia metro b g d ex parte pũcti d faeiet angulum a g d, quem impoſsibile eſt eſſe æqualem angulo conſtanti ex angulis inciden tiæ & reflexiõis. Si uerò hoc ſit poſsibile, ponatur eſſe: & ſit punctus reflexionis t: ſit q́ linea à g inæqualis lineæ b g: & ducantur lineæ t a, t b, t g, b a: & fiat circulus tranſiens pertria puncta a g b trigoni a b g per 5 p 4: trãſibit ergo page 334 ille circulus neceſſariò per punctum t. Si enim trãſeat extra punctum t: tunc ductis lineis à punctis a & b ad aliquod punctum unum illius circuli extra punctum t, & ducta linea b a: erit angulus contentus per lineas ductas ad illud punctum circumferentię minoris circuli per 21 p 1 minor angulo a t b, ſed accidit ipſum eſſe æ qualem angulo a t b. Palàm enim per 22 p 3 quoniã ille angulus cum angulo a g b ualet duos rectos: quoniam omnes duo anguli quadrilateri inſcripti circulo ex aduerſo collocati ualent duos rectos: ſed angulus a g b cum angulo a g d per 13 p 1 ualet duos rectos: angulus uerò a g d æqualis eſt angulo a t b ex hypotheſi: ergo angulus a g b cum angulo a t b ualet duos rectos: erit ergo ille angulus conſtitutus ſuper arcum minoris circuli æqualis angulo a t b, quod eſt contra 21 p 1. Similiter quoq accidit idem impoſsibile, ſi circulus ille tranſiens puncta illa tria, quæ ſunt a, g, b, non ceciderit in punctum t, ſed citra illud, & erit eadem deductio, quęprius. Reſtat ergo ut circulus tranſiens per puncta a, g, b tranſeat etiam per punctum t. Cum itaq angulus a t g ſit per 20 th. 5 huius æ qualis angulo b t g: erit arcus a g æqualis arcui b g per 26 p 3: ergo per 29 p 3 erit linea b g æqualis lineæ g a: poſita autem eſt eſſe mæqualis: hoc ergo eſt impoſsibile. Patet itaq propoſitum, quoniã angulus a t b conſtans ex angulis incidentiæ & reflexionis formæ puncti a ad cen trũ uiſus exiſtẽs in puncto b, ſemper eſt inæ qualis angulo cõtento à diametris, in quibus ſunt pun ctus rei uiſæ, & centrũ uiſus, extrinſeco ad illũ angulũ incidentiæ & reflexionis. Quod eſt ꝓpoſitũ.

◉34. Centro uiſus & puncto rei uiſæ in diuerſis diametris circuli (qui eſt communis ſectio ſuperficiei reflexionis & ſpeculi ſphærici cõcaui) exiſtentibus, & inæqualiter diſtantibus à centro ſpeculi: ſi à duobus punctis arcus interiacentis diametrum, in qua eſt centrum uiſus, & aliam, in qua eſt punctus rei uiſæ, fiat reflexio: non erit uter angulus conſtãs ex angulo incidentiæ & reflexionis minor angulo, extrinſeco ad angulum cadentem in eundem arcum, à dictis diametris contento. Alhazen 80 n 5.

◉Sit, ut in præmiſſa proxima, centrum uiſus b: & punctus rei uiſæ a: centrum ſpeculi ſphærici con caui ſit g: & ducatur diameter per puncta b & g, quæ ſit z d: ſecetq́ ſuperficies plana ſpeculũ ſecundum diametrum z d: eritq́ per 69 th. 1 huius ſectio communis circulus, qui ſit e d h z: ducaturq́ dia meter e h, in qua ſit punctus rei uiſæ, qui eſt a: ſitq́ linea b g, quæ eſt diſtantia centri uiſus à centro ſpeculi, maior quàm linea a g. Dico quòd ſi forma puncti a reflectitur ad uiſum exiſtentem in puncto b à duobus punctis arcus e z, non erit uterq angulus conſtans ex angulis incidentiæ & reflexionis minor angulo a g d. Sint enim duo puncta, à quibus fit reflexio formæ puncti a ad uiſum exi ſtentem in puncto b, quæ ſunt puncta t & q: & ducantur line æ b t, g t, a t, b q, g q, a q. Si itaq angulus b t a cõſtans ex angulo incidentiæ, qui eſt a t g, & exangulo reflexionis, qui eſt g t b, ſit minorangu lo a g d, qui eſt angulus extrinſecus angulo cadenti in arcum e z: & eſt ipſe angulus a g d cadens in arcum e d. Dico quò d angulus a q b, qui conſtat

exangulo incidentiæ a q g, & angulo reflexionis g q b, non erit minorangulo a g d. Dato enim quòd ſit minor: ducatur linea g n diuidens angulum e g z per æ qualia per 9 p 1: & ducatur linea a b continuans punctum rei uiſæ, quod eſt a, cum centro ui ſus, quod eſt b. Palàm itaq per 29 th. 1 huius, cum linea g n ſecet angulum b g a, cui ſubtenditur linea a b, quòd linea g n etiã ſecabit lineã a b: ſit punctus ſectiõis f: erit ergo per 3 p 6 proportio lineæ b g a d lineam g a, ſicut lineæ b f ad lineam f a: ſed linea b g ex hypotheſi eſt maior quàm linea g a: eſt ergo linea b f maior quàm linea f a. Diuidatur itaq linea a b per æ qualia in puncto k per 10 p 1: & fiat per 5 p 4 circulus tranſiens per tria puncta, quę ſunt a, b, t: qui circulus non tranſibit per punctum g, ſed citra illud uerſus puncta a & b. Dato enim quòd circulus ille tranſeat centrum g, ſequeretur per 22 p 3 an gulum a g b cum angulo a t b ęqualẽ eſſe duobus rectis: quoniã illi duo anguli erunt ex aduerſo col locati in quadrilatero inſcripto illi minori circulo: ſuntautẽ illi duo anguli minores duobus rectis, quod patet ex hypotheſi, cum angulus b t a ſit minor angulo a g d, qui per 13 p 1 cum angulo a g b ua let duos rectos. Igitur ille minor circulus non tranſibit per centrũ maioris circuli, quod eſt g. Similiter quoq dico quòd non tranſibit ille circulus minor punctũ reflexionis ſecundũ, quod eſt q. Da to enim quòd tranſeat punctũ q, cũ non tranſeat centrum g: ſit punctus, in quo linea g q ſecat peripheriã illius circuli, punctus m. Quia itaq anguli a q m & m q b ſunt ęquales per 20 th 5 huius, quoniã angulus incidentiæ eſt æqualis angulo reflexionis: & ſunt cõſtituti ſuper illius circuli circumferentiam: palàm per 26 p 3 quoniã arcus a m æ qualis erit arcui m b: quod eſt impoſsibile. Sitenim punctus in quo linea g t ſecat circulũ, punctus o: eritq́ palàm ք 20 th. 5 huius & 26 p 3 quoniã arcus a o eſt ęqualis arcui o b: eſt aũt arcus a o maior arcu a m: fiet ergo arcus o b maior arcu m b, pars ſuo toto: q eſt impoſsibile. Nõ ergo trãſibit ille circulus per punctũ q: reſtat ergo, ut ille circulus tran page 335 ſeat ultra punctum q: ſi enim citra punctum q tranſeat, eadem penitus erit improbatio, quęprius. Ducatur item linea à puncto o ad punctum k, quę ſit o k: hæc ergo diuidit chordam b a per æ qualia, & ſimiliter arcum b a, ut patet ex præmiſsis. Ductis ergo chordis b o & a o, quæ erunt æquales per 29 p 3, patet per 8 p 1 quod linea o k perpendicularis erit ſuper lineam b a. Sed per 18 p 1 angulus b a g maior eſt angulo a b g: eſt enim linea b g maior quàm linea g a ex hypotheſi, & per 32 p 1 angulus b f g ualet duos angulos f a g & f g a, & per eandem 32 p 1 angulus a f g ualet duos angulos f b g & f g b: ſed ex præ miſsis angulus a g f eſt æ qualis angulo t g b, & angulus f a g maior eſt angulo f b g: ergo angulus a f g minor eſt angulo g f b: eſt ergo angulus g f a acutus, & angulus g f b obtuſus per 13 p 1: ergo angulus n f k eſt acutus per eandem 13 p 1: ſed angulus o k b eſt rectus, ut patet ex præmiſſis: ergo per 14 th. 1 huius linea o k producta concurret cum linea g n ultra lineam b f, non autem ſub illa: ideo, quia ſi concurreret cum linea g f in puncto k: fierent per 1 p 6 trigona a g k & b g k æqualia: cum ipſa ſint eiuſdem altitudinis, & eorum baſes, quæ ſunt b k & a k, ſint æ quales: ſed & eorum anguli, qui ſunt b g k & a g k ſunt æ quales: angulus enim a g b diuiſus eſt per æqualia per lineam g f, in quam cadit punctum k: ergo per 15 p 6 ſequitur latus b g fieri ęquale lateri a g: quod eſt contra hypotheſim: uel ſequitur per 3 p 6 lineam b k fieri maiorem quàm fuit linea a k: quod item eſt contra præmiſſa. Idem quoq accidit impoſsibile, ſi punctus f cadat inter puncta b & k: fiet enim linea b k maior quàm linea b f: eſt aũt linea b f per 3 p 6 maior quàm linea f a: & ita eſt linea b f maior quàm linea k a: quod totum eſt impoſsibile: cadet ergo punctus f inter puncta k & a. Fiet ergo linearum o k & g n concurſus ultra lineam b f. Facto item circulo tranſeunte per tria puncta, quæ ſunt a, q, b: tranſibit ille circulus citra punctum g: quoniam, ut prius oſtenſum eſt, ſi tranſiret per punctum g, fieret per 22 p 3 angulus a q b æ qualis angulo a g d per 13 p 1, quod eſt contra pręmiſſam proximam: tranſi bit ergo ille circulus citra punctum g, & per 20 th. 5 huius & per 26 p 3 linea g q diuidet arcum illius circuli, qui eſt a b, per æqualia in puncto, qui ſit o: quoniam ipſa diuidit angulum b q a per æqualia. Ducatur quoq linea k o, quæ, ut patet ex pręmiſsis, diuidit chordam b a per æqualia: ergo linea k o concurret cum linea g n infra lineam f b, & ultra punctum o Quia enim, ut ſuprà oſtenſum eſt, linea o k eſt perpendicularis ſuper lineam b a, punctumq́ o cadit in peripheriam cireuli minoris, qui eſt a q b: à punctis ergo a & b copulentur, ut prius, chordæ b o & a o, patetq́ per 4 p 1 quoniam chordæ b o & a o ſunt & quales: ergo per 28 p 3 arcus a o eſt æ qualis arcui b o: arcus enim b a di uiſus eſt per æ qualia in puncto o per lineam g q: lineæ ergo o k & g n concurrunt in puncto aliquo citra lineam b f, & ultra punctum o: quoniam linea g n diuidens per æ qualia angulum a g b, caditinter puncta k & o, ut ſuprà patuit. Linea ergo k o cõcurrens cum linea b a, de neceſsitate prius concurret cum linea g n: concurret ergo cum linea g n ſub linea b f: cuius contrarium iam patuit in præmiſsis: oſtenſum enim fuit, quia concurrebat cum linea g n ultra lineam b f: & ita ſequeretur duas rectas lineas includere ſuperficiem: quod eſt manifeſtum impoſsibile. Reſtat ergo ut angulus a q b non ſit minor angulo a g d: aut quòd forma puncti a non reflectatur ad uiſum in punctum b à puncto q: quod eſt contra hypotheſim & impoſsibile. Eſt ergo angulus a q b non minor angulo a g d: ex quo ſequitur propoſitum, quòd in hac diſpoſitione non erit uterq angulorum conſtantium ex angulis incidentię & reflexionis minor angulo extrinſeco, ad angulum cadentem in arcum contentum à duabus diametris circuli, in quarum una eſt centrũ uiſus, & in altera punctus rei uiſę. Patet ergo propoſitum: quoniã ſemper ſimilis erit improbatio, ſumpto quocunq alio puncto arcus e n. Sed neq ab aliquo puncto arcus z n poſsibile eſt fieri reflexionem formæ puncti a rei uiſæ ad uiſum exiſtentẽ in puncto b, ita ut angulus conſtans ex angulis incidentiæ & refle xionis factæ à puncto t, & ab illo alio puncto arcus n z ſit uterq minor angulo a g d. Remanente enim diſpoſitione figuræ prioris, ſit, ut à puncto arcus n z fiat reflexio formæ puncti a ad uiſum b. Sit itaq quòd angulus conſtans ex angulo incidentię & reflexionis, qui ſit ſuper punctum p, ſit minor angulo a g d, ſicut & angulus conſtans ex angulo incidentiæ & reflexionis, qui eſt ſupra punctum t, minor eſt eodem angulo a g d. Ducanturitaq lineæ a p, b p, g p: ſecabit ergo linea g p lineam k o: quoniam, ut præmiſſum eſt, linea g t diuidit arcum a b minoris circuli per æ qualia in pun cto o per 26 p 3: eſt enim per 20 th. 5 huius angulus a t g æ qualis angulo g t b, & eundem arcum diui dit linea k o per æ qualia. Et quoniã, ut præoſtenſum eſt, patet quod linea k o concurrit cum linea g n, linea g p ſecat angulũ n g t, cui ſubtenditur linea k o, concurrens cum linea n g ultra lineam b f: ergo per 29 th. 1 huius linea g p ſecabit lineam k o. Sit itaq punctus ſectionis linearum g p & k o punctus l: & ducatur linea t p. Cum itaq duæ lineæ g t & g p ſint æquales: quia ſunt ſemidiametri eiuſd m citculi: erit per 5 p 1 angulus g t p æqualis angulo g p t, & uterq acutus per 32 p 1. Ducta ergo linea perpendiculari à puncto t ſuper lineam g t, erit illa perpendicularis per 16 p 3 contingens ſpeculi circulum, qui eſt e d h z: & producta cadet ſuper terminum diametri minoris circuli per 31 p 3: cum angulus, quem efficit illa perpendicularis cum linea t g, reſpiciat page 336 ſemicirculũ minoris: linea enim t o cadit ſuper lineã k o, fitq́ angulus t o k minor recto per 42 th. 1 huius: linea enim o k eſt pars diametri circuli minoris, propter hoc quòd angulus o k b eſt rectus: & linea k o producta ſecat circulum minorẽ, tranſiens per eius centrũ per 1 p 3: ideo quòd ipſa ſecãs lineam b a orthogonaliter, & per æqualia ſecat ipſam neceſſariò: ergo illa perpendicularis producta concurret cum linea k o per 14 th. 1 huius: eritq́ punctus concurſus in puncto termini diametri circuli minoris per 31 p 3: cum ille angulus in ſemicirculo ſit rectus, qui fit ſuper punctum t terminũ lineæ g t: ſed linea t p eſt inferior illa perpendiculari ex parte puncti n. Igitur quæcunq linea ducatur à puncto g centro ſpeculi ad lineam t p, ſecans diametrum o k: illa cadet neceſſariò in aliquod punctum lineæ t p citra perpendicularem. Cum igitur linea g p cadat in punctum p, & ſecet lineam o k: erit punctus p citra illam perpendicularem, & infra arcum minoris circuli, cui ſubtenditur illa perpendicularis. Facto igitur circulo trãſeunte per tria puncta, quę ſunt a, b, p, tranſibit quidem ille circulus per punctum l: quoniam linea p l ſecabit illum circulum, ſicuti priorem circulum a b t ſeca bat linea t o. Circulus itaq a b p ſecabit circulum a b t in duobus punctis a & b: & cum exeat à puncto b, & iterum redeat in punctum p inferiorem puncto t (cum ſit citra illum circulum uerſus punctum t) neceſſariò ſecabit illum circulum in tertio puncto, quod eſt contra 10 p 3 & impoſsibile. Re ſtat igitur, ut forma puncti rei uiſæ, qui eſt a, non reflectatur ad uiſum exiſtentẽ in puncto b à duobus punctis arcus z n: ita ut quilibet angulorum illorum ſit minor angulo a g d. Palàm ergo, quòd impoſsibile eſt, ut forma puncti a reflectatur ad uiſum b à duobus punctis arcus interiacentis eorum diametros, qui eſt e z, ita ut uter q angulorum conſtantium ex angulis incidentiæ & reflexionis ſit minor angulo a g d. Quod eſt propoſitum.

◉35. In ſpeculis ſphæricis cõcauis duos pũctos, qui in diuerſis diametris, & inæqualis diſtantiæ à centro ſpeculi exiſtentes à duobus punctis ſpeculi arcus ſcilicet interiacentis ſemidiametros, in quibus illi puncti conſiſtunt, ad ſe mutuò reflectantur, poßibile eſt inueniri. Alhazen 81 n 5.

◉Sit circulus (qui eſt communis ſectio ſuperficiei reflexionis, & ſuperficiei ſpeculi ſphærici concaui) cuius centrum d: & ſumantur in ipſo duæ diametri, quæ ſint g a & b h, ſecantes ſe in centro d: dico quòd poſsibile eſt fieri, quod proponitur. Diuidatur enim angulus g d b per æqualia per ſemi diametrum d e: & in ſemidiametro b d ſumatur punctus m ultra punctũ, in quem cadit perpendicu laris ducta à puncto e ſuper diametrũ b d: & ſumatur linea n d in diametro d g æqualis lineæ m d: & fiat per 5 p 4 circulus tranſiens per tria puncta m, d, n: hic ergo neceſſariò tranſibit ultra punctum e. Si enim detur, quòd ille circulus tranſeat punctum e, ducantur lineæ m e & n e: fietq́ quadrangulũ d m e n intra circulũ: ergo per 22 p 3 duo anguli iſtius quadranguli ex aduerſo collocati, ut qui ſunt ad punctos m & n, ſunt æquales duobus rectis: quod eſt impoſsibile: quoniam duo anguli e m d & e n d ambo ſunt acuti, minores duobus rectis: ideo quòd lineæ e m & e n cadunt ultra perpendiculares ductas à pũcto e ſuper ſemidiametros b d & g d. Similis quoq fiet deductio, ſi circulus trãſeat citra punctum e: tunc enim anguli illius quadranguli cadentes ſuper punctum m & n, erũt iterum minores duobus rectis. Tranſit igitur circulus d m n extra punctum e: ſecabit ergo circulum propoſitum ipſius ſpeculi in duo bus punctis per 10 p 3: ſint illa duo puncta t & l: & ducantur lineæ n t, m t, n l, d l, m l: & ducatur linea m n ſecans lineã t d in puncto f, & lineam e d in puncto p. Cum itaq, ut patet ex præmiſsis, linea m d ſit æqualis lineæ n d, & li

nea p d cómunis ambobus trigonis p d m & p d n, & angulus p d m æqualis angulo p d n: palàm per 4 p 1 quoniã triangulus p m d æqualis eſt triangulo p n d: erit quoq an gulus f p d æqualis angulo n p d, & uterq rectus: angulus itaq p f d eſt acutus per 32 p 1. Ducatur ergo à puncto ſ linea perpendicularis ſuper lineam d t per 11 p 1, quæ produ cta ad circunferentiam minoris circuli ſit linea f k. Hæc itaq ſecabit lineam l n: uel non ſecabit. Si non ſecet: erit quilibet punctus lineę l n propinquior puncto n, quàm punctus k. Si ſecet: palàm itaq quoniam aliquis punctus lineæ l n erit inſerior puncto k, plus approximans ad pun ctum n quàm punctũ k: ſit ille punctus z: & ducatur linea t z: quæ producatur uſq ad circunferentiam circuli mino ris, cadatq́ in punctum o. Arcus itaq n o aut eſt minor ar cu t l: aut non. si non fuerit minor, abſcindatur ex eo arcus minor arcul t, & ducatur ad terminum illius arcus linea à puncto t, & erit idem, ſicuti ſi arcus n o ſit min or arcu l t. Sit ergo arcus n o minor quàm ſit arcus t l: ergo per 33 p 6 angulus t n l eſt maior angulo o t n. Secetur ergo ex angulo t n l angulus æqualis angulo o t n, qui ſit i n z: cadetq́ punctum i in lineam t z per 29 th. 1 huius: & ſuper punctum t lineæ m t per 23 p 1 fiat angulus æqualis angulo o t n, qui ſit angulus q t m. Cum itaq angulus t m l ſit maior angulo m t q: quia arcus t l eſt maior arcu n o, ut patet ex præmiſsis: arcus uerò n o determinat quantitatem anguli m t q, qui eſt æqualis angulo o t n: palàm ergo per 14 th. 1 huius quoniá concurret linea t q cum linea l m: ſit itaq concurſus in puncto page 337 q. Cum igitur angulus l m t ſit ęqualis duobus angulis m q t & m t q per 32 p 1, & angulus l n t ſit æqualis angulo l m t per 27 p 3, ſunt enim conſtituti ſuper eundem arcum: qui eſt l t: & cum angulus i n z ex præmiſsis ſit ęqualis angulo m t q: erit angulus i n t, ęqualis angulo m q t: eſt ergo per 32 p 1 triangulus m t q æquiangulus triangulo i n t, cum angulus o t n ſit ęqualis angulo m t q: & ſimiliter triangulus i n z eſt per 32 p 1 æquiangulus triangulo t n z, cum angulus t z n amb obus illis triangulis ſit cõmunis, & angulus i n t ſit ęqualis angulo o t n. Eſt ergo per 4 p 6 proportio lineę n t ad lineã t q, ſicut lineę n i ad lineá m q: & ſimiliter eſt proportio lineę t n ad lineá t z, ſicut lineę n i ad lineá n z: ſed linea t z eſt maior quàm linea t q: quod patet per hoc. Sit enim r punctus, in quo linea t z ſecat lineam k f: angulus itaque t f r eſt rectus, cum linea f k ſit perpen dicularis ſuper lineam t d: ergo per 32 p 1 angulus f t r eſt acutus. Quia uerò linea d m, ut patet ex præmiſsis, eſt ęqualis lineæ d n: erit per 28 p 3 arcus d m æqualis arcuid n: ergo per 27 p 3 angulus m t d eſt ęqualis angulo d t n: ſed angulus q t m eſt æqualis angulo o t n ex præmiſsis: fit ergo angulus q t f æqualis angulo f t r: quia ex æquali bus angulis conſtat: angulus ergo q t f eſt acutus, & linea k f eſt perpendicularis ſuper lineam t d: an gulus quo quet f k eſt rectus: ergo per 14 th. 1 huius linea k f producta concurret cum linea t q: ſit pũ ctum concurſus s: & linea producta à puncto t uſque ad punctum s, quod eſt punctum concurſus, cuius pars eſt linea t q, eſt ęqualis lineæ t r. Quoniam enim illorum trigonorum anguli ad punctum f fiunt recti, & ad punctum t ex præmiſsis ſunt ęquales: patet per 32 p 1 quoniam illi trigoni t f s & t f r ſunt æquian guli, & linea t f communis: reliqua ergo latera, quæ ſunt t s & t r ſunt æqualia per 26 p 1: ſed linea t s eſt maior quàm linea t q, & linea t z eſt maior quã linea t r: linea ergo t q eſt minor quàm linea t z. Eſt ergo per 8 p 5 maior proportio lineæ n t ad lineam t q, quàm lineæ n t ad lineam t z: igitur maior eſt proportio lineæ i n ad m q, quàm lineę i n ad lineã n z: quare per 10 p 5 linea m q eſt minor quàm linea n z. Secetur ergo ex linea n z linea æqualis lineę m q, quę ſit n x: & ducatur linea d x. Et quoniam per 22 p 3 angulus l n d cum angulo l m d ualet duos rectos, & angulus q m d cum angu lo l m d per 13 p 1 ualet duos rectos: erit angulus l n d ęqualis angulo q m d: ergo per 4 p 1 triangulus x n d eſt ęqualis triangulo d m q: & linea d x ęqualis lineæ d q: & angulus x d n eſt ęqualis angulo q d m: & angulus d x n æqualis angulo d q m. Sed angulus d x z eſt maior recto, cum ſit maior angulo d n x per 16 p 1: & angulus d n x eſt maior recto per 31 p 3: quoniam cadit in portionem minorem ſemicirculo, quę eſt d n l: & etiam patet hoc per 22 p 3. Quoniam enim angulus l m d eſt acutus: quia angulus e m d eſt acutus ex præmiſsis: patet quod angulus d n l eſt obtuſus: ergo per 19 p 1 linea d z eſt maior quàm linea d x: ergo linea z d eſt maior quàm linea q d. Forma ergo pũcti q poteſt reflecti ad punctum z à duobus punctis ſpeculi, quę ſunt t & l: & puncta q & z ſunt inęqualis diſtantię à cen tro & in diuerſis diametris: quod patetideo quòd angulus x d n eſt ęqualis angulo q d m: addito er go cõmuniangulo x d m, erit angulus n d m æqualis angulo q d x: ſed angulus n d m eſt minor duobus rectis: ergo & angulus q d x: ergo magis angulus q d z eſt minor duobus rectis. Ergo duo puncta q & z non ſunt in eadem diametro, ſed in diuerſis. Et hoc eſt propoſitum.

◉36. A ſpeculis ſphæricis concauis duobus punctis inæqualiter diſtantib. à centro & in diuer ſis diametris exiſtentibus, ad ſe inuicem reflexis à duobus punctis arcus interiacentis illas ſemidiametros, in quibus illa puncta conſiſtunt: impoßibile eſt ipſa à puncto alio illius arcus ad ſe inuicem reflecti. Alhazen 82. n t.

◉Sit circulus ſpeculi ſphærici concaui a g b, cuius centrum ſit d: & ſint duo pũcta k & o ad ſe inuicem reflexa à duobus punctis arcus b g: ſitq́ punctum k remotius à cẽtro ſpeculi, quod eſt d, quàm punctus o: & ſint lineæ g d a & b d m duę diametri, in quibus ſunt puncta illa k & o: ſitq́ punctum k in ſemidiametro g d, & punctus o in ſemidiametro b d: reflectanturq́ue formæ iſtorum punctorum ad inuicem à duobus punctis arcus g b, ut oſtenditur per præcedentem: & ſit t unus punctus arcus b g, à quo fit reflexio. Palàm ergo ex 34 huius quòd non uterque duorum angulorum conſtantium exangulis incidentię & reflexionis erit minor angulo o d a: neque eſt aliquis illorum angulorum ęqualis angulo o d a, ut patet per ea, quæ declarata ſunt in 33 huius: alter ergo illorum erit maior angulo o d a: ſit itaque angulus, qui eſt ſuper punctum t, maior angulo o d a: & ducantur lineę o t, d t, k t: & ex angulo o t k ſecetur per 27 th. 1 huius angulus æqualis angulo o d a, qui ſit o t f, ducta linea t f ſuper diametrum g d: & diuidatur angulus f t k per æqualia per 9 p 1, ducta linea t e ſuper lineam k f: & à puncto k ducatur linea ęquidiſtans lineæ t f per 31 p 1: quæ ſit k z. Et quoniam linea t f ęquidiſtans lineę k z, concurrit cum linea t e in puncto t: patet quòd linea k z concurret cum linea t e ꝓducta per 2 th. 1 huius: ſit ergo linea k z concurrens cum linea t e in puncto z: & ducatur linea o k: & per 9 p 1 diuidatur angulus o d k per æqualia per lineam d u ſecantem lineam k o in puncto p. Cum ergo ſit linea k d maior quàm linea o d, ut patet ex hypotheſi: & quia per 3 p 6 eſt proportio lineæ k d ad lineam d o, ſicut lineæ k p ad lineam p o: erit linea k p maior quàm linea p o. Item ſit, ut linea d t ſecet lineam k o in puncto n: palàm quòd linea d p u cadet inter duo puncta k & n: non autem inter duo puncta n & o. Quia enim angulus k p d ualet duos angulos p o d & p d o, & angulus o p d ualet duos angulos p d k & p k d per 32 p 1: ſed angulus p d o eſt æqualis angulo p d k: & angulus k o d maior eſt angulo o k d per 19 p 1: ergo angulus k p d maior eſt angulo o p d: eſt ergo angulus k p d maior recto per 13 p 1: & angulus o p d eſt acutus. Sed & angulus k n d eſt acutus: quod patet: ſi fiat circulus tranſiens per tria puncta o, t, k per 5 p 4: hic enim tranſibit infra punctum d, quod eſt cen page 338 trum circuli maioris. Quoniam cum angulus o t k ſit maior angulo o d a ex hypotheſi: erunt duo an guli o d k & o t k maiores duobus rectis: quod eſſet

impoſsibile per 22 p 3, ſi circulus ille tranſiret punctũ d: uel ſupra punctum d: quoniam eadem eſt demonſtratio. Linea uerò n d diuidet k o arcum illius circuli per æqualia per 26 p 3: quoniam diuidit angulum o t k per æqualia ex hypotheſi: fiet autem illa diuiſio ar cus k o infra punctum d. Si uerò ab illo puncto diuiſionis arcus o k ducatur linea ad medium punctũ lineę o k (quę eſt chorda illius arcus o k) erit linea illa perpendicularis ſuper lineam o k per 8 p 1, & cadet illa perpendicularis inter puncta p & k, cũ linea k p ſit maior quàm linea p o ex præmiſsis: & angulus ſuper punctum n ex parte illius perpẽdicularis erit acutus: ergo & ex parte p erit acutus: & angulus ſuper pũctũ p ex parte o erit acutus: hoc enim oſtenſum eſt ſuperius. Si ergo detur quòd punctus p cadat inter duo puncta n & o: impoſsibile erit perpẽdicularem illam cadere inter puncta n & p: quia tunc ſecaret lineam d p: & fieret triangulus: cuius unus angulus eſſet rectus, & alius obtuſus: quod cum ſit impoſsibile, neceſſe eſt angulum k n d eſſe acutum: ergo per 13 p 1 angulus o n d eſt obtuſus: punctum ergo p nõ cadet inter puncta n & o. Quoniam cum angulus o n d ſit obtuſus, & ut patet ex pręmiſsis, angulus d p k eſt obtuſus: ſequeretur ergo in trigono d n p duos eſſe angulos obtuſos: quod cum ſit impoſsi bile per 32 p 1: palàm quia punctus p non cadet inter puncta n & o: nea cadit etiam in punctum n, ut eſt euidẽs. Cadet ergo inter puncta k & n. Quia ergo, ut patet ex præmiſsis, angulus k t d eſt medietas anguli k t o: ſed & angulus k t e eſt medietas anguli k t f: angulus uerò k t o maior eſt angulo f t o, in angulo k t f: reſtat ergo ut angulus e t d ſit medietas anguli f t o: ſed angulus f t o eſt æqualis angu lo o d a: igitur angulus e t d eſt medietas anguli o d a: ſed angulus o d a cum angulo o d f ualet duos rectos per 13 p 1, & tres anguli trianguli e t d ualent duos rectos per 32 p 1: tres ergo anguli trigoni e t d ſunt æqualis duobus angulis o d a & o d f: ablato ergo angulo e d t hinc inde illis angulis comma ni, & ablato angulo e t d, qui eſt medietas anguli o d a: reſtat ut angulus t e d æqualis ſit medietati anguli o d a, & toti angulo o d n: ſed angulus o d p, qui eſt medietas anguli o d k cum medietate anguli o d a eſt rectus: eſt autem angulus o d p maior angulo o d n, quod patet per 29 th. 1 huius: cum, ficut patet ex præmiſsis, punctum n lineæ d n cadat inter puncta p & o: eſt ergo angulus o d p cum medietate anguli o d a maior angulo t e d cum medietate anguli o d a. Patet ergo cum angulus o d k cum medietate anguli o d a ſit rectus, quoniam angulus t e d eſt acutus: quare per 15 p 1 ei contrà po ſitus, qui eſt angulus k e z, eſt acutus. Igitur ſi per 12 p 1 à puncto k ducatur perpendicularis ſuper lineam t z, illa cadetinter puncta e & z: quia, ut patet ex præmiſsis, linea k e non eſt perpen dicularis ſuper lineam t e z. Si uerò dicatur quòd illa perpendicularis cadat ultra pũctum e ſuper lineam t e: tunc cum angulus t e k per pręmiſſa & 13 p 1 ſit obtuſus: accidet triãgulum habere duos angulos unum rectum & alium obtuſum: quod eſt impoſsibile per 32 p 1. Cadet itaque perpendicularis illa inter puncta e & z: quæ ſit linea k q. Hoc autem ſeruato, nunc quidem neceſſarium interponimus: ſcilicet quòd linea k t ſe habet ad lineam t f, ſicut linea k d ad lineam d o. Eſt enim linea t o aut æquidiſtans lineę k d, aut concurrens cum illa. Sit primũ ęquidiſtans: erit ergo per 29 p 1, angulus o d a ęqualis angulo t o d: eſt ergo angulus t o d ęqualis angulo o t f, quoniam, ut patet ex pręmiſsis, angu li o t f & o d a ſunt æquales. Similiter quoq lineæ o d & t faut ęquidiſtabunt, aut concurrent. Si æquidiſtent, cum illæ cadant inter lineas k d & t o æquidiſtantes: palàm per 34 p 1 quoniam ipfę erũt page 339 æquales. Si uerò lineæ o d & t f concurrunt, facient triangulum, cuius duo latera erunt æqualia per 6 p 1: quoniam duo eius anguli, qui ſunt f t o & d o t, ſunt ęquales. Linea uerò f d ſecat illa duo latera æqualia æquidiſtanter baſi d o: erit ergo per 2 p 6 & 18 p 5 proportio unius illorum laterum ad lineá d o, ſicut alterius ad lineam f t: eſt ergo linea t f ęqualis lineæ o d per 9 p 5. Fit autem hęc deductio cum lineę illæ concurrunt ſub linea k d. Quòd ſi cõcurrãt ſub linea t o, erit eadẽ probatio: quia fiet triãgulus, cuius unũ latus eſt linea t o, & alia duo latera æqualia ք 6 p 1, ut prius: ꝗ a linea t o eſt ęqui diſtãs lineæ d f, erit per 2 p 6 & 18 p 5 proportio unius illorũ duorũ laterũ ad lineã t o, ſicut alterius ad lineã t f, eruntq́ ut prius, per 9 p 5, lineę t f & d o ęquales. Itẽ patet quòd angulus t d k eſt æqualis angulo d t o per 29 p 1: ideo quòd linea t o data eſt æquidiſtans eſſe lineæ k d: ergo angulus t d f eſt æqualis angulo d t k, cum anguli d t o & d t k ſint æquales ex hypotheſi & per 20 th. 5 huius: ergo per 6 p 1 lineę d k & t k ſunt æquales: eſt ergo per 7 p 5 proportio lineę t k ad lineam t f, ſicut lineæ k d ad lineam d o: ideo quòd antecedentia & conſequentia ſunt hinc & inde æqualia. Si uerò linea t o non ęquidiſtat, ſed cõcurrit cũ linea k d: aut hoc eſt ad par tẽ pũcti a: aut ad partẽ pũcti g diametri a g. Si fiat cõ curſus ex parte a: ſit hoc in pũcto l. Manifeſtũ ergo ք 13 th. 1 huius quoniã ꝓportio lineę t k ad lineã t f cõpo nitur ex proportione lineę t k ad lineã t l, & ex proportione lineę t l ad lineam t f: ſed proportio lineę k t ad lineam t l eſt, ſicut proportio lineę k d ad lineá d l per 3 p 6: linea enim d t diuidit angulum k t o per æqualia ex hypotheſi. Quia uerò angulus o d l per pręmiſſa eſt æqualis angulo l t f, & angulus ad punctum l communis eſt am bobus trigonis t l f & o d l: patet ք 32 p 1 quòd tertius angulus eſt tertio ęqualis: erit ergo per 4 p 6 proportio lineę t l ad lineá t f, ſicut lineæ d l ad lineam d o. Proportio itaque lineę t k ad lineá ‡f conſtat ex proportione lineę k d ad lineam d l, & li neę d l ad lineam d o: ſed proportio lineę k d ad lineá d o cóſtat ex eiſdem proportionibus, poſita linea d l media per 13 th. 1 hurus: ergo proportio lineę k t ad lineam t f eſt, ſicut proportio lineę k d ad lineam d o. Siautem linea t o cócurrat cum linea k d ex par te g: ſit concurſus in puncto s: & à puncto d ducatur linea ęquidiſtans lineę k t, quæ ſit d r, concurrens cum linea t o producta ultra punctum o in pũcto r: igitur angulus k t d æqualis eſt angulo t d r per 29 p 1: ſed & angulus k t d ex hypotheſi æqualis eſt angulo d t o: ergo anguli d t r & d r t ſunt æquales: ergo per 6 p 1 linea d r eſt æqualis lineæ t r. Sed quoniam triangulus s t k æquiangulus eſt triangulo s r d per 29 p 1, & ꝓpter angulũ a s d cõmunẽ: erit ergo per 4 p 6 proportio lineæ d r ad lineã s r, ſicut lineę k t ad lineã t s: ſed linea d r eſt ęqualis lineę r t: eſt ergo ք 7 p 5 proportio lineę r t ad lineã r s, ſicut lineæ k t ad lineã t s: ſed proportio lineę r t ad lineam r s eſt, ſicut proportio lineæ d k ad lineam d s per 2 p 6 & per 18 p 5: igitur per 11 p 5 eſt proportio lineæ k t ad lineam t s, ſicut lineæ k d ad d s. Sed quoniam angulus f t o æqualis eſt angulo o d a: erit angulus o d s æqualis angulo f t s per 13 p 1, & angulus ad punctum s eſt communis: erit ergo triangulus o d s æquiangulus triangulo f t s per 32 p 1: ergo per 4 p 6 eſt proportio lineæ t s ad lineam t f, ſicut lineæ d s ad lineam d o: eſt autem proportio lineæ k t ad lineam t s, ficut lineæ k d ad lineam d s: ergo per 22 p 5 erit proportio lineæ k t ad lineam t f, ſicut lineę k d ad lineam d o. Quia uerò linea k z æquidiſtat lineæ t f, ut patet ex præmiſsis, erit per 29 p 1 angulus k z e æqualis angulo e t f: ſed angulus k e z eſt æqualis angulo t e f per 15 p 1: ergo trigoni k z e & e t f ſunt æquianguli per 32 p 1: ergo per 4 p 6 erit proportio lineæ k e ad lineam e f, ſicut lineæ k z ad lineam t f: ſed proportio lineę k e ad li neam e f eſt, ſicut lineę k t ad lineam t f per 3 p 6: quia angulus k e f diuiſus eſt per æqualia per lineam t e: lineæ ergo k z & k t ad eandem lineam t f eandem habent proportionem: ergo per 9 p 5 lineam k z eſt æqualis lineę k t: ſed ex pręmiſsis patet, quòd eſt proportio lineæ z k ad lineam t f, ſicut lineæ z e ad lineam e t: eſt ergo per 11 p 5 proportio lineę z e ad lineam e t, ſicut lineæ k d ad lineam page 340 d o: ſed linea k d ex hypotheſi eſt maior quàm linea d o: linea ergo z e eſt maior quàm linea e t: & hoc quidem pro alijs reſeruantes nunc ad propoſitum redeamus. Quia uerò, (ut ſuprà patuit) linea k q eſt perpendicularis ſuper lineam e z: erunt omnes anguli circa punctum q recti: ſed angu lus e t d eſt acutus, quoniam eſt medietas anguli f t o, ut ſuperius oſtenſum eſt: ergo per 14 th. 1 huius linea k q concurret cum linea t d: ſit punctus concurſus h: & ducatur linea e h: & à puncto e ducatur linea ęquidiſtans lineę k h producta uſq ad lineã d h, quę ſit e x, ſecans h d lineã in puncto x: fiatq́ue per 5 p 4 circulus tranſiens per tria puncta, quę ſunt e, t, x: & immutetur figura (ſi placet) propter diuerſam intricationem linearum. Quia itaque angulus t q h eſt rectus, ut patet ex præmiſsis: erit per 29 p 1 angulus t e x rectus: er go per 31 p 3 linea x t erit diameter illius circuli, qui eſt e t x: & producatur linea k e pertriangulum or thogonium t e x, & trans circulum, cadens in punctum m circumferentiæ circuli t e x: & ducatur linea m t: & erit angulus t m e æqualis angulo t x e per 27 p 3: cadunt enim ambo illi anguli in eundem arcum, qui eſt e t: ſed angulus t x e æqualis eſt angulo t h k per 29 p 1: quoniam lineæ e x & k h ductæ ſunt æquidiſtantes: erit ergo angulus t m e æqualis angulo t h k: ſed angulus t h k maior eſt an gulo d h e: quod patet per 29 th. 1 huius: ſecat enim linea h e baſim k d: ergo angulus t m e maior eſt eodem angulo d h e. Reſecetur ergo ab angulo t m e angulus æqualis angulo d h e ք 27 th. 1 huius, qui ſit angulus f m d ducta linea f m: & punctus, in quo linea f m ſecat lineam t x, ſit i. Palàm ergo, cum ex præmiſsis angulus i m d ſit æqualis angulo d h e, & per 15 p 1 angulus i d m ſit æqualis angulo e d h: quoniam per 32 p 1 triangulus i m d eſt æquiangulus triangulo d h e: ergo per 4 p 6 eſt proportio lineę h d ad lineam d m, ſicut lineę e h ad lineam i m. Et ſimiliter triangulus t m d fit ſimilis triangulo k h d: cum, ſicut patet ex præmiſsis, angulus d h k ſit æqualis angulo t m d, & per 15 p 1 angulus t d m ſit æqualis angulo k d b, & tertius tertio per 32 p 1: erit ergo proportio lineę k d ad lineam d t, ſicut lineę h d ad lineam d m: eſt autem proportio lineæ h d ad lineam d m, ſicut lineę e h ad lineam i m: eſt ergo per 11 p 5 proportio lineę k d ad lineam d t, ſicut lineę e h ad lineam i m: ſed proportio lineæ k d ad lineam d t eſt nota: quoniam ſemper una & eadem permanet, quicunque pũ ctus reflexionis ſit t in arcu b g: quia ſemper linea d t, quæ eſt ſemidiameter, eſt una, & linea k d ſimiliter eſt ſemper una: quoniam ipſa eſt diſtantia alterius punctorum reflexorum à centro ſpeculi. Linea etiam e h una permanet in quacun que reflexione, & non mutatur eius quantitas: quoniam non mutatur quantitas anguli e d h, qui eſt medietas anguli o d a, qui non mutatur. Quare linea i m ſemper erit una & æ qualis: erit ergo punctus circumferentiæ, in quem cadit linea i m producta ul tra punctum i, qui eſt punctus f, ſemper notus & determinatus. Si ergo à tribus punctis arcus b g poſsit fieri reflexio: continget ducere à puncto f ad circulum t x e tres lineas, quarum cuiuslibet pars interiacens diametrum t x & peripheriã circuli ſit æqualis lineæ i m per 9 p 5: quia ſemper erit proportio lineę k d ad lineam d t, ſicut lineę e h ad quamlibet illarum linearum: patet autẽ hoc eſſe impoſsibile per 133 th. 1 huius, quòd ab eodem puncto dato in circũſerentia circuli extra diametrũ per ipſam diametrum ad circumferentiam (ita ut pars lineæ interiacentis diametrum ad reliquam partem circunferentiæ ſit æqualis datæ lineæ) non niſi duæ lineę ęquales duci poſſunt. Quare à duobus tantùm punctis illius propoſiti arcus fiet reflexio. Quod eſt propoſitum.

◉37. Secundum modũ datæ lineæ à dato puncto ſpeculi ſphærici concaui ductæ: poßibile ect duo punct a reperiri, quæ in diuerſis diametris inæqualiter à centro ſpeculi diſtantia, ab eodem dato puncto ſpeculi, & uno tantùm alio eiuſdem arcus interiacentis ſemidiametros, in quibus illa pũ cta conſiſtunt, ad ſe mutuò reflectantur. Alhazen 83 n 5.

◉Remaneat diſpoſitio proximæ: ſitq́ue datus quicunque punctus ſpeculi: qui ſit t: proponitur no bis, ut inueniãtur duo puncta, quæ in diuerſis diametris ſpeculi exiſtentia ab illo dato puncto ſuperficiei ſpeculi, & uno tantùm alio propoſiti arcus puncto ad ſe mutuò reflectantur. Sit enim, ut, quantacunque placuerit, ſumatur linea z t: quæ per 119 th. 1 huius diuidatur taliter in puncto e, ut ſit proportio lineę z e ad lineam e t, ſicut in præcedẽte propoſitione prima ſcilicet eius figuratione, eſt proportio lineę k d ad lineam d o. Et quoniam ex hypotheſi illius linea k d eſt maior quàm linea d o: erit linea z e maior quàm linea e t: diuidaturq́ue linea z t per æqualia in puncto q per 10 p 1: & à puncto q ducatur perpendicularis ſuper lineam z t per 11 p 1: & fiat angulus e t d æqualis medietati anguli o d a per 23 p 1: erit quidem ille angulus e t d acutus: ergo per 14 th. 1 huius linea t d concurret cum perpendiculari ducta à puncto q ſuper lineam z t: ſit concurſus in puncto h. Completum eſt ergo trigonum orthogonium, quod eſt t q h, in cuius altero laterum rectum angulum t q h con 341 tinentium, quod eſt t q, datus eſt punctus e: poſs ibile eſt ergo à puncto e per 137 th. 1 huius duci li

neam ad baſim trigoni t q h, quę eſt t h, ex alia ſui parte concurrentem cum altero laterum rectum angulum continentium, quod eſt q h, producto ul tra punctum q, ita ut tota producta linea ſe habeat ad partem abſciſſam baſis, ſicut linea data ad lineam datam. Sit à puncto e taliter producta linea d e k, ita ut ſit proportio totius lineæ k d ad lineam d t, ſicut lineæ k d ad ſemidiametrum ſphæræ ſpeculi: ergo per 9 p 5 linea d t erit æqualis ſemidiametro. Punctum ergo d eſt centrum ſpeculi. Et an gulo k t d fiat per 23 p 1 ſuper punctum t terminum lineę d t æqualis angulus, quiſit o t d. Dico quoniam punctus ſpeculi (qui eſt t) eſt punctus reflexionis formæ puncti o ad uiſum exiſtentem in pũ cto k: uel econuerſo formæ puncti k ad punctum o: & quòd ab illo dato puncto t & ab uno tantùm alio propoſiti arcus puncto fit illorum pũctorum mutua reflexio. Et hęc omnia faciliter patent repe tita priori demonſtratione theorematis præcedentis, prout huic propoſito eſt neceſſe. Patet ergo propoſitum.

◉38. Duobus punctis in diuerſis diametris circuli ſpeculi ſphærici concaui exiſtentibus, ambobus extra circulum, uel uno intra circulum, & alio extra illum, & inæqualiter dictantibus à centro, reſpicientibus arcum ſpeculi, à quo fit reflexio: ſireflectantur ab aliquo puncto arcus oppoſiti illis diametris, non eſt ea poßibile reflecti ab alio puncto eiuſdem arcus. Alhazen 84 n 5.

◉Sint duo puncta a & b in diuerſis diametris extra circulum (qui eſt communis ſectio ſuperficiei reflexionis & ſpeculi ſphærici concaui) cuius centrum fit g: ſintq́ue illę diametri a e & b d: & fit pũ

ctus reflexionis t: & ducantur lineę b t, a t, g t. Linea itaque b t ſecabit arcum circuli: ſit punctus ſectionis q: ſed & linea a t ſecabit peripheriam eiuſdem circuli: ſit punctus ſectionis m. Et quoniam angulus b t g æqualis eſt angulo a t g: palàm per 26 p 3 quoniam cadunt in arcus æquales. Producatur ergo diameter t g ad aliam partem periphe riæ in punctum p: & erit arcus q p arcui m p æqualis. Si igitur forma puncti b reflectitur ad uiſum exiſtentem in puncto a ab aliquo alio puncto ſpeculi arcus eiuſdem: ſit illud aliud punctum h: & ducantur lineę a h, b h, g h: & ſecet linea b h circulum in pũcto l, & linea a h in puncto n: producaturq́ ſemidiameter h g in punctum circumferentiæ, qui ſit k. Secundum prædicta itaque erit arcus l k æqualis arcui n k: ſed habitum eſt prius, quòd arcus q p eſt æqualis p m: ſed arcus q p maior eſt arcu l k, & arcus k n maior arcu m p: accidit igitur impoſsibile, ſcilicet minus eſſe maiori æquale. Quocunque uero alio pũcto illius arcus d t e dato, idem accidit impoſsibile. Reſtat ergo ut forma puncti b non reflectatur ad uiſum a à puncto h, uel ab alio pun cto arcus d t e, oppoſiti diametris, in quibus ſunt puncta a & b, præterquàm à puncto t. Idem quoque accidit impoſsibile, & eodem mo do deducendum, ſi unum dato rum punctorũ ſit in circulo, reliquum uerò extra circulum. Patet ergo propoſitum.

◉39. Duobus punctis in diuerſis diametris circuli ſpeculi ſphærici concaui exiſtentibus ambobus extra circulum: ſi linea continuans illa punct a conting at illum circulum, aut tota ſit extra circulum: non eſt poßibile unum illorum punctorum ad alterum reflecti, niſi ab uno tantùm illius ſpeculi puncto. Alhazen 85 n 5.

◉Sint, ut in pręcedente theoremate, duo puncta a & b in diuerſis diametris extra circulum (qui eſt communis ſectio ſuperficiei reflexionis & ſpeculi ſphærici concaui) cuius centrum ſit g: ſintq́ue illæ diametri l d & m n: ſitq́ue punctus a in ſemidiametro l g, & punctus b in ſemidiametro m g: & du catur linea continuans puncta a & b, quæ ſit a b: & hæc contingat circulum illum, à quo per 2 huius poteſt fieri reflexio: ſitq́ue ille contactus in arcu circuli, qui ſit arcus l m: aut ſi linea illa ſit tota extra ſpeculum: dico quò d à nullo puncto arcus l m interiacentis diametros, in quibus ſunt illa puncta, fit reflexio formæ unius punctorum a uel b ad punctum reliquum. Sumpto enim quocunque puncto in arculm, ut puncto t, ductisq́ue lineis a t & b t, ſi linea a t cadat intra ſpeculum, linea b t neceſſariò cadet extra ſpeculum: quoniam hoc requirit talis ſitus ſpeculi: & econuerſo ſi li page 342 nea b t cadat in ſpeculo, linea a t cadet extra: ſemper enim altera linearum ab illis duobus punctis

a & b ad illud punctum ſpeculi ductarum tota e rit extra ſpeculum: & ſic item neuter illorum pun ctorum ad alterum reflectetur ab aliquo puncto illius arcus l m. Similiter quoque patet idem, ſili nea tota ſit extra ſpeculũ, non contingens ipſum, reſpiciat tamen arcum l m: quia neque tunc ambæ lineę at & b t cadent intra ſpeculum: ſed ſi una erit intra ſpeculum, reliqua erit tota extra ſpeculum: unde non ſiet reflexio ſecundum illam: ab aliquo tamen puncto arcus d n poteſt fieri reflexio per 27 huius: & ab uno tantùm puncto illius arcus, ut patet per præcedentem: & ita formarum illorum punctorum reflexio ad inuicem non fiet niſi ab uno ſolo puncto ſpeculi. Quod eſt propoſitum.

◉40. Exiſtẽtib. duobus pũctis in diuerſis diame tris circuli ſpeculi ſphærici concaui, inæqualiter dictantibus à centro: ſi linea continuans illa puncta product a ſecet circulum, unum illorum punctorum ad alterum ab uno tantùm puncto ſpeculi, uel à duobus, aut à tribus, aut à quatuor poßible eſt reflecti: & ſecundum hæc locaimaginum numer antur. Alhazen 86 n 5.

◉Sint, ut ſuprà, duo puncta a & b in diuerſis diametris circuli ſpeculi ſphærici concaui, ita ut punctus a ſit in diametro l d, & pũctus b in diametro m n:

ſintq́ue illa puncta inæ qualiter diſtantia à centro ſpe culi, quod eſt g: & linea a b ducta ab uno illorũ punctorum ad alterum producta ſecet circulum: dico quòd uerum eſt, quod proponitur. Fiat enim circulus pertranſiens per centrum ſpeculi, quod eſt g, & per illa duo puncta a & b per 5 p 4: circulus itaque ille a b g aut totus erit intra circulum ſpeculi: aut continget ipſum intrin ſecus: aut ſecabit ipſum. Sitotus circulus a b g fuerit intra ſpeculi circulum, palàm per 6 huius quòd unum illorum punctorum reflectetur ad alterum ab aliquo puncto ſpeculi & propoſiti circuli, ut patet per 2 huius, & per 20 th. 5 huius. Sit ergo punctus reflexionis t: palamq́ per 20 huius quòd pũ ctus t eſt in arcu interiacente diametros, in quibus funt puncta a & b: qui ſit arcus l m: & ducantur lineæ at, bt, gt: erit quoque angulus a t b minor angulo b g d. Sit enim, ut ſemidiameter g t ſecet circulum a b g in puncto ſ: & ducantur lineæ a f & b f: fientq́ue duo trigona a t b & a f b ſuper unam baſim, quæ eſt a b: palàm ergo per 21 p 1 quoniam angulus a f b eſt maior angulo a t b: ſed per 22 p 3 angulus a f b cũ angulo a g b ualet duos rectos: ergo per 13 p 1 angulus a f b eſt ęqualis angulo b g d: angulusergo a t b eſt minor angulo b g d. Quilibet quoq angulus ſic factus ſuper arcum l m, ut ſuper punctũ h, erit minor angulo b g d. Ab arcu itaq ſpeculi, qui eſt l m, nõ fiet reflexio niſi ab uno tantũ pũcto ſpeculi: quoniã iam oſtenſum eſt per 34 huius, quia non eſt in huiuſmodi pũctorũ reflexorũ diſpoſitione poſsibile reflexionẽ fieri à duobus punctis ſpeculi, ita ut uterq angulorũ conſtans ex angulo incidentiæ & reflexionis, ſit minor angulo b g d. In hac ergo diſpoſitione ab uno tãtùm puncto ſpeculi fiet reflexio: quod eſt unũ propoſitorũ. Siuerò circulus a b g ſit intrinſecus contin gens circulũ ſpeculi: ſit punctũ contactus h: & ducã tur lineę a h, b h, g h. Quia itaq angulus a h b ք 22 p 3 cum angulo a g b ualet duos rectos: patet per 13 p 1 quòd angulus a h b eſt æqualis angulo b g d. Quare ab illo puncto contactus non fiet reflexio per 33 huius. Angulus quoque factus ſuper quodcun que aliud punctum arcus circuli ſpeculi, erit minor illo page 343 angulo per modum, quoiam ſuperius præoſtenſum eſt. Quare à duobus punctis illius arcus non fiet reflexio per 34 huius, ſed ſolùm ab uno puncto. Si uerò circulus a b g ſecet circulum ſpeculi: patet quòd tantùm in duobus punctis ſecare neceſſe eſt per 10 p 3: & illa duo puncta a & b aut ambo erunt extra circulum ſpeculi: aut ambo intra: aut unum extra circulum, aliud intra illum: aut unum illorum punctorum in circumferentia circuli, & aliud extra illum uel intra illum. Si fuerint ambo extra circulum ſpeculi: tunc patet quòd linea a b non ſecabit circulũ ſpeculi: fietq́ reflexio ab uno tantũ ſpeculi puncto, ut patet per præcedentem. Tunc enim manifeſtè patet, quòd circulus a b g non ſecabit circulum ſpeculi ſecundum arcum l m: quoniam ille arcus interiacet lineas a g & b g, & arcus b g a cadit extra illas lineas in alia pun cta peripheriæ circuli ipſius ſpeculi, cum ambo puncta a & b ſunt extra circulum ſpeculi. Si uerò punctus b ſit in peripheria circuli ſpe culi uel intra, puncto a conſtituto extra: patet tunc quòd arcus l m in duobus punctis non ſecabitur, ſed arcus b g tranſibit punctum ali quod arcus l m, quod ſit t: ergo angulus factus ſuper arcũ l m erit ma ior angulo b g d: quoniam ductis lineis l t, b t & a t, patet ſecundum præmiſſa per 22 p 3 quoniam angulus l t b eſt æqualis angulo b g d: angulus uerò a t b eſt maior illo. Patet ergo per 24 huius quoniam in hac diſpoſitione ab unico puncto, uel à duobus pũctis arcus l m fiet formarum illorum punctorum adinuicem reflexio. Si uerò duo pun cta a & b fuerint intra circulum ſpeculi, & circulus a b g ſecet circulũ ſpeculi: tunc patet quòd circulus a b g ſecabit arcum l m in duobus punctis: quoniam duæ ſemidiametri circuli maioris, quæ ſunt g l & g m, ſecant circulũ a b g in pun ctis a & b, & tranſeuntes reſecant ex circulo ſpeculi arcum l m: ſecet ergo circulus a b g arcum l m in duobus punctis, quę ſint t & h: & reſtabũt ex ipſo arcu l m duo arcus in diuerſis partibus ipſius, qui ſunt arcus l t & h m: omnisq́ angulus conſtitutus ſuper arcũ circuli ſpeculi, qui eſt th, erit maior angulo b d: quod patet, ſi ſuper peripheriã ſpeculi fiat angulus a e b: ille enim eſt maior angulo b g d. Producta enim linea b e ad peripheriam circuli a b g in punctum f, ſi copuletur linea a f, erit per 22 p 3 & per 13 p 1 angulus a f b æqualis an gulo b g d: ſed per 21 uel per 16 p 1 angulus a e b eſt maior angulo a f b: ergo & angulo b g d. Et ſimiliter erit de quolibet alio puncto arcus t e h demonſtrandum. Ab hoc itaque arcu t e h, ut patet per 34 huius, poterit fieri reflexio, forſan a b uno tantùm puncto, & forſan à duobus. Quòd ſi fiat reflexio à duobus arcubus l t & h m, qui reſtant ſuper arcum t e h exarcu l m & ex diuerſis partibus ipſius circuli a b g: tunc ſecundum præmiſſa omnes anguli ſuper illos arcus conſiſtentes contenti ſub lineis à punctis a & b productis, e runt minores angulo b g d. Fiat enim angulus b k a ſuper punctum arcus l t. Et quoniã arcus at circuli a b g eſt intra circulũ ſpeculi ſub arcult, ſecet linea b karcũ a t in puncto o: & ducatur linea a o: patet ergo per 22 p 3 & per 13 p 1 quòd angulus a o b eſt æqualis angulo b g d: ſed angulus a o b eſt maior angulo a k b per 16 p 1: patet ergo quòd angulus a k b eſt minor angulo b g d. Et ſimiliter de quolibet puncto arcuum l t & h m eſt demonſtrandum. Ergo per 34 huius ab uno tantùm illorum arcuum puncto fiet reflexio. In hoc itaque ſitu fiet reflexio à duobus punctis arcus l m interiacentis diametros, aut forſan à tribus: palàm uerò per 27 & 29 huius quòd ab uno tantùm puncto arcus n d fiet reflexio: & ita in hoc ſitu aliquando à tribus punctis ſpeculi, aliquando uerò à quatuor punctis fiet reflexio. Si uerò unus punctorum a uel b fuerit in peripheria circuli, alius uerò intra circulum, & circulus a b g ſecet circulum ſpeculi: tunc ſecabit arcum l m in uno tantùm puncto, qui ſit t: quoniam in loco alterius punctorum l uel m erit punctum a uel b: exiſtens enim in altera diametrorum n m uel l d, & in ipſa circuli peripheria, erit in puncto, quod eſt commu nis ſectio illarum: & ſic puncto b exiſtente in puncto m, & puncto a intra ſpeculum: reſtabit unicus tantùm arcus totius arcus l m: qui ſitlt. Patet itaque ſecundum præmiſſa ductis, ut prius, lineis a f & b f ſuper arcum circuli a b g, & lineis a e & b e ſuper aliquod punctum arcus l m, quod ſit e: quoniam per 21 p 1 omnes anguli conſiſtentes ſuper arcum t b ſunt maiores angulo b g d: ergo per 34 huius poteſt fieri reflexio à duobus punctis illius arcus, uel ab uno. Omnes uerò anguli arcus l t erunt minores angulo b g d, ut præoſtenſum eſt prius: & ita per 34 huius ab uno tantùm puncto arcus l t page 344 fiet reflexio: ſed & per 27 uel 29 huius ab uno tantũ puncto arcus n d fiet reflexio. Fiet itaq: in hoc ſitu reflexio quádoq à tribus punctis: quandoq à quatuor, & non â pluribus. Quòd ſi pun cto b exiſtente in peripheria circuli ſpeculi, punctus a ſit extra illum circulum: tunc patet quòd circulus a b g nunquam ſecabit circulum ſpeculi ſecundum arcum l m: quoniam ſemidiameter g m, & peripheriæ circuli communis ſectio eſt punctus m, in quo eſt punctus b: ſemidiameter uerò glprocedens ad punctum a extra circulum ſecat arcum t b. Omnes itaq anguli arcus l m ſunt maiores angulo b g d, ut patet ex præmiſsis: ergo per 34 huius ab uno tantùm pũcto uel forſan â duobus punctis arcus l m poteſt fieri reflexio punctorum a & b adinuicem: & ſimiliter ab uno pũcto arcus n d. Fiet itaq in hoc ſitu reflexio à duob. aut à tribus pũctis ſpeculi, & nõ à pluribus. Palàm ergo quòd puncta inæqualiter diſtantia à centro ſpeculi aliquando ab uno tantùm puncto ſpeculi: aliquando à duobus: aliquando à tribus: aliquando à quatuor: nunquam à pluribus reflectuntur: ſecundum hęc quoq loca imaginum numerantur, quemadmodum patuit iam pluries in præmiſsis. Et hoc eſt, quod ꝓponebatur declarandum.

◉41. Exiſtentibus duobus punctis in diuerſis diametris circuli ſpeculi ſphærici concaui, & æqualiter diſtantibus à centro, ſi linea coutinuans illa puncta ſecet circulum: poßibile eſt unũ illorum punctorum ad alterum reflecti ab uno tantumpuncto ſpeculi: uelà duobus: aut à quatuor: ſed impoßibile ect à tribus: & ſecundum hæc loca imaginum numerantur. Alhazen 87 n 5.

◉Sint, ut in præmiſſa, duo puncta a & b in diuerſis diametris circuli ſpeculi ſphærici concaui, quæ ſintl d & m n, ita ut pũctus a ſit in diametro l d, & pũctus b in diametro m n: ſintq́ pũcta a & b æqua liter diſtantia à centro ſpeculi, & linea a b ſit ducta ab uno illorũ pũctorũ ad alterũ ſecundũ circulũ (qui eſt cõmunis ſectio ſuperficiei reflexionis & ſpeculi) cuius centrũ ſit g: dico quòd uerũ eſt q

proponitur. Quòd enim ab uno tantũ puncto ſpeculi quandoq fiat illorũ pũctorum adinuicẽ mutua reflexio, patet per 19 huius: & etiã idẽ oſtẽdi poteſt per modũ 24 huius: linearũ enim inæ qualitas in illo ſitu naturã reflexionis nõ immutat, ut declaratum eſt in 20 th. 5 huius. Quãdoq uerò fit mutua reflexio iſtorum pũctorum a & b à duobus tantũ pũctis ſpeculi, ut patet per 25 huius. Quandoq uerò fit reflexio mu tua propoſitorũ pũctorum, quę ſunt a & b, à quatuor pũctis circũferentiæ ipſius ſpeculi, ut patet per 26 hu ius. A tribus uerò tantũ pũctis iſtorum ſpeculorum formas pũctorum æqualiter diſtantium à centro ſpe culi ad ſe mutuò reflecti eſt impoſsibile. Si enim ab aliquibus duobus pũctis unius arcus fiat iſta mutua reflexio, diuiſo arcu interiacente illa pũcta per æqua lia, & ductis ad illud pũctum lineis, patet per 27 p 3 & propter ęqualitatem laterum g a & g b, quoniam anguli conſtituti ſuper illud punctum fiunt æquales: ab illo ergo pũcto fiet reflexio per 20 th. 5 huius: ſed & fiet ab aliquo pũcto arcus oppoſiti illi arcui. Palã ergo quòd à quatuor pũctis ſpeculi fiet reflexio, & non à tribus. Et quoniam, ut patet per præmiſſam & ex plur bus propoſitionibus huius libri, nunquam fit à tribus punctis ſpeculi reflexio aliquorum duorum punctorum adinuicem, niſi fiat à duobus punctis unius arcus, & ab aliquo puncto arcus oppoſiti interiacente illas diametros: patet ergo quòd in hac diſpoſitione reflexio fiet ſemper à quatuor punctis ſpeculi propoſiti, & nunquam à tribus. Et hoc proponebatur. Et quoniam hęc duo præmiſſa theoremata diſpoſuimus ſecundum modum epilogi plurimorum præmiſſorum theorematum, ęſtimamus ipſa memorię cõmendanda.

◉42. Siab uno puncto arcus circuli ſpeculi ſphærici concaui formæ unius termini lineæ totaliter uiſæ, ab alio quo puncto eiuſdem arcus formæ alterius termini eiuſdem lineæ fiat reflexio: neceſſe eſt omnia punct a media lineæ uiſæ abillius arcus punctis medijs reflecti: ex quo patet quòd loca imaginum punct orum mediorum cadunt inter imagines punctorum extremorum. Alhazen 45 n 6.

◉Quod hic proponitur ſpecialiter, quantùm ad primam ſui partem, uniuerſaliter eſt pręmiſſum in 24 th. 5 huius. Eſto ergo arcus circuli ſpeculi ſphærici concaui a f h: cuius centrum e: & ſit z centrũ uiſus: ſitq́ g r linea uiſa: cuius unus terminus (quig) reflectatur à puncto ſpeculi, qui ſit f: & ille ſit aliquis punctus arcus dati, qui eſt a f h: & alter terminus lineę (qui eſt r) reflectatur à puncto h arcus a f h. Dico quòd omnia puncta media lineæ g r reflectentur à punctis medijs arcus h f. Coaptetur enim linea g r (exempli cauſſa) diametro ſpeculi, q̃ ſit o a cadatq́ in ſemidiametrũ o e: ſitq́ pũctus z, ꝗ eſt cẽtrũ uiſus, in alia diametro eiuſdẽ circuli, quæ ſit d b, cadẽs in ſemidiametrũ e b: & ducãtur page 345 lineæ g f, e f, z f, r h, e h, z h: & copuletur linea g z: producaturq́ linea ſe ultra punctum e ad lineam g z in in punctum m: & ſignetur in linea grpunctus c. Dico quòd forma puncti c reflectetur ab aliquo puncto arcus fh. Quòd enim reflectatur forma puncti c ad uiſum exiſtentem in puncto z palàm, cũ extrema lineæ, quæ ſunt g & r, reflectantur ad uiſum exiſtentem in puncto z: fiet ergo reflexio ab aliquo puncto arcus a d, & non ab alio. Oſtenſum enim eſt per 20 huius quòd in hoc ſitu à duobus arcubus a b & d o nõ poteſt fieri reflexio formæ pũcti c ad uiſum exiſtentẽ in pũcto z: oportet ergo quòd fiat reflexio ab aliquo pũcto arcus a d: quoniam patet ſolùm offerri uiſui arcũ ſpeculi b a d o

per 72 th. 4 huius: ideo quòd cẽtrum uiſus eſt in puncto z diametri d b. Oſtenſum etiam eſt per eandem 20 huius quòd forma cuiuſcunq pũcti ſemidiametri e o reflectitur ab aliquo pũcto arcus a d: fit autem per 27 huius formę cuiuslibet puncti lineæ g r reflexio ad ui ſum ab uno tantùm pũcto arcus a d cadente inter ſemidiametros, in quibus non conſiſtut puncta reflexa & ipſum centrum uiſus. Forma ergo pũcti c reflectetur ab uno tantùm puncto arcus a d ad uiſum exiſten tem in puncto z. Si ergo illud punctum ſit in arcu f h: habemus propoſitum. Si nõ: eſto primò quòd ipſum ſit in aliquo puncto arcus a f: ſitq́ punctum u: & ducantur lineæ z u, c u, e u, g u: eſt ergo per 7 p 3 linea g u maior quàm linea g f: ſed per eandẽ 7 p 3 linea z u eſt minor quàm linea z f: ergo per 9 th. 1 huius proportio lineæ gu ad lineam z u eſt maior proportione lineæ g f ad lineam f z: ſed per 3 p 6 & ex hypotheſi proportio lineæ g f ad lineã f z eſt, ſicut proportio lineæ g m ad lineam m z: proportio ergo lineæ g u ad lineam z u eſt maior quàm proportio lineæ g m ad linea m z: linea ergo, quæ diuidit angulum g u z per æqualia, ſecat lineam z m: ſecat ergo lineam z e per 32 th. 1 huius: angulus ergo g u e eſt minor angulo e u z: ergo angulus c u e eſt multò minor angulo e u z. Non ergo fiet reflexio formę puncti c ad uiſum z à puncto ſpeculiu, ut patet per 20 th. 5 huius. Similiter quoq poteſt fieri deductio de quolibet puncto arcus a f. Forma ergo puncti c non reflecti tur ad uiſum exiſtentem in puncto z ab aliquo puncto arcus a f. Sed neque ab aliquo puncto arcus h d. Sit enim, ſi poſsibile eſt, ut reflectatur ab aliquo puncto arcus h d, & reflectatur à puncto eius, quod ſit q: & ducantur lineæ z q, e q, c q, r q, z r: & producatur linea e h ultra punctũ e ad lineam r z: incidatq́ in punctũ n: ergo per 7 p 3 linea z q eſt maior quàm linea z h, & linea q r eſt minor  linea rh: eſt ergo per 9 th. 1 huius proportio lineæ z q ad lineam q r maior proportione lineæ z h ad lineam hr: ſed per 3 p 6 & ex hypotheſi, quæ eſt proportio lineæ z h ad lineam h r, eadem eſt lineę z n ad lineam n r: eſt ergo proportio lineę z q ad lineam q r maior proportione lineæ z n ad lineam n r: linea ergo diuidens angulum z q r per æqualia, ſecat lineam n r: ergo per 32 th. 1 huius ſecat lineã r e: angulus ergo r q e eſt maior angulo e q z: angulus ergo c q e eſt multo maior angulo e q z. Non ergo fiet reflexio formę puncti c ad uiſum in punctum z à puncto ſpeculi, quod eſt q, arcus h d. Eodemq́ modo deducendum quocunq puncto arcus h d dato. Forma ergo puncti c nõ reflectitur ad uiſum exiſtentem in puncto z ex arcu h d: ſed neq ex arcu a f, neq ab aliquo punctorum h uel f, ut per 29 th. 5 huius. Omnia ergo puncta media lineæ g r reflectuntur à punctis medijs arcus h f: nec poſſunt à punctis alijs reflecti, niſi fortè ab alio arcu reflectantur puncta g & r. Etex hoc patet quia tã lineæ reflexionum punctorum mediorum, quàm catheti ſuarum incidentiarum concurrunt inter locaimaginum punctorum extremorum. Et quia illarum linearum communis ſectio eſt locus imaginis per 37 th. 5 huius: patet ergo quòd loca imaginum punctorum mediorum cadunt inter loca imaginum pũctorum extrem orum. Et hoc eſt propoſitum. Idem enim accidit, etiamſi res uiſa uel centrũ uiſus extra illas ſpeculi diametros collocentur: quoniam ſemper trans illa puncta diam etri aliæ du cipoſſunt. Patet ergo propoſitum.

◉43. Siduorum punctorum in ſpeculo ſphærico concauo à duobus punctis ad unum uiſum fiat reflexio, ſic quòd loca imaginum ſint in eadem ſpeculi diametro: maior erit proportio lineæ interiacentis centrum ſpeculi & locum imaginis remotiorem, ad lineam interiacentem idem cen trum & punctum reflexum à centro ſpeculi remotiorem, quàm lineæ interiacẽtis idem centrũ & locum imaginis propinquiorem, ad lineam ductam à centro ad punctum reflexum centro ſpeculi propinquiorem. Alhaz. 48 n 6.

◉Sit ſpeculum ſphæricum concauum, per cuius centrum tranſeat ſuperficies plana: ſecabit ergo il la ſuperficiem ſpeculi ſecundũ circulum magnum illius ſphærę per 69 th. 1 huius, qui a b g: & eius centrũ ſit d: & extrahatur à centro d linea quocunq modo placuerit, quę ſit d g: & tranſeat à centro ad circũferentiã in pũctũ g: & ducatur à cẽtro d in ſuperficie illius circuli linea perpendicularis ſuper lineã d g, q̃ ſit d a: & abſcindatur ab angulo a d g recto parua particula quocũq modo cõtingat: & ſit angulus g d e, ita q inter angulũ rectũ, qui eſt a d g, & inter angulũ a d e ſit proportio multi page 346 plicitatis relatę and angulũ e d g. Hoc autem poteſt fieri, ſi angulus rectus, qui eſt a d g, diuidatur per æqualia, & item eius medietas per æqualia, & ſic deinceps quouſq fiat angulus a d e multiplex anguli e d g: ut ſi angulus a d e ſit ſeptuplus angulo e d g, erit rectus a d g ſeſquiſeptuplus angulo a d e: & diuidatur angulus a d e in duo æqualia per lineam d b per 9 p 1. A puncto quoq d centro ſpeculi extrahatur linea continens cum linea b d angulum rectum per 23 p 1, qui ſit angulus b d x: & extra hatur linea a d ultra punctum d ad peripheriam, ut compleat diametrum: & ſit linea d k: & à puncto d ducatur linea d z continens cum linea a d angulum æqualem angulo e d g, qui ſit angulus a d z: & à puncto z ducatur linea ſuper lineam d z conſtituens angulum æqualem angulo k d x: qui ſit h z d ducta linea z h ad diametrum h d k: hoc autem eſt poſsibile. Quia enim anguli k d x & a d z ſunt minores duobus rectis: erũt quoq anguli a d z & h z d ęquales k d x, minores duobus rectis: ergo con currẽt illæ lineæ, quæ ſunt a d & z h per 14 th. 1 hu

ius: ſit concurſus punctus h. Et quia anguli trianguli ualent duos rectos per 32 p 1, & anguli a d z & z d x & x d k ualent duos rectos per 13 p 1: angulus uerò h z d eſt æqualis angulo x d k, & angulus a d z communis: relinquitur angulus z h d ęqualis angulo z d x. Et extrahatur à puncto z linea zl, per 23 p 1 continens cum linea z h angulum ęqualem angulo b d k obtuſo, qui ſit angulus h z l. Duo ergo anguli l z d & b d z ſunt minores duobus rectis: deficiunt enim à duob. rectis in angulo z d a: linea ergo z l per 14 th. 1 huius cõcurret cum linea d b: ſit concurſus punctus l: & ducatur linea lh: & triangulo h ld circumſcribatur circulus per 5 p 4, qui ſit circulus d h l. Trãſibit ergo ille circulus per punctum z per 22 p 3: quia duo anguli l z h & l d h ſunt æquales duobus rectis: ſunt autem illi anguli in quadrilatero d h z l: eſt ergo illud quadrilaterũ in circulo. Anguli ergo l h z & l d z ſunt æquales ք 27 p 3, cadunt enim in arcum eundem circuli d h l, qui eſt arcus z l: ſed, ut ſuprà oſtendimus, angulus z h d eſt æqualis angulo z d x: æqualibus ergo angulis, qui ſunt l h z & l d z hinc inde ablatis, remanet angulus l h d æqualis angulo l d x: ſed angulus l d x eſt rectus: angulus ergo l h d eſt rectus. Abſcindatur quoq ex linea d e linea d m æqualis lineæ d h: & ducatur linea l m. Angulus ergo l m d eſt rectus. Quia enim angulus b d e eſt ęqualis angulo b d h: quoniam angulus a d e diuiſus fuit per æqualia per lineam d b: linea quoq d m eſt æqualis lineæ d h: ſed latus l d eſt commune ambobus trigonis l h d & l m d: ergo per 4 p 1 linea h l eſt æqualis lineæ l m: & angulus l m d eſt ęqualis angulo l h d: ſed angulus l h d oſtenſus eſt rectus eſſe: er go angulus l m d eſt rectus. Ergo per 22 p 3 circulus l h d tran ſit per punctum m: & ſecat arcum b e circuli a b g in puncto compari puncto z: qui ſit punctus f: eritq́ linea l d diameter circuli l h d per 31 p 3: & ducatur linea d f. Quia itaq circuli l h d arcus d m eſt ęqualis arcui d h per 28 p 3. quoniam lineæ d m & d h ſunt æquales: ſed & arcus d f eſt æqualis arcui d z per 64 th. 1 huius: relin quitur ergo arcus m f æqualis arcui h z: & arcus l z ęqualis arcui l f: ergo per 27 p 3 angulus l d ferit æqualis angulo l d z. Ducantur ergo lineæ h b, h f, z f, m f, b m, b f. Et quia angulus l h d eſt rectus: patet quòd angulus b h d eſt a cutus: & angulus g d h eſt re ctus: ergo per 14 th. 1 huius linea h b concurret cum linea d g extra circulũ a b g: concurrant ergo in pũcto q. Similiter quoq per 14 th. 1 huius linea h f concurret cum linea d g extra circulum: ſit concurſus punctus n: & producatur linea f b ultra punctum b, quouſq ſecet arcũ l z: ſecet ergo ipſum in puncto r: & ducatur linea r m. Angulus ergo f r m (qui eſt in circumferentia) reſpicit arcum f m, & angulus f b m eſt maior angulo f r m per 16 p 1: eſt enim extrinſecus in triangulo r b m: & angulus f b m eſt in circumferentia circuli a b g: ergo ſi linea b m protrahatur ex parte puncti m, ab ſcindet de circulo a b g arcũ maiorẽ quodã arcui, ſimili arcu f m circuli l h d ք 33 p 6: ſed arcus f m in ſuo circulo l h d eſt ſimilis duplo arcus f e in circulo a b g: quoniã duplũ arcus f e correſpõdet duplo anguli f d e ſuper peripheriã ſui circuli conſtituti per 33 p 6, & per 20 p 3: eſt aũt arcus fe æqualis arcui e g per 26 p 3: ideo quò d angulus e d g eſt æqualis angulo f d e: cũ uterq ipſorũ ſit æqualis angulo a d z, ut patet ex pręmiſsis: arcus ergo g f eſt duplus arcui f e: eſt ergo arcus f g in circulo a b g ſimilis arcui f m in circulo l h d. Si ergo linea b m extrahatur rectè in partem m, abſcindet de circulo a b g arcum ultra punctum g maiorem arcu f g. Si enim caderet in punctum g, fieret angulus f b g page 347 æqualis angulo f r g, extrinſecus intrinſeco: quod eſt impoſsibile. Linea ergo b m non cadetin pun ctum g, ſed ſecabit lineam d g inter duo puncta g & d: ſecet ergo in puncto o. Producatur quoq linea f m ultra punctum m: hæc ergo, quia ſecat angulum d m o, patet per 29 th. 1 huius quia ſecabit li neam d o: ſecet illã in pũcto u: & producatur linea m b ultra punctũ b: ſecabitq́ arcũ l r: ſecet ipſum in puncto c: & ducatur linea c d à puncto c ad centrũ ſpeculi. Quia ergo angulus b f z eſt in circumferentia circuli a b g, erit angulus b f z medietas anguli b d z ք zo p 3: ſed angulus b d z eſt multiplus anguli z d a: ergo angulus b f z multiplus angulo z d h: ergo & angulus r f z eſt multiplus eidẽ: ergo per 33 p 6 arcus r z eſt multiplus arcui z h: arcus uerò c z eſt maior arcu r z, ut totũ ſua parte: ergo arcus c z eſt multiplus arcus z h, uel maior multiplo. Ducatur itaq linea c h: angulus ergo c h d & angulus c m d ſunt æquales duobus rectis per 22 p 3: ſed angulus b m d cũ angulo b m e ualet duos rectos per 13 p 1: relin quitur ergo ut angulus c h d ſit æqualis angulo b m e: ſed angulus z h d addit ſuper angulum c h d angulũ c h z, qui eſt per 27 p 3 æqualis angulo c d z: & angulus c d z eſt multiplus anguli z d a per 33 p 6: quoniã, ut ſuprà patuit, arcus c z eſt multiplus arcui z h: ergo angulus c h z eſt multiplus anguli e d g: angulus ergo d h z excedit angulum c h d in multiplo anguli e d g. Et quia ar cus f m d eſt æqualis arcui z h d per 64 th. 1 huius, remanet arcus f z d æqualis arcui z f d: ergo erit per 27 p 3 angulus f m d æqualis angulo z h d: ſed angulus c h d eſt æqualis b m e: ergo angulus f m d excedit angulum b m e in multiplo anguli e g d: ſed angulus o m d eſt æqualis angulo b m e per 15 p 1: ergo angulus f m d excedit angulum o m d in multiplo anguli e d g. Et quia angulus g o m ualet angulum o m d, & angulũ o d m per 32 p 1: palàm quia angulus f m d excedit angulum m o g in multiplo anguli e d g: ſed angulus f m d per 32 p 1 excedit angulum m u d in ſolo angulo e d g: eſt ergo angulus m u d maior angulo m o g: ergo angulus m o u eſt maior angulo m u o per 13 p 1 bis ſumptá: ergo per 19 p 1 linea m u eſt maior quàm linea m o. Et quia arcus h d eſt æqualis arcui m d per præmiſſa, erũt duo anguli h f d & m f d æquales per 27 p 3. Formæ ergo punctorum duarum linearum h f & f u ad ſeinuicem reflectuntur: & ſimiliter formæ punctorum linearum h b & b o ad ſe inuicẽ reflectuntur: quoniã per præmiſſa angulus d b h eſt æqualis angulo d b m per 4 p 1 & per hypotheſes præmiſſas. Duo ergo puncta, quæ ſunt o & u ad uiſum exiſtentem in puncto h reflectũtur à duobus punctis ſpeculi, quæ ſunt b & f. Eſt ergo per 37 th. 5 huius punctus q imago puncti o, & punctus n imago puncti u. Ducatur ergo expũcto m linea æquidiſtans lineæ h q per 31 p 1: quæ ſit linea m s: & linea ęquidiſtans lineę h n, quę ſit m p. Quia ergo angulus h n d eſt maior angulo h q d per 16 p 1, erit angulus m p o, qui per 29 p 1 eſt æqualis angulo h n d, maior angulo m s o, qui per 29 p 1 eſt æqualis h q d: erit ergo punctum p inter duo puncta s & u per conuerſam 21 p 1. Et quia angulus h d n eſt rectus: erit per 32 p 1 angulus h n d acutus: ergo angulus m p d eſt acutus: angulus ergo m p s eſt obtuſus per 13 p 1: ergo linea m s eſt maior quàm linea m p per 19 p 1. Sed ex pręmiſsis linea m u eſt maior quàm linea m o: ergo per 9 th. 1 huius maior eſt proportio lineæ m s ad lineam m o quàm lineæ m p ad lineam m u: ſed proportio lineæ s m ad lineam m o eſt, ſicut proportio lineæ q b ad b o per 4 p 6: trigoni enim q b o & s m o ſunt æquianguli per 29 p 1: cum lineam s ſit æquidiſtans lineæ q b, & angulus q o b ſit communis illis ambobus trigonis. Et ſimiliter proportio lineæ p m ad lineã m u eſt, ſicut proportio lineæ n f ad lineam f u: per eadem ergo, quæ prius, & per 11 p 5 erit proportio lineæ q b ad lineam b o maior proportione lineæ n f ad lineam f u: ſed proportio lineæ q b ad lineam b o eſt, ſicut lineæ q d ad lineam d o: & proportio lineæ n f ad f u eſt, ſicut lineæ n d ad d u per ea, quæ ſunt oſtenſa in 13 huius, quorum declarationem, cum manifeſta ſit, hic omittimus propter figuratio nis multitudinem. Palàm ergo quòd proportio lineę q d ad lineam d o eſt maior proportione lineę n d ad lineam d u. Et hoc eſt propoſitum.

◉44. In ſpeculis ſphæricis concauis imagine retro ſpeculum occurrente: maior erit diſtantia imaginis à ſpeculo quàm reiuiſæ.

◉Eſto ſpeculi ſphærici concaui circulus, qui a b g d: cuius cẽtrum ſit e: ſitq́ centrum uiſus z: & punctus rei uiſæ h: fiatq́ reflexio for mæ puncti h ad uiſum z à puncto ſpeculi b, appareatq́ imago retro ſpeculum: dico quòd maior erit diſtantia imaginis à ſpeculi ſuperfi cie quàm ipſius rei uiſæ. Ducantur enim lineæ h b incidentię, & z b reflexionis: & ducatur cathetus incidentiæ, quæ ſit e h g t: producatur quoque linea reflexionis, quæ z b, donec lineæ e h & z b concurrant in puncto t: erit ergo per 37 th. 5 huius punctum t locus imaginis. Dico quòd linea t b (quæ eſt diſtantia imaginis à ſpeculo) eſt maior quàm linea b h, quæ eſt diſtantia rei uiſæ à puncto reflexionis. Et ſimiliter linea h g eſt minor quàm linea g t. Ducatur enim linea e b: & à puncto b ducatur linea contingens circulum in puncto b per 17 p 3: quæ ſit l b k. Quia itaque anguli cõtingentiæ, qui ſunt a b k & g b l, ſunt æquales per 16 p 3: & anguli z b a & h b g æquales per 20 th. 5 huius: fit ergo angulus k b z æqualis angulo l b h: ſed angulus t b l 348 eſt æqualis angulo k b z per 15 p 1: angulus ergo t b l eſt æqualis angulo l b h: ſed angulus l b h eſt acutus: quoniã angulus l b e eſt rectus: ergo & angulus t b l eſt acutus. Sed angulus e l b eſt acutus: quoniã in trigono e b l angulus e b l eſt rectus: ergo per 13 p 1 angulus b l t eſt obtuſus: angulus itaq t b l eſt minor angulo b l t. Reſecetur quoq ab angulo b l t angulus æqualis angulo b l h per 27 th. 1 huius, qui ſit b l m. Quia itaq angulus m b l eſt ęqualis angulo l b h, & angulus b l m ęqualis angulo b l h: erũt per 32 p 1 trigona l b m & l b h æquiãgula: ergo ք 4 p 6 latera ipſorũ ſunt proportionalia: ſed latus l b (cũ ſit commune ambobus) eſt æquale ſibijpſi: ergo latus m b eſt æquale lateri b h: ſed linea m b eſt minor quàm linea b t: ergo linea h b eſt minor quàm linea b t. Et ꝗa linea l b diuidit angulum t b h per æqualia: patet per 3 p 6 quoniã eſt proportio lineæ h l ad lineam l t, ſicut lineæ b h ad lineam b t: ſed linea b h eſt minor quàm linea b t, ut patet ex præmiſsis: ergo & linea h l eſt minor  linea l t: linea ergo g h eſt multò minor  linea g t. Patet ergo propoſitũ. Et ex his patet quòd rerũ, quarum diſtãtia ab eodem uiſu maior eſt, uel augetur: etiã diſtantia imaginũ retro ſpeculũ retro ſpeculũ uiſarum maior eſt uel augetur. Si enim protrahatur linea b h ultra punctum h ad punctum s, & producatur cathetus e s, quouſq concurrat cum linea reflexionis z b in puncto n:erit punctum n locus imaginis formæ puncti s: & erit linea b n maior quàm linea b s, ut prius patuit: & erunt lineæ b s & b n maiores quàm lineæ b h & b t.

◉45. In concauis ſpeculis ſphæricis inter uiſum & ſpeculum imagine occurrente: nonnunquã minor erit diſtantia imaginis à uiſu, quàm ſit ipſius rei uiſæ: à ſuperficie uerò ſperculi quando erit minor: quando maior: quando æqualis.

◉Eſto in ſpeculo ſphærico concauo circulus magnus a b g: cuius centrũ ſit d: & ſit ſemidiameter d b: ſitq́ centrum uiſus in puncto e: & linea rei uiſę ſit z t m: quæ reflectatur ad uiſum à pũcto ſpecu li b: ſitq linea incidentiæ z b, & linea reflexionis b e. Dico quòd uerum eſt, quod proponitur. Duca tur enim per centrum d ad lineam reflexionis e b linea, quæ ſit t d h: & eſto ut ipſa ſit perpendicularis ſuper ſemidiametrũ d b. Ducatur quoq ſimiliter à pũcto rei uiſæ, q eſt z, linea z d: quę ꝓducta ultra punctum d ad lineam reflexionis, quæ eſt e b, ſecet ipſam in puncto k: & ſimiliter à puncto uiſo, quod eſt m, ducatur linea m d: quæ producta ad lineã reflexionis, quæ eſt e b, ſecet ipſam in pun cto l. Eſt ergo per 37 th. 5 huius punctus k locus imaginis formæ puncti z: & punctus h locus imaginis puncti t: & pũctus l locus imaginis pũcti m. Et palàm quia puncta k & h cadunt inter puncta e & b: palamq́ cum loca imaginũ approximẽt uiſui, qui

eſt in pũcto e, ꝗ a multò minor erit diſtantia ipſarũima ginum à uiſu, quàm ſit ipſius rei uiſæ. Quoniam enim linea d b ſemper diuidit angulũ omnis reflexionis per æqualia: patet quòd centrum uiſus & punctum rei uiſę ſemper collocantur ex diuerſis partib. centri. Ducatur quoq linea e z: eritq́ in trigono k e z angulus e k z nõnun quam maior angulo k z e: ergo per 19 p 1 erit tunc linea e z (quæ eſt diſtantia rei uiſæ à centro uiſus) ma ior quàm linea e k, quæ eſt diſtantia imaginis k à cẽtro uiſus: minus aũt diſtant à uiſu loca imaginũ, quæ ſunt h & l. Quia uerò in trigonis b d t & b d h duo anguli, ꝗ ſunt b d t & b d h ſunt ęquales: quia recti ex hypotheſi: & duo anguli h b d & t b d ſunt æquales per 20 th. 5 hu ius, cum ſint anguli incidentiæ & reflexionis: erũt per 32 p 1 illi trigoni æquianguli: ergo per 4 p 6 cum linea b d ſit æqualis ſibijpſi, erit linea b t æqualis lineæ b h. Æqualiter ergo diſtabũtimago & res uiſa à ſuperficie ſpeculi. Sed linea b k eſt minor quàm linea b h & linea b z eſt maior  linea b k: erit ergo tũc locus imaginis & imago ꝓ pinquior ſuperficiei ſpeculi  res uiſa, cuius illa eſt imago. Et quia linea b m eſt minor  linea b l: eſt aũt pũctus l locus imaginis pũcti m: pater quòd res uiſa propinquior eſt ſpeculo  eius imago. Patet itaq ꝓpoſitũ. Et ex his patet, quoniã rerũ q̃ magis elõgatę ſunt à ſpeculis, & quarũ for mę reflectũtur ad uiſum, ita quò loca imaginũ ſint inter uiſum & ſpeculi ſuperficiẽ;, fiunt imagines ipſarũ propin quiores ſuperficiei ſpeculi, & elongatæ plus à cẽtro uiſus. Rerũ quo q̃ ſunt propinquiores ſpeculis, & quarũ formę reflectũtur ad uiſum, & loca imaginũ ſunt inter ſpeculũ & uiſum, imagines plus elongantur à ſuperficie ſpeculi, & fiunt propinquiores ad uiſum.

◉46. Centro uiſus & re uiſa exiſtentibus intra ſpeculum ſphæricum cõcauum, in eadem linea recta æqualiter à centro ſpeculi ſecundum ſui extrema diſtante: imago rei uiſæ uidebitur ultra ſpeculum, maior re uiſa. Alhazen 39 n 6.

◉Sit ſpeculũ ſphæricũ concauũ, cuius centrũ ſit a: dico q ſi centrũ uiſus fuerit intra ſpeculũ, & ſimiliter linea uiſa: ſitq́ illorũ diſp oſitio modo quo proponitur, uerũ eſſe q proponitur. Secetur enim ſpeculũ ք ſuperficiẽ planã tranſeuntẽ ք cẽtrũ ſpeculi: erit ergo ք 69 th. 1 huius cõmunis ſectio illius ſuքficiei planæ & ſuperficiei ſpeculi circulus, qui ſit b g: & ducatur in hoc circulo linea à cen page 349 tro ſpeculi ad circumferentiã, quocunq modo contingat: & ſit linea a u, quæ diuidatur per æqualia in puncto o: & à centro a ſecundum quãtitatem lineæ a o deſcribatur circulus, qui ſit e z: & in linea o u ſignetur pũctus t, utcunq contingat: & à puncto t ducantur lineę t n & t m perpẽdiculariter ſuper lineã a u per 11 p 1: & ducãtur à pũcto t lineæ t e & t z contingentes circulum e z per 17 p 3: & ſint pũcta contactuũ e & z. Ducãtur quoq à cẽtro ſpeculi pũcto a ad pũcta cõtactuũ lineæ a e & a z: quę productę ſecent ſpeculũ in punctis b & g. Copulentur quoq lineę t b & t g à pũcto t, & ducatur linea b m æquidiſtans lineæ a u per 31 p 1: & linea g n ducatur æquidiſtãs eiſdẽ lineis a u & b m: & ducantur à centro ſpeculi ad puncta m & n lineæ a m & a n: quæ producantur ulterius extra circulum

g b. Quia itaq linea a o eſt æqualis lineę o u: palàm quoniam linea a e eſt æqualis lineæ e b, & linea a z æqualis lineæ z g: oẽs enim diametri circuli e z ſunt medietates diametrorũ circuli b g: ergo linea, quę interiacet circulos exiens à cẽtro a, eſt æqualis ſemidiametro circuli e z. Et quia linea t e cõtingit circulũ minorẽ, qui eſt e z: erit per 18 p 3 li nea t e perpẽdicularis ſuper lineã b a: & ſimiliter erit linea t z per pẽdicularis ſuper lineã g a: ergo per 4 p 1 linea t e exi ſtente cõmuni ambobus trigonis b e t & t e a, erit linea b t æqualis lineæ t a: & ſimiliter erit linea g t æqualis lineæ t a: ergo per 5 p 1 in trigono t b a erit angulus t a b æqualis angulo t b a: & in trigono t g a erit angulus t g a æqualis angu lo t a g. Et quia linea b m eſt æquidiſtans lineæ a t: erit ք 29 p 1 angulus m b a æqualis angulo t a b: quoniã ſunt coalter ni: angulus ergo m b a æqualis eſt angulo a b t: & ſimiliter angulus n g a æqualis eſt angulo a g t. Cũ ergo uiſus fuerit in pũcto t, & in linea m b fuerit aliquod uiſibile (ut pũctũm) tunc forma pũcti m à pũcto ſpeculi, quod eſt b, reflectetur ad uiſum exiſtentẽ in pũcto t: & forma pũcti n reflectetur à pũcto ſpeculi g ad uiſum exiſtentẽ in pũcto t. Viſus itaq exi ſtẽs in pũcto t cõprehẽdet formas pũctorum n & m reflexas ad ſe à pũctis ſpeculi g & b. Cõprehendet ergo eadẽ ratione & totã lineã n m reflexam ad ſe extoto arcu g b, ut patet per 42 huius. Etꝗa linea m t eſt perpendicularis ſuper lineã a t: erit angulus m t b acutus. Quia enim angulus m t u eſt rectus: ergo per 29 p 1 angulus b m t eſt rectus: ergo angulus m t b eſt acutus ք 32 p 1: ergo per 19 p 1 erit linea t b maior  linea b m. Sed, ut pręmiſſum eſt, linea t b eſt æqualis lineæ at: ergo linea at eſt maior  linea b m: ſed lineæ a t & b m ſunt ęquidiſtantes: ergo per 16 th. 1 huius linea t b cõcurret cũ linea a m: concurrant ergo in puncto f: eſt itaq ք 37 th. 5 huius pũctus flocus imaginis formæ punctim. Eodẽ quoq modo linea t g cõcurret cũ linea a n in pũcto, qui ſit q: & erit punctus q locus ima ginis formæ pũcti n: quoniã cathetus incidentiæ formæ pũcti m eſt linea a m, & cathetus incidentię formę pũcti n eſt linea a n: lineæ quoq reflexionis ſunt lineę t b & t g. Cõtinuẽtur itaq pũcta f & q per lineã f q: & erit linea f q diameter imaginis formę totius lineę n m. Et quia lineæ t e & t z ſunt æquales per 58 th. 1 huius: erũt anguli t a e & t a z æquales. Anguli enim t z a & t e a ſuntrecti per 18 p 3, & lineæ z a & e a ſunt æquales, quia ſemidiametri eiuſdẽ circuli: linea quoq t a eſt cõmunis ambobus trigonis t z a & t e a: ergo ք 8 p 1 anguli z t a & e t a ſunt æquales: & ſimiliter anguli t a e & t a z. ſunt æquales: ergo & angulus t a b æqualis angulo t a g: ergo ք 4 p 1 erũt lineæ t b & t g æquales. Et quia angulus e t a eſt æqualis angulo z t a: erit angulus u t b æqualis angulo u t g: relin quitur ergo angulus b t m æqualis angulo g t n: quoniã anguli u t m & u t n ſunt æquales, quia recti: ſed & angu li b m t & g n t ſunt recti: ergo trigona g t n & b t m ſunt ք 32 p 1 æquiangula. Ergo ք 4 p 6 cũ linea t g ſit æqualis lineæ t b: erũt lineę b m & g n æquales, & linea t m æqualis lineę t n:ergo ք 4 p 1 cũ angu lin t a & m t a ſint recti & æquales, erũt lineæ a m & a n æquales: & ſic pũcta m & n ęqualiter diſtabunt à cẽtro ſpeculi, q eſt a: eritq́ ք 29 p 1 & 4 p 6 ꝓportio lineę a f ad lineã f m, ſicut lineę a t ad lineã b m: & erit ꝓportio lineæ a q ad lineã q n, ſicut lineę a t ad lineã g n: ſed ք 7 p 5 eadẽ eſt ꝓportio lineæ a t ad lineam b m, & ad lineam g n: quoniã illę duę ſunt æquales: eadẽ ergo eſt proportio lineę a f ad lineã f m, quę eſt lineę a q ad lineã q n: ergo ք 7 th. 1 huius erit euerſim eadẽ proportio lineæ a f ad lineam a m, quæ eſt lineę a q ad lineã a n: ergo ք 16 p & corollariũ 4 p 5 erit permutatim ꝓportio lineæ a q ad lineã a f, ſicut lineę a n ad lineã a m: ſed linea a m eſt æqualis lineę a n: ergo linea a f eſt ęqualis lineæ a q. Linea itaq f q æquidiſtat lineę n m ք 2 p 6. Ergo linea f q eſt maior quàm linea n m. Si itaq centrũ uiſus fuerit in puncto t, & in linea n m fuerit aliquod uiſibile: tũc uiſus cõprehendet imaginẽ illius uiſibilis maiorẽ  ſit ſecũdum ueritatẽ. Et hoc eſt propoſitũ. Et ſi arcus cuiuſcũq circuli copulentur ad has chordas n m & q f: patet idem de arcubus, quod de lineis rectis.

◉47. Centro uiſus & re uiſa oppoſitis ſpeculo ſphærico concauo taliter, ut uiſus ſit altior re uiſa ſecundum ſui extrema æqualiter diſtante à centro ſpeculi: imago lineæ uiſæ uidebitur ultra ſpeculum, maior re uiſa. Alhazen 40 n 6.

◉Sit circulus ſpeculi ſphærici cõcaui, ſicut in pręmiſſa, qui eſt b g: cuius centrũ a: & ducantur lineę à centro circuli a ad peripheriã, quę ſint a b, a g, a u: ſitq́ linea a u diuidens per ęqualia arcũ g b: quę diuidatur, ut in pręcedẽte, ſecũdũ punctũ tultra ſui mediũ uerſus circũferẽtiã g b: & ducãtur lineæ 350 g t & t b: & erigatur à puncto t linea perpẽdiculairs ſuper ſuperficiẽ circuli ք 12 p 11, quæ ſit linea t k: & ducantur lineæ a k, b k & g k. Superficies itaq trigonorum k b a, k g a ſunt ſecantes ſphærã ſpeculi ſuper cẽtrum a: & ſunt erectæ ſuper ſuperficiẽ circuli b g per 18 p 11 & ſuper oẽs ſuperficies cõtingentes ſphærã in punctis b & g, uel quibuſcũq pũctis alijs circulorũ, qui ſunt cõmunis ſectio illarũ ſuperficierũ & ſpeculi ք 2 huius. Quoniã enim cõmunes ſectiones circuli b g & ſuperficierũ illorũ trigonorũ ſunt ſemidiametri a b & a g, qui ſunt erecti ſuperficies in illis pũctis b & g ſpeculũ cõtingẽtes: patet quòd illæ ſuperficies per 18 p 11 ſunt erectæ ſuper ſuperficies in illis punctis cõtin gentes. Et ſimiliter patet hoc de alijs ſuperficiebus ſecũdum puncta illorum circulorum contingen tibus. In illis itaq ſuperficiebus fit reflexio à punctis circũferentiæ circulorũ cõmunium eis & ſpeculo. Ducatur itaq linea b m in ſuperficie b k a æquidiſtanter lineę a k: ſitq́ linea b m minor  linea a k: fiatq́ taliter, ut linea b m tota penetret ſuperficiẽ circuli b g ad partẽ aliã,  linea t k, ita ut lineæ t k & b m ſint in diuerſis partibus ſpeculi reſectis ք ſuperficiem circuli b g. Ducatur itaq linea a m: & extrahantur lineę b k & a m, donec cõcurrant in puncto f: cõcurrent aũt per 16 th. 1 huius: cum linea b m ſit minor  ſua æquidiſtãs linea a k: & in ſuperficie g k a ducatur linea g n æquidiſtans lineę a k: ſitq́ linea g n æqualis lineæ b m, & ad eandẽ partẽ ſuperficiei circuli producta: & ducatur linea a n: producanturq́ lineæ a n & k g, donec per 16 th. 1 huius concurrant in puncto q: ducaturq́ linea f q, & linea m n. Quia ergo (ut in pręcedente proxi

ma oſtẽdimus) linea b t eſt æqualis lineæ t a, & linea t k eſt communis duobus trigonis b k t & a k t, & anguli ad pũctũ t ſunt recti per definitionẽ lineę ſuper ſuperficiẽ erectæ: palàm ք 4 p 1 quia linea b k eſt æqualis lineæ k a: & ք eadem erit linea g k æqualis lineę a k: ergo per 5 p 1 anguli k a b & k b a ſunt æqules: & ſimiliter ſunt anguli k a g & k g a æqualis. Itẽ quia linea g k eſt æqualis lineæ a k: igitur linea g k ęqualis eſt lineę b k: ſed & linea a g eſt æqualis lineę a b: quia ſunt ſemidiametri eiuſdem circu li: & linea a k eſt cõmunis: trigona itaq a k b & a k g ſunt æquilatera: ergo per 8 p 1 angulus k b a eſt æqualis angu l o k g a, & angulus k a b ęqualis angulo k a g. Et quoniã per 29 p 1 angulus a b m eſt æqualis angulo k a b: ergo & angulo k b a: quia lineæ a k & b m æquidiſtant, & iſti anguliſunt coalterni. Et ſimiliter angulus a g n eſt propter eadem ęqualis angulo k a g: quoniã etiã lineę a k & g n æquidiſtant: ergo & angulo k g a. Et quoniam anguli k a g & k a b ſunt æquales, ut pręoſtenſum eſt: erit ergo angulus a b m æqualis angulo a g n, & linea b m ex hypotheſi eſt æqualis lineę g n: ergo per 4 p 1 linea a m eſt æqualis lineæ a n: ergo, utin præmiſſa, linea a f erit æqualis lineæ a q: ergo per 2 p 6 linea q f æquidiſtat lineę m n: & linea f q eſt maior quàm linea m n. Cum itaque uiſus fuerit in puncto k uel ſuper punctum k in linea t k: & fuerit li nea m n in aliquo uiſibili inferiore ipſo uiſu: tunc forma puncti m incidet ſpeculo ſecũdum lineam m b, & reflectetur à puncto ſpeculi b ad uiſum ſecundum lineam b k in ſuperficie circuli tranſeuntis per puncta b, a, k: & forma puncti n incidet ſpeculo ſecũdum lineam n g, & à puncto ſpeculi g reflectetur ad uiſum ſecundum lineam g k inſuperficie circuli tranſeuntis per puncta g, a, k: & erit per 37 th. 5 huius imago puncti m punctum f: & imago puncti n punctum q: & erit linea q f diameter imaginis lineæ n m: & linea f q erit maior quàm linea m n. Imago itaque rei uiſæ apparebit maior ipſa re uiſa, & ultra ſpeculum. In hoc ergo ſitu uiſus & uiſibilis patet propoſitum. Si itaq reuoluatur tota figura in circuitu lineę a u, ipſa linea a u permanente immobili: tunc punctum k deſcribet motu ſuo quendam circulum, ſuper quem erecta eſt linea a u tranſiens ad utramq partem ſuperficiei illius circuli: & omne punctum illius circuli habebit ſitum reſpectu lineæ comparis lineæ m n. Si itaque uiſus fuerit in aliquo puncto circumferentię huius circuli, & linea compar lineę m n fueritin ſuperficie alicuius rei uiſę, reſpicientis centrum uiſus ſecundum illum ſitum, ut res uiſa (in qua eſt linea m n) reſpiciebat uiſum exiſtentem in puncto k: tunc uiſus comprehendet formam illius lineę maiorem ſua propria quantitate. Et ſimiliter ſi extrahatur linea t k in continuum & directum: & ſignetur in ea punctum aliud pręter punctum k, ut punctum p: & ducantur lineę ad illud punctum p, ſicut ad punctum k ſunt prius ductę: erit idem eueniens, quod prius accidit in puncto k. Pluries itaq, ut patet per pręſens theorema, & per proximè præmiſſum, in ſpeculis ſphæricis con cauis uidetur imago rei uiſę maior ipſa re uiſa: quod eſt notandum.

◉48. In ſpeculis ſphæricis conauis quando comprehendituringago æqualis ipſirei uiſæ: quæ occurrens inter uiſum & ſpeculum, conuerſum: retro uiſum uerò conformem habet ſitum rei uiſæ. Alhazen 41 n 6.

◉Sit ſpeculum ſphęricum concauũ a b: cuius centrũ ſit e: ſecetq́ ipſum ſuperficies plana tranſiens centrũ e, cuius cõmunis ſectio & ſuperficiei ſpeculi erit circulus per 69 th. 1 huius: ꝗ ſit a b: & ducatur à centro linea e z, utcũq contingit, nõ in ipſa ſuperficie circuli a b, ſed obliquè ſuper illam, ſicut 351 placet: quę producatur ultra circuli peripheriã ad pũctum g: & à pũcto g extrahatur linea perpen di cularis ſuper ſuperficiẽ circuli a b per 12 p 11: & in illa perpendiculari ſignetur pũctum d: & ducatur linea d e: quę protrahatur ultra centrũ e ad pũctum o: & ducatur linea e b cõtinens cũ linea d e angulũ obtuſum: & ducatur linea e a cõtinens cũ linea e d angulũ obtuſum æqualẽ angulo d e b per 23 p 1: & ducãtur lineę d a, d b: erũtq́ per 4 p 1 trigona d e a & d e b æ quiangula. Superficies itaq duorũ trigonorũ d e a & d e b ſecãt ſe ſuper lineam d e: & duo anguli d b e & d a e ſunt acuti & æ quales per 4 p 1: linea enim e b eſt ęqualis lineę e a, & linea d e eſt cõmunis ambobus trigonis d e a & d e b: & anguli d e b & d e a ſunt æquales. A pũcto quoq b in ſuperfi

cie trianguli d e b ducatur per 23 p 1 linea continens cũ linea e b angulũ æqualem angulo d b e: quę ſit linea b o: hæc igitur linea cõcurret cũ linea d e per 14 th. 1 huius: ideo quòd angulus b e d eſt obtuſus, & angulus e b o, qui eſt apud pũctum b, eſt acutus, nõ ualẽs cũ angulo d e b duos rectos: cũ angulus o b e ſit æqualis angulo d b e, qui cũ angulo b e d & angulo b d e ualet duos rectos ք 32 p 1. Sit itaq linearũ d e & b o cõcurſus in pũcto o: & à pũcto a ducatur linea in ſuperficie trianguli d e a cõtinens cũ linea a e angulũ ęqualẽ angulo d a e: cõcurret ergo illa, ut prius, cũ linea e o in pũcto o: quoniá anguli a e o & b e o ք 13 p 1 & ex pręmiſsis ſunt ęquales: & anguli e b o & e a o ex pręmiſsis inter ſe ſunt æquales: ergo ք 32 p 1 anguli reliqui, ꝗ ſunt e o b & e o a, ſunt æquales: ergo per 4 p 6 latera ipſorũ ſunt proportionalia: ſed linea e a eſt æqualis lineæ e b: ergo linea e o eſt æqualis ſibiipſi: cadũt ergo lineę b o & a o in unũ punctũ lineę d e ꝓductæ, qui eſt o. Ducatur etiam linea e t a d lineá b d, ita quòd cõtineat cũ linea e b angulũ rectũ per 11 p 1: & protrahatur linea t e ultra pũctum e, & linea b o ultra pũctum o: cõcurrẽtq́ lineæ t e & b o per 14 th. 1 huius: quia cũ angulus b e t ſit rectus, angulus e b o eſt acutus: ſit ergo cõcurſus pũctus h: eritq́ linea t e æqualis lineæ e h, & linea t b æqualis lineę b h ք 4 p 6: trigona enim t e b & b e h per 26 p 1 & ex pręmiſsis ſunt æquiangula, quibus latus e b eſt cõmune. Et ſimiliter producatur linea e k ad lineã a d, ita quòd cõtineat cũlinea e a angulũ rectũ per 11 p 1, & producatur ultra pũctum e: & producatur linea a o ultra pũctum o: concur rentq́ lineę k e & a o ք 14 th. 1 huius: quia cũ angulus k e a ſit rectus, angulus e a o eſt acutus: ſit concurſus punctus l: & erit linea k e æqualis lineæ e l: quia cũ angulus k e a ſit rectus, erit angulus e a l rectus: ſed & angulus e a l eſt æqualis angulo k a e, ut patet ex pręmiſsis: ergo per 32 p 1 triguona k e a & e a l ſunt æquiangula: ergo per 4 p 6 cũ linea e a ſit ambobus illis trigonis cómunis, erit linea k a æqualis lineę a l, & linea k e æqualis lineę e l. Et hoc etiam prteſt concludi per 3 p 6. Et per eundem modũ oſtenſæ ſunt lineæ t e & e h adinuicẽ, & lineæ t b & b h adinuicẽ æquales. Ducátur ergo lineæ t k & l h. Quia itaq duo latera t e & k e ſunt æqualia duobus lateribus e h & e l, & per 15 p 1 angulus t e k eſt æqualis angulo l e h: patet per 4 p 1 quoniam lineę t k & l h erunt æquales inter ſe. Si ergo uiſus fuerit in pũcto d, & linea l h fuerit in aliquo uiſibili: tũc uiſus exiſtens in puncto d cõprehendet formá pũcti h in ſpeculo a b reflexam à pũcto b: & erit formę pũcti h imago pũctum t per 37 th. 5 huius: quoniã cathetus ſuę incidẽtię, quę eſt linea h e, cõcurrit cũ linea reflexionis, quę eſt d b. in pũcto t: ſimiliterq́ forma pũcti l reflectetur ad uiſum in punctum d à pũcto ſpeculi, quod eſt a: & quia cathetus ſuę incidentiæ, que eſt l e, concurrit cũ linea reflexionis, quæ eſt d a, in puncto k: erit per 37 th. 5 huius pũctum k imago formę pũcti l: & erit linea t k diameter imaginis lineę l h: & erit ei æqualis. Si ergo reuoluatur tota figura ſpeculi, & linearũ productarũ, linea h l immobili exiſtente: tunc pũctus d deſcribet circulũ, in cuius circũferẽtię pũcto aliquo cẽtro uiſus exiſtẽte poterit com prehendere aliquod uiſibile cõparem habens ſitũ ad uiſum, ſicut nũc habet linea l h ad uiſum d: & erit imago illius uiſibilis æqualis ei. Et ſimiliter ſi uiſus fuerit intra circulũ ſpeculi in pũcto o, & res uiſa fuerit diſpoſita ſecũdum lineam t k: erit imago lineæ t k linea l h, æqualis rei uiſæ. Sed tamen re uiſa exiſtente in linea l h, & uiſu exiſtẽte in pũcto d, cũ imago rei uiſę fuerit linea t k: erit forma ima ginis cõuerſa reſpectu ſitus rei. Si enim pũctus h fuerit in dextra, erit punctus t in ſiniſtra: & ſi punctus h fuerit ſupra lineá aliquá eleuatus, erit punctus t infra illã lineã depreſſus & inclinatus: & ſimi liter eſt de pũcto l reſpectu pũcti k. Sed cũ res uiſa fuerit in linea t k, & uiſus fuerit in pũcto o, & ima go lineę t k fuerit linea l h: erit forma nõ cõuerſa ſed directa. Ná imago, quę eſt linea l h, erit retro ui ſum, ut oſtẽſum eſt in 11 huius: & uiſus cõprehẽdet pũctũ h, q  eſt imago pũcti t, retro ſe in linea h o, & pũctum l, quod eſt imago pũcti k, in linea l o retro ſe: & pars formę uiſibilis, quæ reflectitur ad ui ſum, erit reſpiciens uiſum in ipſa imagine, ſicut & in ipſa ſuperficie rei uiſę. Patet ergo propoſitum.

◉49. In ſpeculis ſphæricis concauis imago quando cõprehenditur minor re uiſa: quæ occurrẽs inter uiſum & ſpeculum conuerſum habet ſitum rei uiſæ: quando uerò uidetur maior re uiſa: quæ occurrens retro uiſum conformem habet ſitum rei uiſæ. Alhazen 42 n 6.

◉Sit diſpoſitio totius figurę omnino eadem, quę in pręcedente theoremate: & producatur linea page 352 b h in continuum & directũ: & in ipſa ſignetur punctus r: & ducatur linea r e ad centrũ ſpeculi. Et quoniá angulus t e b eſt rectus, patet per 13 p 1 quòd angulus h e b eſt rectus: palàm ergo quia angu lus r e b erit obtuſus: producaturq́ linea r e ultra punctum e ad lineã b d: incidatq́ in pũctum n: cad etq́ punctũ n inter pũcta t & b. Cum enim angulus b e r ſit obtuſus: patet per 13 p 1 quòd angulus b e n eſt a cutus: linea itaq e n diuidit angulũ t e b, qui eſt rectus: ergo per 29 th. 1 huius ipſa ſecabit baſim t b: erit ergo linea n b minor  linea t b: ſed linea t b, ut patuit in pręcedẽte, eſt æqualis lineæ b h, & linea b r eſt maior quàm linea b h: erit ergo linea r b maior  linea b n. Et quia, ut patet ex prę miſsis in proxima pręcedente, angulus n b e eſt æqualis angulo e b r: palàm quod linea e b diuidit angulum n b r per æqualia. Erit ergo per 3 p 6 proportio lineæ r b ad lineam b n, ſicut proportio lineæ r e ad lineam e n: ſed linea r b eſt maior quàm linea b n: ergo linea r e eſt maior quàm linea e n. Producatur quoq ſimiliter linea a l in continuum & directum, donec ſit linea a m ęqualis lineę b r: & ducatur linea m e, quę producta concurrat cũ linea d a in puncto u: cõcurret autem, ut prius demonſtratũ eſt per 29 th. 1 huius. Et quia duo anguli e a m & o b r ſunt æquales, ut patet in cõmento pręmiſſæ propoſitionis, & duo latera e a & a m trigoni e a m

ſunt æqualia duobus laterib. trigoni b e r, quę ſunt b e & b r: erit per 4 p 1 linea m e æ qualis lineæ r e: & angulus m e æqualis angulo r e b: ſed angulus r e b maior eſt angulo recto & obtuſus: erit ergo angulus m e a obtuſus: ergo ք 13 p 1 angu lus u e a eſt acutus. Quia ergo in trigono a e u angulus u a e eſt æqualis angulo e a m trigoni m e a, & angulus u e a eſt mi nor angulo m e a: erit angulus e u a maior angulo a m e ք 32 p 1: ergo in trigono m a u latus m a eſt maius latere u a: ſed linea a e diuidit angulũ u a m ք æqualia. Ergo ք 3 p 6 linea m e eſt maior  linea e u: & ſimiliter eſt linea r e maior  linea e n. Ducátur itaq lineę n u & m r. Et quia per 26 p 1 linea n e eſt æqualis lineę e u: quoniam ex pręmiſsis angulus u a e eſt æqualis angulo n b e, & angulus a e u eſt æqualis angulo b e n, cũ uterq ipſorũ ſuper angulũ æqualẽ obtuſum ſit cõplemen tum duorũ rectorũ per 13 p 1, & latus a e eſt æquale lateri b e. Sunt igitur per 15 p 1 & per 7 p 5 & per 6 p 6 trigoni m e r & n e u æquianguli: ergo per 4 p 6 erit ꝓportio lineę m e ad lineã e u, ſicut lineę m r ad lineã n u: ſed, ut patet ex pręmiſsis, linea m e eſt maior  linea e u: ergo linea m r eſt maior  linea n u. Si ergo linea m r fuerit in aliquo uiſibili, & uiſus fue rit in puncto d: erit linea n u diameter imaginis lineę m r: & eſt minor  linea r m. Et ſi uiſus fuerit in pũcto o, & linea n u fuerit in aliquo uiſibili: erit linea m r imago lineę n u: & eſt maior  linea n u. Sed cũm in linea m r fuerit aliquod uiſibile, & uiſus in pũcto d: imago n u eritinter uiſum & ſpeculũ: & uidebitur imago reuerſa, habens ſitũ alium  res uiſa, prout declarauimus in the oremate pręcedente. Cum uerò res uiſa fuerit in linea n u, & uiſus in pũcto o: imago m r uidebitur retro uiſum, & erit eius forma conformis ſitui rei uiſę, ut in pręmiſſa patuit. Nã imago ſi fuerit ultra uiſum uidebitur anterius ipſius, & omne punctum imaginis uidebitur in li nea ſuę reflexionis. Patet ergo manifeſtè totum, quod proponebatur.

◉50. In ſpeculis ſph æricis concauis imago quando comprehenditur maior re uiſa, & conuerſa ſecundum ſitum formæ rei uiſæ, ipſa imagine inter uiſum & ſpeculũ occurrente: retro uiſum non uidetur minor, ſedhabens ſitum conformem rei uiſæ. Alhazen 43 n 6.

◉Remaneat diſpoſitio, quę prius in 48 huius: & ſignetur in linea o h punctum q: & ducatur linea e q: & producta ultra cẽtrũ

e tranſeat ad punctum p lineę d b: ſitq́, ut à linea o l abſcindatur linea o f æ qualis lineę o q per 3 p 1: & duca turlinea f e: quę producatur ultra punctũ e ad lineá d a in punctũ i: erunt itaq ſecundum prędictũ in pręmiſsis proban di modũ duę lineę p e & i e maiores duabus lineis e f & e q. Quia enim linea l e eſt maior  linea f e, ut patet ex pręmiſſis duobus theorematibus, & linea e h eſt maior quàm linea e q: lianea uerò p e eſt maior  linea t e, page 353 & linea i e maior quàm linea e k: linea uerò l e eſt æqualis lineę k e, & linea h e eſt æqualis lineę e t: patet quòd duę lineę e p & e i ſunt maiores duabus lineis f e & e q. Et quia ex præmiſsis in pręcedentibus duobus theorematibus anguli e h q & e l f ſunt æquales, & lineę e h & e l æquales: nũc autem lineę h q & l f acceptę ſunt ęquales: ergo per 4 p 1 lineę f e & q e ſunt æquales: & angulus f e o ęqualis angulo q e o: ergo per 15 p 1 angulus p e d eſt ęqualis angulo d e i: relinquitur ergo ex pręmiſ ſis angulus p e b æqualis angulo i e a: ergo per 32 p 1 trigona p e b & i e a ſunt ęquiangula: ergo per 4 p 6 cum linea e b ſit æ qualis lineę e a: erit linea p e æqualis lineę e i. Ducantur ergo lineę p i & f q: erit per 15 p 1 & per 7 p 5 & per 6 & 4 p 6 linea p i maior quàm linea f q. Si ergo uiſus fuerit in puncto o, & linea p i ſit in aliquo uiſibili: erit linea f q imago lineę p i: & eſt linea f q minor quàm linea p i: & imago f q uidebitur ſuper duas lineas reflexionis, quæ ſunt a o & b o: erit ergo forma imaginis retro uiſum minor quàm res uiſa: & erit directa habens ſitum conformem ſitui rei uiſę. Si uerò uiſus fuerit in puncto d, & linea f q fuerit in aliquo uiſibili: tunc erit linea p i imago lineę f q, & erit maioris quantitatis quàm linea f q: & erit forma ante uiſum, conuerſum & contrarium habens ſitum, reſpectu ſitus formę rei uiſę. Et hoc eſt propoſitum.

◉51. Centro uiſus exiſtẽte in aliquo pũcto, inter quod & ſuperficiẽ ſpeculi ſphærici cõcaui fuerit cẽtrũ ſpeculi: formæ uiſæ exiſtẽtis ultr a cẽtrũ ſpeculi imago cõuerſa uidetur, & minor forma rei uiſæ. In hoc quo ſitu uiſus cõprehendet propriãimaginẽ minorẽ & cõuerſam. Alhaz. 44 n 6.

◉Sit ſpeculum ſphęricum concauũ a b d: cuius cẽtrum g: ſecetq́ ipſum ſuperficies plana per centrum g: erit ergo per 69 th. 1 huius cõmunis ſectio circulus: qui ſit a b d: & ducatur linea g d, utcũq contingit: & producatur linea g d ultra punctũ g ad pũctum e: in quo ſit cẽtrum uiſus in ſuperficie circuli a b d: ſitq́ pũctus t in eadẽ linea e d ultra cẽtrum ſpeculi, quod eſt pũctum g: & ducatur linea t h per 11 p 1 perpẽdiculariter ſuper lineá e d: & producatur linea h t ultra púctum t ad púctum z, do nec ſit linea z t æqualis lineę t h: comprehẽdatq́ uiſus exiſtẽs in pũcto e formã pũcti h ք reflexionẽ factá à puncto ſpeculi, quod ſit a. Erũt itaq duo pũcta a & h à duobus lateribus pũcti g: ſitq́ ita, ut ſi linea g h producatur ad peripheriam circuli in punctum p, fiat arcus a p maior quarta circuli: & erit angulus a g p obtuſus per 33 p 6. Non eſt autẽ poſsibile, ut pũcta a & h conſiſtãt in eodẽ latere pũcti g, inter diametros g d & g q, producta ſemidiametro g p in pũctum q. Nõ enim poſſet fieri reflexio, ut patet per 20 huius, niſi linea producta à pũcto g cẽtro ſpeculi ad pũctum a diuideret angulũ h a e per ęqualia. Ducantur itaq lineę e a & a h: & producta linea h g ad lineã a e, incidat ipſa in pũctũ k. Angulus itaq h a g eſt ęqualis angulo g a e per 20 th. 1 huius: & eſt punctus k locus imaginis pũcti h per 37 th. 5 huius. Sit quoq arcus b d æqualis arcui d a: quod fiet ք 26 p 3: ſi angulus d g b fiat ęqualis angulo d g a: & ducátur lineę e b, z b, g b: & producatur linea z g ad lineá b e, incidatq́ in pũctũ l: ſecetq́ linea z b ſemidiametrũ d g in pũcto f. Et quia, ut patet ex pręmiſsis, duę lineę z t & t h ſunt ęquales, & pũcta z & h ęqualẽ habẽt diſpoſitionẽ, reſpectu cẽtri, & reſpectu peripherię circuli: patet quòd lineę h a & z b interſecabũt ſemidiametrũ d g in eodẽ pũcto f. Quia itaq in trigonis t z f & h t f duo latera h t & t z ſunt ęqualia, & latus t f eſt cõmune, & anguli a d t recti: palàm ք 4 p 1 quoniã linea z f eſt ęqualis lineę h f. Sed & in trigonis a g f & b g f accidet ք candẽ 4 p 1 angulũ f a g æqualem eſſe angulo f b g, & lineá a f æqualẽ fieri lineę f b. Eſt enim ex pręmiſsis angulus a f g ęqualis angulo b g f, & lineę a g & b g ſunt ſemidiametri, cõmunis uerò ambobus trigonis a f g & b f g eſt linea f g: ergo ք 4 p 1 angulus f a g ęqualis eſt angulo f b g: ſimiliterq́ per 13 p 1 & ք eandẽ 4 p 1 linea e a ęqualis fit lineę e b, & angulus g b e ęqualis angulo g a e: ſed anguli f a g & g a e ſunt ęquales: ergo & anguli f b g & g b e ſunt ęquales: ergo angulus z b g ęqualis eſt angulo e b g. Ergo per 20 th. 5 huius for ma pũcti z reflectetur à pũcto ſpeculi, quod eſt b, ad uiſum exiſtẽtem in puncto e: & erit pũctus l locus imaginis formę pũcti z. Ducatur quo q linea k l:

quę erit diameter imaginis lineę z h. Et ꝗa linea z h eſt perpẽdicularis ſuք lineã d e, & linea z t eſt ęqualis lineę t h ex hypotheſi, & quia, ut patet ex pręmiſſis, duę lineę z f & h f ſunt ęquales, & duę lineę a f & b f ſunt ęquales: tota ergo linea z b eſt ęqualis toti li neę h a: ſed & duę lineę a e & e b ſunt ęquales: ducan tur quoq lineę e h & e z. In trigonis itaq e a h & e z b duo latera unius, quę ſunt e a & h a, ſunt æqualia duobus alterius lateribus, q̃ ſunt e b & b z: & angulus h a e eſt ęqualis angulo z b e: ergo ք 4 p 1 baſis z e eſt ęqualis baſi h e: ſimiliterq́ in trigonis z t g & h t g duo anguli ad pũctum t ſunt recti, & latus z t ęquale lateri h t, latus quoq t g eſt cõmune: ergo per 4 p 1 li nea g h eſt æqualis lineę z g: lineę uerò a g & g b ſunt ſemidiametri circuli a b d & ęquales: ergo duę lineę a g & g h ſunt æquales duabus lineis b g & g z, & baſis a h eſt æqualis baſi b z: ergo per 8 p 1 erit angulus a h k æqualis angulo b z l, & angulus h a k æqualis angulo z b l: erit ergo ք 32 p 1 angulus h k´a æqua lis angulo z l b. Trigona itaq h a k & z b l ſunt ęquiangula: ergo ք 4 p 6 erit proportio line e h k ad page 354 lineam z l, ſicut lineæ z b ad lineã h a: ſed linea z b eſt æqualis lineæ h a, ut patet ex pręmiſsis: ergo li nea h k eſt æqualis lineæ z l: ſed & linea h g eſt æqualis lineæ z g, ut ſuprà patuit: erit ergo reliquum æquale reliquo: ergo linea g k eſt æqualis lineæ g l. Quia itaq duæ lineæ z g & h g inter ſe ſunt ęqua les, & duæ lineæ g k & k l inter ſe ſunt æquales: patet ք 7 p 5 quoniá eſt proportio lineæ z g ad lineã g l, ſicut lineæ h g ad lineá g k: ſed angulus z g h & k g l ſunt ęquales ք 15 p 1: ergo ք 6 p 6 erũt trigona z g h & k g h æquiangula: angulus ergo z h k eſt æ qualis angulo l k h: ergo ք 27 p 1 lineę z h & k l ſunt æquidiſtátes: quod etiá patere poteſt ք 14 th. 1 huius Itẽ angulus h g a, ut patet ex p̃miſsis, eſt obtuſus: ergo ք 13 p 1 angulus a g k eſt acutus: duo uerò anguli h a g & g a k ſunt æquales: relin quitur ergo ք 32 p 1 angulus a k g maior angulo a h g: ergo per 19 p 1 in trigono a h k latus a h eſt maius latere a k, & duo anguli apud a ſunt æquales: ergo per 3 p 6 linea h g eſt maior  linea g k: & ſimiliter linea z g eſt maior  linea g l. Ergo linea z h eſt maior  linea k l per 4 p 6: ſed linea k l eſt diameter imaginis lineæ z h: linea ergo z h uidebitur minor  ſit ſecũdũ ueritatẽ. Si ergo reuoluerimus circulũ a b d, linea e d immobili exiſtẽte: ex duob. pũctis a & b deſcribetur circulus in ſuperficie ſpeculi: & ſicut ſe habet uiſus exiſtens in pũcto e ad rẽ uiſam, in qua eſt linea z h: ſic ſe habebit reſpectu cuiuslibet cõparis lineæ cadẽtis intra illũ circulũ, quẽ ſignant pũcta z & h reflexa ex arcu cõpari arcui a b, ex protione ſpeculi, quam diuidit circulus, quẽ ſignát duo pũcta a & b. Et ſimiliter poteſt declarari, ſi linea z h ponatur maior uel minor,  nũc eſt poſita. Vniuerſaliter enim in hoc ſitu diameter imaginis uel faciei aſpicientis cõprehenditur in ſpeculo ſphærico concauo minor  ſit: ſed etiã imago uidetur conuerſa. Si enim uiſus ſuerit in pũcto e: tũc aſpiciens cõprehendet formá ſuá in tali ſpeculo minorẽ  ſit. Et ꝗ a pũctus k eſt imago pũcti h, & pũctus l eſt imago pũcti z: erit imago cõuerſa: quoniá pars dextra uidebitur ſiniſtra, & ſiniſtra dextra: & ſimiliter ſuperior uidebitur inferior, & inferior ſuperior. Et ſimiliter etiá uiſus cõprehendet ſuá formá: quia illud, quod eſt in dextro, cõprehen det in ſiniſtro, & econuerſo: & quod deorſum eſt, cõprehendet ſurſum, & ecõuerſo. Similiter quoq ſi uiſus fuerit in quolibet qũcto, inter quod & ſuperficié ſpeculi fuerit centrũ ſpeculi: ſemper cópre hendet ſuá formã cóuerſam. Et hoc eſt propoſitũ. Ex his itaq pręmiſsis quatuor theorematibus pa tet, quòd in ſpeculis ſphæricis concauis imago rei uiſæ cõprehenditur à uiſæ quãdoq maior: quandoq minor: quãdoq æ qualis rei uiſæ: & nũc conformẽ habens ſitum ipſi rei uiſæ, & nũc cõuerſumEt quoniam, ſicut oſten dimus per 40 huius, quan doq unius rei una uidetur imago: quãdoq duæ: quandoq tres: & quandoq quatuor: illud ergo, quod habet unã imaginẽ maiorẽ ſe, forſan habebit alias minores uel æqualies: & quod habet unam imaginem ſe minorẽ, forſan habebit alias maiores uel æquales: & quod habet unã æqualẽ, forſan habebit alias maiores uel minores: & quod habet unam, cuius ſitus eſt directus compar rei uiſæ, forſan uidebitur ſub alijs imaginibus habentibus con uerſum ſitum in contrarium rei uiſæ. Et hęc omnia ex diuerſitate ſitus rei uiſæ, & ipſius uiſus, reſpe ctu punctorum reflexionis patere poſſunt ex pręmiſsis. Patet ergo propoſitum.

◉52. Lineis incidentiæ ſe interſecantibus in ſpeculis ſphæricis concauis: altitudines & proſunditates erect æ ſuper ſuperficiem ſpeculi citra punctum ſectionis exiſtẽtes: reuerſæ: quæ uerò ſunt in eiſdem lineis ultra ſectionem, quemadmodum ſunt, ſic apparent. Eucl. 11 th. catoptr.

◉Eſto ſpeculũ ſphęricũ concauũ a g: cuius centrũ q: ſintq́ duæ altitudines d e & h n erectę ſuper ſuperficiẽ ſpeculi: ſitq́ cõmunis ſectio ſuperficiei re

flexionis & ſpeculi circulus a g: reflectaturq́ forma puncti e ad uiſum (cuius centrũ ſit b) à pũcto ſpecu li, quod ſit a: & forma pũcti d à pũcto g: interſecẽtq́ ſe lineę incidentię d g & e a in pũcto z: citra quẽ pun ctũ ſectionis ſit altitudo h n: cuius pũctum h ſit in linea e a, & eius punctũn ſit in linea d g. Cum ergo omnia puncta lineæ e a reflectantur ad uiſum b à pun cto ſpeculi a: & omnia puncta lineæ d g à puncto ſpe culi g: palàm quòd forma puncti h reflectetur à puncto ſpeculi a: & forma puncti n à puncto ſpeculi g. Quia uerò lineæ h n & d e ſunt erectæ ſuper ſuperficiem ſpeculi: patet per 72 th. 1 huius quoniam quęlibet ipſarum tranſit punctum q cẽtrum ſpeculi. Producatur ergo à centro ſpeculi (quod eſt q) per lineam h n linea q n h: producaturq́ ab eodem centro q per lineam e d, linea, quæ producatur extra ſpe culum. Et quia linea q e d eſt perpendicularis ſuper ſuperficiem ſpeculi, & linea b g obliqua: patet per 14 th. 1 huius quòd lineæ e d & b g concurrent ultra ſpeculum: ſit concurſus punctus i. Palàm etiam per eandem 14 th. 1 huius quoniam linea q n h producta concurret cum linea b g i: ſit concurſus punctus p: & linea b a concurrat cum linea q h in puncto l: & cum linea q i in puncto c. Manifeſtum page 355 autem per 37 th. 5 huius quoniam locus imaginis formæ puncti h erit in puncto l: & locus imaginig formæ puncti n erit in puncto p. Erit ergo linea l p imago totius lineæ h n. Habet autem imago l p ſitum reuerſum, reſpectu ſitus lineę h n: quoniam pun ctus h eſt altior puncto n, & punctus l, qui eſt imago puncti h, eſt baſsior puncto p, qui eſt imago puncti n. Punctus uerò i eſt locus imaginis puncti d: & punctus c eſt locus imaginis puncti e. Et quia punctus i eſt altior puncto c, ſicut punctus d eſt altior ipſo puncto e: palàm quoniam imago lineę d e (quæ eſt linea i c) con formem ſituationem habet ipſi lineæ d e, cuius ipſa eſt imago: quoniam imago ſituata apparet, ſicut ſe habet ipſa res uiſa. Et hoc eſt propoſitũ de altitudinibus. De profunditatibus uerò idem patet: ut ſi lineæ h n & d e quędam profunditates ponantur eſſe: tunc enim eadẽ eſt demõſtratio. Apparet enim profunditas h n reuerſa, & profunditas d e quemadmodum eſt diſpoſita, ſic apparet. Hoc itaq eſt propoſitum. Si uerò ambę lineę d e & h n eſſent ex una quacunq parte ſectionis linea rum incidentiæ, fieret ſuarum imaginum conformis ſituatio: ut patet per præmiſſa.

◉53. Lineis incidentiæ ſe interſecantib. in ſpeculis ſphæricis concauis: obliquæ longitudinis citr a punctum ſectionis exiſtentes, quem admodum ſunt, ſic apparent: earum uerò, quæ ſunt ultra ſectionem in eiſdem lineis, uidentur imagines reuerſæ. Euclides 12 th. catoptr.

◉Sit ſpeculum ſphæricum concauum a g: cuius centrum m: & ſit centrum uiſus b: & ſit linea d e obliqua ſuper ſuperficiem ſpeculi: cuius puncti d forma reflectatur ad uiſum b à puncto ſpeculi, quod eſt a: formaq́ puncti e à puncto g: & lineæ incidentiæ (quæ ſunt d a & e g) interſecẽt ſe in pũcto i: ſitq́ citra punctum i linea obliquè incidẽs ſuperficiei

ſpeculi, quęſit k c, cuius punctus k reflectatur à puncto ſpe culi g, & punctus c à puncto ſpeculi a. Ducatur itaq linea d m à puncto d ad centrum ſpeculi, quę (propter obliqui tatẽ lineę b a ſuper ſuperficiẽ ſpeculi, cũ linea d m ſit perpẽ dicularis ſuper eandem ſpeculi ſuperficiem per 72 th. 1 huius: ideo quia tranſit centrum ſpeculi, quod eſt m) concur ret cum linea b a obliquè ſuperficiei ſpeculi incidente, ut patere poteſt per 14 th. 1 huius: ſit concurſus in puncto l. Similiter quoq linea e m concurret cum linea b g: ſit pun ctum concurſus n. Palàm ergo per 37 th. 5 huius quoniam in puncto l eſt imago formæ puncti d, & in puncto n imago formæ puncti e: ducaturq́ linea n l: quæ erit imago totius lineæ d e. Habet quoque imago n l reuerſè ſe ad ſitum lineę d e: quoniã punctus n, qui eſt imago puncti e baſsioris, eſt altior puncto l, qui eſt imago puncti d altioris. Producatur quo que linea m k donec concurrat cum linea b g producta: concurret autem propter obliquitatẽ lineæ b g ſuper ſuperficiem ſpeculi, & propter perpendicularitatẽ li neę m k: ſit concurſus punctus f: & producatur linea m c donec cõcurrat cũ linea b a producta: & ſit punctus cõcur ſus s: copuleturq́ linea f s: erit ergo linea f s imago lineæ k c: & ſicut punctũ k eſt altius puncto c, ſic erit punctũ f altius puncto s. Eſt ita q imago f s cõformẽ habens ſitũ ipſi rei uiſæ, quę eſt k c, occurrens ſpeculo citra punctum ſectionis linearũ incidentię, qui eſt i. Patet ergo propoſitũ.

◉54. In ſpeculis ſphæricis concauis uiſus in quibuſdam ſitibus cõprehendit lineæ rect æ uiſæ ima ginem plenè rectam. Alhaz. 45 n 6.

◉Sit ſpeculũ ſphęricũ concauũ a b: cuius cẽtrũ e: ſecetruq́ ք ſuperficiẽ planã ք centrũ: erit ergo ք. 69 th. 1 huius cõmunis ſectio circulus magnus, qui ſit a b: & eius centrũ e: ducanturq́ duę diametri huius circuli, quę ſunt a e o & b e d: & ſpeculũ non excedat arcũ b a d o: aſſumaturq́ in ſemidiametro b e, quicũq pũctus placuerit: & ſit z: in quo ponatur cẽtrũ uiſus: & ſumatur in ſemidiametro a e punctus k, taliter, ut linea a k ſit maior  linea k e: & ducatur linea z k: & ꝓtrahatur ad circũferentiã, incidatq́ in punctũ f: & ducatur linea e f: & ſuք f terminũ lineę e f conſtituatur angulus æ qualis an page 356 gulo z f e ք 23 p 1, qui ſit angulus g f e, ducta linea g f: cuius pũctus g cadetin ſemidiametrũ o e. Quia enim linea f k eſt maior  linea k a per 7 p 3, & linea k a eſt maior  k e exhypotheſi: erit linea f k maior  linea k e: ergo per 18 p 1 angulus f e k maior eſt angulo e f k: eſt ergo angulus f e k maior angulo e f g: linea ergo f g per 14 th. 1 huius concurret cũ linea g e: cõcurrat ergo in puncto g. Duarum ergo linearũ z ſ & ſ g puncta reflectuntur ad ſe inuicem à puncto ſpeculi, quod eſt f, propter angulorũ æqualitatem per 20 th. 5 huius. Eſt ergo punctus k imago puncti g centro uiſus exiſtente in puncto z. Ducatur itaq linea z h ſecans diametrũ o a in pun

cto l, & peripheriã circuli in pũcto h, utcunq cõtin git: ducáturq́ lineę e h, h g, z g: & protrahatur linea f e ſuք lineã z g: incidatq́ in punctũ m: ergo ք 3 p 6 erit proportio lineę z m ad lineã m g, ſicut lineę z f ad lineã f g: ſed ք 7 p 3 linea z h eſt maior  linea z f, & linea g h eſt min or  linea g ſ per eandẽ 7 p 3: ergo per 9 th. 1 huius maior eſt proportio lineę z h ad lineam g h, quã lineæ z f ad f g: eſt ergo ꝓportio lineæ z h ad lineã g h maior quã lineę z m ad lineam m g. Ergo ք 3 p 6 linea, quæ diuidit angulum z h g per ęqualia, ſecat lineam m g: ſecat ergo prius lineã e g per 32 th. 1 huius: quoniã linea e g eſt uicinior ad punctũ h quã linea m g: maior erit ergo angulus g h e angulo e h z, argumẽto 29 th. 1 huius, & ex præmiſsis. Ponamus ergo angulũ e h r ęqualẽ angulo e h z: linea ergo h r ſecat lineá g f, & ſecat lineã g e ք 29 th. 1 huius: ſecet ergo g e in pũcto r: & ſecet linea h z ſemidiametrũ e a in puncto l. Pũcta ergo duarũ linearũ z h & h r refle ctũtur adinuicẽ propter ęqualitatẽ angulorũ r h e, e h z: fietq́ reflexio à puncto ſpeculi, quod eſt h, ք 20 th. 5 huius: & erit l pũctus imago puncti r. Palã uerò quoniã forma cuiuslibet puncti lineę g r reflectitur ad uiſum in punctum z, ex aliquo puncto arcus f h, & nõ ex alio ք 42 huius. Sumatur itaq aliꝗs punctus lineę g r, ꝗ ſit c, & hic refle ctatur ab aliquo puncto arcus f h, qui ſit t: & ducãtur lineę c t & z t. Quia ergo pũctus t eſt inter duo puncta f & h arcus f h: palã quia linea z t cadet inter duas lineas z f & z h: linea ergo z t ք 29 th. 1 huius ſecat lineã k l: ſecet ergo in puncto i. Eſt ergo per 37 th. 5 huius punctus i imago formæ puncti c: & pũctus c nõ habet aliã imaginẽ niſi punctũ i, quoniã tãtũ ab uno puncto arcus f h fit reflexio formę pũcti c ad uiſum exiſtentẽ in pũcto z, ut patet ք 19 uel ք 27 huius. Imago itaq cuiusli bet puncti lineę gr erit in aliquo puncto lineę k l: eſt ergo tota linea k l imago formę totius lineę g r: & eſt recta: quia eſt pars ſemidiametri circuli a e. Viſus ergo exiſtẽs in puncto z cõprehẽdit formã li neę rectę, quę eſt g r, imaginẽ l k rectã exiſtentẽ in ſpeculo ſphęrico cõcauo a b. Et hoc eſt propoſitũ.

◉55. In ſpeculis ſphœricis cõcauis cõprebendet uiſus ex quibuſdã ſitib. imaginẽ lineœ cõuexœ cõuexam, & cõcauœ concauã: erit́ lineæ, cuius cõuexitas reſpicit ſpeculũ, imago cõuexa reſpiciẽs uiſum: & lineœ, cuius cõcauit as reſpicit ſpeculũ, imago concauareſpiciẽs uiſum. Alhazen 46 n 6.

◉Sit diſpoſitio, quæ in proxima præcedente: conſtituanturq́ ſuper lineam g r à duobus ſuis lateribus duo arcus, utcun q contigerit: qui ſint g n r & g q r: & ſit arcus g n r non ſecás lineam g h: & po natur in linea recta g r punctũ m, quomodocunq ſit

illud. Forma itaq puncti m reflectitur ad uiſum z ex aliquo puncto arcus f h per 42 huius: ſit itaq, ut refle ctatur ex puncto t & ducantur lineę z t, e t, m t: duo itaq anguli z t e & e t m ſunt ęquales per 20 th. 5 hu ius. Linea ergo m t ſecabit arcum g n r: ſit, ut ſecetipſum in puncto n: & producatur linea t m uerſus arcũ g q r: ſecetq́ illũ in puncto q: & ducatur linea n e: producaturq́ ultra punctũ e: ſecabit ergo lineam z t ſub linea k l ք 29 th. 1 huius: quoniam ſecat angulum k e z, cui ſubtẽditur pars lineę t z: ſecet ergo illam in puncto i. Quia ergo duo anguli z t e & n t e ſunt æquales: patet per 20 th. 5 huius quòd forma puncti n reflectitur ad uiſum z à puncto ſpeculi t. Eſt ergo palàm per 37 th. 5 huius quoniam punctus i eſt locusimaginis formę puncti n: & duo puncta k & l ſunt imagines duorũ punctorũ g & r, ut patuit per præ miſſam. Imago ergo arcus g n r eſt linea tranſiens per puncta k i l: ſed linea k i l eſt conuexa ex parte uiſus z: & arcus g n r eſt conuexus ex parte ſpeculi. Viſus itaque exiſtens in puncto z comprehendet formam lineę g n r conuexæ conuexam lineam. Ducatur quoque linea q e: & producatur ultra punctum e: ſecabit quoque lineam z t ultra lineam l k per 29 th. 1 huius: quoniam ſecat angulum t e k: ſecet ergo in puncto p. Et quia anguli p t e & q t e ſunt æ quales: patet per 20 th. 5 huius quoniã à puncto ſpeculi, quod eſt t, reflectetur ſorma puncti q ad uiſum z: & locus imaginis formæ puncti q eſt punctus p: & erit, ut ſuperà, linea l p q ex parte uiſus concaua: & ipſa eſt imago arcus g q r page 357 concaui ex parte ſpeculi. Comprehendet ergo uiſus in puncto z exiſtens formam arcus g q r conca ui lineam concauam. Et hoc eſt propoſitum.

◉56. In ſpeculis ſphœricis concauis comprehendet uiſus ex quibuſdam ſitibus lineœ rectœ imagines quatuor curuas: lineœ́ curuœ, cuius conuexitas ect ad ſpeculum, imaginem comprehendit curuam: omnium́ harum imaginum concauit as reſpiciens eſt ad uiſum. Alhazen 47 n 6.

◉Sit ſpeculum ſphęricum concauum, in quo ſit circulus maximus, qui a b d: cuius centrum g: & extrahatur à centro g ſemidiameter g b, utcunq contingit: quę diuidatur per inęqualia in puncto t taliter, ut linea g t ſit maior medietate lineę b g: & à puncto t ducatur linea t z perpendiculariter ſuք lineam g b per 11 p 1: & producatur linea z t ultra pũctũ t ad punctũ e: fiantq́ lineę z t & e t utręq æquales lineę t g per 3 p 1: & ducantur lineæ g e & g z: & trigono e g z circumſcribatur circulus per 5 p 4: eritq́ centrum illius circuli punctus t per 9 p 3. Et quia linea t g maior eſt quã linea t b: palàm quoniam ille circulus ſecabit circulum a b d: in duobus ergo pũctis illum ſecabit per 10 p 3: ſint itaq illa duo puncta a & d. Ducantur quoque lineæ g a, g d, e a, e b, e d, z a, z b, z d. Quia ergo duæ lineæ e t & t z ſunt æ quales, & anguli ad punctum t ſunt recti, & linea t g communis: erunt per 4 p 1 duę lineę e g & z g æ quales: & ſimiliter per eandem 4 p 1 duæ lineæ e b & z b ſunt æ quales: ergo per 28 p 3 duo arcus e g & g z ſunt æ quales: ergo per 27 p 3 angulus e a g eſt æ qualis angulo g a z: & angulus e d g æqualis eſt angulo g d z: & angulus e b g æqualis angulo g b z: quoniam omnes illi anguli caduntin eoſdem arcus. Forma ergo puncti z reflectitur ad punctum e à punctis ſpeculi a & d & b, uel econuerſo per 20 th. 5 huius. Et quia linea g t eſt maior quàm linea t b: duæ uerò lineæ e b & z e ad inuicem, & duę lineę e g & z g adinuicem ſunt æquales per 4 p 11: palàm per 47 p 1 quoniam linea g e eſt maior quàm linea b e. Quadratum enim lineæ g e ualet ambo quadrata linearum g t & t e, & quadratum lineæ e b ualet ambo quadrata linearum e t & t b: ablato ergo quadrato lineæ t e communi, relinquitur quadratum lineę g e maius quadrato lineæ e b: quoniam linea g t eſt maior quàm linea t b. Ergo linea g e eſt maior quàm linea e b in trigono g e b, &, ut patet per 18 p 1, angulus g b e eſt maior angulo e g b: ſed angulus e g b eſt medietas unius recti per 5 & per 32 p 1: duo ergo anguli, qui b g e & e b g, ſimul ſum pti ſunt maiores recto: ergo angulus b e g eſt minor recto per 32 p 1: ſed angulus e g z eſt rectus per 31 p 3: & ideo quoniam anguli e g t & t g z ſunt duę medietates unius recti: ergo per 14 th. 1 huius duæ lineæ e b & g z

productę concurrent extra circulum: ſit earũ con curſus pũctus l. Et quia linea e d eſt intra triangu lum l e g: palàm quoniam i pſa producta concurret cum linea g l per 29 th. 1 huius: concurrant ergo in puncto m. Et quia linea g b tranſit per punctum t, quod eſt centrum circuli e g z: linea uerò a g ducitur extra illam à centro ad peripheriã: palã quia portio a e g eſt minor ſemicirculo: ergo ք 31 p 3 angulus a e g eſt obtuſus, & angulus e g z eſt rectus: ergo per 14 th. 1 huius illæ duę lineæ a e & z g concurrent in partem lineæ e g: concurrant er go in puncto f. Si itaq uiſus fuerit in puncto e, & punctus z in aliquo uiſibili: tunc tria puncta m, l, f erunt imagines puncti z. Sic ergo punctus z com prehenditur in tribus locis: quoniam à tribus pũctis ſpeculi, quæ ſunt a, b, d fit reflexio formæ pun cti ipſius z ad uiſum e. Item protrahatur à pũcto e linea ſuper arcum d z, utcunq contingat, quæ ſit linea e k: & ducatur linea g k, quæ ſecet arcum d z in puncto k: & ducatur linea z k. Quia ergo arcus e g & g z ſunt æ quales: erunt duo anguli e k g & g k z æ quales per 27 p 3: producaturq́ linea g k ad circumferentiam circuli a b d: incidatq́ in punctũ r: & ducantur lineę er & z r. Et quoniam angulus e k g eſt æ qualis angulo g k z, erit angulus e k r æqualis angulo z k r per 13 p 1: erit ergo angulus e r k maior angulo k r z. Si enim ſit æ qualis: tunc per 32 p 1 & 4 p 6 ſequitur lineam e k æ qualem eſſe lineæ z k, & arcũ z k ęqualẽ eſſe arcui e a k: quod eſt contra præmiſſa: eſt enim arcus ea ęqualis arcui d z. Quòd ſi angulus e r k ſit minor angulo z r k: erit ergo ex pręmiſsis angulus r e k maior angulo k z r: reſecetur ergo angulus r e k ad ęqualitatẽ anguli r z k ք 27 th. 1 huius: & ſequetur idẽ impoſsibile q prius, ꝓducta illa linea ad lineã r k: reſtat er go ut angulus e r g ſit maior angulo g r z. Fiat ergo ք 23 p 1 ſuք pũctũ r terminũ lineę g r angulus g r n page 358 æqualis angulo e r g: cadetq́ punctus n in lineam z m per 29 th. 1 huius: duæ ergo lineę e r & r n à pũ cto ſpeculi (quod eſtr) reflectentur ad ſe inuicem per 20 th. 5 huius, propter æqualitatem angulorũ ad punctum r. Producatur quoq linea e r ad lineam g m: concurret autem cum illa per 14 th. 1 huius: ſitq́ punctus concurſus q: erit ergo punctus q imago formæ puncti n, reſpectu uiſus e. Imaginemur ergo ſuperficiem exeuntem à linea m g f, quæ ſit perpendiculariter erecta ſuper ſuperficiem cir culi a b d: & extrahatur à puncto z linea in hac ſuperficie, quæ ſit perpendicularis ſuper lineam g z: & tranſeat in utranque partem ſuperficiei circuli a b d: ſitq́ linea c z p. Poſito itaque puncto g centro circuli fiat arcus circuli ſecundum quantitatem lineæ g n, qui ſit c n p: ſecans lineam c z p in duo bus punctis c & p: & producantur lineę g c & g p: erunt ergo iſtę lineæ in ſuperficie perpendiculari ſuper ſuperficiem a b d per 2 p 11. Producantur item lineę g c & g p ultra puncta c & p extra ſpeculum: & ſuper centrum g ſecundum longitudinem lineę g q in ſuperficie tranſeunte lineam m g f, ſecante circulum, in qua ſunt lineæ g c & g p, fiat arcus circuli. Hic ergo iterum ſecabit duas lineas g c & g p productas: ſecet ergo lineam g c in puncto s, & lineam g p in puncto o. Quia ergo ſuperficies circuli a b d eſt perpendiculariter erecta ſuper ſuperficiem duarum linearũ g c & g p: palàm per defi nitionem quoniam duo anguli e g s & e g o erunt recti: linea ergo e g erit erecta ſuper ſuperficiẽ g c p: ergo per 18 p 11 erit utraq ſuperficierum, quæ ſunt e g s & e g o, perpendicularis ſuper ſuperficiẽ s g o, & utra que iſtarum ſuperficierum facit in ſpeculo circulum magnum comparem circulo a b d per 69 th. 1 huius: punctum ergo circuli, quem facit ſuperficies e g s, quod eſt compar puncto circuli a b d ſcilicet puncto r, eundem habet ſitum reſpectu centri ipſius ſpeculi, quod eſt g, & reſpectu ui ſus, qui eſt in puncto e, quem habet punctum r. Concurrunt ergo exipſo ſecundum angulos ęquales duę lineę inter duo puncta e & c: & ſimiliter accidit inter duo pũcta e & p: & lineæ g c & g p ſunt æ quales per definitionem circuli: & ſimiliter lineæ g s, g q, g o ſunt æ quales per definitionem circuli: & punctus q eſt imago puncti n: & punctus s eſt imago puncti c: & punctus o eſt imago puncti p. Imago ergo arcus c n p conuexi ex parte ſpeculi eſt arcus s q o concauus ex parte uiſus: & punctus l eſt imago formæ puncti z: & duo puncta s & o ſunt imagines formarum duorum punctorum c & p: imago ergo lineę rectæ, quę eſt c z p, eſt linea curua, tranſiens pertria puncta s, l, o: hęc autem linea s l o eſt concaua ex parte uiſus. Ducatur itaque linea tranſiens per puncta s, l, o: & extrahatur linea e g ad circumferentiam circuli a b d in punctum h. Si ergo ſpeculum non peruenit ad duo pun cta b & h, ſed alter duorum ſuorum terminorum fueritinter duo puncta b & d, & reliquus fuerit infra punctum h, & uiſus fuerit in puncto e, & duę lineę p z crecta, & p n c conuexa ex parte ſpenculi, fuerint in aliquo uiſibili: tunc forma lineæ p z c rectę apparebit concaua, ſcilicet s l o: & forma lineę p n c conuexæ reſpectu ſpeculi erit concaua uiſui occurrẽs, ſcilicet s q o. Et forma lineę p z c unã tan tũ habebit imaginẽ: & arcus p n c tantũ unã. Item producatur linea b g ultra punctũ g ad aliã partẽ peripherię circuli ad punctũ i: & producantur lineę e i & e z: erit ergo ex pręmiſsis, & per 4 p 1 angu lus b i e ęqualis angulo b i z: ergo ք 20 th. 5 huius reflectetur forma pũcti z ad uiſum in punctum e à puncto ſpeculi, quod eſt i; & linea e i ſecabit lineã f g: ſecet ergo in puncto u: eritq́ punctus u imago formę pũcti z reflexæ à pũcto ſpeculi, quod eſt i. Pũcta ergo quatuor, quę ſunt m, l, u, f ſunt loca ima ginũ formæ puncti z. Et ſi ſpeculũ exceſſerit duo puncta a & d, & uiſus fuerit in pũcto e, & dorſum aſpicientis ſuerit ex parte arcus a i, & uiſus cõprehenderit totum arcũ i d a: tunc punctũ z uidebitur in quatuor locis, ſcilicet in punctis m, l, u, f: & uidebuntur duo puncta lineę rectæ p z c uel arcus p c in duobus punctis s & o: & ſiclinea recta p z c habebit quatuor imagines concauas: & una tranſit ք puncta s, m, o: & ſecunda pertranſit puncta s, l, o: tertia pertrãſit pũcta s, u, o: & quarta pertrãſit puncta s, f, o ſcilicet lineam s f o. In his tamen omnib. imaginibus ſemper cõcauitas imaginis reſpicit ui ſum. Patet ergo propoſitum. Patet quoq quòd imagines eiuſdem lineę rectę, ut patet nunc in linea p z c, fiunt diuerſę curuitatis maioris & minoris: & fit principium formæ monſtruoſæ.

◉57. In ſpeculis ſphœricis concauis uiſus in quibuſdam ſitibus comprehendet lineœ rectœ imaginem conuexam, conuexitate uiſum reſpiciente. Alhazen 49 n 6.

◉Sit circulus magnus ſpeculi ſphærici concaui, qui a b g: cuius centrum d: & ducatur ſemidiameter d g, ut contingit: in qua ſituetur linea recta, quæ ſit o u: & ſit punctum o remotius à centro ſpecu li d, & u propinquius illi: & ſuper hanc ſemidiametrum d g ducatur perpen diculariter linea, quæ ſit d h: in cuius puncto h ſit centrũ uiſus: & ſit linea h d erecta ſuper ſuperficiem circuli a b g: ſitq́ linea h d minor ſemidiametro ſpeculi ſecun dũ diſpoſitionẽ lineę h d, quę aſſumpta fuit in 43 huius, ad cu ius modum & cętera referuntur: reflectaturq́ forma puncti o, quod eſt rem otius à cẽtro ſpeculi, ad uiſum in punctũ h à puncto ſpeculi b: ſitq́ locus imaginis pũctus q: & producatur ſemidiameter d g in punctum q, ut ſit linea d q: refle ctaturq́ forma puncti u ad uiſum exiſtentẽ in puncto h à puncto ſpeculi, quod eſt f: & locus imaginis eius ſit punctum n. Et quia puncta o & u ſunt in ſemidiametro d g: erũt loca imaginũ, quę ſint puncta q & n, in eadem ſemidiametro producta, quæ erit linea d u o n q: ſitq́ quantitas linearũ d q, d u, d n, d o illis omnino ęqualis, quę ſunt aſſumptę in 43 huius: & erit linea h d perpendicularis ſuper lineam d q, ut patet ex præmiſsis: eſt enim ipſa perpendicularis ſuper ſuperficiem circuli: eſtq́ linea d h æqualis illi lineæ d h, quæ in figura 43 huius. Angulus ergo h d q eſt rectus: eritq́ communis ſectio ſuperficiei planæ, in qua ſunt lineę h d & d q, & ſuperficiei ſpe culi circulus, cuius arcus interiacens lineas d h & d q per 20 huius eſt arcus, ex quo fit reflexio formarum, quarum imagines ſunt in punctis q & n: & erit arcus ille æ qualis arcui a g aſſumpto in 43 page 359 huius: & ex duobus punctis illius arcus ſimilibus duobus punctis b & f in 43 huius fit ab hoc arcu illa reflexio ſormarum duorum punctorum, quæ ſunt u & o: erit ergo q imago puncti o, & n imago puncti u. Ducatur ergo à puncto u in ſuperficie cir

culi a b g recta perpendicularis ſuper lineam d u: quæ ſit z u e: & à centro d ſecundum longitudinẽ ſemidiametri d o fiat circulus: hic ergo circulus ſe cabit lineã z u e in duobus pũctis per 2 p 3: ſecet er go in punctis z & e: fiatq́ arcus circuli ſecundum quantitatem lineæ d q à centro d: & ducantur à cẽ tro ſpeculi d lineæ d z, d e: & producãtur extra ſpe culum ad arcum circuli deſcripti à centro d ſecun dum quantitatem ſemidiametri d q: & ſint d t, d k: & ducatur linea t k: ſecetq́ lineam d q in puncto l. Quia ergo linea h d eſt perpendicularis ſuper ſuperficiem circuli, palàm per definitionem lineæ erectæ quoniam uterque angulus h d t, h d k eſt rectus: & utraq ſuperficies h d t & h d k in ſuperficie ſpeculi continet arcũ interiacentẽ lineas h d & d t, & lineas h d & d k per 69 th. 1 huius: quorũ arcuũ quilibet eſt ęqualis arcui, qui eſt inter duas lineas h d & d q: & utraq linearum d z & d e eſt ęqualis lineæ d o: quoniã omnes ſunt ſemidiametri eiuſdẽ circuli. Illi ergo duo arcus ſunt huiuſmodi, quòd exillis poſsibile eſt fieri reflexionẽ formarũ duorum punctorum, quæ ſunt z & e, ab aliquibus pun ctis illorum arcuum, ut patet per 20 huius. Interia cent enim illi arcus ſemidiametros ſpeculi, in quibus conſiſtunt centrum uiſus, quod eſt in puncto h, & puncta, quorum formæ reflectũtur, quæ ſunt e & z: incidentq́ formæ eorum illis punctis illorũ arcuum, & reflectentur ad uiſum in punctum h ſecundum angulos ęquales à duobus punctis ſpecu li: & duę lineæ d t & d k ſunt æ quales lineę d q: ergo punctum t eſt locus imaginis puncti z, & punctum k eſt locus imaginis puncti e. Et quia lineæ d t, d q, d k ſunt æ quales, & lineę d z, d o, d e æ quales, erit per 7 p 5 proportio lineæ d t ad lineã d z, ſicut lineæ d q ad lineam d o, & ſicut lineæ k d ad lineam d e: ſed per 43 huius proportio lineę d q a d lineam d o eſt maior proportione lineę d n ad lineam d u: ergo ſimiliter proportio lineę k d ad lineã d e eſt maior proportione lineę n d ad lineã d u: & ſimiliter proportio lineę d t ad lineam d z eſt maior proportione lineæ d n a d lineam d u. Et quia duę lineę d e & z d ſunt æ quales, & duæ lineæ d t & d k ſunt æquales: erit per 7 p 5 proportio lineę d t a d lineã d z, ſicut lineę d k ad lineã d e: ergo per 17 p 5 erit proportio lineæ t z ad lineam z d, ſicut lineæ k e ad lineam d e: ergo per 2 p 6 linea t k eſt ęquidiſtans lineę ez: erit ergo per eandem 2 p 6 & per 18 p 5 proportio lineę l d ad lineam d u, ſicut lineę d k ad lineam d e, & ſicut lineę d t ad lineam d z: proportio ergo lineę l d ad lineẽ d u eſt maior proportione lineę n d ad lineam d u: ergo per 10 p 5 linea l d eſt maior quàm linea n d: ergo punctus n eſt inter puncta l & u: ſed punctus n eſt imago puncti u: & duo puncta t & k ſunt imagines duorũ punctorũ z & e: ergo imago lineę z u e rectæ eſt linea tranſiens per tria puncta t, n, k: linea uerò pertranſiens hæc puncta eſt conuexa. Patet ergo quòd imago lineę z e rectę uidebitur in hoc ſitu conuexa. Et hoc eſt propoſitum.

◉58. In quibuſdam ſitibus reflexione facta à ſpeculis ſphœricis concauis, uiſus comprehendet imaginem concauam reflexam ex linea concaua uel conuexa. Alhazen 50 n 6.

◉Sit diſpoſitio omnino, quę in pręcedente. Quia itaq, ut patet in præmiſſa, imago formæ puncti o eſt punctum q, & imago formę puncti z eſt punctum t, & imago ſormæ puncti e eſt punctũ k: erit ergo linea concaua reſpectu uiſus, quæ eſt t q k, imago lineę curuę reſpectu uiſus, conuexę tamen reſpectu ſpeculi, quæ eſt linea z o e. Similiter quoq, ſi in linea z u ſignetur punctum m, qualitercunq hoc contingat: & circa centrum m ſecundum longitudinẽ ſemidiametri m u deſcribatur arcus parui circuli, qui ſit r u ſ: hic ergo arcus ſecabit circulum z o e in duobus punctis per 10 p 3: ſint illa duo puncta f & r: & ducantur lineæ d r & d f: quę protrahantur uſque ad arcum t q k eductum: incidatq́ linea d f in punctum i, & linea d r in punctum p. Superficies ergo duarum linearũ h d & d p ſecabit ſpeculum ſecundum circulum, à cuius circum ſerentię puncto aliquo duci poterunt ſecundũ angulos ęquales & ęqualiter ſe habentes lineę ad punctum h, in quo eſt centrũ uiſus, & a d punctũ r, qui eſt punctus lineę uiſæ. Et ſimiliter ſuperficies duarum linearum h d & d i ſaciet in ſpeculo circulũ, à cuius circumſerentia reflectetur ad uiſum ſorma puncti ſarcus r u f. Eſt ergo punctus p imago for page 360 mæ puncti r: & punctus i imago formæ puncti f: & punctus n eſt imago formæ puncti u. Imago itaque arcus r u f eſt linea tranſiens per puncta i p n:

ſed hæc linea i p n eſt concaua reſpectu uiſus, & ar cus r u f eſt concauus ex parte ſuperficiei ſpeculi, & cõuexus ex parte uiſus. Cum ergo uiſus fuerit in puncto h, & linea r u f conuexa cum fuerit in ali quo uiſibili: cõprehendetur imago eius concaua: & linea z o e cõuexa cõprehenditur ſimiliter imaginis cõcauę. Si ergo unaquęq duarum linearũ, quę ſunt z o e & r u f, habuerit unã imaginem: erit forma illarum imaginum ſecundũ modũ declaratum. Et ſi aliqua ipſarum plures habuerit imagines: fortè accidet diuerſitas ſitus in illis imaginib. ut ſuprà diximus. Patet ergo propoſitum. Palàm itaq ex his præmiſsis quinq theorematib. quòd lineæ rectę imago in ſpeculis ſphęricis concauis quandoq cõprehenditur recta: quãdoq cõuexa: & quandoq cõcaua: & imago lineæ cõuexę quan doq uidetur cõuexa: quãdoq concaua: & lineæ concauæ imago quandoq uidetur cõuexa: quandoq cõcaua. Formę ergo ſuperficierum uiſibiliũ cõprehenduntur aliter  ſint in his ſpeculis: nam lineę rectę non ſunt, niſi in ſuperficieb. planis. Cũ ergo lineæ rectæ cõprehen duntur cõuexę uel cõcauę: tunc ſuperficies plana cõprehẽditur cõuexa uel concaua. Cũ ita q uiſus cõprehen dit lineas re ctas cõuexas uel cõcauas aliter,  ſint: cõprehendit ſuperficies, in quibus ſunt illę lineę aliter, quã ſint: & ſimiliter eſt de lineis cõuexis & cõcauis reſpectu illarum ſuperficierum. Et per hoc patet ratio & cauſſa aliorum multorum errorũ, qui ex mo dis talium uiſibilium accidunt in uiſu.

◉59. In concauis ſphœricis ſpeculis à duobus uidentibus ſecundum aliquem ſitum res una uiſa unum habebit idolum, ſecundum alium uerò plura.

◉Sit ſpeculum ſphæricum concauum: cuius cõmunis ſectio cum ſuperficie reflexionis ſit circulus e b h: cuius diameter ſit e h: centrum uerò p: & ducatur linea a b perpendiculariter ſuper ſuperficiẽ ſpeculi. Palàm ergo per 72 th. 1 huius quoniam ipſa tranſit per centrum ſpeculi, quod eſt punctum p: & producatur ultra ſpeculum: ſitq́ a b l, ſecans diametrum e h perpendiculariter in centro p: & in diametro e h ſignentur duo puncta æqualiter diſtantia à cẽtro p: quæ ſintg & f: erit ergo linea g p æqualis lineæ p f. Et à punctis g & f ducãtur duę lineę

ad circumferentiam æquales, quę angulos acutos cõ tineant cum diametro e h, reſpectu centri p, & lineæ a p b: quod fiet auxilio 33 p 3, ſi ex utraq parte pũcti b arcus æ quales a b ſcindantur parui, quorũ chordę ſint minores quàm lineæ g p & p f, qui ſint arcus d b, t b: & ad puncta t & d ducantur lineę, quę ſint g d & ft. Et quia arcus b t & b d ſunt æquales, & arcus b h & b e ęquales, remanent arcus t h & d e ęquales: eruntq́ an guli portionis, qui ſunt g d e & f t h, inter ſe æquales per 43 th. 1 huius. Et à puncto d ducatur linea contingens circulum per 17 p 3, quæ ſit d q: & ſimiliter à pun cto t ducatur linea circulum contingens, quæ ſit t m: producanturq́ illę lineę contingentes ad diametrum a l, & concurrent in puncto uno per 59 th. 1 huius: ſit concurſus punctus r. Et quoniam per 16 p 3 anguli contingentiæ, qui ſunt q d e & m t h ſunt æquales, & anguli portionis, qui ſunt g d e & f t h, ſunt æquales: erit totus angulus q d g æqualis toti angulo m t f. Super punctum itaq d terminum lineę r d conſtituatur angulus æqualis angulo q d g per 23 p 1, qui ſit r d k: linea quoque d k producta concurret cum linea a b per 14 th. 1 huius: ſit concurſus punctus k: & ſuper punctum t terminum lineæ r t conſtituatur an page 361 gulus æqualis angulo r d k, qui ſit r t k: concurrent enim illæ lineæ ambæ in uno puncto diametri, quod eſt k: quia cum angulus r t k ſit æqualis angulo r d k per præmiſſa, & angulus k r t ſit æqualis angulo k r d per 59 th. 1 huius. trigoni ergo d k r & t k r ſunt æquianguli per 32 p 1: ergo per 4 p 6 late ra illorum trigonorum ſunt proportionalia. Sed linea r t æqualis eſt lineæ d r per 58 th. 1 huius: erit ergo linea k r æqualis ſibijpſi: concurrent ergo lineæ d k & t k in puncto uno diametri b p, quod eſt k. Poſitis itaq duobus oculis diuerſorũ uidentiũ in punctis g & f, & puncto rei uiſę in puncto k: tũc forma pũcti k uidebitur ab utroq uiſuũ reflexa à duobus pũctis ſpeculi d & t. Sed & idolũ eius uidebitur unũ & in eodẽloco. Producátur enim lineę g d & f t extra circulũ: cõcurrẽt itaq ambę cũ diametro a b ꝓducta ք 14 th. 1 huius: quonia anguli g p b & f p b ſunt recti, & anguli p g d & p ſ tacu ti, ut patet expręmiſsis: cõcurrat ergo linea g d cũ linea a b in puncto l. Dico quod linea ft cócurret cũ eadem linea a b in eodẽ puncto l. Cum enim angulus q d g ſit æqualis angulo f t m, ut ſuprà patuit, & angulus r d l ſit æqualis angulo g d q per 15 p 1, & angulus r t l æqualis angulo f t m: erit angulus r d l æqualis angulo r t l: ſed & angulus t r b eſt æqualis angulo b r d per 59 th. 1 huius: ergo per 13 p 1 angulus t r l eſt æqualis angulo d r l: ergo per 32 p 1 trigoni t r l & d r l ſunt æquianguli. Ergo cũ linea tr ſit æqualis lineæ r d per 58th. 1 huius: erit per 4 p 6 linea r l æqualis ſibijpſi, & linea t l æqua lis lineæ d l. In uno ergo puncto diametri a b l concurrent lineæ t l & d l: & hoc eſt punctum l. Patet ergo cum per 37 th. 5 huius punctus l ſit locus imaginis formæ puncti rei uiſæ, qui eſt k, quòd am bo bus uiſibus uni exiſtenti in puncto g, & alij in puncto f unica tantùm occurrit imago: uiſibus uerò permutatis ab hoc ſitu, plures occurrunt imagines. Et hoc eſt propoſitum. Quandocunq tamen aliquid in his ſpeculis percipitur duplici uiſu, ſi linea reflexionis æquidiftãs fuerit catheto inciden tiæ: erit locus imaginis ipſe punctus reflexionis per 11 huius: & cum diſtant à ſe puncta reflexionis, reſpectu amborũ uiſuum: apparebunt uiſibus duæ imagines eiuſdem puncti, & locus cuiuſq imaginis eſt in ipſo puncto ſuæ reflexionis. Si uerò linea reflexionis non ſit æquidiſtãs catheto inciden tiæ, & punctus rei uiſæ tantùm diſtet ab uno uiſu, quantùm ab altero: uel ſit modica differentia diſtantiæ, ſi locus imaginis fuerit in ipſa ſuperficie uiſus: duæ adhuc imagines uidebuntur: aliàs autẽ ut plurimùm locus imaginis reſpectu utriuſq uiſus eritidem, aut modicùm diſtans: unde aut tantùm una uidebitur imago, aut penè una.

◉60. In una diametro ſpeculi ſphærici concaui poſitis ambobus oculis æqualiter à centro ſpeculi diſtantibus, neuter uidebitur oculorum. Euclides 27th. catoptr.

◉Sit ſpeculum concauum ſphæricum a t g d: cuius centrum z: & diameter a d: ſintq́ duo oculi b & e conſtituti in diametro a d, æqualiter diſtantes à centro z. Dico quòd neuter oculorum uidebitur. Ducatur enim ſemidiameter z g perpendiculariter ſuper diametrum a d: & ducantur lineæ b g

& e g. Quia ergo in trigonis e z g & b z g latus e z eſt ęquale lateri z b ex hypotheſi, & la tus z g commune: anguli quoq e z g & b z g ſunt æquales, quia ſunt ambo recti: erit per 4 p 1 angulus b g z æqualis angulo e g z. Forma ergo puncti b reflectitur ad punctum e à puncto g ſpeculi, & econuerſo per 20 th. 5 huius. Sed neq poſsibile eſt ab alio puncto ſpeculi ſormam puncti b ad punctum e refle cti. Sit enim, ut fuerit id datũ eſſe poſsibile, ut ſorma puncti b reflectatur ad punctum e â puncto alio ſpeculi, quod ſit t: & ducantur lineæ b t, t e, t z: linea ergo t z diuidit angulum b t e per duo æqualia per 20 th. 5 huius: erit ergo per 3 p 6 proportio lineæ b t ad lineam t e, ſicut lineæ b z ad lineam e z: ſed linea b t eſt maior quàm linea b g per 7 p 3: linea uero b g eſt æqualis lineæ e g, ut patuit ſuperius: linea uerò e g eſt maior quàm linea t e per 7 p 3: erit ergo linea b t maior quàm linea e t: ergo linea b z maior erit quàm linea e z: quod eſt contra hypotheſim & impoſsibile. Et eodem modo de quolibet puncto ſemicirculi a g d poteſt demonſtrari. Non ergo reflectitur forma puncti b ad punctum e ab alio ſpeculi puncto quàm à puncto g. Non ergo uidebit oculus b oculum e: ideo quia linea reflexionis, quæ eſt b g, non concurrit cum catheto e z ducta à puncto e per centrum ſpeculi z, niſi in puncto b: & linea reflexionis, quæ eſt e g, non concurrit cum catheto b z, niſi in puncto e. Locus itaq imaginis e eſt punctus b: ſed b eſt ſimile ipſi e in forma, & e ipſi b. Non ergo cóprehenditur aliqua diſtantia, quæ ſit cauſſa diuerſitatis inter illos uiſus. Non ergo unus uiſus percipiet formam alterius in ſeipſo exiſtentis, ſed æſtimabit formam propriam ſe uidere. Non ergo unus oculus taliter diſpoſitus uiſibus alium oculum uidebit: & hoc eſt propoſitum. Aliæ tamen partes corporis circumſtantes centrum uiſus poterunt uideri: quarum catheti incidentiæ cum lineis ſuarum reflexionum concurrunt: ſiue ille concurſus ſit in ſuperficie uiſus uel in alijs punctis quibuſcunq: & circa hæc multa diuerſitas uiſibus occurrit.

◉61. Si in linea à puncto medio ſemidiametri ſuper diametrũ ſpeculi ſphærici concaui perpendiculariter erectæ duct a æquidiſtanter diametro ambo ponantur oculi, æqualiter diſtates à cen tro ſpeculi: imago una tantùm oculi apparebit in puncto reflexionis. Euclides 28 th catoptr.

page 362

◉Sit ſpeculum ſphæricum concauum a g d: cuius centrum k: & diameter a d: dueaturq́ ſemidiameter k g perpendiculariter ſuper diametrum a d: & à medio puncto ſemidiametri k g ducatur lin e a æquidiſtans diametro a d: & in hac poſiti ſint uiſus ambo æqualiter diſtantes à centro k. Dico quòd amborum oculorũ una tantùm imago, in uno ſcilicet puncto reflexionis uidebitur. Sit enim ut à puncto p (quod ſit medius punctus lineę k g per 10 p 1) ducatur linea æ quidiſtans diametro a d per 31 p 1, quæ ſit e z: & ſint in illa perpẽdiculari e z poſiti ambo oculi, quiſint b & t, æ qualiter diſtantes à centro k, & à linea k g: erunt ergo lineæ b p & t p æquales: ducanturq́ lineæ b g, t g, b k, t k: er

go per 4 p 1 linea p g exiſtente communiam bobus trigonis b p g & t p g, cum anguli b p g & t p g ſint recti: erit angulus b g p ęqualis angulo t g p. Reflectetur ergo forma puncti b ad punctũ t à puncto ſpeculi g: & econuerſo. Et quia linea k p eſt ęqualis lineę p g, quo niam punctus p eſt medius punctus lineæ k g, & lineæ b p & t p ſunt æquales: angulus quoq k p t eſt æqualis angulo b p g per 15 p 1: ergo per 4 p 1 angulus t k p eſt æqualis angulo b g p: ergo per 27 p 1 linea t k æquidiſtat lineæ b g: ſed linea t k eſt cathetus puncti t, & linea b g eſt linea reflexionis: nunquam ergo concurrent: ergo per 11 huius non uidebitur forma puncti t, qui eſt unus oculorum ab alio oculo, qui eſt b: neq econuerſo per eandem rationem, niſi in puncto g, qui eſt punctus reflexionis. Linea enim b g, quæ eſt linea reflexionis formę puncti t ad uiſum b, non concurrit cum catheto incidentiæ formę puncti t, quę eſt linea t k. Quilibet ergo oculorum uidebit alterum in uno tantùm puncto reflexionis. Imago ergo amborum oculorũ erit tantùm una: & ſic unus tantùm oculus apparebit. Et quoniam reliqua pars faciei uidentis offertur am bobus uiſibus retro uiſus) quia ad illam partem catheti incidentię cum lineis reflexionum concurrunt, ut patet intuenti. Si enim lineę b k & t g caderent inter lineas concurrentes: tunc & ipſæ concurrerent: quod eſt impoſsibile: cum ſint æ quidiſtantes: concurrent ergo retro ambos uiſus illę lineę) ergo per 37 th. 5 huius apparebit tunc facies uidentis monocula ad modum picturę cyclopis, eritq́ oculus ultra faciem prominens: quoniam nõ uidetur, niſi in puncto reflexionis per 11 huius. Patet ergo propoſitum.

◉62. Si à puncto propinquiori diametro ſpeculi ſphærici concaui quàm medius punctus ſemidiametri ſuper illam diametrum orthogonaliter productæ linea æquidiſtãs diametro producdtur: in illa uiſus, in æquidiſtantia à centro ſpeculi poſitiretro ſe apparebũt: dextra pars dextra, & ſiniſtra ſiniſtra: idolum maius facie: & imago plus diſtabit à uiſu quàm facies uidentis à ſuperficie ſpeculi. Euclides 29 th. catoptr.

◉Sit communis ſectio ſuperficiei reflexionis & ſpeculi ſphærici concaui circulus a g d: cuius diameter ſit a d: & ducatur ſemidiameter k g perpendiculariter ſuper diametrũ a d: cuius femidiametri k g medius punctus ſit p: ſintq́ centra amborum uiſuum puncta b & t. Si ergo ab aliquo puncto lineę p k (qui ſit n) ducatur linea æquidiſtanter diametro a d: quę ſit l m: & uiſus b & t poſiti in lineal m, æqualiter diſtent à puncto n, uel à centro ſpeculi, quod eſt k: dico quod accidet, ut proponi tur. Ducantur enim lineę b g, t g, b k, t k: eruntq́ ex hypotheſi & per 4 p 1 anguli b g n & t g n æquales: ergo à puncto g reflectentur uiſus adinuicem mutuò per 20 th. 5 huius: ſed linea n g eſt maior quàm linea n k: reſecetur ergo per 3 p 1 linea n g ad æqualitatem lineę n k in puncto q: & ducatur li

nea b q: erit ergo per 15 & 4 p 1 angulus b q n æqualis angulo t k n: ſed angulus b q n eſt maior angulo b g q per 16 p 1: ergo angulus t k n eſt maior angulo b g q: ergo per 14 th. 1 huius lineę t k & g b concurrentretro uiſum b: cõcurrant ergo in puncto s. Eſt aũt linea t k cathetus puncti t, & linea g b linea reflexionis. Videbitur ergo forma puncti g retro uifum b. Et ſimiliter per eadem penitus uidebitur for ma puncti b retro uiſum t: quia lineæ b k & g t concurrent, ut præ oſtenſum eſt per 14 th. 1 huius: ſit, ut concurrant in puncto x: & ducatur linea s x. Et quoniam linea s x eſt maior quàm linea b t: ideo quòd in triangulo s g t angulus s t g, ut patet ex præmiſsis, eſt æqualis angulo x b g trigoni x g b, & angulus s g x cõmunis: erunt ergo per 32 p 1 triangu li illi s t g & x b g ęquiáguli: eſt ergo ք 4 p 6 propor tío lineę x g e ad lineá g s, ſicutlineæ b g ad lineã g t: ſed linea b g eſt æqualis lineę g t: ergo linea x g page 363 eſt æqualis lineæ g s, & linea x b æqualis lineæ s t: ergo per 7 p 5 erit proportio lineæ x g ad lineam g t, ſicut lineæ s g ad lineam g b: ergo per 17 p 5 erit proportio lineæ x t ad lineam t g, ſicut lineæ s b ad lineam b g. In trigono ergo s g x per 2 p 6 linea b t æquidiſtat lineæ s x: eſt igitur per 4 p 6 proportio lineæ s x ad lineam b t, ſicut lineæ x g ad lineam g t: ſed linea x g maior eſt quàm linea g t: ergo linea s x maior eſt quàm linea b c. Imago ergo erit facie maior: quoniam linea s x eſt diameter imaginis, & linea b t pars diametri faciei: ſcilicet linea continenes diſtantiam oculorum. Item linea g k producta ſecat lineam s x per 29 th. 1 huius: ſecat enim angulum s g x: ſecet ergo in puncto u. Quia itaq in trigono s u g linea b n æquidiſtat baſi s u: patet per 4 p 6 & 17 p 5 quia eſt proportio lineæ u n ad lineam n g, ſicut lineæ s u ad lineam b n: ſed linea s u eſt maior quàm linea b n per 4 p 6: quoniam linea u g eſt maior quàm linea n g: erit ergo linea u n maior quàm linea n g: ſed linea u n eſt diſtantia imaginis à uiſu, & linea n g eſt diſtantia uiſus à ſpeculi ſuperficie. Patet ergo propoſitum.

◉63. Si à puncto remotiori à diametro ſpeculi ſphærici concaui quàm medius punctus ſemidia metri orthogonaliter ſuper illam ſemidiametrum productæ, linea æquidiſtans diametro produ catur, uiſibus æquidiſtanter à centro ſpeculi in linea illa poſitis, dextra apparent ſinictra, & ſiniſtra dextra: & imago uidentis maior facie: maior́ erit diſtantia imaginis à ſpeculo quàm fa ciei uidentis. Euclides alter a parte 28 th. catoptr.

◉Eſto ſpeculum ſphæricum concauum, cuius ſuperficiei & ſuperficiei reflexionis communis ſectio ſit circulus a k f: cuius centrum z: & diameter a f: & à centro z ducatur perpendicularis ſuper diametrum a f, ſemidiameter z k: quæ diuidatur per æqualia in puncto e: & à puncto e ducatur æquidiſtans diametro a f, linea c d: diuidatur quoq linea e k per æqualia in puncto n: & à puncto n li neæ e k ducatur linea æquidiſtans lineæ a f, quæ ſit l m: in hac itaq linea l m ponantur uiſus æqualiter diſtantes à centro z: dico quòd uerum eſt, quod proponitur. Sint enim uiſus b & g diſpoſiti in linea l m, ut proponitur: erunt ergo, ut in præmiſſa propoſitione, anguli b k n & g k n æquales per 4 p 1: reflectentur ergo uiſus b & g ad ſe inuicem mutuò à puncto k. Ducantur quoq lineæ b e & g e: & erit per 4 p 1 angulus b e n æqualis angulo b k n: ſed angulus b e n per 16 p 1 eſt maior angulo b z e: ergo angulus b k z maior eſt angulo b z k: ergo & maior eſt angulo k z g: ergo per 14 th. 1 huius lineæ b k & z g concurrent: ſit concurſus punctus q: ſed & per eandem lineæ g k & z b concurrent: ſit concurſus punctus p. Cum itaq linea g k ſit linea reflexionis formæ puncti b à puncto ſpeculi k,

& linea z b ſit cathetus incidentiæ: erit ergo per 37 th. 5 huius punctus p imago formæ puncti b: & ſimiliter erit punctus q imago formæ puncti g. Ducatur ergo linea p q: & hæc erit imago lineæ b g. Videbitur ergo dextrum ſiniſtrum, & ſiniſtrum dextrum, propter interſectionẽ linearũ reflexionis b q & g p, ut patet per 53 huius. Itẽ per 4 p 1 linea z b eſt æqualis lineæ z g: ergo per 5 p 1 angulus z b n eſt æqualis angulo z g n, & angulus p b g eſt æqualis angulo q g b: ſed angulus n b k æqualis eſt angulo n g k: relinquitur ergo angulus k b p æqualis angulo k g q: ſed angulus b k p eſt æqualis angulo g k q per 15 p 1: ergo per 32 p 1 trigoni b k p & g k q ſunt æquianguli: ſunt ergo anguli b p k & g q k æquales. Et quia angu li p b g & q g b; ut patet ex præmiſsis, ſunt æquales, ergo per 32 p 1 trigona p b g & q g b ſunt æquiangula: ergo per 4 p 6 erit proportio lineæ b p ad lineam g q, ſicut lineæ b g ad ſeipſam: erit ergo linea b p æqualis lineæ g q: erit ergo linea z p æqualis lineæ z q: quæ eſt ergo proportio lineæ p z ad lineam z b, eadem eſt lineæ q z ad lineam z g: ergo per 17 p 5 & per 2 p 6 linea b g æquidiſtat lineæ p q: ergo per 29 p 1 trigoni p z q & b z g ſunt æquian guli: erit ergo per 4 p 6 proportio lineæ p z ad lineam z b, ſicut lineæ p q ad lineam b g: ſed linea p z eſt maior quàm linea b z: ergo linea p q eſt maior quàm linea b g: eſt ergo idolum maius re uiſa. Item linea z k producta ſecat lineam p q per 29 th. 1 huius: ſecat enim angulum p z q: ſecet ergo ipſum in puncto o: erit ergo per præmiſſa; & per 29 p 1 angulus p o k trigoni k p o æqualis angulo g n k trigoni k g n: ſed & angulus p k o æqualis eſt angulo g k n per 15 p 1: ergo per 32 p 1 trigona p k o & g n k ſunt æquiangula: ergo per 4 p 6 quæ eſt proportio lineę p o ad lineam g n, eadem eſt lineæ o k ad lineam k n: eſt autem, ut patet ex præmiſsis, linea b n æqualis lineę g n: ſed linea p o eſt maior quàm linea b n: ideo quòd tota linea p q eſt maior quàm tota linea b g: & p o eſt medietas lineę p q, ſicut linea b n medietas lineæ b g. Cum enim lineę b q & g p ſint ęquales, & lineę b k & g k ęquales: erit linea k q ęqualis lineę k p, & anguli p k o & q k o ſunt equales per 15 p 1, & per præmiſſa: erit ergo linea p o ęqualis lineę q o. Si ergo linea p o eſt maior quàm linea b n: patet quod linea o k eſt maior quàm linea k n: & linea o k eſt diſtantia imaginis ſub ſpeculo, & linea n k eſt diſtantia rei reflexę à ſuperficie ſpeculi. Palàm ergo propoſitum.

◉64. Circa diametrum ſpeculi ſphærici concaui extr a ſpeculum product æ ambobus poſitis ocu page 364 lis ſecundum æqualem diſtantiam à diametro, & centro ſpeculi: dextra apparent ſiniſtra, & ſiniſtra dextra: & imago minor facie apparet inter uiſus & ſuperficiem ſpeculi.

◉Sit communis ſectio ſuperficiei reflexionis, & ſuperficiei ſpeculi ſphærici concaui circulus d b kicuius centrum o: & diameter d k: & orthogonaliter ſuper diametrum d k producatur diameter b o a extra ſpeculum: ſintq́ duo oculi in punctis e & c lineæ c e perpendicularis ſuper lineam b a: & ſint ambo oculi æqualiter diſtantes ab ipſa diametro b a, & à puncto a: erit ergo linea e a æqualis li neæ a c: & ducantur lineæ e b & c b: erit ergo per 4 p 1 angulus e b a æqualis angulo a b c: ergo per 20 th. 1 huius uiſus ambo e & c ad ſe inuicem reflectuntur à puncto b. Producatur itaq linea à puncto e ad centrum o: hæc ergo producta concurret cum linea c b per 29 th. 1 huius: ſit concurſus pun

ctus ſ: & ſimiliter à puncto c ducatur linea per centrum o concurrens cumlinea e b in puncto g. Apparet ergo per 37 th. 5 huius imago formæ puncti e in puncto f: & imago formæ puncti c in puncto g: apparẽt ergo dextra ſiniſtra, & ſiniſtra dextra. Sed & per 5 p 1 angulus b e c eſt æqualis angulo b c e: quoniam lineæ b e & b c ſunt æquales. Sed cum trigonorum e a o & c a o duo latera e a & c a ſint æqualia, & latus a o commune, anguliq́ c a o & e a o ſint æquales, quia recti: erit per 4 p 1 angulus f e a æqualis angulo g c a: trianguli ergo e f c & c e g ſunt æquianguli per præmiſfa & 32 p 1: ergo per 4 p 6 eſt proportio lineæ e g ad lineam c f, & lineæ e f ad lineam c g, ſicut lineæ e c ad ſeipſam: ſunt ergo lineæ e g & c f æquales, & lineæ e f & c g æquales. Sed totalis linea b e eſt æqualis totali lineæ b c: ergo relinquitur linea b g æqualis lineæ b f: ergo per 5 p 1 angulus b g f ęqualis eſt angulo b f g: ſed illi anguli cũ angulo g b ſ ualẽt duos rectos per 32 p 1: ſunt ergo illi duo anguli æquales duobus angulis b e c, b c e: illi ergo trigoni e b c & g b f ſunt æquianguli: ergo per 4 p 6 quæ eſt proportio lineę b g ad lineam b e, eadem eſt proportio lineæ g f ad lineam e c: ſed linea b g eſt minor quàm linea b e: ergo linea g f eſt minor quàm linea e c. Imago ergo faciei uidentis eſt minor facie conſpecta. Apparet autem inter oculos & ſpeculi ſuperficiem: quoniam linea g f (quæ eſt diameter imaginis) cadit inter lineam e c, in qua ſunt ambo uiſus, & inter ſuperficiem ſpeculi. Palàm ergo propoſitum.

◉65. Imagines rerum retro ſpecula ſphærica concaua apparentes, motis rebus, quarũ ſunt ima gines, ad eandem partem moueri uidentur.

◉Sit in ſpeculo ſphærico concauo circulus a g b: cuius centrum ſit d: & ſit centrum uiſus punctum e: ſintq́ duo puncta rei uiſæ ex utraq parte puncti e: quæ ſint z & h: ducanturq́ duæ catheti incidentiæ, quæ ſint d z c & d h k: reflectaturq́ forma puncti z ad uiſum e à puncto ſpeculi a: & forma puncti h à puncto ſpeculi b: & ducantur reflexionum lineæ, quę ſint a e & b e: concurratq́ linea

a e cum catheto d z in puncto c, & linea e b cum catheto d h in puncto k: erunt ergo per 37 th. 5 huius pũcta c & k loca imaginũ ultra ſpeculum: ita quòd punctum c ſit locus imaginis formæ puncti z, & punctum k locus imaginis formę puncti h: & erunt loca imaginum in partibus illis, in quibus ſentiuntur & res, quarum ſunt illę imagines. Transferatur itaq punctus rei uiſæ, qui eſt h ad punctum l: & reflectatur ad uiſum e à puncto g: & ducatur cathetus d l concurrens cum linea reflexionis, quæ eſt e g in puncto m: eritq́ locus imaginis ſormę puncti h in puncto m translata ad ipſum à puncto k, quilocus m erit in illa parte, ad quam translata eſt ipſa res, cuius in puncto m eſt imago. Quòd ſi puncta rei uiſę fuerint h & l, & ſint ſupra uiſum: erunt loca imaginum, quæ ſunt k & m, ſupra uiſum: & apparebunt ſupra res, quarum ſunt formæ. Et ſi puncta h & l ſuerint à dextris ipſius uiſus: & loca imaginum ſuarum, quę ſunt k & m, erunt à dextris: ſed non putabuntur eſſe dextra, ut patuit ſuprà per 51 huius: quoniam propter reuerberationem dextra apparent ſiniſtra, & ſiniſtra dextra. Patet itaq propoſitum.

page 365

◉66. Imagines rerum inter ſpecula ſphærica concaua & uiſus apparentes, motis rebus, uidentur ad partem contrariam moueri.

◉Sit ſpeculi ſphærici concaui circulus a b g: cuius centrum ſit punctus d: ſitq́ centrum uiſus e citra centrũ ſpeculi, quod eſt d: & ex lateribus aſpicientis ſint duo puncta rei uiſæ: quę ſint z & h: quæ

reflectantur ad uiſum à duobus punctis a & b: ſintq́ li neæ reflexionum e a puncti z, & e b puncti h: ducanturq́ catheti incidentiæ z d c & h d k ſecantes lineas reflexionum in punctis c & k: erunt ergo per 37 th. 5 huius puncta c & k loca imaginũ: c puncti z, & k puncti h. Videbuntur itaq formæ illorum punctorum in diuerſis partibus alijs, quàm ſint res ipſæ per 49 huius. Quòd ſi punctus h rei uiſæ transferatur ad punctum l: & reflectatur à puncto ſpeculi g ad uiſum e: du caturq́ linea reflexionis, quę ſit e g: & cathetus l d m, ſecans lineam reflexionis, quæ eſt e g, in puncto m: erit per 37 th. 5 huius punctus m locus imaginis formæ puncti l. Imago itaq puncti h, quę eſt k, erit tranſlata ad partem diuerſam illi, ad quam res uera tranſlata eſt. Et ſi puncta h & l fuerint ſurſum mota ſupra uiſum: tunc imagines ipſorum, quæ ſunt k & m, uidebuntur moueri deorſum. Et ſi puncta h & l ſuerint mo ta ad dextram partem uiſus: formæ imaginum uidebuntur moueri ad ſiniſtram: & ita ſemper mouentur imagines ad partem contrariam rebus. Patet ergo propoſitum.

◉67. Per ſpecula ſphærica concaua, quot libuerit, poßibile eſt formæ eiuſdem puncti imaginem uideri. Euclides 15 th. catoptr. Ptolemæus 8 th. 2 catoptr.

◉Fiat diſpoſitio, quæ in planis & conuexis ſphæricis ſpeculis: & ſit centrum uiſus a: & punctus rei uiſæ ſit b: & ſecundum diſtantiam centri uiſus (quod eſt a) à puncto rei uiſæ, (quod eſt b) deſcri batur polygonium æquilaterum & æquiangulum, quotcunq angulorum placuerit: ſitq́, exempli

cauſſa, pentagonum: quod ſit a b g d e: fiatq́ circulus circumſcribens illud polygoniũ pentagonum per 12 p 4: & ſuper illius pentagoni angulos ortho gonaliter ſuper lineas à centro circuli circumſcribentis polygoniũ productas ad circumferentiam ſecundum ipſorum puncta media ſtatuantur ſpecula ſphærica concaua, quæ ſint partes eiuſdem ſphæræ & æquales portiones. Patet itaq quoniam ſuperficies plana pentagoni a b g d e ſecabit quodlibet ſpeculorum ſecundum circulum per 69 th. 1 huius. Vnus itaq arcus unius illorum circulorum ſit z g c: ducanturq́ lineæ contingentes quemlibet illorum arcuum in punctis g, d, e: contingatq́ arcum z g c in puncto g linea l k. Quia itaq per 43 th. 1 huius angulus portionis, qui eſt b g z, eſt æqualis angulo d g c: anguli quoq contingentiæ, qui ſunt k g z & l g c ſunt æquales: palàm ergo per 20 th. 5 huius quoniam fit reflexio formæ puncti b à puncto ſpeculi g ad punctũ ſpeculi alterius, quod eſt d. Et ſimiliter per eandem demonſtrationem fiet reflexio à puncto d ad punctum ſpeculi alterius, quod eſt e, & à puncto e ad centrum uiſus, quod eſt a. Palàm ergo propoſitum. Et ſic quotcunq fue rint anguli polygonij, tot aſſumantur ſpecula, & ſemper accidet illud, quod præmiſſum eſt.

◉68. A ſpeculis ſphæricis concauis ſoli oppoſitis ignem poßibile est accendi. Euclides 31 th. catoptr.

◉Eſto ſpeculum ſphæricum concauum ſoli oppoſitum: in quo ſignetur circulus k a b g x, cuius centrum ſit c: ſitq́, ut ſuperficies plana ſecans ſpeculum ſecundum hunc circulum ſecet etiam corpus ſolis trans centrum: ergo per 69 th. 1 huius communis ſectio illius ſuperficiei planæ & ſolis erit circulus magnus, qui ſit d e z: & ab aliquo puncto illius circuli ſolaris, ut à puncto d, ducatur linea, ſecundum quam procedens radius ad centrum ſpeculi, quod eſt c, incidat in punctum ſpeculi, quod ſit g: & à puncto circuli ſolis, quod ſit e, procedens radius ad centrum ſpeculi, quod eſt c, incidat in punctum ſpeculi b: & à puncto ſolis, quod ſit z, incidens radius per centrum ſpeculi c, cadat in punctum ſpeculi a. Quia ergo omnes radij tranſeuntes per centrum c ſunt perpendiculares ſu 366 per ſuperficiem ſpeculi a b g per 72 th. 1 huius: patet per 21 th 5 huius quoniam omnes reflectuntur in ſeipſos: concurrent ergo tam incidentes quàm reflexi omnes in puncto c, quod eſt centrum ſpeculi: omnes enim illi radij ſunt diametri ipſius ſpeculi, & omnes

anguli ſemicirculi ſunt æquales per 43 th. 1 huius: reflexio autem omnis fit ſecundum angulos æquales, ut patet per 20 th. 5 huius. Quicunq itaq radiorum ſolarium pertranſierint per centrum ſpeculi, quod eſt c, & peruenerint ad quęcunq puncta ſuperficiei ſpeculi: illi omnes reflectentur in ſeipſos, & concurrent in centro ipſius: radij uerò æquidiſtantes illis radijs non concurrunt. Sit e nim radius perpẽdicularis ſuper ſuperficiẽ ſpeculi, qui eſt e b: hic ergo, ut præmiſſum eſt, tranſibit centrum ſpeculi, quod eſt c: & reflectetur in ſeipſum. Huic ergo ducatur per 31 p 1 aliquis radius æquidiſtans: qui ſit l n: & alius, qui o s: ſitq́ arcus n b inæqualis arcui b s: ſecetq́ linea l n circulum a b g in puncto y: & in arcu y n ſignetur punctum k: & ducatur linea c n. Quia itaq, angulus l n k eſt minor angulo c n k, ut pars ſuo toto: patet quòd angulus l n k eſt minor angulo c n b: quoniam anguli c n b & c n k ſunt æquales per 43 th. 1 huius. Patet ergo per 20 th. 5 huius quòd radius l n non reflectetur in punctum c. Fiat itaq angulus b n f æqualis l n k: cadetq́ punctum f citra punctum c in punctum aliquod ſemidiametri c b: & in corpore ſolari continuetur linea e l. Si itaq quadrangulum n f e l, (fixo permanẽte ſuo latere e f) imaginetur moueri, quouſq linea l n incidat ad locum, unde exiuit: tunc pun ctus n motu ſuo deſcribet quendam circulum in ſuperficie ſpeculi: & in tota peripheria illius circuli angulus l n f remanet æqualis: ergo angulus l n k eſt æqualis angulo b n f. Fiet ergo per 20 th. 5 huius à tota peripheria illius circuli reflexio omnium radiorum incidentium ad punctum f. Similiter quoq ſi à puncto ſo lis, quod eſt o, ducatur per 31 p 1 radius æquidiſtans radio perpen diculari, qui eſt e b: & ſit ille radius æquidiſtans o s, ſecans circulum a b g in puncto x: & in arcu x s ſignetur punctum q in linea n f producta, ſitq́, ut perpendicularis e b ſecet circulum a b g in puncto p: & ſit arcus b s mioor arcu n b: ergo & arcus x p (qui eſt æqualis arcui b s per 53 th. 1 huius) minor eſt arcu p y æquali b n: ergo arcus x q s remanet maior arcu y k n: ergo per 43 th. 1 huius angulus x s q eſt maior angulo y n k. Radius ergo o s non reflectitur ad punctum f, ſed ad aliquod pun ctum lineæ f c, quod ſit h. Portio enim circuli y k n, quæ eſt æqualis portioni n b q, eſt minor portione x-q s, quæ eſt æqualis portioni s b k: copuletur quoq linea o e. Si itaq fixo latere e h, quadran gulum o e h s intelligatur moueri, quouſq linea o s redeat ad locum, unde exiuit: tunc punctum s motu ſuo deſcribet in ſuperficie ſpeculi circulum, à cuius totali peripheria fiet reflexio ad punctum diametri ſpeculi, qui eſt h. Et ſimiliter eſt de quibuſcunq alijs radijs incidentibus ſuperficiei ſpeculi æquidiſtanter radio e b. Semper enim fiet reflexio omnium ſibi ſimilium radiorum à peripheria unius circuli totius ſpeculi ad unum punctum diametri ipſius ſpeculi: & lineæ radiales prophinquiores diametro, reflectuntur ad punctum propinquius centro c: & lineæ radiales remotiores à diametro, & æquidiſtantes illi, reflectuntur ad punctum remotius à centro, quod eſt c. In quocunq autem illorum punctorum ponatur aliquod corpus combuſtibile, per radios reflexos incendetur. Sed quia radij ſunt pauci & debiles, oportet ut combuſtile diutius in puncto collectionis radiorum moram trahat. Patet ergo propoſitum. Et hoc ſpeculum, quantùm ad a ctum combuſtionis, efficacius eſt ſpeculo compoſito explanis ſpeculis, de quo locuti ſumus in fine quinti libri huius ſcientiæ. Poſſet quoq per diligentiam artificis aliquod ſpeculum ex pluribus huiuſmodi ſpeculis componi, quod eſſet maioris efficacię ad comburendum: hoc autem relinquimus induſtriæ perquirentis: quia ſufficit nobis ut propoſitum ſit hoc modo demon. ſtratum.

page 367