◉Vitellonis filii thvringorvm et polonorvm opticae liber qvintvs.

◉EXPEDITIS aliqualiter his, quæ ſimplici & directæ uiſioni neceſſaria exiſtere, & eius deceptionibus accidere uiſa ſunt reſtatnũc ut conuenienter eum modum uiſionis, qui fit per reflexionem à politis corporibus, quæ ſpecula dicimus, proſequẽtes, de omni reflexionis modo à quibuſcun ſpeculis ex quiſitius pertractemus. Primò ita in præſenti quinto huius ſciẽtiæ libro præmittemus quælibet illorum, quæ æſtimamus cõmunia omnibus ſpeculis: & deinde adiungemus paßiones, quæ accidunt rebus & uiſui à ſolis fpeculis planis, quorum ſpeculorum forma ſimplicior eſt formis omniũ aliorum ſpeculorum: propter quod & ſpeculorũ planorum paßiones quibuſdam alijs ſpeculis ſunt cõmunes, ut patebit in libris ſequentibus, quibus aliorum ſpeculorum paßiones proprias reſeruamus. Veruntamen ſicut in principio huius ſcientiæ diximus, non intelligimus in hoctractatu per ſpecula corpora tantùm formata & polita per artificiüm, ſed etiam ipſa corpora naturalia, à quorũ ſuperficiebus fit eadem reflexio, quæ & à corporum artificialium ſuperficiebus accidit. Nec intelligimus, quòd ſolum hæc reflexio fiat ad uiſus animalium, ſed etiam ipſis uiſibus non præſentibus fit reflexio formarũ, & accidit uiſibus, ſi inlocis reflexarũ formarum diſponantur, quòd fiat reflexio ad ipſos: quod manifeſtè patet per hæc, quia non in omni loco fit reflexio ad quemcunq uiſum à ſpeculo quocu;. Eſt tamẽ in receptione harum formarũ reflexarũ in uiſibus aliqua proprietas, & maximè in illis reflexionũ modis, in 190 quibus fit aliqua deceptio in uiſu. Quamuis autem, ut in proæmio buius ſcientiæ diximus, idem immittatur in contrarium & in ſenſum: quoniam unius rei una & eadem forma ſemper diffunditur per medium, propter quod eadem forma reflectitur à ſuperficiebus ſpeculorum, quæ etiam in modo ſimplicis uiſionis directè uiſibus occurrit: non poteſt tamen in reflexione facta à ſuperficiebus ſpeculorum quorumcun comprehendi ueritas formæ, ſicut comprehenditur in uiſione ſimplici directa. In reflexionibus enim à quibuſcun ſpeculis factis apparet forma rei ut plurimum præ oculis, ipſis uiſibus quaſi oppoſita, cum tamen ſecundum ueritatem illis non opponatur. Lux quo & color corporis uiſi ſemper miſcentur cum colore ſpeculi, à quo fit reflexio, quam mixturam in reflexionibus uiſus percipit, & nõ ueram lucem uel uerum rei uiſæ colorem. Omnis quo reflexio, ut nos inferius perfectius declarabimus, debilitat luces & colores: unde in omnireflexione latet uiſum ueritas lucis & coloris, plus quàm in directa ſimplici uiſione. Quæ uerò ad hunc uiſionis modum, quæ fit per reflexionem à quibuſcun, & à planis maximè ſpeculis, præmittimus, ſunt iſta.

◉Definitiones.

◉1. Politio corporum eſt cõtinuitas partium ſuperficiei politi corporis ſine ſenſibilitate pororum uel diuiſionis. 2. Speculum dicitur omne corpus politũ opere artis uelnaturæ. 3. Linea incidentiæ diciturilla, ſecundum quam forma rei incidit ſuperficiei ſpeculi. 4. Linea reflexionis diciturilla, ſecundum quam forma reuerberata, propter ſoliditatem ſpeculi, quam penetrare nõ poteſt, reflectitur ad uiſum. 5. Punctus incidentiæ dicitur ille punctus, in quo linea incidentiæ incidit ſuperficiei ſpeculi: & idem eſt punctus reflexionis, quoniam formarum reflexio ad uiſum ſemper fit à puncto incidentiæ. 6. Perpendicularis ſuper ſuperficiem ſpeculi, à quo fit reflexio, dicitur linea orthonogaliter erecta à puncto incidentiæ ſuper ſuperficiẽ ſpeculi illius, à quo ſit reflexio, ſi illa ſuperficies ſit plana: quòd ſi illa ſuperficies ſit conuexa uel concaua: tunc dicitur perpendicularis ſuperipſam, quæ eſt perpendicularis ſuper ſuperficiem planam, illam ſuperficiẽ conuexam uel concauam in puncto incidentiæ contingẽtem. 7. Superficies reflexionis dicitur ſuperficies continens lineam incidentiæ & reflexionis, & perpẽdicularem à puncto contingentiæ productam ſuperipſam ſpeculi ſuperficiem, uel ſuper ſuperficiem ipſam contingentem. 8. Cathetus incidẽtiæ dicitur linea perpendiculariter erecta ſuper ſuperficiem planam ſpeculi, aut ſuper lineam rectam contingẽtem communem ſectionem ſuperficiei reflexionis, & ſuperficiei ſpeculi conuexi uel concaui, ducta à puncto, à quo incipit incidentia, ut à cẽtro uiſus, uel ab alio pũcto quocunq, cuius forma à ſpeculo reflectitur ad uiſum. 9. Cathetus reflexionis dicitur linea erecta ſuper illam eandem ſuperficiem uel lineam à puncto, ad quem terminatur ipſa linea reflexionis, ut à centro uiſus uel ab alio puncto, ad quem reflexio terminatur. 10. Superficies incidentiæ dicitur ſuperficies contenta à linea rei uiſæ, & à cathetis incidentiæ terminorum illius lineæ. 11. Angulus incidentiæ dicitur angulus, quem in ſuperficie reflexionis continet linea incidentiæ, cū linea, quę eſt communis ſectio ſuperficiei reflexionis, & ſuperficiei ipſius ſpeculi, uel ſuperficiei ſpeculum in puncto reflexionis contingentis. 12. Angulus reflexionis dicitur angulus, quem in ſuperficie reflexionis continet linea reflexionis cum dicta communi ſectione. 13. Imago dicitur forma in ſpeculo cõprehenſa. 14. Locus imaginis dicitur locus uiſionis illius formæ, ſcilicetlocus, in quo uidetur forma.

◉Petitiones.

◉Supponimus autem hæc. 1. Rei elongatæ & approximatæ ſpeculo, extrema quandoq uideri. 2. Item quòd uniformis ſituatio puncti rei uiſæ reſpectu ſuperficiei cuiuſcunq ſpeculi, à qua eius forma reflectitur, fit ſolum ſecundum cathetum ſuæ incidentiæ.

page 191

◉Theoremata

◉1. Corporum terſorum politorum, cuiuſcun figuræ ſint, ſuperficies à quolibet ſuorum punctorum luces, colores, & formas rerum oppoſitarum reflectunt ſecundum rectitudinem linearum. Euclides 2 hypothe. catoptr. Ptolemæus 1 & 3 the. 1 catoptr. Alhazen 2 n 4.

◉Quoniam enim, ut patuit per 1 th. 2 huius, forma lucis à corpore luminoſo ſemper ſecundum lineam rectam diffunditur in omne corpus ei oppoſitum, & ſimiliter forma colorata habentis actum luminis. Cum itaq hæc incidunt alicui corpori terſo polito: quia in tali corpore non patet tranſitus lumini uel colori propter talis corporis denſitatem & priuationem diaphanitatis, cũ ſint planarum ſuperficierũ, in quibus nulla eſt aſperitas, ſemper ab illis fit luminis & coloris & formarum reflexio: & ob hoc oppofito ſpeculo lumini forti obliquè incidenti, manifeſtè fit ad parietem uicinum luminis reflexio & coloris, ſi color fuerit coniumctus lumini, & uidebitur lumen reflexum incidens parieti cum colore: & moto ſpeculo radius reflexus mouebitur mutans locum, & ablato ſpeculo lumen reflexum aufertur: & ſi à loco, cui incidit radius luminoſus, manus uel aliud corpus mundum uel politum ſecundum lineam rectam ducatur ad ſuperficiem corporis, à qua fit reflexio: patens erit quoniam ſecundum rectitudinem linearum reflexio eſt facta, quoniam ipſi experimentanti ſecundum lineam rectam ad corpus, à quo fit reflexio, redeunti, ſemper reflexionem luminis accidit uideri. In omni itaq polita ſuperficie cuiuſcunq ſit figuræ, à quolibet ſuorum pũctorum fit reflexio ſecundum rectitudinem linearum: caditenim in quo dlibet puctum corporis politi lux à quolibet puncto corporis luminoſi. Vnde ſicut oſtenſum eſt in 20 th. 2 huius ſuper quodlibet punctum corporis politi fit pyramis, cuius uertex eſt in pũcto corporis politi, & baſis in ſuperficie corporis luminoſi: & à quolibet puncto luminoſi corporis procedit pyramis, cuius uertex eſt in puncto corporis luminoſi, & baſis in ſuperficie corporis politi. Et ſi à corpore luminoſo procedit lux ad corpus politum ſecundum lineas æquidiſtantes, illæ lineæ quaſi columnam continentes terminantur ad baſes pyramidum præmiſſarum. Per quaſcunq autem lineas lumen corpori polito incidit, ſecundum illarum proprietatem reflectitur, ſiue ſint perpendiculares ſiue obliquæ: patet ergo propoſitum. Fit autẽ à corporibus politis reflexio lucis, non autem à corporibus non politis, aſperis: quoniam in illis ſunt pori & foueæ, quas ſubintrat lumen, & redit in ſe permixtum cum umbra illorum corporum:unde non fit reflexio ſenſibilis ab illis.

◉2. Ab omni corpore colorato præſente luce, color ad corpus oppoſitum politum mixtim cum lumine mittitur: & quando totaliter, quando partialiter reflectitur ab illo, ſicut & ipſum lumen. Ptolemæus 3 th. 1 catoptr. Alhazen 3 n 4.

◉Quòd hic proponitur, experimẽtaliter declaratur. Sit enim, ut intra domum unius tantùm feneſtræ deſcendat lux ſolis ſuper corpus multum coloratũ forti colore: & ponatur in oppoſitione contra ipſum ſpeculum argenteum, & iterum cõtra ſpeculum ponatur uas concauum ad modum ſcyphi, quod ſit interius album, uel in quo ponatur corpus album, & aptetur taliter ut lux reflexa incidat ſuper illud corpus album. Apparebit itaq, ſuper faciem albi corporis color illius corporis, in quod primò fit deſcenſus lucis. Color itaq mixtim cum luce reflectitur: ergo etiam mixtim cũlumine incidit corpori polito: quod corpus politum ſi denſum & durum fuerit, color cum luce totaliter ab ipſo reflectitur, ita ut non coloret corpus politum. Si uerò corpus politum ſit rarum & lucidum actu, ſicut ſunt aqua & uitrum, & ſimilia: tunc refle ctũtur ab illo colores & luces, & penetrant in illud: quod patet per hoc, quòd forma reflexionis ab his corporibus eſt debilioris lucis & coloris, quàm ab alijs corporibus denſioribus, quàm ſint illa: & etiam circa aliquod punctum ſub iſtis corporibus, uel in iſtis uidentur formæ lucis & coloris incidẽtes ſuperiori ſuperficiei iſtorum corporum. Patet ergo illud, quod proponebatur.

◉3. Omnis reflexio debilitat luces & colores: & uniuerſaliter omnes formas. Alhazẽ 4 n 4.

◉Quoniam enim lux continua fortior eſt luce diſgregata per 1 petitionem 2 huius, & quantò lux ab ortu ſuo plus elongatur, tantò plus debilitatur per 22 th. 2 huius: patet quòd cum ſecundum aliquem punctum corporis luminoſi procedit lux ad ſuperficiem corporis politi in modum pyramidis, quòd quantò magis elongatur à puncto illo, tantò maior eſt eius debilitatio, & propter elongationem ab ortu lucis, & propter diſgregationẽ. Lux uerò reflexa ab aliquo polito corpore plus debilitatur, tum propter elongationem à loco reflexionis & diſgregationẽ, tum propter ipſam reflexionem. Luces quoq ſecundum lineas æquidiſtantes politis corporibus incidẽtes, ſunt debiliores quàm luces obliquè incidentes, quoniã minus aggregantur. Colorum quoq reflexio quamuis fiat ab omni corpore polito, ſicut & lucis, ut patet per 1 huius: non tamen eſt multum ſenſibilis, propter debilitationem, quę fit ex reflexione, & propter admixtionẽ coloris ipſius ſpeculi conformis colorum reflexorum, niſi fortè à ſpeculo argẽteo fiat reflexio. In ferreo enim ſpeculo color apparet debilior, quoniam color ferri mixtus cum luce reflexa, & ipſo colore reflexo debilitat ipſum colorem reflexum. Omnes itaq reflexiones colorum optimè experiri poſſunt in domo unici foraminis, cui foramini albus paries opponitur. Tunc enim in radio ſolis poſito ſpeculo argenteo, & ipſi ſpeculo & parieti interpoſita re aliqua colorata: erit reflexio coloris ad parietẽ album ſenſibilis. Idem quoq: page 192 accidit ſi in radio incidentiæ ipſius ſpeculi ponatur corpus diaphanum coloratum, per quod tranſeat radius, incidens ipſi ſpeculo, utpote ſi ante feneſtram ponatur uitrum coloratum, uel ſi modo ſimili, ut experimentanti uidebitur, diſponatur. Cadẽte itaq luce forti ſuper ſpeculum argenteum & ipſa reflexa ſuper parietem album, notabiliter uidebitur lux parietis debilior quàm ſpeculi. Reflexio ergo lucem debilitat. Et eodẽ modo color reflexus eſt debilior colore, à quo fit reflexio. Palàm ergo quòd reflexio debilitat luces & colores, ſed colores magis quàm luces. Colores enim debiliori modo incidunt quàm luces: unde etiam in reflexione facilius debilitantur. Color enim debilis cum ad ſpeculũ peruenerit, miſcetur colori ſpeculi & immutatur propter illius admixtionem: quare color reflexus apparet debilis & tenebroſus: & uniuerſaliter formæ reflexæ ſunt debiliores quàm ſint in loco, à quo reflectuntur. Sic ergo patet quòd omnis reflexio eſt cauſſa debilitatis. Nam & hoc patet ſenſibiliter in luce: licet enim lux directa & lux reflexa ęqualiter diſtent ab ortu ſuo, tamen debilior eſt lux reflexa. Opponatur enim in aere radio ſolis intrãti per feneſtram domum aliquam, in qua unica eſt feneſtra, ſpeculum minus foramine, ita ut lux reſidua foraminis, quę non incidit in ſpeculo, cadat in terram ſuper corpus album: & lux à ſpeculo reflexa cadat ſimiliter ſuper corpus album eleuatum à terra, hoc obſeruato, ut ſit eadem diſtantia corporis eleuati & iacentis à centro foraminis feneſtræ: uidebitur itaq ſuper corpus album eleuatum, ad quod fit reflexio, lux minor, quàm ſuper corpus iacens: cuius minoritatis ſola reflexio eſt cauſſa. Etidem poteſt in colorum reflexione faciliter demonſtrari, & eodem modo. Patet ergo propoſitum.

◉4. Omnis lux reflexa, etſi debilior ſit luce prima, eſt tamen fortior quàm lux ſecunda, æqualiter ab origine diſtantibus ambabus: & idem eſt in colore. Alhazen 5 n 4.

◉Luce enim reflexa cadente in aliquod corpus, ſi aliud ſimile corpus ponatur extra locum reflexionis, & ſit cum illo eiuſdem elongationis à ſpeculo: uidebitur ſuper ipſum corpus ſecunda lux minor, quàm in illo, quod eſt poſitum in loco reflexionis. Sit enim, quòd in directo foraminis, per quod radiusdomum aliquam ingreditur, ponatur ſpeculum in terra, ſuſcipiens totam lucem radij incidentis per illam feneſtram, quam lucem ſuperius in principio 2 libri huius ſcientiæ diximus lucem primam: tunc enim fiet palàm, quòd erit lux fortior ſuper corpus in loco reflexionis poſitum, quàm ſuper aliud corpus ſimile poſitum extra illum locum tantundem à ſpeculo elongatum. Et idem accidit ſi ſuperficies ſpeculi non ſuſcipiat radium directè, ſed obliquè. Idem etiam patet in coloribus: quoniam facta reflexione coloris à ſpeculo argenteo, corpus album poſitum in loco reflexionis plurimum recipit coloris: aliud uerò corpus æquè album exiſtens extra locum reflexionis, & in eadem diſtantia à ſpeculo, apparet quidem coloratum, ſed debilius ualde quàm corpus poſitum in loco reflexionis: & ſi ferreum fuerit ſpeculum fortè in corpore, quod eſt in loco reflexionis, modicus uidebitur color, extra uerò locum reflexionis in corpore æquè albo, quaſi nullus apparebit color. Patet ergo propoſitum.

◉5. Natura agit in omnibus ſecundum lineas breuiores. Euclides in præfatione opticorum. Ptolemæus 1 th. 1 catoptr.

◉Hoc uniuerſaliter patet in omnibus operibus naturæ. Omnes enim motus naturales ſic fiũt: deſcendunt enim grauia perpendiculariter ſuper ſuperficiem horizontis. Sagittæ etiam emiſſæ uiolenter ab arcubus ſeruntur linea breuiori ſecundum angulum ſuæ emiſsionis: per breuiorem enim lineam ab eodem termino in eundem terminum uelociter eſt motus. Et quia, ut in principio 2 libri huius ſcientiæ ſuppoſitum eſt, natura nihil agit fruſtra, neq deficit in neceſſarijs: palàm quòd neceſſariò agit ſecundum lineas breuiores. Si enim poſsit operatio nem intentam complere per motum uel actionem per lineam a b, & agat per lineam a b c: omnis actio, quam facit in linea b c eſt fruſtra, quoniam cõſecuta eſt finem in

puncto b: non ergo agit ſecundum aliquod punctum lineæ b c. Et hoc idem per multa naturalia exempla patere poteſt. Vnde & animalia, quorum motrix eſt anima, ſecundum breuiorem lineam mouentur ad terminũ, ut patet in rectitudine filorum aranearum, ex quibus texunt telas ſuas, quæ telæ etſi nonnunquã inueniantur circulares, ſunt tamen ex rectis filis & in ſtamine, & in ſubtelari contextæ propter lineæ breuitatem. Idẽ quoq patet in canibus, qui omiſsis duobus lateribus trigoni currunt per tertium, ac ſi naturaliter informati nouerint, quod duo latera trigoni maiora ſint tertio, quòd homines geometres edocet 20 p 1. Patet itaq propoſitum, prout poſsibile nobis fuit.

◉6. Omnis reflexio luminis & coloris fit ſecundum lineas ſenſibiles latitudinem habentes. Alhazen 16 n 4.

◉Secundum enim tales lineas fit lucis incidẽtia, etiam lucis minimæ ſuper corpus politum, ut patet per 3 th. 2 huius. Latitudo itaq lineæ reflexionis eſt æqualis latitudini lineæ incidentiæ: & linea mathematica, quę eſt linea media totius lineæ reflexionis, eundem habet ſitum in loco reflexionis, quem habet linea mathematica, quæ eſt linea media lineæ incidentiæ ſenſibilis in loco incidentiæ: & ſimiliter quæliber aliarum linearum mathematicarum in linea ſenſibili reflexionis eundem retinet ſitum, quem ſua compar in linea incidẽtiæ ſenſibili: & ob hoc lineis mathematicis pro ipſis ſenſibilibus non inconueniens eſt uti in tractatibus reflexionum. Patet ergo propoſitum.

page 193

◉7. In reflexionibus factis à quibuſcun ſpeculis, fit deceptio propter intem perantiãlucis: uel propter diuerſitatem ſitus:uel propter remotionem puncti, cuius forma reflect itur:uel etiãcentri ipſius uiſus à ſuperficie cuiuslibet ſpeculorum. Alhazen 3 n 6.

◉Vniuerſaliter enim quibuſcunq modis contingit decipi uiſum circa intentiones uiſibilium per ſi mplicem uiſionem uiſorum: eiſdem etiam modis contingit uiſum decipi in uiſione, quæ fit per reflexionem: quoniam & hæc uiſio eſt quædam uiſio, in qua forma lucis & colorum & aliarum intentionum uiſibilium ipſi uirtuti diſtinctiuæ præſentantur. Et hoc, ut patuit per 1 th. 4 huius, & multis illius theorematibus, accidit octo modis. Plurimum tamen & manifeſtius fit hoc in ſpeculis: uel propter debilitatem lucis: uel propter diuerſitatem ſitus, propter quam lineas reflexionũ remoueri accidit ab axibus uiſualibus:uel propter remotionem puncti rei uiſæ, cuius forma reflectitur à ſuperficie ipſius ſpeculi:uel etiam propter remotionem ipſius centri uiſus, ad quod remota fit reflexio à ſuperficie ipſius ſpeculi. In alijs uerò quinq modis licet ſimiliter cauſſetur error in uiſione for marum reflexarum à quibuſcunq ſpenculis ad uiſum, non eſt tamẽ ille error tam ſenſibilis, ut in iſtis modis propoſitis: nec tamen fit totalis excuſatio ab illis. Patet ergo propoſitum.

◉8. Specula, à quibus regularis fit reflexio, ſunt tantùm ſeptem.

◉Quoniam enim regularis reflexio non poteſt fieri niſi à corporibus regularibus: corpora uerò re gularia non poſſunt eſſe niſi corpora ut plurimum planarum ſuperficierum uel unius ſuperficiei cõ cauæ uel conuexæ. Sicut autem patet ſenſui, licet corporum planorum ſpecies ſecundum figuras & numerum angulorum uarientur: quantùm tamen ad naturam reflexionis, in omnibus illis eſt iden titas ſuperficiei planæ: nec enim in ipſis, quo ad hæc, uariatio inuenitur: ut autem patet per 138 th. 1 huius, omnis ſuperficies conuexa uel concaua regularis aut eſt pars ſuperficiei ſphæræ, aut columnæ, aut pyramidis rotundæ. Sic ergo habentur in uniuerſo ſeptem ſpecula: quorum unũ eſt planum cuiuſcunq figuræ: & tria ſunt conuexa, ſphærica, columnaria & pyramidalia: & tria ſunt concaua, ſphęrica, columnaria & pyramidalia: nec eſt poſsibile plura eſſe ſpecula, à quibus regularis fiat reflexio. Patet ergo propoſitum.

◉9. Inſtrumentum conſtituimus, in quo modi omnium reflexionum à quibuſcun regularib. ſpeculis inſtrumentaliter declarantur. Alhazen 7 n 4.

◉Aſſumatur ſemicirculus æneus cõuenientis ſpiſsitudinis, utpote medietatis grani hordei uel cir ca illud, & conuenientis quantitatis: qui ſit a b c, cuius diameter ſit a c, & eius centrum d:

producaturq́ linea d b perpendiculariter ſuper diametrum a c per 11 p 1: eſt ergo d b ſemidiameter circuli diuidens ſemicirculum per æqualia per 33 p 6. Abſcin datur itaq ex linea d b ſuperius ſexta pars ipſius per 9 p 6, quę ſit b e: & ſecundum quantitatem lineæ e d à cen tro d fiat ſemicirculus, qui ſit f e g. Arcus itaque b c diuidatur in partes, quot libuerit, ſecundum puncta h, i, k: & arcus b a in totidem partes diuidatur ſecundum puncta l, m, n: ita quòd arcus l b fiat ęqualis arcui b h, & arcus m l arcui h i, & arcus n m arcui i k, per 23 p 1 & 26 p 3, ꝓductis lineis d h, d i, d k, d l, d m, d n. Deinde iterũ à ſemidiametro b d inferius abſcindatur ſexta pars ipſius, quæ ſit d o: & à pũcto o ducatur linea ęquidiſtans diametro ſemicirculi, quæ eſt a c, per 31 p 1: quę ſit p o q: hanc itaq interſe cabũt omnes lineæ ad partes diuiſionis à centro d productę. Punctus ergo, in quo linea d n ipſam interfecat, ſit r, & in quo linea d k ipſam interſecat, ſit s: & pũcta, in quib. ipſam ſecat ſemicirculus f e g, ſint t & u. Deinde à totali ſemicirculo abſcindatur pars d a p r exuna parte, & ex alia pars d c q s: & planentur optimè ſuperficies: & acuatur d centrum aſſumpti ſemicirculi quaſi punctus, ita ut ipſum punctũ d maneat in eadẽ ſuperficie ſemicirculi cũ lineis productis. Nos aũt quantitatẽ lineæ b e, quę eſt ſexta pars ſemidiametri d b, deinceps digitum appellamus: eſt ergo diameter a c duodecim digitorũ. Deinde aſſumatur tabula lignea quadrata plana, cuius latus fit 14 præmiſſorum digitorum, excedens diametrum a c duobus digitis: & ſpiſsitudo eius ſit 7 digitorum: & in hac tabula ſignetur punctus medius ք 40 th. 1 huius: & ſuper ipſum fiat circulus ſecundum quantitatem lateris tabulę: hic ergo excedet circulum a b c quãtitate unius digiti ex omni par te: quoniam eius diameter in duobus digitis excedit diametrum a c. Fiat iterum ſuperidem centrũ tabulæ ligneæ circulus ęqualis circulo f e g: diuidaturq́ circulus tabulę ligneę proportionaliter ſemicirculo æneo, qui eſt a b c, ita ut prima pars circuli lignei reſpondeat primæ, & ſecunda ſecundæ, & ſic deinceps: & à centro tabulæ ligneæ ducantur ad puncta diuiſionis lineę rectę: & rotũdetur tabula lignea extrinſecus ſecundum circulum maiorem: & excidatur pars interior tabulæ minori circulo contenta: remanebitq́ quędam armilla lignea, cuius latitudo eſt duorum digitorũ, diameter exterioris circuli 14: interioris circuli 10: & totius armillæ profunditas uel altitudo erit 7 digitorũ: cuius ſuperficies curuę optimè planentur ad modum columnæ rotundæ: remanebuntq́ in ſuperfi page 194 cie plana illius armillæ, lineæ diuidentes circulum ſecundum diuiſionem ſemicirculi a b c. Á capitibus itaque illarum linearum producantur lineę in ſuperficie conuexa altitudinis armillæ, perpen diculares ſuper planam ſuperfi ciem latitudinis ipſius. Ponatur enim pes circini ſuper terminum lineę diuidentis circulum: & fiat ſemicirculus in ſuperficie cõuexa armillæ, qui diuidatur per ę qualia per 30 p 3: & producatur a puncto ad pun ctũ linea: palãq́ ք 105 th. 1 huius quoniam illa linea eſt perpẽdicularis ſuper ſuperficiem latitu dinis, quæ pars eſt baſis colũnę: & eodem modo à terminis illarũ diuidentiũ producantur perpẽ diculares in ſuperficie armillæ concaua. In qua etiam ſuperficie ex parte planæ ſuperficiei non druiſæ ſum atur altitudo duorum digitorum: & in perpedicularibus lineis omnibus in illa ſuperficie productis fiant ſigna: & ſecundum ſigna illa fiat circulus ęquidiſtãs planę ſuperficiei armillæ, immiſſa tabella acuta, quantitatis circulif e g, uel alio modo, prout conue nientius poſsit fieri: & ſecundum quantitatem medietatis grani hordei fiant item alia ſigna intra illos duos digitos: & circũducatur circulus æ quidiſtans priori circulo ſecundum quantitatẽ pręmiſſam medietatis grani hordei: & ſub hoc ſecundo circulo intra altitudinem duorũ illorum digitorũ, ſecundum profunditatem ſemicirculi ænei a b c ſignentur alia puncta in prædictis perpendicularibus, & iterum fiat circulus ſecundum illa puncta: & excepto per aliqua inſtrumẽta illo corpore ligneo inter hos duos ſecũdos circulos exiſtẽte, fiat concauitas unius digiti profunda: & coaptetur huic cõcauitati ænea ſemicirculi portio, quę eſt p b q, quæ intrabit concauitatem uſq ad portionem minoris circuli, quę eſt t e u:ideo quòd diſtantia iſtorum duorum arcuum eſt unius digiti, & eadem eſt profunditas concauitatis factæ in tabula lignea. Flat autem taliter, ut ſuperficies circuli f e g diui ſa per lineam à centro d ad circumferentiam producta, ſit ad partem ſuperficiei armillæ diuiſæ. Lineę itaq perpẽdiculares ductæ in concaua ſuperficie armillæ tangent lineas diuiſionis circuli f e g, & cadent perpendiculariter ſuper ſuperficiem circuli f e g. Item in cõuexa ſuperficie armillæ ex par te ſup erficiei non diuiſæ ſignetur punctus in qualibet perpendicularium productarum ſecundum diſtantiam duorũ digitorum ab ipſa plana ſuperficie non diuiſa: & poſito pede circini ſuper quodlibet punctorum ſignatorum, fiant circuli, quorũ cuiuslibet diameter ſit ęqualis quantitati grani hor dei: & ſecundum illorum circulorum quantitatem fiant foramina columnaria rotunda: & in aliquo ipſorũ coaptetur baculus ligneus, qui cum tranſierit ad interiorem concauitatem armillæ, tãget ſemicirculi f e g ſuperficiem: quoniam, ut patet ex præmiſsis, centrum cuiuslibet illorum circulorum paruorum erit in circũferentia circuli prius ſignati in ſuperficie concaua armillę, à quo diſtat ſuper ficies circuli ęnei, qui eſt f e g, ſecundum quantitatem medietatis grani hordei. Deinde ſumatur alia tabula lignea quadrata, cuius diameter ſit æqualis diametro armillæ ligneæ: & perquiſito puncto medio ipſius per 40 th. 1 huius, ab illo puncto medio circunducatur circulus ad quantitatem ſemidiametri d e: & hic circulus erit ęqualis circulo f e g & baſi concauitatis armillę. Item ſuper centrum huius circuli fiat quadratum, cuius latera ſint quatuor digitorum lateribus ſuis æqualiter diſtantibus à lateribus huius tabulæ ligneę: quod poteſt fieri per 41 th. 1 huius: & fodiatur hoc quadratum ad profunditatem unius digiti: & planentur omnes ſuperficies concauitatis ſuæ, ut fiant rectangulæ, & fundus eius fiat planus. Deinde huic tabulæ coaptetur immobiliter baſis armillæ, ita ut circulus minor huius tabulę applicetur concauitati armillæ. Deinde fiat columna ferrea concaua aliquã page 195 tulum ſpiſſa, cuius baſis diameter ſit æqualis quantitati grani hordei, ſicut diametri foraminum: & ponatur illa columna in prius factis foraminib. quę, cũ peruenerit ad concauum armillæ, continget lineas in circulo f e g productas. Fiat aũt in capite columnæ quodcunq artificium, non permittens columnam intrare, niſi ad locum determinatum: & ut firmius ſtare poſsit, modicum cerę ſibi circũponatur: & ſit tantæ longitudinis columna, ut procedens ſuper ſuperficiem circuli f e g, contingere poſsitlatus quadrati concaui in tabula lignea, quod eſt ęquidiſtans lineę r s, ductę in ſuperficie circuli ænei. Deinde fiant ſeptem regulæ ligneę planę ęquidiſtantium ſuperficierũ orthogonalium, æquales & penitus ſimiles, quarum longitudo ſit digitorum ſex: latitudo quatuor: & ſpiſsitudo conueniens, ut inferius neceſsitas ipſius finis edocebit: & una ipſarum adaptetur quadrato cõcauo, ita ut orthogonaliter cadat ſuper fundum qua drati concaui, & ut faciliter intret ſine compreſsione: ducaturq́ taliter ut punctus d centrum ſcilicet circuli a b c contingat unam ſuperficierum la titudinis regulæ: & in puncto contactus fiat ſignum in regula, quod ſit x: & à puncto ſignato x producatur in extremitates regulę linea ęquidiſtãs longioribus lateribus regulę, quę ſit b x p. Et palàm quoniam illa erit li nea longitudinis regulę. Deinde in longiori parte illius lineę à puncto x ſignato ſumatur altitudo medij grani hordei: & fiat ibi punctum z: erit i taq z medius punctus longitudinis regulæ, centrisq́ foraminum oppoſitus directè: centra enim foraminum altiora ſunt ſuperficie circuli a b c in quantitate medij grani hordei, & diſtant à baſi armillę per duos digitos: punctus ergo z diſtat ab eadẽ baſi per duos digitos, & regula in quadrato concauo per digitum unum. Et quia ab extremitate regulę uſq ad punctum z ſunt digiti tres, longitudo quoq regulę eſt tantùm ſex digito rum: patet, quòd punctum z eſt medium longitudinis regulę. Ducaturitaq per punctum z lineę ęquidiſtans lineis extremitatum latitudinis regulæ, quę ſit c q: eſt itaque linea longitudinis regulæ, quę eſt b p, diuiſa ք ęqualia in puncto z: cuius item medietates, quę ſunt b z & z p, diuidãtur per ęqualia in punctis k & y, ſemper ductis lineis latitudinis à pũctis ſectionis k & y perpendiculariter ſuper lineam longitudinis b p & ęquidiſtanter lineæ c q. Sic ergo erit linea b p, & conſequenter tota regula diuiſa in quatuor partes ęquales. Et hoc modo omnes aliæ ſex regulæ diuidantur, & ſignentur: & ſic factum eſt, quod proponebatur.

◉10. In ſpeculis planis radij obliquè incidentis fit ad aliam partem reflexio: ſemper́ angulum incidentiæ æqualem eße angulo reflexionis experimentaliter comprobatur. Euclides 1 the. catoptr. Ptolemæus 4 th. 1 catoptricorum. Alhazen 10 n 4.

◉Fiat itaq ex ferro mundo ſpeculum planum circularis figurę: cuius diameter modo præmiſſo ſit trium digitorum: & concauetur regula præmiſſa ſecundum centrum z, qui eſt medius punctus regu læ circulariter ad quantitatem diametri ſpeculi: & profundetur ſecundum ſpiſsitudinem ipſius ſpe culi, apteturq́ taliter, ut una fiat ſuperficies ſpeculi & regulę: & ut centrum circuli rotunditatis ſpeculi directè ſuperponatur puncto z. Linea itaq c q diuidens latiorem ſuperficiem regulæ per duo æqualia, diuidet etiam ſuperficiem ſpeculi per duo ęqualia: & in hoc experimentantis diligentia cõ ſiſtat. Immittatur itaq ligneę armillæ hęc regula, donec centrum d, quod eſt acumen tabulę æneæ, cadat ſuper ſpeculũ: & tunc illa regula ſit cũ ſpeculo in figura quadrato concauo per aliquod artificium appodiata, ne uacillet, ſed ſtet firma. Deinde bene obturentur omnia foramina inſtrumenti, pręter unum, quod obliquè ſuper regulę ſuperficiem declinet: & ſit exempli cauſſa, foramen correſpõdens lineęd l in circulo a b c ęneo: & hoc foramen apertum adhibeatur radio ſolis, & melius eſtradio ſolis per ſeneſtram domus intrãti. Radius itaq ſpeculo plano incidẽs uidebitur reflecti ad fo ramen aliud correſpondens lineę d h in circulo a b c ęneo: & ſi foramen illud puncti h aperiatur, & foramen prius opertum, quod fuit punctil, obſtruatur, reflectitur itẽ radius in illud foramẽ coopertum. Angulus autem b d l eſt ęqualis angulo b d h, ut patet ex hypotheſi in pręmiſſa: ergo angulus l d a eſt ęqualis angulo h d c: quoniã totus angulus b d a eſt ęqualis toti angulo b d c: quia uterq eſt rectus. Si etiam imponatur foramini aperto columna ferrea concaua, de qua pręmiſimus: deſcẽdet lux per columnę cõcauitatẽ ad ſpeculũ, & reflectetur in foramine reſpiciens ęqualem angulum, ut prius. Et ſi ad ſecundum foramen columna transferatur, reflectetur radius ad primũ: ſemper tñ erit debilior lux per columnã deſcendens, quã ſine columna per ipſum foramen deſcẽdens. Et idem eſt experimentandi modus, ſi aliquod foraminum cum cera obſtruatur, & circa centrũ eius cum ſtilo ferreo fiat modicum foramẽ: tunc enim lumen reflectetur in ſimile ſpatiũ paruũ circa centrũ forami nis alterius, illud primũ in anguli æqualitate reſpicientis. Et ſi concauitas columnę ferreę concaua obturata fuerit, facto foramine primo ſecundum centrum ſuæ baſis, deſcendet lux per axẽ colũnæ, & ad centrum alterius foraminis reflectetur, ſemper, ęqualitate angulorum in omnibus obſeruata. Et ſi aptetur inſtrumentũ taliter, ut lux intret per duo foramina, reflectetur ſimiliter ք alia duo il lis ſimilia: ſemք enim declinatio linearũ reflexionis eſt ęqualis declinationi linearum incidẽtiæ. Et quoniã linea b x p(quę eſt linea media lõgitudinis regulę) eſt orthogonalis ſuք lineã latitudinis re gulę inferiorẽ ęquidiſtantẽ lineę c q: quoniá illa eſt cõmunis ſectio ſuperficiei regulę & ſuքficiei fun page 196 di quadrati concaui æ quidiſtãtis ſuperficiei a b c circuli ænei: & linea media ſuperficiei fundi ęquidiſtatlineæ d b (quę eſt media diameter circuli) & quia linea, quę eſt cõmunis ſectio ſemicirculi a b c & ſuperficiei regule, in qua eſt linea latitudinis regulę, eſt ſquidiſtans cõmuni ſectioni ſuperficiei fundi & regulę per 28 p 1, quoniam linea b x p cadit perpendiculariter ſuper ambasillas lineas latitudinis regulę: & quoniã linea b x p eſt erecta ſuper ſuperficiem fundi: palã per 23 th. 1 huius quoniã linea b x p eſt perpendicularis ſuper ſuperficiem circuli a b c ęquidiſtantẽ fuperficiei fundi tabulæ. Ergo per definitionem lineę ſuper ſuperficiẽ erectę, diameter d b eſt perpẽdicularis ſuք lineã b x p, cum ſecent ſe in puncto d: eſtergo linea d b erecta ſuper ſupficiem ſpeculi plani, & ſuper eius circuli diametrum: quia ſuperficies circuli a b c eſt ęquidiſtãs ſuperficiei circuli trãſeuntis per cẽtra fora minum: quoniã diftantia omnium centrorũ foraminum à ſuperficie circuli a b c eſt eadem, ſcilicet medietas quantitatis granihordei. Superficies uerò tranſiens centra omniũ ſoraminum ſecat columnã ferreã per axem: eſt ergo axis colũnę in illa ſuperficie, Et quia columna ſerrea in ſuo deſcẽſu tangit aliquã linearum in ſuperficie circuli a b c, à cẽtro d a d circumferentiã productarum, utpote li neã d b, uellineã d m, uel aliquã aliã illarum linearum: palã per præmiſſa, quia axis columnæ ęquidi ſtatilli lineę, quę tangitur per lineã lõgitudinis columnę. Et quoniã per quodcunq foraminũ columna deſendente, ſemք axis eius caditin linea b x p & in punctũ z: linea uerò z b ſemper eſt perpen dicularis ſuper ſuperficiẽ a b c: linea quoq à puncto z ipſius regulę protracta ad centrũ foraminis. quod eſt contingens punctum n, eft ęquidiſtans lineę d n, & ſimiliter de alijs centris foraminũ & pũ ctis m, l, h, i, k ſignatis in circumferentia a b c: oẽs enim ſemidiametri foraminũ ſunt ęquales & ęqui diſtãtes lineę z b ք 25 th. 1 huius: ſunt enim oẽs ſemidiametri foraminum perpẽdiculares ſuք ſuperfi ciẽ circuli a b c: quoniã ſunt partes lineeę lõgitudinis armillæ. Lineę itaq l d & d h ſunt ęquidiſtantes duabus lineis imaginatis duci à puncto regulę, quod eſtz, ad centrum duorũ foraminum cõtingen tium puncta l & h per 33 p 1: ergo per 10 p 11 anguli ab illis lineis in ſuperficiebus ęquidiſtantibus cõ tenti ſunt æquales. Et ſi à puncto z ducatur linea ad centrum medij foraminis, eritipſa per præmiſſa ęquidiſtans lineę d b, diuidens angulum linearum ſecum cõcurrentium per æqualia, ſicut linea d b diuidit angulum l d h per æqualia. Patet ergo propoſitum.

◉11. In ſpeculis planis radium perpendiculariter incidentem reflec̃ti in ſe ipſum inſtrument æliter declar atur. Euclides 2 the. catoptr. Alhazen 11 n 4.

◉Remanente enim omni diſpoſitione inſtrumenti, ut prius: & regula, in qua ſitum eſt ſpeculũ planum, erecta ſuper fundum quadrati concaui, quod eſt in tabula lignea, quæ eſt baſis inſtrumẽti, obturentur omnia ſoramina, præter medium, cui reſpondet ſemidiameter d b circuli a b c: & fiat bacu lus columnaris ad quantitatem foraminis, cuius extremitas acuaturita, ut remaneat ſolus punctus, qui eſt terminus axis eius, qui immittatur per foramẽ ad ſpeculum: ſigneturq́ in cauſto punctus, in quẽ ceciderit. Deinde extracto baculo opponaturforamen apertum radio: cadetq́ radius ſuper pũ ctum ſignatum, & circa ipſum efficiet circulum. Signeturitaq in fine huius lucis circularis punctũ, & ſecundum quantitatem lineę interiacentis puncta ſignata fiat circulus, qui erit maior circulo fo, raminis per 36 th. 2 huius: quoniam ſemper proceſſus lucis per foramen ingredientis eſt in modum pyramidis: in nullo aũt aliorum foraminum neq in aliqua parte cõcauitatis armillæ uidebitur lux reflexa. Palàm ergo quòd lux deſcendens per axẽ, reflectitur per eundem, & ſecundum illius reflexionem ordinatur totaliter reflexio luminis incidentis. Quãuis aũt uideatur lux circularis circa ba fim interiorẽ foraminis maior luce incidente uel radio, & quãuis illa lux uideatur major ipſius lucis interioris circulo, palãq́ ſit illã lucẽ apparere per reflexionẽ: non tñ accidit hoc ք reflexionẽ rad j քpendiculariter incidentis, qui eſt axis illius pyramidis luminoſæ: ſed accidithoc propter reflexionẽ aliorum radiorũ pyramidis obliquè ſpeculo incidentiũ, qui etiã ſecundum modũ ſuæ obliquitatis ad partes oppoſitas, & nõ in ſe refle ctuntur: quod pater, ſi obturetur ք cerã utraq baſis foraminis, fa cto modico foramine ſecundũ axẽ: tunc enim radio ſolis ք uiã tantũ axis deſcendẽte, nõ apparebit lux reflexa circularis circa interiorẽ baſim foraminis. Patet ergo quòd non procedebat illa lux circularis ex reflexa luce axis, ſed ex reflexione lucis obliquè incidentis ipſi ſpeculo. Quòd ſi regula, in qua ſitum eſt dictum ſpeculum planum, aliquãtum retrorſum inclinetur: tunc palã eſt quòd radius per medium foramen incidens non cadit perpendiculariter ſuper ſuperficiem ſpeculi, uidebiturq́ lux reflexa à medio foramine remota ſecundum modum declinationis ſpeculi: ſemper tñ centrum lucis cadet ſuper lineã ductam in cõcaua ſuperficie armillę perpendicularẽ ſuper ſuperficiẽ a b c cir culi ęnei, & deſcendentẽ per centrum baſis foraminis medij: hoc enim ſecat ſemper lucẽ circularẽ reflexã, & diuidit circulum eius per medium. Et ſi regula ad latus dextrũ uel ſiniſtrum declinetur, ſemper radius ſecundũ hoc obliquabitur: regula uerò ad rectitudinẽ redeunte, reuertetur lucis reflexio ad interiorẽ baſim foraminis, ut prius. Patet ergo propoſitum: ſemper enim in ſpeculis planis radius perpendiculariter incidens reflectitur in ſe ipſum: ſed in radijs obliquè incidentib. angulus incidentiæ fit æqualis angulo reflexionis, ut patet per præmiſſam.

◉12. In ſphæricis conuexis ſpeculis radio incidente & reflexo, ſemper angulus incidentiæ eſt æqualis angulo reflexionis. Ex quo patet quia radius perpendicularis reflectitur in ſe ipſum. Euclides I the. catoptr. Ptolemæus 5 th. 1 catoptr. Alhazen 12 n 4.

◉Fiat ex ſerro mundo ſpeculum ſphæricum cõuexum hoc modo. Deſcribatur circulus maximus page 197 ſphæræ, cuius diameter ſit ſex digitorum aſſumptorum prius: & inſcribatur ei linea æqualis ſemidiametro per 1 p 4: itaq erit chorda trium digitorum. Ducatur quoq à centro ſphærę ſemidiameter perpendiculariter ſuper illam chordam per 12 p 1: & producatur ad arcum, cadetq́ in medium arcus punctum per 4 p 1, & per 28 p 3: eritq́ ſinus uerſus minor medio digito. Abſcindaturitaq illa minor portio circuli, & ſecundum illius quantitatẽ & cõcauitatẽ fabricetur ſpeculum, quod limetur & po liatur planiſsimè extrinſecus: aſſumaturq́ regula lignea ſimilis penitus prius ſumptę in omni linea tione & creatione: & facta cõcauitate in linea ad modum ſpeculi, applicetur ſpeculum regulęita, ut medium punctũ conuexi ſpeculi cadat ſuք z medium punctum regulę: & ſit in ſuperficie ipſius regulę, quod poteſt ſciri per applicationẽ alterius regulę uel amuſsis, ut placuerit. Erigatur quoq regula cum ſpeculo orthogonaliter ſuper fundum quadrati, ut in ſpeculis planis, & operatione priori repetita, & luce per foramen obliquum uel medium defcendente fiat reflexio, ut prius. Et ſimiliter fiet, ſiregula declinetur. Semper enim luces per diuerſas lineas obliquas ſpeculo ſphęrico cõuexo incidẽtes, per diuerſas lineas obliquas reflectuntur: & quę fecun dum perpendiculares lineas ſpeculo luces incidunt, reflectuntur in ſe ipſas, & ſemper angulus incidentiæqualis angulo reflexionis. Quod proponebatur.

◉13. In ſphæricis concauis ſpeculis radio incidente & reflexo, ſemper angulus incidentiæ eſt æqualis angulo reflexionis. Euclides 1 the. catoptr. Alhazen 12 n 4.

◉Fiat ſpeculum ſphęricũ ut fuprà: & ſecundum conuexã portionẽ illius circuli limetur & poliatur planiſsimè intrinfecus: & aſſumatur alia regula lignea ſimilis priori, & coaptetur ei ſpeculũ taliter, ut circulus baſis ſpeculi fit in ſuperficie regulæ: & centrũ illius circuli cadat in punctum z: & linea c q, quæ diuidit ſuperficiem regulæ per ęqualia, continuetur diametro baſis ſpeculi, & fiat iftorũ diligens in quiſitio per artificium, quod induſtriæ experimentantis cõmittimus. Immittaturq́ regula cũ ſpeculo ipſi inſtrumento, ut prius, & fiat operatio ſimilis omnino priori, ſic tamen ut femper pũctus d, qui eſt centrũ ſemicirculi ęnei, cadat ſuper medium punctum ſpeculi: hoc enim eſt ſem per in omnib. ſpeculis cõuexis & cõcauis obſeruandũ: declarabiturq́ angulorũ incidentię & reflexionis ęqualitas, ut prius, tã in radijs obliquè incidẽtib.  in ipſo radio perpẽdiculari. Patet ergo ꝓpoſitũ.

◉14. In columnaribus conuexis ſpeculis radio incidente & reſlexo, ſemper angulus in cidentiæ eſt æqualis angulo reflexionis. Euclides 1 th. catoptr. Alhazen 12 n 4.

◉Sumatur enim columna rotunda, quæ ſit altitudinis trium digitorum: & cuius baſis circuli diameter ſit ſex digitorum: & reſecetur portio circuli baſis illius columnæ, ut prius in ſpeculis ſphæricis: fiatq́ ex ferro mundo portio columnę, cuius baſis ſit illa portio ciculi, & altitudo ipſius trium digitorum: & ſecundum concauitatem illius formetur cõuexitas illius portionis: fiantq́ omnes lineę lõgitudinis eius perpendiculares ſuper utraſq baſes: eritq́ ſinus uerfus bafis minor medietate unius digiti. Hoc itaq ſpeculum optimè politum ſui conuexo applicetur uni regularum ſimili prio ribus, ita ut medius punctus eius cadat ſuper medium punctũ regulæ, quieſtz, & ita ut linea longitudinis diuidens ipſius conuexam ſuperficiẽ per ęqualia, ſit in ſuperficie regulæ: & applicetur ei ſecundum lineã longitudinis eius, quę eſt b p: & hoc fieri poterit, ſiutriuſq baſis arcus per ęqualia di uidatur, & puncta media ſignata lineę b p applicẽtur. Immittaturitaq regula cũ ſpeculo ipſi inſtrumento, ut prius, & fiat operatio ſimilis priori: demõſtrabiturq́ angulorũ incidentię & reflexionis ęqualitas, ut ſuprà: nec eſt in aliquo à paſsiõe ſpeculorũ planorũ in his ſpeculis diuerfitas, niſi in hoc: quòd ſi radio per foramen medium incidente, regula hæc obliquetur ſecundum partẽ dextram uel finiftram: apparebit inde lux reflecti ſuper idem medium foramen & medium lucis ſuper medium foraminis, quę lux in ſpeculis alijs obliquatur. Quoniã enim in ſpeculis columnarib. radins perpen diculariter incidens uni lineæ longitudinis, perpendiculariter unicuiq aliarum ſibi oppofitarũ incidit: propter hoc in omnibus ipſis accidit uniformitas reflexionis: & ſemperradius perpendicularis reflectitur in ſeipſum. Patet ergo propoſitum.

◉15. In pyramidalibus conuexis ſpeculis radio incidente & reflexo, ſemper angulus incidetiæ eſt æqualis angulo reflexionis. Euclides 1 the. catoptr. Alhazen 12 n 4.

◉Fiat ex ferro puro ſpeculum pyramidale, cuius baſis ſit ęqualis baſi ſpeculi columnaris: erit ergo chorda illius baſis trium digitorum: & ſinus uerſus minor medietate unius digiti. Sit aũt linea lõgitudinis ſpeculi quatuor digitorum & dimidij, & hoc optimè exterius politum applicetur uni ſimilium regularum taliter concauatæ, ut medius punctus eius ſit ſuper punctum z medium punctũ regulæ: & ut acumen eius ſit in termino lineę b p: & linea diuidens portionem pyramidalẽ per ęqua lia, quę ſcilicet â uertice pyramidis ad mediũ punctũ arcus baſis producitur, ſit in ſuperficie regulę. Immiſſa quoq regula cũ ſpeculo in inſtrumentũ, fiat operatio, ut prius: & accidũt omnia, quęin ſpe culis columnarib. conuexis accidebãt, Eſt ergo & in ipſis angulus incidentię æqualis angulo reflexionis: & radius քpẽdicularis ſemք reflectitur in ſeipſum, ut patuit in p̃miſsis. Pater ergo ꝓpoſitũ.

◉16. In columnaribus concauis ſpeculis radio incidente & reflexo, ſemper angulus incidentiæ eſt æqualis angulo reflexionis. Euclides 1 the. catoptr. Alhazen 12 n 4.

◉Fiat ferreum ſpeculũ columnare cõcauum, cuius concauitas ſit omnino æqualis prioris colũna page 198 ris ſpeculi conuexitati: ſitq́ optimè ſecundum concauitatẽ arcus portionis baſis interius politũ: & hoc applicetur uniregularum ſimilium concauatæ, ut prius, taliter, ut chordæ arcus utriuſq baſis cum extremis lineis lõgitudinis ſint in ſuperficie regulę: & fiat operatio, ut prius: accidentq́ omnia, quæ in ſpeculis columnaribus conuexis accidebant. Et per hoc patet propoſitum.

◉17. In pyramidalibus concauis ſpeculis radio incidente & reflexo, ſemper angulus incidentiæ eſt æqualis angulo reflexianis. Euclides 1 the. catoptr. Alhazen 12 n 4.

◉Fiat ſpeculum ferreum pyramidale concauum, cuius concauitas ſit omnino æqualis præmiſsi cõ uexi pyramidalis ſpeculi conuexitati: & poliatur interius: appliceturq́ uni regularum ſimilium taliter, ut medius punctus eius ſit ſuper punctum z, & ut acumẽ eius ſit directè in linea b p, & ut chorda arcus ipſius baſis ſit in ſuperficie regulæ, Cum aũt linea longitudinis portionis pyramidalis ſpeculi ſit quatuor digitorum & dimidij, reſtat ex longitudine regulæ digitus & dimidius tam in ſpecu lo concauo quàm in conuexo. Immiſſa quoq regula cum ſpeculo in inſtrumentum, fiat operatio, ut prius: accidentq́ omnia, quę in ſpeculis pyramidalibus conuexis accidebantin reflexioneradio rum obliquè incidentiũ ad an gulos ęquales: & in reflexione radiorum perpendiculariũ in ſe ipſos. Patet ergo propoſitũ. Palã itaq ex præmiſsis, quoniã in omni reflexione à quibuſcunq ſpeculis po litis regularibus (ut ſunt hæc ſeptem ſpecula) ſemperradius ſecundum lineam rectam perpendicu lariter incidens ſecundum eandem rectam perpendicularem reflectitur: & quòd radius ſecundum lineã rectã obliquè incidens, ſecundũ aliã lineã obliquã reflectitur, ita tamẽ quòdangulus incidentiæ eſt ſemper ęqualis angulo reflexionis: unde hoc per rationabilẽ ſenſus experiẽtiã inuẽto, ſem ք utuniuerſaliprincipio, deinceps in omnib. his ſpeculis utemur: & licet hoc, ut quidẽ huius ſcientiæ principium, ſit experimentaliter declaratum: poteſttamen etiam per aliquẽ demonſtrationis modum ad ipſius ſciẽtiam perueniri: unde nos ipſum, prout diligentius poterimus, tentabimus demõſtrare: propter quod duo ſequentia theorem ata duximus præmittenda.

◉18. Omnis res uiſa per ſpeculum quodcun, ſub breuiſsimis lineis comprehenditur à uiſu. Pto lemaus 4 th. 1 catoptr.

◉Sit ſpeculum, in cuius ſuperficie ſit linea recta uel curua, quæ ſit a c b: rei quoq uiſæ punctus ſit d: & centrum oculi ſit f: & punctus d uideatur reflexus à puncto ſpeculi c. Dico quòd lineę f c & d c, ſunt breuiores omnibus lineis protractis à punctis d & fad quælibet alia puncta ſpeculi. Ducantur

enim à puncto alio ſuperficiei ſpeculi (quod ſit e) lineæ e d & e f, quæ non ſint breuiores quàm lineæ c d & c f, neque æquales illis, ſed longiores. Quia ergo, ut patet ք 5 huius, natura in omnibus agit ſecundũ lineas breuiores: multiplicatio uerò formarum ad ſuperficies ſpecu lorum eft naturalis: quoniam fit opere naturæ, ſicut & omnis alia diffuſio formarum, ut in philoſophia natura licapitulo de naturali a ctione oſtendimus: & ſimiliter reflexio formarum à ſuperficieb. ſpeculorum ad uiſum eſt purè naturalis, quoniam ſit ab opere naturæ, & completur per actionem animæ, ſicut & omnis alia uiſio, ut patet per totum quartum huius noſtræ ſcientiæ librum: eſt autem anima tanquam natura animalium. Patet ergo quòd hæc diffuſio formæ & reflexio & comprehenfio, quæ fit ſecundum ipſam, eſt uerè naturalis: fiet ergo ſecundum lineas breuiores: quod eſt propoſitum: fruſtra enim fieret ſecun dum lineas longiores, cum poſsit melius & certius fieri ſecundum lineas breuiores.

◉19. Lineæ incidentiæ & reflexionis, continentes angulos æquales cum perpẽdiculari à puncto ſui concurſus ſuper ſuperficiem ſpeculi plani uel cõuexiextracta, ſunt breuiores omnib. lineis ab eiſdem termin is ſuper eandem ſuperficiem ſpeculi productis, continentib. angulos inæquales cũ perpendicularibus à punctis ſui concurſus extractis.

◉Quod hic proponitur, faciliter per 17 & 18 th. 1 huius poteſt demõſtrari: ſed quia aliter eſtidẽ demonſtrabile, ſit res uiſa quęcunq, in qua ſit punctus c: & ſit ſpeculum planum, in cuius fuperficie ſit linea h d e: ſit autem nunc, exempli cauſſa, ſpeculum datum planum: erit ergo linea h d e linea recta: lineæ quoq continentes angulos ęquales cum linea h d e, fint c d & d f. Aut ergo centrum oculi erit in eadem linea æquidiſtante lineæ h d e, in qua eſt c punctus rei uiſæ, aut n on. Si ſit: eſto itaq punctum oculi f: & protrahatur linea c f: & extrahatur à puncto d perpendicularis ſuper ſpeculi ſuperficiem per 12 p 11, quæ protracta, quia ſecat angulum c d f, patet per 29 th. huius, quoniã ipſa ſecabit li neã c f: eſt enim in eadẽ ſuքficie cũ illa: hęc ergo perpẽdicularis ꝓducta ad lineã c f, ſit d g: erit ergo li nea d g perpẽdicularis ſuper lineã c f ęquidiftantẽ lineæ d e per 29 p 1. Quia ergo c d h angulus eſt ęqualis f d e angulo, dẽptis illis angulis ęqualib. à duobus rectis, qui ſunt g d h & g d e, erũt anguli reſi dui ęquales: eſt ergo angulus c d g ęqualis angulo g d f. Et quoniã trigonorũ c d g & f d g ambo angu li, qui ſunt ad pũctũ g, ſunt recti: palam ք 32 p 1, quoniã anguli d c g & d f g ſunt ęquales. Sunt itaq tri goni c d g & f d g ęquiãguli: latera ergo ęquos angulos reſpiciẽtia ſunt ꝓportionalia ք 4 p 6: & quoniam latus d g ęquale eſt ſibijpſi, erit latus f d æquale lateri c d: ductisq́ lineis f e & c e ſuper pun page 199 ctum e punctum lineæ d e, quæ ut patet ex pręmiſsis, eſt æ quidiſtans lineæ e f, patet quòd linea

c e eſt maior quàm linea f e per 19 p 1: eſt enim angulus c f e maior angulo g f d, & angulus f c e eſt minor angulo g c d: reſtat ergo ut angulus c f e ſit maior angulo f c e, & quòd linea c e fit maior quàm linea f e, Et quia ſuper eandem baſim, quæ c f, & inter lineas æquidiſtantes, quæ ſunt d e & c f, collocatur trigonum c f d, cuius latera c d & d f ſunt æqualia, & trigonum c f e, cuius latera c e & f e ſunt inæqualia, ut patet ex præmiſsis: dico quòd latera c d & d f ambo ſimul ſumpta ſunt minora ambo bus lateribus c e & f e ſimul ſumptis. Producatur enim linea c d ultra punctum d in continuum & directum ad punctum l, ita ut linea d l ſit æ qualis, lineæ d f: ſed & linea c e, quæ eſt longius latus trigoni c f e, producatur ultra punctum e ad punctum m. donec linea e m fiat æqualis lineæ e f: & copuletur linea l m & linea e l. Et quia angulus f d e eſt æqualis angulo d f c per 29 p 1, & angulus d f c eſt æqualis angulo d c f, ut patet ex pręmiſsis: angulus uerò e d l æqualis eſt angulo f c d per 29 p 1: erit ergo angulus f d e ęqualis angulo e d l: ſed linea d l eſt æqualis lineę d f, & linea d e eſt ambobus trigonis (quę ſunt f d e & e d l) communis: ergo per 4 p 1, eſt linea f e æqualis lineæ l e: ergo & lineæ e m: ergo per 5 p 1 anguli e l m & e m l ſunt æquales: totalis ergo angulus c l m eſt maior angulo c m l: ergo per 19 p 1 linea c m eſt maior quàm linea c l. Duo ergo latera c e & e f pariter accepta maiora ſunt duobus lateribus c d & d f pariter acceptis. Quod eſt propoſitum. Si autem uiſus & res uiſa non ſint in eadem linea æquidiſtante lineę h e: ſit punctus reiuiſæ, ut prius, c: & centrum uiſus ſit b: & ducatur linea b a æ quidiſtans lineę h d e, quę eſt in ſpeculi ſuperficie: & producatur linea d c ad punctum a: & protrahantur lineę c d, b d, c e, a e, e b: & ſint lineę continentes æquales angulos cum linea d e, quæ c d & d b: in ęquales uerò angulos contineant c e & b e: erunt ergo, ut ſuprà, lineę a d & b d ęquales, producta perpendiculari d k à puncto d. Comparato ergo trigono a d b ad trigonum a e b: erũt lineę a d & d b minores quàm lineę a e & e b, ut patet ſecundum pręmiſſa, Cum enim lineę a d & d b ſint æquales per 2 p 6, 18 p 5 & corollarium 4 p 5: ideo quia lineę c d & d f ſunt æquales: lineę uerò a e & b e ſuntinęquales: erũt duo latera a e & b e ſimul iuncta maiora duobus lateribus a d & d b ſimul iunctis: ergo cum a c & c e duo latera trigoni a c e per 20 p 1 ſintlongiora latere a e: eruntiſtę tres lineę a c, c e, e b longiores duabus lineis, quę ſunt a d & d b: ergo dempta hincinde ipſa a c com muni, remanèbunt lineę c e & e b maiores quàm lineę c d & d b. Quod eſt propoſitum. Eteodẽ modo poteſt demonſtrari in quibuſcunq alijs ſpeculis conuexis. Sit ergo ſpeculum non planum, cuiuſcunq figurę conuexę placuerit, & ſit nunc, exemplicauſſa, ſphęricum conuexum, quia idem ac ciditin alijs: & ſit h a b: ſitq́ centrum uiſus g: & punctum uiſum d; & lineę g a & d a ęquales angulos contineant cum linea circulum contingente in puncto a, quę ſit e f, ita ut angulus e a g ſit ęqualis angulo f a d: incidantq́ lineę g b & d b in punctum alium ſpeculi, qui ſit b, ita ut inęquales angulos contineant cum linea contingente ſpeculum in puncto b. Dico, quòd li neę g a & a d ſunt minores lineis g b & d b. Quoniam enim angulus contingẽtię, qui eſt h a e ęqualis eſt angulo b a f, uterq enim eſt minimus acutorum per 16 p 3: angulus uerò e a g eſt ęqualis angulo f a d: ſit pun ctus, in quo linea g b ſecat lineam contingentem, quę eſt e f, punctus z: & ducatur linea d z: palàm per 16 p 1, quoniam angulus e a g eſt maior angulo e z g: ergo angulus d a z eſt maior angulo g z a: ſed angulus d z f eſt maior angulo d a z: ergo angulus f z d eſt maior angulo g z a: ergo per 17 th. 1 huius duę lineę g a & d a ſunt minores duabus lineis g z & d z: ſed lineę g z & d z ſunt minores lineis g b & d b: quoniã linea g b eſt maior quàm linea g z, ut totum parte: linea uerò d b eſt maior quàm linea d z per 8 p 3. Patet ergo propoſitum uniuerſaliter in ſuperficiebus quorumlibet ſpeculorum cōuexorum. Hoc aũt idẽ ut prędiximus, poteſt per 17 uel per 18 th. 1 huius facilius demōſtrari: quoniã in illis oſtẽdimus, q lineę rectę continentes angulos ęquales cum linea, cui ad unum punctum incidũt, ſunt breuiores page 200 omnibus lineis ab eiſdem terminis ſuper eandem lineam ad unũ punctum alium productis, Ethoc propoſuimus per 17 th. 1 huius in lineis rectis, per 18 eiuſdẽ primi in lineis conuexis.

◉20. In omnireflexione à quibuſcun ſpeculis facta, ſemper angulus incidẽtiæ eſt aqualis angulo reflexionis: ex quo patet, quòd linearum inæqualit as natur am reflexionis non immutat. Euclides 1 th. catoptr. Ptolemæus 4. 5 th. 1 catoptr. Alhazen. 10. 18 n 4.

◉Quoniam enim, ut patet per 18 huius, omnis res uiſa per quodcunq ſpeculũ planũ uel cõuexum uel concauũ, ſub breuiſsimis lineis comprehẽditur: lineę uerò ab eiſdẽ punctis, utpote â pũcto rei uiſę, & cẽtro uiſus ad ſuperficiẽ cuiuſcũq ſpeculi productę breuiſsimę ſunt, quę continẽt angulos æquales, & cũ lineis contingẽtibus ſuperficies ſpeculorũ, & cũ perpẽdicularibus à pũctis fui cõcur ſus productis ſuper ſuperficies ſpeculorũ, ut patet ք pręmiſſam: angulus uerò, quẽ facit linea â pun cto rei uiſę producta, eſt angulus incidentię, & angulus, quẽ facit linea ab illo pũcto ad centrũ uiſus producta, eſt angulus reflexionis: patet ergo quòd angulus incidẽtię

ſemper eſt æqualis angulo reflexionis, à quocunq ſpeculo plano uel cõuexo fiat reflexio. Sed & idẽ patẽt in cõcauis ſpeculis quibuſcunq. Sit enim aliquod ſpeculũ cõuexũ, in quo ſit circulus e b d: quẽ in pun cto b cõtingat extrinſecus circulus a b c: & ducatur à pũcto b linea f b g ambos circulos cõtingẽs in pũcto b: & ſit pũctus rei uiſęh, cuius forma à pũcto b ſpeculi cõuexi reflectatur ad uiſum exiſtentẽ in pũcto k: eritq́ ք p̃miſſangulus h b f æqualis angulo k b g: ſed & angulus a b f eſt ęqualis angulo c b g per 16 p 3, quoniã ſunt anguli cõtingẽtię: relin quitur ergo angulus h b a, qui eſt angulus incidẽtię in ſpeculo cõcauo a b c, æ qualis angulo k b c, qui eſt angulus reflexionis. Patet ergo propoſitũ. Vniuerſaliter enim in omnibus ſpeculis cõcauis hęc demõſtra tio poteſt coaptari. Eſt aũt etiã hoc rationabile. Si enim linea incidentię, quę ſit, exempli cauſſa, a b, lineã rectã c b d protractã in ſuperficie plani ſpeculi, uel contingentẽ ſuperficiẽ conuexam uel concauã alicu ius ſpeculi ſine reflexione penetraret in puncto b uſq ad punctũ e: pa làm per 15 p 1, quòd angulus incidẽtię a b c fieret ęqualis angulo e b d. Si ergo fiat reflexio ſecũdum lineam b f: conuenientius eſt, utfiat ſecũdum angulum ęqualem illi contrapofito quàm ſecũdum aliquem aliũ angulũ, ita utangulus f b d fiat ęqualis angulo e b d, & angulo a b c. Si enim punctis c & d exiſtẽtibus immotis, linea c d imaginetur reuolui: tũc enim linea e b propter ęqualitatem angulorũ e b d & d b f cadet ſuper lineã b f: & hocuidetur importare nomẽ reflexionis. Patet ergo propoſitũ. Patet etiã ex hoc corollariũ: linearũ enim inęqualitas, quia nõ immutat angulorũ quantitatem: ergo neq naturã reflexio nis. Vnde pũcta eiuſdem lineę remotiora à pũcto reflexionis, poſſunt reflecti ad uiſum, ſicut pũcta eiuſdem lineę propinquiora puncto reflexionis. Vniuerſaliter enim omnia puncta eiuſdem lineę ſecundum ęqualem angulum reflecti poſſunt. Ethoc proponebatur.

◉21. Omnis formæ ſecundum lineam perpendicularem ſuper ſuperficiem cuiuſcũ ſpeculi incidentis, reflexio fit ſecundum lineam eandem. Euclides 2 th. catoptr. Alhazen 11 n 4.

◉Verbi gratia, eſto, ut forma pũctia ſuperficiei ſpeculi b d cincidat ſecundum lineam a d perpendicularem ſuper ſuperficiem b d c: dico quòd reflexio formę puncti a erit ſecundum eandem lineam d a. Dato enim quòd ſecundum aliam lineam fiat reflexio: tunc, cum angulus incidentiæ ſemper ſit ęqualis angulo reflexionis, ut patet per præmiſſam: & in propoſito angulus incidentiæ ſit rectus: infiniti quoque fint anguli recti ordinatim ſuper punctum d, nec ſit declinatio formę plus ad unum punctum ſuperficiei b c, quàm ad aliud: ęqualiter enim ſe habet linea a d, quę eſt linea incidentię, ad punctum b, & ad punctum c, & ad omnia alia puncta ſuperficiei b c, Sic ergo erunt infinitę reflexiones ad infinita puncta ſuperficiei b c: quia qua ratione ad unam differentiam poſitionis fieret reflexio: eadem ratione fieret ad aliam & ad om nem: quod eſt inconueniens. Dabitur ergo neceſſariò quòd fiat reflexio ſuper unam & eandẽ lineã a d, ſecundũ quã incidentia fiebat. Perpẽdiculares ergo uel nõ reflectuntur, uel redeunt in ſe ipſas, & fortificatur actio talium formarũ. Si tamẽ dicatur q perpẽdicularis page 201 incidens per aliam lineam reflectitur: ſit, ut reflectatur per lineam d e: tunc ergo cum angulus incidentiæ, ut patuit per præmiſſam, ſemper ſit æ qualis angulo reflexionis, erit angulus a d c æ qualis angulo a d e: ſed angulus a d c æqualis eſt angulo a d b per hypotheſim: erit ergo angulus a d e ęqua lis angulo a d b, pars ſuo toti: quod eſt impoſsibile. Patet ergo propoſitum.

◉22. Inter punct a formæ ſuperficiei cuiuſcun ſpeculi incidentis & ſpeculi oppoſiti ſuperficiem, neceſſe eſt infinitas pyramides figurari, conos & baſes binc inde mutuas babentes. Alhazen 14 n 4.

◉Declaratum eſt enim per 1 huius, quoniam à quolibet pũcto corporis oppoſiti procedit lux uel color ad quodlibet punctum ſpeculi: oẽs enim lineæ ductæ à quolibet puncto corporis recidunt in unum punctum ſpeculi: & forma unius puncti corporis incidit omnibus punctis ſuperficiei totius ſpeculi: eò quò ad omnẽ poſitionis differẽtiam fit diffuſio formarum. Tota ergo forma corpo ris erit in unoquoq puncto ſpeculi: & forma cuiuslibet puncti corporis in tota ſpeculi fuperficie. Quot ergo ſunt puncta in ſuperficie ſpeculi, tot ſunt pyramides ad totam ſuperficiẽ formæ corporis terminatæ, quę ſuperficies ſit baſis omnium illarum pyramidum: & quot ſunt puncta in totali ſu perficie corporis, cuius forma incidit ſpeculo, tot ſiunt pyramides ad totam ſuperficiẽ ſpeculi terminatæ, quę fit baſis omniũ illarũ pyramidũ. Et ſunt oẽs iſtæ pyramides cõtinuę propter continuitatẽ punctorum in dictis ſuperficiebus exiſtentium potẽtia, nó actu: eritq́ axis cuiuslibet harũ pyramidũ punctus, ſecũdum quẽ ſpeculo incidit, pũctus medius totius formę ſpeculo incidẽtis: quoniam ab illo incidunt ſecundum æ qualem diſtantiam omnes punctialij circumſtantes æqualiter medium punctum formæ. Patet ergo propoſitum.

◉23. Impoßibile est uideri imagines in quibuſcun ſpeculis propter reflexionem radiorum uiſualium à ſpeculis ad res uiſas: ſed ſolùm propter reflexionem formarum à ſpeculis ad uiſumAlhazen 20 n 4.

◉Sienim radij uiſuales refle cterẽtur à ſpeculo ad res, quarũ uiſus accipit imagines, referrẽtq́ ipſas formas à ſpeculis ad uiſum:tũc quælibet imago uideretur in loco ſuæ rei, cuius eſt imago: quod eſt contra ſenſum Et quia, ut præoſtẽſum eſt per 2 huius, ab omni corpore colorato præſente luce color ad corpus oppoſitũ politũ mittitur mixtim cũ lumine, & quãdoq totaliter, quãdoq partialiter reflectitur ab illo: tũc ſi radij uiſuales incidẽtes ſpeculis reflecterẽtur ab illis ad res ipſas, & deferrẽt ſecum formas: accideret quòd duæ uiderẽtur imagines uniuſcuiuſq rei, quarũ unam offerret uiſui ipſe uiſualis radius reflexus, & aliá ipſe radius ſormæ rei incidẽs ſpeculo, in quo formæ rerũ imprimuntur, & reflexus à ſpeculo ad uiſum: quod totũ eſt impoſsibile ſenſui. Sed ad huius oppoſitum quidá antiquorũ demonſtrationẽ attulit, quã & nos utindifferẽtẽ uigoratá fortius præſenti ꝓpoſi to applicamus. Sit itaq, exempli cauſſa, ſpeculũ planũ erectũ ſuper ſuperficiẽ horizontis orthogonaliter: in quo ſit linea diuidẽs ſuperficiẽ ſpeculi ք æqualia, quę ſit a b: & ſit cẽtrũ uiſus g: à quo ducatur linea g t perpẽdicularis ſuper ſuperficiẽ ſpeculi ք 11 p 11. Sit itaq, ut linea g t cadat ſuper lineã a b in pũctũ t: erit ergo linea g t perpẽdicularis ſuper lineã a b. Et ducantur à pũcto g lineæ g a & g b

ęquales: erunt ergo per 5 p 1 anguli g a b & g b a æ quales: & anguli ad pũctum t ſunt recti: ergo per 26 p 1, & per hypotheſim erit linea at æqualis lineæ b t. Producãtur itaq li neæ g a & g b ultra ſpeculũ ad puncta d & e: ita ut lineæ g a d & g b e fint ęquales: & cóiũgatur linea d e: producaturq́ linea g tad lineá d e: & incidat illi in pũcto h. Erit ergo ք præmiſſa & 26 p 1 linea d h æ qualis lineæ h e: ergo ք 8 p 1, & per definitionẽ perpẽdicularis, anguli ad pũctũ h ſuntrecti: ergo ք 28 p 1 line æ d h & a t ſunt æquidiſtátes, & lineę h e & t b æquidiltátes: ꝓducaturq́ linea t g ultra uiſum g, donec linea ti ſit æqualis line æ t h: & ducãtur à pũcto i lineę i u & i z æ quidiſtáter lineæ a b: & ſit linea u z ęqualis line æ d e: & ducátur lineę u a & z b. Quia ergo linea t i eſt æqualis ipſi lineę t h, & linea u z æ qualis lineę d e, & linea a b ęqualis eſt ſibi ipſi, erit ſuperficies a b z u ęqualis ſuperficiei a b d e. Superpo fita enim nec excedetnec excedetur. Linea ergo u a eſt ęqualis lineę a d, & z b eſt ęqualis ipſi lineæ b e: & angulus a u z ęqualis eſt angulo a d e, & angulus u z b eſt æqualis angulo d e b: & angulus d a b ęqualis angulo u a b: radius ergo g a per 20 huius reflectetur ad pũctum u. Si enim producatur li nea a b ultra pũctũ a ad pũctũr, & ultra pũctũ b ad pũctũ l palã ex pręmiſsis & ք 13 p 1 quia linea a r diuidet angulũ u a d ք duo ęqualia: erit ergo angulus r a u ęqualis angulo r a d: & ſimiliter erit angulus z b l ęqualis angulo e b l: ſed angulus r a d eſt ęqualis angulo g a b, & angulus l b e ęqualis angu 202 lo g b a ք 15 p 1: ergo angulus r a u eſt ęqualis angulo g a b, & angulus l b z ęqualis angulo g b a: ergo ք 20 huius duo radij g a & g b reflectẽtur à duob. pũctis a & b ad duo pũcta u & z. Si itaq cêtrũ uiſus, quod eſt g, appropinquet ſuperficiei ſpeculi, & lineæ a b, ut ſi perueniat in punctũ f: tũc quia angulus incidẽtię, qui eſt f a t minor eſt angulo incidẽtiæ, ꝗ eſt g a t, erit per 20 huius angulus reflexiõis, qui ſit q a r, minor angulo prioris reflexionis, qui eſt u a r: & erit angulus q a r maior angulo u a g, & linea q i maior linea u i. Approximante ergo uiſu ſuperficiei ſpeculi, non uidebuntur extremitates rei prius uiſæ, quæ ſunt u & z, ſecundum extremitates ſpeculi, quæ ſunt a & b. Sed & uiſu perſiſten tein puncto g, & linea u z approximante ſpeculo uſq ad punctum x (quod ſit punctum line æ i h) non uidebuntur extremitates lineæ u z, quæ ſunt u & z, ſed ſolùm aliqua pũcta ipfius, in quibus radius g a uiſualis reflexus à ſuperficie ſpeculi ſecat u z, quæ ſint pũcta m & n: erit enim linean m minor quàm linea u z: quod patet per 34 p 1, ductis lineis æquidiſtantibus & perpendicularibus, quæ ſint n o & m p. Et ſi linea u z elongata fuerit à ſuperficie ſpeculi, nullum eius punctum uidebitur ſecũdum radios a u & b z: quia alij radij uiſuales à punctis extremis ipſius ſpeculi, qui ſunt a & b, non reflectuntur ad aliquod punctum lineæ u z, ſed ultra illa: quod patet per 34 p 1, copulatis lineis æquidiſtantibus, quę ſint u u & zz. Non uidebitur ergo in tali diſpoſitione reſpectu ſpeculi aliquis punctorum lineæ u z: quod eſt contra experientiam & ſenſum. Acciditenim extrema rei approximatæ & elongatæ in ſpeculo quandoque uideri, ut ſuppoſitum eſt in huius libri principio. Et ficut hoc patet in ſpeculis planis: ſic etiam patet in alijs ſpeculis quibuſcunque: quoniam de omnibus eadẽ eſt demóſtratio. Patet ergo ꝓpoſitũ, aut ad minus ex his nõ cõcluditur oppoſitum ipſius.

◉24. Comprehenſionem formarum uiſibilium in ſpeculo ſola efficit reflexio, qua ad uiſum: unde ſecundum diſpoſitionem linearũ reflexionis uiſus neceſſariò informatur. Alhazen 21 n 4.

◉Quòd enim radij ab oculo non exeant, qui redeuntes ad uiſum referant ſecum formas uiſibilium, hoc oſtenſum eſt per pręmiſſam: quòd autem forma ſenſibilis non informet ipſum ſpeculum, ſicut forma naturalis ſuam materiam, hoc patet ex hoc: quòd non in omni differentia poſitionis uidentur formæ in ſpeculis quibuſcunq. Intuens enim aliquis accedens ad ſpeculum fixum, uidet formam, quam prius non uidit, & recedens à loco uiſionis formæ prius in ſpeculo fixo uiſæ, non amplius uidet illam: & uiſa parte ſpeculi, non propter hocuidetur pars formarum in ſpeculo apparétium, ſed in eodẽ pũcto ſpeculi diuerſi aſpiciẽtes uidere poſſunt formas diuerſas & diſtinctas, quę tamẽ, ut quidam actus completiui, eandẽ partem ſpeculinon poſſunt ſimul informare. Videtur etiam in ſpeculis forma rei, quæ ſecũdum lineam rectam non poteſt multiplicari ad uifum: mul ta quoq alia accidũt, quorum ratio poſterior eſt, magnam tamẽ impoſsibilitatem demonſtrat. Palàm itaq formas à ſpeculo non procedere, ut in ſpeculo exiſtẽtes & multiplicantes ſe ad uiſum, ſed ut incidẽtes ip ſis ſpeculis à rebus ſormatis & à ſpeculis ad uiſum reflecti. Secũdum diſpoſitionem ergo linearum reflexionis uiſus neceſſariò inſormatur: quando quidẽ uiſus uerè rem aliam non uidet, niſi cuius formam comprehẽdit à ſpeculo reflexam. Patet ergo propoſitum.

◉25. In omni reflexione à quocun  ſpeculo facta, ſuperficiem reflexionis ſuper illius ſpeculi ſuperficiem, uel ſuper ſuperficiem illud ſpeculum in puncto reflexionis contingentem, erectam eſſe eſt neceſſe. Alhazen 13 n 4.

◉Quoniam enim ſi lux uel forma alicui ſpeculo ſecũdum perpẽdicularem lineam incidit, illa ſecundum eandem reflectitur per 21 huius: palàm quòd tũc ſit incidentia & reflexio ſecundum eandem lineam: & ſuperſiciem reflexionis neceſſe eſt eſſe erectam ſuper ſuperficiem ipſius ſpeculi per 18 p 11. Si uerò lux uel forma ſecũdum lineas obliquas incidit ſuperficiei ſpeculi cuiuſcũq, tũc angu lus incidẽtiæ, quẽ facit linea incidentię cum perpẽdiculari, ſemper eſt æ qualis angulo reflexionis, quem continet linea reflexionis cum eadẽ perpẽdiculari, ut patet per 20 huius: utraq ergo ipſarũ eſt in eadẽ ſuperficie cú linea perpẽdiculari per 2 p 11: ergo & ipſæ ambę ſuntin eadẽ ſuperficie, quę eſt, ut patet per definitionẽ, ſuperficies reflexiõis. Eft ergo per 18 p 11 illa ſuperficies erecta ſuper ſuperficiẽ ſpeculi, uel ſuper ſuperficiẽ ſpeculum contingẽtem in puncto reflexionis. Ethoc exempla riter patet in ſuperficie circuli ſecantis armillam inſtrumẽti in 9 huius pręmiſsi æquidiſtanter baſibus ſuis per omnia cétra foraminum, & æ quidiſtantis ſuperficiei circuli ænei, qui eſt a b c. Radio enim per foramẽ medium incidẽte & ſpeculo declinato ſecundum regulam eadẽ eſt demonſtratio, quę in radijs obliquè incidẽtibus: reflectitur enim tunc ſemper radius ad lineam longitudinis armillæ, quæ tunc non æquidiſtat line æ b z p, quę eſt linea longitudinis regulæ. Et quoniam fit tunc reflexio à puncto z, cui incidit axis columnæ rotundę, uel radij perpẽdiculariter ſuper lineam c q, quæ eſt communis ſectio ſuperſiciei regulæ & ſuperſiciei circuli tranſeuntis per cẽtra foraminum, & huic axi æ quidiſtat linea d b ſemidiameter circuli a b c: ſunt ergo in eadẽ ſuperficie per 1 th. 1 huius. Sed linea d b eſt perpẽdicularis ſuper lineam latitudinis regulæ, quæ eſt communis ſectio ſuperficiei regulæ & circuli a b c: ergo per definition ẽ ſuperficiei ſuper ſuperficiẽ erectæ, ſuperficies, in qua ſunt axis columnæ ferreæ uel radij incidẽtis & linea b d, eſt erecta ſuper ſuperficiem regulæ uel ſpeculi: & in hac ſuperficie eſt linea perpédicularis, quæ eſt linea altitudinis armillæ, tranſiens per punctum b, & per cẽtrum foraminis medij, in quá lineam fit reflexio lucis axis pyramidis radialis. Patet ergo propoſitum etiam in unoquoq ſpeculorum: quoniam ad omne ſpeculum h æ c demonſtratio ſe extendit, ut patuit ex pręmiſsis.

page 203

◉26. In omni reflexione à cuiuſcun ſpeculi ſuperficie, linea recta per aqualia diuidens angulum contentum ſub lineis incidentiæ & reflexionis, ſuper lineam, quæ eſt cõmunis ſectio ſuperficiei reflexionis & ſpeculi, uel ſuperficiei in puncto incidentiæ ſpeculum contingentis, neceſſariò perpendicularis exiſtit: ex quo patet illam lineam erectã eſſe ſuper ſuperficiem in illo puncto ſpeculum contingentem.

◉Sit enim, ut forma puncti a incidat ſuperficiei alicuius ſpeculi ſecundũ punctũ b: & refle ctatur in punctum c: eſt itaq linea incidẽtiæ linea a b, & linea reflexionis linea b c, quę ſunt in una ſuperficie erecta ſuք ſuperficiẽ ſpeculi ք præmiſſam: ſitq́ aliqua ſuperficies plana cõtingens ſpeculũ ſecundũ

punctũ b: cõmunis aút ſectio huius ſuperficiei & ſuperficiei reflexio nis ſit linea d b e: angulũ uerò a b c diuidatlinea b f per ęqualia. Dico, quòd linea f b eſt neceſſarò perpendicularis ſuper lineã d b e. Quia enim angulus d b a eſt ęqualis angulo e b c per 20 huius: angulus enim incidentiæ d b a eſt æqualis angulo reflexionis, qui eſt e b c: & quia angulus a b f eſt æqualis angulo f b c e x hypotheſi: palàm quòd totus angulus f b d eſt æqualis toti angulo f b e: eſt ergo linea f b perpendicularis ſuper lineam d e per deſinitionem line æ perpendicularis: & hoc ſi linea d b e ſit linea recta: quę ſi fuerit curua, ſit, ut g h linea recta ipſam contingatin puncto b per 17 p 3. Et quia anguli contingentiæ g b d & h b e ſunt æquales: relinquitur quòd anguli f b g & f b h ſint ęquales, & erit item linea f b perpẽdicularis ſuper lineam g h, & ſuper lineam d e. Cum itaq linea f b ſit ducta in ſuperficie reflexionis, quæ ex pręmiſſa eſt arecta ſuper ſuperficiẽ ſpeculi, uel ſuper ſuperficiem, ſpeculũ in puncto incidẽtiæ contingentẽ, & cũipſa ſit ſuper ipſarum communẽ ſectionẽ perpẽdicularis: patet quòd linea fb eſt erecta ſuper ſuperficiẽ ſpeculum in illo pũcto contingentẽ continet enim cũ omnibus lineis in illa ſuperficie productis angulos æquales. Et quoniam eodem modo poteſt fieri declaratio in ſectionibus: patet ergo propoſitum.

◉27. In omni ſuperficie reflexionis à ſpeculis quibuſcun, centrum uiſus: & punctũ forma uiſæ: & punctum reflexionis: & terminum perpendicularis & cathetiutriuſ, conſiſtere eſt neceſ ſe: ex quo patet lineam perpendicularem à puncto reflexionis ductam, omnibus ſuperficiebus re flexionis illi puncto incidentibus communem eſſe. Alhazen 23 n 4.

◉Oſtenſum eſt per 25 huius quoniam in omni reflexione à quocunq ſpeculo facta, ſemper ſuperficies reflexionis (in qua ſunt lineæ reflexionis, incidẽtiæ & perpẽdicularis ſuper ſuperficiem ſpeculi ducta à puncto reflexionis) erecta eſt ſuper ſuperficiẽ ſpeculi, à quo fit reflexio. Cum aũt linea incidentiæ incipiat à puncto formæ comprehẽſæ, & terminetur in pũctum reflexionis, & linea reflexionis incipiat à pũcto reflexionis, & terminetur ad cẽtrũ: palàm quò hæ tria pũcta ſunt in eadẽ ſuperficie. Sed cũ perpẽdicularis ſit erecta ſuper ſuperficiem ſpeculi, ſuper quá per 25 huius & ſuperficies reflexionis eſt erecta, quoniá & in illa ſuperficie eſt tota perpẽdicularis: cũ enim ipſa perpẽdicularis in pũcto reflexionis ſecet lineas incidẽtię & reflexionis, cũ quibus ipſa ex definitione eſt in eadẽ ſuperficie: ergo per 1 p 11 terminus perpendicularis ſuperior neceſſariò erit in eadem ſuperficie cum punctis prædictis. Si enim illa perpendicularis ad punctũ aliũ extra ſuperficiem reflexionis terminetur: patet quòd illa per pẽdicularis in alia erit ſuperficie, q eſt contra definitio

nem ſuperficiei reflexionis: & etiam, ſi ipſa in alia fuerit ſuperficie, erit rectus minor recto, quod eſt impoſsibile. Linea enim à puncto re flexionis producta in ipfa ſuperficie reflexionis erecta ſuper ſuperficiem ſpeculi, cum linea in ſuperficie ſpeculi ab eodem puncto producta continet angulum rectum, & perpendicularis ſimiliter. Si ergo illæ duæ lineę ad diuerſa puncta terminantur, fit rectus maior recto. Sed per eundem modum patet id, quod proponitur de cathetis. Et quoniam omnes fuperficies reflexionis, quę tranſeunt eundem punctum reflexionis, & aliquem punctum formæ comprehenfum, licet ad diuerſa centra uiſuum terminentur, ſemper tranſeunt eundem terminum perpendicularis, quoniam omnes ſunt erectæ ſu per ſuperficiem ſpeculi, uel ſuper ſuperficiem ſpeculum in pũcto reflexionis contingẽtem: palàm quoniam omnes ſecant ſein perpendiculari. Eſt ergo perpẽdicularis eis omnibus cõmunis. Sed & hoc figuraliter eſt declarandum. Sit enim ſuperficies ſpeculi cuiuſcunq a c b: in cuius punctum c incidat radius à puncto rei uiſæ, quod ſit f, per lineam f c: & reflectatur ad centrum uiſus, quod ſit e, per lineam c e: extrahatur quoq քpẽdicularis ſuper ſuքficiẽ ſpeculi, quę eſt b c a, à púcto c, quę ſit c d. ք 12 p 11. Intelligatur quoq à púcto e perpẽdicularis protrahi ſuper ſuperficiẽ b c a, aut ei cõtinuã per 11 p 11, quę ſit e a: eritq́ linea e a æ quidiſtans lineę d c per 6 p 11, quoniam ambæ ſunt orthogonales ſuper page 204 eandem ſuperficiem ſpeculi, quę eſt b a. Et quoniam lineæ d c & e a ſunt æquidiſtantes: palàm per 1 th. 1 huius quia ſunt in eadẽ plana ſuperficie: & linea recta a b cũ utraq illarũ linearum, ſcilicet d c & e a continebit angulum rectú, & erit in eadẽ ſuperficie cũ utraq ipſarú per 2 p 11: & linea e c tenebit cũ his ambabus lineis, quæ ſunt e a & d c, angulos acutos propter diuiſionẽ angulorũ rectorũ. Et quoniá linea incidentiæ & reflexionis cũ perpẽ diculari d c ſunt in eadẽ ſuperficie, & linea e c recta copulat extremitates linearũ e a & d c, erit ipſa per 2 p 11 in eadẽ ſuperficie cũ dictis perpendicu laribus. Omnes ergo lineæ, quæ ſunt e a, e c, d c, f c ſunt in una & eadẽ ſuperficie. Quatuor ergo pręmiffa puncta ſunt in eadẽ ſuperficie reflexionis. Et hoc proponebatur: quoniam inſpecto quocũq alio puncto corporis uiſi uel ſpeculi, ſemper accidit idẽ ſitus linearũ radialium cũ ipſis perpendicu laribus. Et ſimiliter patet de utriſq cathetis & incidentiæ & reflexionis per 1 p 11. Patete ergo propoſitum. Et ex hoc patet concluſio corollaria ſatis manifeſtè.

◉28. Omnem pun ctum reflexionis formæ puncti obliquè ſpeculo incidentis, inter cathetũ incidentia & reflexionis in ſuperficie ſpeculi conſiſtere eſt neceſſe.

◉Sit ſuperficies cuiuſcunq ſpeculi, in quo cõmunis ſectio ſuperficiei reflexionis & ſuperficiei ſpe culi ſit linea a b c, recta uel curua: & ſit punctus rei uiſæ, qui d: & centrũ uiſus púctũ e: ſitq́ cathetus incidentiæ, quę d a, & cathetus reflexionis, quæ e b. Dico quòd omnem púctum reflexionis formæ puncti d ad centrum uiſus e, inter pũcta ſuperficiei ſpeculi a & b conſiſtere eſt neceſſe. Si enim de

tur quòd in ipſis pun ctis a uel b fiat reflexio formę púcti d ad uiſum e: ſit ergo, ut fi at à puncto ſpeculi, q eſt a: & ducatur linea a e: tunc cum linea d a ſit perpẽdicu laris, & linea a e non fit perpẽdicularis, & per 20 huius angulus incidẽtiæ ſit ęqua lis angulo reflexiõis: erit ergo angulus e a b rectus, ſed & angulus e b a eſt rectus: tri goni ergo e a b duo anguli ſunt recti: q eſt impoſsibile. Similiterq́ deducendum ſi detur reflexionẽ fieri à puncto b, quoniã idé accidit impoſsibile. Nó fit ergo reflexio ab aliquo pũctorũ a uel b, quibus incidũt catheti. Sed neq ab aliquo punctorũ lineæ a b c, extra puncta a & b: ſit enim, ut forma puncti d reflectatur ad uiſum e à puncto ſpeculi c: ductis ergo lineis d c & c e, diuidatur angulus d c e per æ qualia per 9 p 1: & ducatur linea c f ſecás lineam b e in pũcto f: erit ergo ք pręmiſſam linea c f perpẽdicularis ſuper lineam a c: trigoni ergo b f c duo anguli ſunt recti: quod eſt impoſsibile, ut prius. Et eodẽmodo deducẽdũ, ſi detur fieri reflexio ab aliquo puncto linea a b c, ultra punctũ a, ut à pũcto g, ducta linea g h angulum d g e per æqualia diuidẽte. Patet ergo quòd ſolùm inter pũcta a & b fiet reflexio ab aliquo pũctorum lineæ a b, uidelicet inter cathetũ incidétiæ & cathetum reflexionis. Quod eſt propoſitum in ſpeculis planis: & patet uniuerſaliter in omnibus reflexionibus à ſpeculis quibuſcunq: quia danti oppoſitum eadem impoſsibilia ſequentur, ducta chorda arcus interiacentis data puncta reflexionum & cathetorum productarum, & ductis lineis contingentibus in illis punctis ipſas ſuperficies ſpeculorum, uel lineas, quę ſunt communes ſectiones ipſorum ſpeculorum & ſuperficierum reflexionis. Patet ergo propoſitum.

◉29. Impoßibile eſt ſimul duo puncta eiuſdem rei uiſæ ab eodem puncto cuiuſcun. ſpeculi reflectiadidem centrum uiſus: uel à duob. punctis ſpeculorum planorũ uel conuexorum formam unius puncti. Alhazen 51 n 4.

◉Quòd enim puncto a licuius formę perpendiculariter ſuperficiei ſpeculi incidẽte, aliam lineam ab alio puncto rei eiuſdẽ, uel alterius perpẽdiculariter duci ſuper eandem ſuperficiem ad idẽ punctum fit impoſsibile, patet per 13 p 11: quòd autem perpendicularis reflectatur in ſe ipſam patet per 21 huius: impoſsibile eſt ergo duo puncta eiuſdem formæ uiſæ ab eodem puncto ſpeculi ad idẽ cen trum uiſus reflecti perpẽdiculariter. Sed neq eſt hoc poſsibile fieri, linea incidẽtiæ obliqua exiſten te. Omnis enim punctus cuiuslibet formę incidit ſpeculo, & reflectitur ad uiſum ſecũdũ lineas bre uiores per 18 huius: & omnis talis reflexio ad uiſum & ipſarũ formarũ cõprehẽſio fit ſecũ diſpofitionem linearũ reflexarũ per 24 huius: illæ ergo duę formę ſi ad unũ pũctũ, quod eſt centrũ oculi. page 205 incidunt, & ab uno puncto reflectuntur: tuncilla duo puncta, à quibus ſuarum formarum fit inci, dentia, quia non perueniunt ad uiſum niſi ſe cundum lineas incidentiæ, quæ a b uno puncto reflexę perueniút ad uiſum, uidebũtur unus pũctus: & ſic erit confuſio formarú in uiſu. Si enim lineæ incidentiæ formarum diuerſorum pũctorum non diuerſificant pũcta reflexionis, ſed incidũt eidẽ puncto: palàm quòd aut aliqua forma tota, aut plura pũcta illius formę poſunt uni pũcto incidere, & in unum pũctum reflecti, qui eſt cẽ trum uiſus: & uidebitur tota forma unus pũctus. Item ſi detur lineas incidétiæ & reflexionis propter angulorũ ſuorum diuerſitatem ſomper diuerſas eſſe: ſicut ergo ſunt duę lineę incidẽtiæ, quę à diuerſis pũctis formæ incidũt eidem pũcto ſpeculi: ſic fient duæ lineæ reflexionis, quę ad idem cẽtrum uiſus terminantur: ut ſi à duobus pũctis formę incidẽtis ſpe

culo, quæ ſunt a & b, incidant eidẽ pun cto ſpeculi, qui ſit c, quę lineæ a c & b c: & ab illo reflectantur ad idẽ cétrum uiſus, quod ſit d: ſequetur adhuc ſi ab uno pũcto reflexionis c, diuerſę formę punctorum a & b ad centrũ uiſus d perueniant, duas lineas rectas, quę ſunt c d, fuperficiem includere: quod eſt impoſſibile. Patet ergo propoſitũ. Sed neq à duobus punctis alicuius ſpeculi plani uel cõuexi ad idẽ cẽtrũ uiſus ſimul poſſibile eſtidẽ pũctum formę reflecti. Sit enim, ſi poſsibile eſt, ut forma puncti a reflectatur ad cẽtrum uiſus b à duobus pũctis ſpeculi plani uel conuexi cuiuſcũq, qui ſint c & d, ſignati ſuper lineá, quę eſt communis ſectio ſuperficiei reflexionis & ſpeculi uel ſuperficiei contingentis ſpeculum conuexum, quę ſit e f. Cum ergo per 24 huius ſecundum diſpoſitionem linearum reflexionis, uiſus ſemper informetur: tũc forma pũctia, quę eſt indiuifibilis, occurret uiſui, ut forma lineæ c d, quę eſt diuiſibilis linea. Nó ergo occurret uifui, niſi tantũ unus pũctus formę reflexę ab uno pũcto ſpeculi: neq unũ punctum formę à duobus punctis ſpeculi plani uel conuexi poſsibile eſt reflecti. Quod eſt propoſitum.

◉30. Abuno puncto ſuperficiei ſpeculi cuiuſcun formam unius punctireiuiſæ ad duos uiſus non eſt poßibile reflecti. Alhazen 51 n 4.

◉Linea enim reflexionis ad unum uifum procedens quia cum perpendiculari erecta à puncto reflexionis ſuper ſuperficiem ſpeculi angulũ tenet ęqualẽ angulo, quẽtenet linea incidẽtię cum eadé perpẽdiculari, ut patet per 20 huius: palàm quòd non poteſt in eadẽ ſuperficie alia linea ſumi, quæ æqualẽ angulũ efficiat cũ ducta perpẽdiculari: unde ab hoc pũcto nõreflectetur forma eiuſdẽ puncti ad uiſum aliũ. Oportet igitur, ut à diuerſis pũctis ſpeculi cuiuſcunq fiat ad uiſus diuerſos reflexio. Et quoniam duo tãtùm ſunt uiſus, oportet ad minus, ut à duobus pũctis ſuperficiei ſpeculi cuinſcũq fiat reflexio formę unius punctirei uifæ ad ambos uiſus. Patet ergo propoſitum.

◉31. Ab uno puncto reflexionis cuiuſun ſpeculi ad diuerſos uiſus poßibile eſt formas punctorum plurium reflecti: & à diuerſis unam. Alhazen 51 n 4.

◉Quamuis enim, ut patet per 29 huius, ſolùm formę unius pũcti incidẽtis ab uno tantùm puncto ſpeculi reflexio fimul ſit poſsibilis ad unum centrum uiſus: eſt tamẽ poſsibile fieri ſimul ad diuerſos uiſus ab uno puncto ſpeculi diuerſorum pũctorũ formę incidẽtis reflexionẽ: quoniã illa pũcta ſecundum angulos diuerſos incidũt, & ſecundũ diuerſos reflectũtur: ergo ad pũcta diuerſa terminantur lineę reflexę, in quibus diuerſi uiſus cadẽtes pũcta diuerſarũ formarũ comprehẽdẽt ab uno puncto ſpeculi ad diuerſos uiſus reflexa. Et ſi unus uiſus motus fuerit, & ſitum uariauerit, ſpeculo exiftẽte immoto: tũc etiam ſecũdum ſitus ſui diuerſitatem ab eodẽ pũcto ſpeculi ad ipſum pũcta di uerſerũ formarũ reflectentur, ſemper tamen complebitur pyramis reliquarũ formarũ. Sed & unus uiſus motus, uel diuerſi uiſus eandẽ formã uidebũt à diuerſis pũctis ſpeculi reflexam: quia quilibet pũctus formę incidẽtis totali ſuperficiei ſpeculi incidens ad aliquá partem oppoſitã reflectitur, & ſecũdum modum, quo in 22 & 24 huius proponitur, patet quòd formarú pyramides diuerſantur. Et quia diuerſis uiſibus diuerſi axes pyramidum incidunt, qui ſunt eiuſdẽ formæ, accidit ut à diuer ſis uiſibus una forma à diuerfis punctis ſuperficiei ſpeculi reflexa uideatur. Etidem accidit etiam eidem uiſui moto, quando ſpeculum permanet immotum. Patet ergo propoſitum.

◉32. Á centro oculi duct a perpendiculari ſuper ſuperficiem cuiuſcun ſpeculi plani uel conuexi, non eſt poßibile aliquem punctum ductæ line æ reflecti ad uiſum, niſieum ſolùm, in quo duct a perpendicularis ſuperficiem oculi interſecat: & ab eo ſolo puncto, in quo duct a perpendicula ris incidit ipſius ſpeculi ſuperficiei. Alhazen 13 n 5.

◉Sit centrũ uiſus punctũ a: & ſit linea, quæ eſt cõmunis ſectio ſuperficiei reflexionis & ſuperficiei page 206 ſpeculi cuiuſcunq plani uel conuexi, & ſit nũc, exempli cauſſa, ſpeculi plani dati linea b g: ſitq́ perpendicularis ducta à pũcto a ſuper lineam b g linea a g: ſit quo q, ut linea a g ſecet ſuperficiem ſphęricá cóuexam oculi in puncto d. Dico quòd in tota perpendicularia g quantumcũq protracta non eſt punctus, qui reflectatur ab hoc ſpeculo ad centrũ uiſus a, niſi ſolus punctus d. Si enim alius pun ctus dictę perpẽdicularis ad uiſum reflectitur pręter punctũ d: aut ille pũctus eſt ultra centrũ uiſus a: aut ſub uiſu. Si ultra uiſum, ſit ille pũctus h: palã ergo quòd non perueniet forma eius ad ſpeculũ ſuper perpẽdicularẽ h a, propter ſolidi corporis in, erpoſitionẽ, q eſt ultra uiſum in capite uidentis. Nó reflectetur ergo forma pũcti h ſuper քpen

dicularẽ h g. Si uerò dicatur q ab alio pũcto ſpeculi pręter pũctum g, poteſt reflecti forma pũcti h a d uiſum a: ſit illud pũctum b: & ſit linea incidẽtiæ h b: & linea reflexionis h a: diuidaturq́ angulus h b a ք æqualia ք lineã b t ductã ad perpendicularẽ h g auxilio 9 p 1: erit ergo ք 26 huius linea b t perpẽdicularis ſuper lineã b g: ſed linea t g eſt perpen dicularis ſuper eandẽ lineá h g. Ab eodẽ ergo pun cto t eſt ducere duas perpẽdiculares ſuper lineam b g, & ſuper ipſam ſuperficiẽ ſpeculi: q  eſt impoſ ſibile. Sequetur enim trigoni a b g duos angulos eſſerectos, ſcilicet angulos t g b & t b g: & ab eodẽ pũcto plures ducerẽtur քpẽdiculares lineæ ſuper eandẽ ſuperficiẽ, q eſt cõtra 20 th. 1 huius. Nulla ergo forma pũctorũ lineę h d poteſt reflecti ad uiſum, niſi ſolum pũctũ d: quoniã de omnibus alijs punctis eodẽ modo eſt demóſtrandũ. Neq enim poteſt dici quòd aliqua forma alicuius pũcti ſumpti inter pũcta a & d reflectatur ad uiſum, niſi per lineá քpendicularẽ d a: quoniã pũcti inter centrũ uiſus & ſuperficiẽ eius poſiti ſunt ualde rari: unde nõ mittitur alicuius ipſorũ forma in uiſum, neque ab aliquo ſpeculo refle ctitur, ut ſentiatur. Sed neque forma alicuius pũctorum lineæ d g poteſt reflecti ad uiſum a à pũcto ſpeculi g, ut forma pũcti f: quoniá ſi illud pũctũ d ſolidi corporis fuerit, patet quòd ipſum impediet reflexionẽ ad uiſum ք lineã d g: quia propter ſoliditatẽ ipſius forma puncti fnõ poterit tranſire & ad uiſum քuenire: & ſi fueritrarũ, adhuc forma reflexa à ſpeculo miſcebitur ei, & adhęrebit ſibi, neq քueniet ad uiſum. Sed neq poteſt forma alicuius illorũ pũctorũ reflecti à pũcto alio ſpeculi  à pũcto k: quoniã ductis lineis f k & a k, & diuiſo angulo a k f ք ęqualia ք lineã k l, ſequeturidẽ impoſsibile, q prius, ſcilicet lineas l k & l g perpẽdiculares eſſe ſu per ſuperficiẽ ſpeculi, uel ſuper ſuքficiẽ ſpeculũ cõtingentẽ: q eſt cótra 20 th. 1 huius. Omniũ ita q pũctorũ lineæ h g n õ reflectitur aliquis ad uiſum a niſi ſolũ pũctũ d. Et quoniã quodlibet pũctũ totius uiſibilis, in quo eſt linea h g, pręter pũctum d, in ſuperficie uiſus impreſſum opponitur ſpeculo nõ ad angulũ rectũ: quoniã omnia pũcta circũſtátia pũctũ d cócurrũt in cẽtro uiſus a, & faciunt conũ pyramidis, cuius baſis eſt in ſuperficie ſpeculi circa axẽ a g: uidebútur formæ omniú illorũ punctorú ſuper perpédiculares ab eis ad ſuperficiẽ ſpeculi ductas. Patet ergo ꝓpoſitũ: quoniá in ſpecu lis cóuexis linea h g eſt ſemper perpẽdicularis ſuper ſuperficiẽ ſpeculi, nec ab aliquo ſuorũ punctorũ ſuper ſpeculi ſuperficiẽ alia perpendicularis duci poteſt ք 20 th. 1 huius: ita tamẽ quòd hæc, quæ pręmiſſa ſunt, in uno tantũ uiſu intelligátur in omnib. ſpeculis planis & quibuſcũq conuexis, ſicut ꝓpoſitio proponit: quoniã forma eiuſdẽ pũcti rei uiſæ ad ambos uiſus reflexa, ſi uni uiſuũ perpendiculariter incidat, poteſt alij uiſui obliquè incidere ſecundũ lineã reflexionis obliquè à ſuperficie ſpeculi ad cétrum uiſus procedétem: & uidebitur idẽ pũctus rei uiſę à duobus uiſibus ſecũdum diuerſum modum ſuæ reflexionis: in ſpeculis uerò concauis quibuſcunq eſt ſecus.

◉33. Impoßibile eſt formã obliquè ſpeculo incidentẽ ſecundum lineam ſuæ incidentiæ aduiſum reſlecti, uelex parte ſui anguli minoris. Euclides 3 th. catoptr.

◉Eſto ut ſpeculo a d b incidat forma pũcti c obliquè in puncto d, ita ut angulus c d b ſit maior angulo c d a. Dico quòd forma pũcti c ſecun dum lineam c d non reflectetur in ſe ipſam propter inęqualitatem angulorum: cum ſemper angulus incidentiæ ſit æ qualis angulo reflexio nis per 20 huius: ſed neq ex parte ſui anguli minoris, qui eſt c d a. Fiat enim, utreflectatur ſecundum lineam d e diuidentem angulum c d a: erit ergo angulus c d b æ qualis angulo e d a: ſed angulus c d b maior eſt angulo d a c per hypotheſin: erit ergo angulus e d a maior angulo c d a, pars ſuo toto: quod eſt impoſsibile. Semper ergo ſecũdũ angulũ maiorẽ, ꝗ in ꝓpoſito eſt angulus c d b fiet reflexio, Et hoc eſt ꝓpoſitũ.

page 207

◉34. Inomni ſpeculo formarum punctorum mediorũ cuiuslibet rei uiſæ reflexio fit inter puncta reflexionum formarum punctorum extremorum eiuſdem rei uiſæ.

◉Sit res uiſa per reflexionẽ à quocunq ſpeculo, quæ a b c: cuius extrema puncta ſint a & c: aliquis uerò mediorum punctorum lineæ a b c ſit punctus b: & ſit ſuperficies illius ſpeculi, ſiue plana, ſiue conuexa, uel concaua fuerit, in qua ſit communis ſectio ſuperficiei reflexionis & ſpeculi linea d e f: & ſit centrum uiſus punctum g: reflectaturq́ forma puncti a ad uiſum g â puncto ſpeculi,

quod ſit d: & forma puncti c à puncto ſpeculi, quod ſit f: & forma puncti b, qui ſit aliquis mediorum punctorum lineæ a b c, reflectatur ad uiſum à puncto ſpeculi e. Dico, quòd punctus e neceſſariò cadit inter puncta d & f, quæ ſunt puncta reflexionum formarũ p unctorum extremorũ a & c. Si enim cadat punctum e extra puncta d & f: linea ergo b e, quæ eſt linea incidentiæ formæ puncti b, ſecabit aliquam linearum, quæ ſunt a d & c f: quamcunq uerò illa ſecuerit, ſit punctum ſectionis h. Palàm itaq quòd forma puncti h reflectetur ad uiſum g à duobus punctis ſpeculi, quæ ſunt e & f, uel e & d: quod in ſpeculis planis & conuexis patet eſſe impoſsibile per 29 huius. In ſpeculis quoq concauis duplicabuntur puncti reflexionum illis ſpeculis cõuenientium: nulla quo q forma in aliquo ſpeculorum ſecũdum ſitum & ordinationem propriam ſuarum partium uidebitur: quod totum eſt impoſsibile. Patet ergo propoſitum.

◉35. Figura ſuperficiei corporis incidentis & ſpeculi, ſitu́ ſimilibus exiſtentibus, erit in omni ſpeculo complementum formæ corporis & figuræ. Alhazen 22 n 4.

◉Cum enim figura ſpeculi & corporis eſt eadem & ſitus idem: ut ſi utraq illarum figurarũ ſit plana & æquidiſtent: tũc forma puncti primi ſuperficiei uiſi corporis incidit puncto primo ſpeculi, & forma puncti ſecundi puncto ſecundo, & ſic de omnibus alijs punctis ſe reſpicientibus. Sic ergo in ſuperficie ſpeculi fit totalis figura ſuperficiei corporis uiſi: quod non accidit in ſpeculo alterius figuræ. Similiter quoq ſumpta quacunq ſpeculi parte, cuius figura ſit ſimilis figuræ corporis, & ſitus æquidiſtans: erit ſemper complementũ figuræ corporis in ea. Et cum infinitæ ſint tales ſpeculi partes, palàm quòd infinitæ erũt formæ corporis ſpeculo incidentes, quę ſemper ad diuerſa pũcta reflectuntur, ex quibus formam corporis uiſus diuerſi in eodẽ ſpeculo comprehendunt. Hocitaq accidit in omnibus ſpeculis: ſed maximè euidens eſt in planis. Cum enim quolibet puncto ſuperficiei planæ ſuperficiei ſpeculi plani incidente, figura partium circũſtantium ſit ſimilis ordinationis & ſitus, accidit ex omnibus pũctis ſimilis reflexio & ſimul & in eodem modo: & ſic fit complementum in ſpeculo formæ corporis & figuræ. Et hoc proponebatur.

◉36. In ſpeculis quibuſcun unumquod punctorum conſpectorũ in catheto ſuæ incidentiæ uidetur. Euclides 16.17.18.th. catoptr. Alhazen 9 n 5.

◉Sit ſpeculum quodcũq: & ſit nunc, exempli cauſſa, planum: quod ſit g d, punctusq́ uiſus ſit a: & centrum oculi ſit b: & ducatur à pũcto rei uiſæ, quod eſt a, cathetus incidentiæ, quæ ſit a g. Dico, quòd imago puncti a ſemper uidetur in linea a g: ſuppoſitum enim eſt in principio huius libri 2 ſuppoſitione quòd uniformis ſituatio puncti rei uiſæ reſpectu ſuperficiei cuiu ſcunq ſpeculi, à qua eius forma reflecti tur, fit ſolùm ſecundum cathetum ſuæ incidentiæ: forma autem, quæ in ſpeculo uidetur, eſt imago rei uiſæ, ut patet per definitionem: neceſſe eſt ergo imaginem illam uideri ſecundum ſituationem uniformem ipſius puncti rei uiſæ ad ſpeculum: quoniam aliàs non uideretur illa forma per modũ imaginis. Videbitur ergo neceſſariò in ipſa catheto incidentiæ ſuæ. Quod eſt propoſitum: in alijs enim ſpeculis eſt eodem modo declarandum.

◉37. Locum imaginis rei uiſæ in ſpeculis quibuſcun in puncto concurſus lineæ reflexionis cũ catheto incidentiæ neceſſe eſt eſſe. Alhazen 2.4.6.7.8 n 5.

◉Huius exemplum eſt: ſi pyramis orthogonia erigatur perpendiculariter ſuper ſuperficiem ſpecu li cuiuſcunq: tunc enim apparebit uiſui alia pyramis continua, tenens ſe cum pyramide extrinſeca quaſi ad modũ rhombi: & uidebuntur harũ pyramidũ uertices quaſi uniformiter diſtantes à ſuperficie ſpeculi. Et ſi linea recta imaginetur duci à uertice unius pyramidis ad uerticẽ alterius: palàm quoniam ipſa erit perpẽdicularis ſuper baſim uiſæ pyramidis, & ita ſuper ſuperficiem ſpeculi, cum eadem ſit ſuperficies ſpeculi & baſis uiſæ pyramidis, ut in ſpeculis planis, uel baſis uiſæ pyramidis page 208 æ quidiſtet ſuperficiei ſpeculum contingenti, ut in ſpeculis conuexis, quorum ſpeculorum ſuperficies ipſa baſis uiſæ pyramidis eſt contingens, uel æ quidiſtans ſuperficiei contingenti ſuperficiẽ ſpe culi, ut in ſpeculis concauis, in quibus baſis pyramidis erectæ ſuper ſpeculum æquidiſtat ſuperfisiei planæ ſpeculum contingenti: uertex itaq pyramidis ſemper uidebitur in linea perpendiculari ab eo educta ad ſpeculum. Similiter quoq à quocunq puncto pyramidis ducatur linea æ quidiſtanter axi, ſemper incidet ad punctũ ſimile ſibi reſpiciens ipſum in alia pyramide: & erit linea producta per 8 p 11 ſemper orthogonalis ſuper baſes dictarum pyramidum, & ſuper ſuperficiẽ ſpeculi, uel ſuper ſuperficiẽ ſpeculũ contingentẽ. Imago ergo cuiuslibet pũctorũ pyramidis ſic ſpeculo op poſitæ cadit in perpẽdiculari intellecta duci à puncto illo ſuper ſuperficiem ſpeculi. Sed quicunq punctus corporis opponatur ſpeculo, neceſſe eſt imaginari pyramidem orthogonalem ſuper ſuperficiem ſpeculi aut ei continuam, uel ſuper ſuperficiem ipſum ſpeculum contingẽtem, uel ſuperficiei contingenti æ quidiſtantem, ut patet per 22 huius, cuius pyramidis uertex eſt punctus ille ui ſus, & baſis eius ſuperficies ſpeculi aut ſuperficies eicontinua. Et conuenit ut imaginetur alia pyra mis oppoſita illi, cum illa quaſi complens rhombum, quarum utriuſq eſt baſis uel eadem, uel una baſium eſt alteri æquidiſtans, & perpendicularis à uertice unius ad uerticẽ alterius ducta erit perpendicularis ſuper ſpeculi ſuperficiem. Et quia imago cuiuslibet puncti ſpeculo oppoſiti cadit in li neam perpendicularem ductam ab illo puncto ad ſpeculi ſuperficiẽ aut ei continuam: patet quòd locus imaginis eſt in linea illa perpendiculari, ut etiam patuit per præmiſſam. Sed quia in ſpeculis quibuſcunq non accidit comprehenſio formarum niſi perlineas reflexionum, ut pater per 24 huius: palàm etiá quia imago cuiuslibet uiſi puncti cadit in lineam reflexionis: & quia quælibet taliũ linearum eſt recta: imago ergo cuiuslibet puncti formæ reflexæ cadit in punctum ſectionis perpen dicularis & lineæ reflexionis. Videtur ergo quandoq citra ſuperficiem ſpeculi, ut cum talium linea. rum interſectio uidelicet lineæ reflexionis & catheti incidentiæ non poteſt fieri niſi ſub ſuperficie ſpeculi. Concurrit autem linea reflexionis protracta cum catheto incidentiæ. Quia enim linea reflexionis concurrit cum linea perpendiculari educta à puncto reflexionis ſuper ipſam ſpeculi ſuperficiem, ut patet ex pręmiſsis: ſed in ſpeculis planis illa perpendicularis æ quidiſtat catheto incidentiæ per 6 p 11: ſunt enim ambæ ſuper ſpeculi ſuperficiẽ perpẽdiculares: manifeſtũ ergo per 2 th. 1 huius, quia in illis ſpeculis linea reflexionis concurrit cum catheto incidentiæ. In alijs autẽ ſpeculis eſt hoc magis manifeſtùm, quoniá in pluribus illis cathetus incidentiæ concurrit cũ perpendiculari ducta à puncto reflexionis ſuper ſuperficiẽ ſpeculi: de ſingulis tamen ſpeculis hoc in ſequentibus demonſtratur: & in iſtarum linearum concurſu uidetur imago. Eſt ergo ibi locus imaginis, ut proponebatur. Hoc aũt eſt neceſſe ideo, quia cum medium diſtantiæ inter punctũ uiſu comprehen. ſum & ſpeculi ſuperficiem non ſit uacuum, fit reflexio formæ corporis med jad uiſum, ſicut & pun. cti corporis, ad quod intendit uiſus: nec eſt differentia reflexionis formę corporis medij à reflexio ne formæ puncti intenti, niſi ſicut alicuius formæ unius totius corporis continui, cuius ſolùm pars modica intenditur uideri: ut ſi foramen acus intendatur uideri in ſpeculo & form a illius multipl ìcetur ad uiſum: nihilominus ordinaturin ſpeculo tota form a acus. Et quoniam formæ cadentes in uiſibus & ſpeculis quibuſcunq regularibus, retinẽt eſſentialem ordinẽ ſuarũ partiũ & figuartũ, ut patet per 34 huius: ideo neceſſe eſt puncta formarũ incidentiũ ſpeculis quãdoq in quadam diſtantia uideri, ut quando diſtant pũcta rei extrà, & quando linea reflexionis & cathetus concuty ũt ſub ſpeculi ſuperficie uel inter uiſum & ſpeculũ, & nõ in ipſa ſuperficie ſpeculi uel retro uiſum, in quibus omnibus eſt eadẽ uniuerſalis cauſſa, quæ præmiſſa eſt, differens ſolùm ſecundũ uarios modos reflexionum. Accidit enim rebus ſecundum quod formę ipſarũ diffund duntur per mediú ad ſuperficiem ſpeculi, in formis ſuis ſpecificis differre, cũ ſenſibiliter non ferantur ad ſpeculum, niſi lux & color & figura & ſimilia, quę non faciunt differẽtiam ſpecificá in rebus, ut in ligno & lapide. quamuis uirtus diſtin ctiua per accidẽtium cognitionẽ ſpecificam accipiat differẽtiam, ſcilicet per applicationẽ illorũ accidentiũ ad propria ſubiecta, quę uiſibus directè uidentibus ſub talibus accidentibus occurrunt. Sicut ergo unius corporis naturalis continui partium formæ feruntur ad ſpeculi ſu perficiem, & ſeruata forma totali & figura, accidit neceſſariò partes remotiores à ſpeculſi ſuperficie remotiores uideri, ne forma & figura rerum uiſarũ confundantur: ſic accidit neceſſariò de rebus ui ſis per mediũ aerem, ut pręordinata forma aeris in ſitu ſuo, reſpectu formę rei per mediũ aerem uiſæ, omnium ſuorũ pũctorũ formę uideantur: aliàs enim figura & forma rerũ multi plicatarũ ad ſpeculi ſuperficiẽ confunderentur. Et hæc mihi uiſa eſt eſſe cauſſa rei per alios multis ambagibus perquiſitę. Videtur itaq res neceſſariò in perpendiculari, quoniam, ut patet per 21 th. 1 huius, hæc eſt breuiſsima eius diſtantia à ſuperficie ſpeculi, à qua fit reflexio ad uiſum, aut à ſuperficie ei cõtimua: & ſecũdum hanc ſit rei uiſæ, reſpectu ſpeculi, uniformis diſpoſitio: & ex hoc forma rei nomen accipit imaginis, ut diximus in præ miſſa. Licet ergo forma rei ſecũdum aliam lineam reflectatur ad uiſum: iudiciũ tamen uirtutis uiſiuę fit ſecũdum lineam breuiſsimam, ſecũdum quam incidit forma uiſa ſuperficiei ipſius ſpeculi aut ei continuæ, propter conuenientẽ ordinationẽ formarũ in ſpeculi ſuperſicie & in uiſu, & propter certiorem cognitionem ſuæ proprię quantitatis. Cum enim neceſ ſe ſit imaginẽ eſſe in linea reflexionis, ſi uideretur citra cathetum propinquior ad uiſum, uideretur major: ſi ultra cathetum, uideretur minor, ut à remotiori uiſa: in catheto uerò quantũ permittit figu ra ſpeculi & uiſus diſtantia, ſecundum ſui propriam quantitatem uidetur. Eſt ergo neceſſariũ ipſam uideri in puncto concurſus lineæ reflexionis cũ catheto incidentiæ. Viſus enim cũ per reflexionẽ 209 formas comprehendit, non animaaduertit quòd hęc comprehenſio fiat per reflexionẽ: quoniam reflexio, ut ſuprà in proœmio huius ſcientiæ diximus, non accidit ex proprietate uiſus: uiſu enim remoto, nihilominus fit reflexio à ſpeculis, quoniam forma corporalis non minus incidit ſuperficiebus ſpeculorum: ſed quoniam inuenit tranſeundi reſiſtentiam ex ſoliditate corporis ſpecularis, reflectitur ab illis: & ſi contingat uiſum eſſe in loco, in quo fit linearum reflexarum aggregatio, comprehendet uiſus, illas formas in capitibus illarũ: & eſt quælibet formarum reflexarũ à quocunq ſpeculo in illo ſpeculo tanquam non adueniens; ſed ac ſi naturalis eſſet forma ſpeculi: cum tamen non ſit aliquid eſſentiæ ipſius ſpeculi. Patet ergo propoſitum.

◉38. Formam omnis rei uiſe comprehenſe per reflexionem à ſuperficie alicuius ſpeculi: figuræ ſuperficiei illius ſpeculi eſt neceſſarium aliqualiter aßimilari. Alhazen 37 n 6.

◉Quoniam enim, ut patet per præmiſſam, locus imaginis cuiuſcunq puncti formę uiſæ eſt in con curſu lineæ reflexionis cum catheto incidentię: harum aũt linearũ concurſus diuerſificatur ſecũdũ figurã ſuperficierũ ſpeculorũ, à quibus fit reflexio: quoniã ſecũdũ illius figurę diſpoſitionẽ fit diuer ſitas concurſus catheti incidẽtiæ & perpẽdicularis ductæ à pũcto formę incidẽtis ſuper ſuperficiẽ ſpeculi, uel ſuper ſuperficiẽ contingentẽ ſpeculũ in pũcto reflexionis ſuperficiei ſpeculi, à qua fit re flexio ad uiſum: quarũ perpendiculariũ cõcurſus diuerſificat concurſum linearũ reflexionis cũ catheto incidẽtiæ, in quo cõcurſu eſt locus imaginũ, ut declaratũ eſt in præmiſſa. Habet itaq ſuperficies ſpeculi, à qua fit reflexio, aliquã dignitatẽ in formatione imaginũ uiſarũ, quę ab ipſis reflectuntur: non tamen fit ſemper hęc aſsimilatio ſecũdũ totã diſpoſitionẽ formarũ, niſi cũ loca imaginũ ca dũt in ipſis ſuperficiebus ſpeculorũ non intra ſpecula uel extra ipſa: ſed & tũc ſecũdũ aliquid aſsimilantiur formæ uiſæ ipſis formis uel figuris ſpeculorũ: quoniã in ſpeculis pyramidalibus apparẽt formæ aliqualiter pyramidales: & ſic aliqualiter accidit in alijs ſpeculis. Patet ergo propoſitum.

◉39. Diuiſa cuiuſcun ſpeculi ſuperficie, accidit formam unius puncti rei uiſæ numero illarũ partium numer ari.

◉Hoc, quòd hic proponitur, uerum eſt, quando per diuiſionẽ ſuperficiei alicuius ſpeculi ſenſibilis accidit diuerſitas ordinis & ſitus partialium ſuperficierũ & in ſe, & reſpectu ipſius uiſus: ut plurimũ accidit in ſpeculis uitreis plumbatis, quę per diuiſionẽ ab unitate ſuperficiei defacili recedũt: quod non accidit in alijs ſpeculis tam faciliter. Quãdo itaq aliorũ ſpeculorũ ſuperficies propter diuiſionẽ in ipſis factam ab unitate ſuperficiei ſecũdum ſitũ & ordinẽ pręmiſſo modo recedũt: accidit formá unius pũcti rei uiſę numero illarũ partium numerari. Tũc enim diuerſę fiunt catheti incidentię formæ eiuſdem pũcti rei uiſæ, reſpectu illarũ diuerſarum partialiũ ſuperficierũ, & ſimiliter diuerſa fiunt pũcta reflexionũ & diuerſæ reflexionũ lineæ ad centrũ eiuſdẽ uiſus. Et quia locus cuiuslibet imaginis ſemper fit in pũcto cócurſus lineæ reflexionis cum catheto incidentiæ, ut patet per 37 hu ius: ideo patet quòd ſecundum numerum iſtarum linearum, & ſui concurſus formæ eiuſdem puncti imagines numerantur. Patet ergo propoſitum.

◉40. In omnis ſpeculi ſuperficie fit formarum reflexio in longitudine & latitudine ſecundum modum polituræ.

◉Quod hic proponitur, exemplariter patet in ſpeculis quibuſcunq artificio politis. Si enim forbiantur in longũ, ut accidit in ſuperficiebus enſium: tũc facies intuentis uidebitur oblong a reſpectu ſuæ proprię diſpoſitionis: & ſi forbiantur aliquę ſuperficies ſecũdũ ipſarũ latitudinẽ: tũc imago faciei illa intuentis uidebitur latior quàm ſit eius proprietas uera ſecundũ illam diſpoſitionem: & quandoq uidebitur imago tranſuerſalis propter tranſuerſalitatẽ forbitionis. In omnibus uerò his cauſſa eſt unitio maior ſuperficierũ ipſarũ corporũ politorũ, à quib. & â quarũ partibus cófluitreflexio ad unionẽ formarũ reflexarũ, quæ ſecundum illud perueniunt ad uiſum. Etenim, ut in principijs huius libri: 1. definitióe diximus, politio eſt cõtinuitas partium ſuperficiei politi corporis ſine ſenſibilitate pororũ uel diuiſionis: unde cũ ad aliquã differentiá poſitionis illi pori complanantur:neceſſe eſt ſecundũ illá differentiá formas pluribus punctis illis incidentes in unitatem formæ cõfluere & uniri, & ſecũdum illũ modũ formam uiſam ſecũdum reflexionẽ augmẽtari & uideri ma iorem: ſecũdum alias uerò poſitionũ differentias neceſſe eſt ipſam uideri ſuę diſpoſitionis proprię, uel circa illá.Et ſic accidit quædá monſtruoſitas in imaginibus formarũ taliter uiſarũ: quia ipſarum reflexio eſt inæqualis hinc inde: & fit irregularis ſecũdum illud. Vt itaq à corporibus arte politis re flexio fiat regularis & conueniens diſpoſitioni formarũ reflexarũ: neceſſe eſt ipſorũ ſuperficies for biari ſecundum modum circularẽ non in longum nec in latum uel tranſuerſum, ne ſecundum illos modos formarum propria diſpoſitio difformetur. Patet ergo propoſitum.

◉41. In omni ſpeculo accidit eandem imaginem à duobus uiſibus quando uideriduas.

◉Huius rei euétus accidit uiſui in unius imaginis uiſione à quocũq ſpeculorũ reflexæ, ſicut & idẽ error ſibi accidit in ſimplici rerũ uiſione, cũ e ædẽ cauſſę concurrũt uel illarũ aliqua, quas declaraui mus in 103,104,105,106 & 107 th.4 huius: utpote cũ eiuſdẽ rei forma ab e o dẽ ſpeculo reflexa uni ui fuũ offertur directè, & alteri obliquè: uel cũ forma reflexa cõſtituta intra axes radiales ambob. uiſibus occurrit obliquè. Quibuſcunq enim modis accidit formam eiuſdem rei uideri duas, eiſdé mo dis poſsibile eſt imaginem illius formæ uideri duas, ſi ſecundum modum ſuæ uiſionis ad uiſum ab

210 aliquo ſpeculo reflectatur. Et propterea talibus nõ oportet aliter immorari, quàm ut in ſimpliciuiſione dictum eſt: non enim accidit illud propter diuerſitatem punctorum reflexionis formæ eiuſdẽ puncti ad ambos uiſus: quoniã illa diuerſitas aut nulla eſt, aut non eſt ſenſibilis: unde nullum ſenſibilem inducit uiſibus errorem, ſed ambo uiſus ſecundum illum bene perueniunt ad uiſionem unitatis eiuſdem formę, ut poſterius declarabitur: patet ergo propoſitum.

◉42. Imago rei uiſæ motæ in omni ſpeculo moueri uidetur.

◉Huius cauſſa non eſt alia, niſi uniformitas reflexionis à quolibet puncto ſpeculi, ſuper quod fit motus. Et quia omnia puncta rei uiſæ à diuerſis, quàm prius, punctis reflectũtur, efficitur noua ima go totius rei uiſæ, ſecundum quod per eius motum puncta, à quibus facta eſt reflexio, permutátur. Videtur itaq forma moueri, licet ſecũdum ueritatẽ nõ moueatur, ſed potius noua imago mutato ſitu rei uiſæ generetur. Hoc aũt accidit propter continuitatem punctorum reflexionis in ſuperficie ſpeculorum. Patet ergo propoſitum. His itaq communibus omnium ſpeculorum paſsionibus pręmiſsis: reſtat ut ad planorum ſpeculorum paſsiones proprias calamum conuertamus.

◉43. In omni reflexione à ſpeculis planis facta, lineæ incidentiæ & reflexionis proportionales ſunt cathetis à punctis ſuorum terminorum demißis, & ipſis baſibus in ſpeculorũ ſuperficie interiectis. Euclides 3 hypotheſi catoptr.

◉Sit ſpeculum planũ, in cuius ſuperficie ſit linea d c e:

& ſit linea incidentiæ a c: reflexionis uerò c b: & ducan tur catheti a d incidẽtiæ & reflexionis b e. Dico quòd quæ eſt proportio a d ad b e, eadẽ eſt a c ad b c & d c ad c e. Quoniá enim in trigono a d c angulus rectus, quia d c, eſt æ qualis angulo, qui b e c, recto: & angulus a c d, qui eſt angulus incidentiæ, eſt per 20 huius ęqualis angulo b c e, qui eſt angulus reflexiõis: erit neceſſariò angulus d a c trigoni a d c æ qualis angulo c b e trigoni b e c per 32 p 1: ergo per 4 p 6 latera iſtorũ trigonorũ ęquales angulos reſpicientia ſunt proportionalia: quæ eſt ergo proportio lineæ a d ad lineam b e, eadẽ eſt proportio lineę d c ad e c. Et quoniam ſemper manet eadem proportio reſultans ex æqualitate angulorum: patet ergo propoſitum.

◉44. Forma punctirei uiſæ ſuperſiciei plani ſpeculi incidente: lo

Fig. 570

a f b d e

cum, in quo uiſu conſtituto, ad ipſum fiat reflexio, inuenire.

◉Eſto punctus, cuius forma ſpeculo plano incidat a: & ſit linea b c d communis ſectio ſuperficiei reflexionis & ſpeculi ducta in ſuperficie ſpeculi: incidatq́ punctus a ſpeculo ſecundum punctum c: & ducatur linea incidentiæ, quæ a c: & à puncto a ducatur linea a b perpendicularis ſuper lineam b c d per 12 p 1: & producatur uſque ad punctum e, donec per 3 p 1 linea b e fiat æ qualis ipſi a b: & continuetur linea e c: quæ ꝓdacatur ultra c ad punctum f. Dico quòd uiſu exiſtẽte in quocũq puncto lineæ c f, ſemper fiet reflexio ad ipſum, & uidebit formá pũctia. Copuletur enim linea a c: eritq́ue angulus a b c æqua lis angulo c b e, quia, ut patet ex pręmiſsis, ambo illi anguli ſunt recti. Quoniam ergo per 4 p 1 cũ ex hypotheſi linea b e ſit æ qualis ipſi a b, & latus b c cómune, trigona a b c & c b e ſint æquiangula: erit angulus a c b æ qualis angulo b c e: ſed per 15 p 1 angulus f c d eſt æqualis angulo b c e: ergo angulus f c d eſt æqualis angulo a c b: ergo per 20 huius, cum linea a c ſit linea incidentiæ, erit c f linea reflexionis. Vifu ergo in illa poſito, fiet reflexio ad uiſum. Quod eſt propoſitum.

◉45. Forma puncti à ſpeculo plano non reflectitur ad eundem uiſum, niſi ab uno puncto tantùm. Alhazen 14 n 5.

◉Eſto centrum uiſus a: & punctum uiſum b: & ſit z h ſuperficies ſpeculi plani. Dico quòd ab uno tantùm puncto ſuperficiei z h reflectitur forma puncti b ad uiſum a. Si enim à duobus pũctis ſit poſ ſibile illá reflecti, ſint illa duo pũcta d & e: & ducatur linea à centro uiſus puncto a ad punctũ uiſum b: quę ſit a b.Linea itaq a b ꝓtracta ultra alterũ punctorũ, quę ſunt b uel a, aut concurrit cũ ſuperficie ſpeculi, aut æquidiſtat. Si cõcurrit ſiue ſit քpẽdicularis ſuper ſuperficiẽ ſpeculi, à quo fit reflexio, ſiue non, ſemper ipſa erit neceſſariò in una ſola ſuperficie reflexionis. Si enim ipſa ſit perpendicularis ſuper ſuperficiẽ ſpeculi: tunc patet quòd ipſa eſt in una ſuperficie reflexionis per 27 huius: quoniam ipſa reflectitur in ſe ipſam per 21 huius. Si uerò linea a b ſuper ſuperficiẽ ſpeculi non ſit perpen dicularis, cum ſit linea recta extenſa inter duo puncta extrema, quę am bo per 25 huius neceſſariò ſunt in una ſuperficie reflexionis erecta ſuper ſuperficiẽ ſpeculi, erit etiam linea a b in una ſola tali ſuperficie: quoniam ſi in duabus talibus ſuperficiebus fuerit, tunc ipſa erit communis ſectio duabus illis ſuperficiebus orthogonalibus ſuper ſuperficiem ſpeculi per 19 th. 1 huius: unde ſumpto in

211 ea puncto & ducta ab illo puncto linea in altera ſuperficierum ſuper lineam cómmunem huic ſuperfi ciei & ſuperficiei ſpeculi, erit hęc linea erecta ſuper ſuperficiem ſpeculi per definitionem ſuperficiei ſuper ſuperficiem erectæ: & ſimiliter ab eodem puncto ducatur linea in alia ſuperficie ſuper lineam com munem ei & ſuperficiei ſpeculi, & erit iterum hæc linea orthogonalis ſuper ſuperficiem ſpeculi. Ab eodem ergo puncto contingeret ducere duas perpen diculares ſuper eãdem ſuperficiem ſpeculi: q uod eſt impoſsibile & contra 20 th. 1 huius. Ergo li nea b a eritin una ſola ſuperficie reflexionis, erecta ſuper ſuperficiem ſpeculi plani: eruntq́ tria puncta a, e, b in eadem ſuperficie reflexion is per 1 p 11: & erunt lineę a e & e d & e b per 25 huius in illa ſuperficie reflex io nis, in qua eſt linea a b: & ſimiliter lineę e d & d b & d a. Quare lineę e a & e b erunt in eadem ſuperficie cum lineis d a & d b per 2 p 11. Sed angulus a e h eſt maior angulo a d e per 16 p 1, extrinſecus enim eſtmaior intrinſeco: ſed per 20 huius angulus incidentiæ, qui eſt a e h, eſt æ qualis angulo reflexionis, qui eſt b e d: & angulus a d e eſt æ qualis angulo b d z: an gulus ergo d e b maior eſt angulo a d e: ergo & ipſius ęquali, ſcilicet angulo b d z, quod eſt contra 16 p 1, extrinſecus enim, qui eſt b d z, maior eſt intrinſeco, qui eſt b e d: ergo & angulus a d h maior eſt angulo b e d: & ſic idem angulus eodem angulo erit maior & minor, quod eſt impoſsibile. A ſolo er go puncto ſpeculi plani fit reflexio formæ puncti b ad uiſum a. Si uero linea a b ſit perpendicularis ſuper ſuperficiem ſpeculi plani, patet per 32 huius, quòd unus tantùm punctus reflectitur ſecundú ipſam ad uiſum, & ab uno ſolo ſpeculi puncto. Quòd ſi linea a b non concurrat cum aliqua linearũ protractarum in ſuperficie ſpeculi, ſed ſit ęquidiftans alicui illarum: ergo per 9 p 11 ipſa erit ęquidiſtans cuilibet æquidiſtanti illi lineę in ſpeculi ſuperficie productę. Sit ergo ęquidiſtans lineę h z: erunt quoq per 1 th. 1 huius lineę a b & h z in eadem ſuperficie: fiat ergo deductio, ut prius, quoniam intrinſecus angulus erit maior extrinſeco: quod eſt impoſsibile. Ergo & illud, ex quo ſequebatur. Patert ergo, quod proponebatur.

◉46. In ſpeculis planis dati puncti uiſi ad cẽtrum uiſus datum, punctum reſlexionis inuenire. Alhazen 12 n 5.

◉Sit ſpeculum planum, in cuius ſuperficie ſit linea a g: & ſit centrum uiſus b: punctusq́ rei uiſæ ſit d: & ducantur catheti a d & g b perpendiculariter ſuper ſuperficiem ſpeculi per 11 p 11: diuidaturq́ linea a g in pũ

cto h, ita ut ſit proportio lineæ a h ad lineam h g, ſicut lineæ a d ad lineam g b per 119 th. I huius. Dico itaq quòd forma puncti d reflectetur ad uiſum b à pũcto ſpeculi h. Ducãtur enim lineę d h & b h. Palã itaq p 6 p 6 & ex hypotheſi quoniam triangulus d h a eſt æ quiangulus trian gulo h g b: angulus enim h a d eſt æqualis angulo h g b, quia ſunt amborecti, & eſt proportio lineę a d ad lineá g b, ſicut lineę a h ad lineam h g:angulus itaque a h d eſt æqualis angulo g h b. A puncto itaq ſpeculi, quod eſt h, refle ctetur forma puncti d ad uiſum b per 20 huius: angulus enim incidentiæ eſt æqualis angulo reflexionis, Si autem punctus h obſtruatur per aliquod ſuperpoſitum, utpote per ceram uel per picem aut ſimile: nulla uidebitur imago puncti d, centro ipſius uiſus, quod eſt b, diſpoſito ſecundum præmiſſum modum: quoniam à puncto alio impoſsibile eſt fieri reflexionem per præmiſſam: accidit enim à puncto alio uariari proportionem, & angulos incidentiæ & reflexionis fieriinæ quales. Patet ergo propoſitum.

◉47. Lineæ reflexionis formæ eiuſàem puncti à diuerſis punctis ſpeculi plani non ſunt æquidiſtantes: attamen in centro unius uiſus non concurrunt. Ex quo patet quòd unus uiſus uidere nõ poteſt idolum eiuſdem formæ à diuerſis punctis eiuſdem plani ſpeculi reflexum. Euclides 4 the. catoptr. Ptolemæus 7 th. 1 catoptr.

◉Eſto ſpeculum planum, in cuius ſuperficie ſit linea a b c d: cuius duobus punctis b & c à puncto rei uiſæ, quod ſite, incidant lineę e b & e c: & ſit centrum uiſus g: & reflectatur linea e b ſecundum li neam b f, & linea e c ſecundum lineam c g. Dico quòd lineæ c g & b ſ non ſunt æ quidiſtantes, nec tñ concurrent in centro unius uiſus, quãuis etiã ſint in eadẽ ſuperficie: angulus enim incidétię, qui eſt e c d, eſt ęqualis angulo reflexiõis, qui eſt g c a: & angulus c b d eſt æqualis angulo f b a, utpater per 20 huius, Quia ergo trigoni e b c latus b c protrahitur ad punctum d: erit per 16 p 1 angulus e c d extrinſecus maior angulo intrinſeco, qui eſt e b d: palá ergo per 20 huius quia & angulus g c a maior page 212 eſt angulo f b a: ergo per 14th. 1 huius lineæ g c & b f non ſunt æquidiſtantes: angulus enim extrinſecus maior eſt intrinſeco cadente linea a d ſuper ambas lineas g c & b f: ſed neq concurrentin centro unius uiſus. Dato enim quòd concurrant in centro uiſus, quod

ſit f, & linea e c reflectatur ad uiſum ſ ſecundum lineam c f: tunc quia per 20 huius angulus incidentię, qui eſt f b a, æqualis eſt angulo reflexionis, qui eſt e b d, & angulus e c d æ qualis angulo b c f: ſed angulus fb a maior eſt angulo f c b per 16 p 1: ergo & angulus e b c intrinſecus maior eſt angulo e c d extrinſeco: quod eſt contra eandem 16 p 1, & impoſsibile. Patet ergo propoſitum. Et ex hoc patet planè totum corollarium. Si enim lineæ reflexionis formæ eiuſdem puncti non poſſunt in centro unius uiſus concurrere: tunc eſt manifeſtum, quòd unus uiſus non poteſtidolum eiuſdem formæ uidere reflexum à diuerſis punctis ſuperficiei eiuſdem ſpeculi plani, Quod eſt totum propoſitum.

◉48. In ſpeculis planis forma puncti adcentrum uiſus reflexa, locum imagin is inuenire.

◉Eſto ſpeculum planum, in cuius ſuperficie ſit linea a b c: ſit quoq, ut form a puncti rei uiſæ, quod

ſit d, reflectatur ad centrum uiſus, quod ſit e, à puncto ſpeculi b: & ducatur linea incidentiæ, quæ ſit d b, & lineareflexionis, quę ſit b e. Dico quòd eſt poſsibile inueniri locũ imaginis, in quo uidetur forma puncti d. Quoniam enim per 27 huius puncta d, b, e ſunt in eadem ſuperficie: patet per 1 & 2 p 11 quoniam linea a b c eſt cum lineis d b & b e in eadẽ ſuperficie. Imaginetur ergo extendi linea a b c in continuum, quouſq a puncto e ſuper ipſam producatur per 12 p 1 linea perpendicularis, quæ ſit e c, & ei ęquidiſtás a puncto d, quæ ſit d a, per 31 p 1. Quia ita que linea e b concurrit cum linea e c in puncto e, palá per 2th. I huius quoniam ipſa concurret cum linea d a producta: ſit concurſus punctus f. Dico per 37 huius quoniá pun ctus f eſt locus imaginis formæ puncti d. Pater ergo propoſitum.

◉49. Eadem eſt diſtantia loci imaginis à ſuperficie ſpeculi plani ſub ſpeculo, quæ eſt punctiuiſi ab eadem ſuperficie ſupra ſpeculum planũ exiſtentis. Euclides 19th. catoptr. Alhazen 11 n 5.

◉Sit punctus rei uiſæ a: & ſit centrum uiſus b: & ſit c d e linea communis ſuperficiei reflexionis & ſuperficiei ſpeculi plani: ſitq́ d punctus reflexionis: & à puncto d ducatur linea d f perpendiculariter ſuper lineam c d e per 11 p 1, uel ſuper totam ſuperficiem ſpeculi plani per 12 p 11: & à puncto a du catur perpẽdicularis ſuper ſuperficiem ſpeculi per 11 p 11, quæ ſit a c, quæ producatur ultra ſpeculum: & ducatur linea incidentiæ, quæ

ſit a d, & linea reflexionis, quę ſit b d. Pater ergo per 27 huius quoniam lineę a d, f d, b d ſuntin ſuperficie reflexionis. Et cum linea f d ſit ęquidiſtans lineę a cper 28 p 1, uel per 6 p 11, & linea b d cócurrat cum linea f d in puncto d, patet per 2 th. 1 huius quia linea b d protra cta concurret cum linea a c protracta: concurrat ergo in puncto g. Dico quòd linea g c eſt æqualis lineæ a c. Quoniam enim angulus b d e eſt æqualis angulo a d c per 20 huius, ſunt enim anguli incidẽtiæ & reflexionis: ſed angulus b d e eſt æqualis angulo c d g per 15 p 1, quoniam ſunt anguli contra ſe poſiti: angulus ergo a d c eſt ęqualis angulo c d g: angulus uerò a c d eſt ęqualis angulo d c g, quon iá uterque eſt rectus: erit ergo per 32 p 1 angulus c a d trigoni c a d æqualis angulo c g d trigoni c g d: erunt ergo per 4 p 6 latera æ qu o s angulos continentia proportionalia: ſed latus c d æ quale eſt ſibi ipſi: erunt ergo cætera latera æquos angulos reſpicientia inter ſe æqualia, ut a c ipſi c g, & a d ipſi a g. Quia ergo in puncto g eſt locus imaginis per 37 huius, & linea c g eſt ęqualis ipſi a c: pater ergo propoſitum. Si ergo è perpendiculari ultra ſuperficiem ſpeculi imaginetur linea c g æ qualis lineæ a c reſecari: ſemper erit in puncto g locus imaginis tantùm diſtans à ſuperficie ſpeculi plani ſub ſpeculo, quantùm punctus rei uiſæ, cuius forma uidetur in ſpeculo, diſtat ab eadem ſuperficie ſpeculi ſupra ſpeculum. Patet ergo propoſitum.

◉50. In omni reflexione à ſpeculis planis facta, linea à centro uiſus ad locum imaginis producta, æqualis eſt lineæ incidentiæ & reflexionis ſimuliunctis.

◉Eſto in ſpeculo plano linea a b c: & ſit centrum uiſus d: & punctus rei uiſæ ſit e: fiatq́ reflexio for page 213 mæ puncti e ad uiſum d à puncto ſpeculi plani, quod ſit b: erit ergo linea incidentiæ, quæ e b, & li

nea reflexionis, quę b d: ſitq́ locus imaginis punctus g: hic ergo per 37 huius eritin concurſu lineæ reflexionis d b cum catheto incidẽtiæ. Sit ergo, ut cathetus e g producta ſecet lineam a c in pũcto f. Quia itaq angulus inci dentię, qui eſt e b f, eſt ęqualis angulo reflexiois, qui eſt a b d, per 20 huius: & angulus g b f æqualis a b d per 15 p 1: eſt ergo angulus g b f æ qualis angulo e b f: ſed & angu lus e f b æ qualis eſt angulo g f b, quia amborecti: ergo per 32 p 1 trigoni b g f & b e f ſunt æ quianguli: ergo per 4 p 6 latera illorum æ quos angulos continentia ſunt proportionalia: ſed latus b f eſt æquale ſibi ipſi: ergo g b eſt æquale ipſi b e. Ergo linea d g à centro uiſus ad locum imaginis g producta, eſt ęqualis ambabus lineis d b & b e ſimul acceptis. Quod eſt propoſitum.

◉51. In ſpeculo plano ab utro uiſu uno puncto comprehenſo, idem erit imaginis locus uiſib. am bobus: ex quo patet quòd una ſola imago utri uiſuioccurrit. Alhazen 15 n 5.

◉Sint duo uiſus b & g: & ſit a punctus rei uiſæ: & ſit q d z e linea in ſuperficie ſpeculi plani ducta: ſitq́ linea a d perpendicularis ducta à puncto a ſuper ſuperficiem ſpeculi, Et quia per 30 huius a b uno puncto ſpeculi propoſiti ad ambos uiſus non poteſt fieri reflexio, ſed ad minus à duobus: ſint itaq illa duo puncta t & z: & ducátur lineæ b t, a t, a z, z g Palàm ergo per 25 huius quia linea b t & a t & a d ſunt in eadẽ ſuperficie reflexionis, erecta ſuper ſuperficiem ſpeculi: & ſimiliter lineę a d, a z, z g ſunt

in eadem ſuperficie: & linea d t eſt communis ſectio ſuperficiei reflexionis, quæ eſt a d t b, & ſuperficiei ipſius ſpeculi: & linea d z eſt communis ſectio ſuperfi ciei reflexionis, quæ eſt a d z g, & ſuperſiciei ſpeculi per 19 th. 1 huius. Si ergo ambæ lineę reflexionis, quę ſunt b t & g z, fuerint in eadem ſuperficie erecta ſuper ſuperficiem ſpeculi: palàm quia linea t d z erit linea una recta: ideo quia communis ſectio ſuperficiei ſpeculi, & ſuperficiei cuiuſcunque ſuper ipſam erectæ eſt linea una recta per 3 p 11: tunc ergo & perpendicularis a d, quæ eſt inter duas lineas illas reflexionis, quę t b & g z, aut erit in eadem ſuperficie cum illis, aut extra illas in alia ſuperficie: quodcunq iſtorum fuerit, ſemper linea reflexionis, quę b t, protracta ſecabit ex perpendiculari, quę eſt a d, ultra ſpecu lum protracta partem æ qualẽ ipſi a d per 49 huius, quę ſit d h: quoniá ſemper lineæ b t & a d ſunt in aliqua eadem ſuperficie per 27 huius, ut præmiſſum eſt. Et ſimiliter per 49 huius linea g z protracta ultra ſpeculum ſecabit ex protracta catheto ad lineá ęqualem ipſi lineę a d: ſecabit ergo ipſam in puncto h. Imago ergo puncti a in eodé puncto perpendicu laris, quod eſt h, քci pietur ab utroq uiſu, & idem erit imaginis locus. Vna ergo tátũ erit imago, & in uno eodẽq́ loco uidebitur ab ambobus uiſib. in quo puncto uno tantùm uiſu perciperetur. Si uerò puncta t & znon fuerint in eadem ſuperficie reflexionis, adhuc eadẽ facta deductione una tantũ imago uidebitur, & unus tantũ erit imaginis locus, ut prius. Sẽper. n. utraq linea reflexiõis ſecabit ex քpẽdiculari ꝓtracta partẽ æqualẽ ipſi a d: eritq́ ſectio ambarũ linearũ reflexionis cũ illa ꝗpẽdiculari in eodẽ puncto h, ꝗ per 37 huius, erit ſemք imaginis locus. Et hoc eſt ꝓpoſitũ: quoniã ſi cẽtra amborũ uiſuũ, quę ſunt b & g, fue rint ex eadẽ parte rei uiſę, quę eſt a, ſemper eodẽ modo eſt demonſtrandũ: cõcurrent enim lineę re page 214 flexionum cum catheto in eodem puncto: & erit idẽ imaginis locus, & eadem imago uiſib occuret

◉52. In ſpeculis planis figurarei uiſæ & ſitus partium ſecundum quantitatem longitudini & latitudinis non mutatur. Ex quo patet, quòdimago cuius libet rei uiſæ in ſpeculo plano æqualis eſt formæ rei extrà. Euclides 19 th. catoptr. Alhazen 2 n 6.

◉Sit ſpeculum planum, in quo ſectio communis ſuperficiei illius ſpeculi & ſuperficiei reflexionis ſit linea a b: & duo puncta extrema alicuius rei uiſæ ſint f & l:erigaturq́ cathetus perpendiculariter

ſuper ſuperficiem ſpeculi à puncto l, quæ ſit l h: & à puncto f cathetus, quę ſit f z: & erunt z & h duo puncta in ſu perficie reflexionis per 27 huius: producanturq́ taliter ſub ſpeculum, ut linea h g ſit æ qualis ipſi l h, & linea z d æqualis ipſi f z: ſit quoq, centrum uiſus e: ducaturq́ per 11 p 11 à puncto e cathetus ſuper ſpeculũ, quæ ſit e b. Palã itaq ex 28 huius quoniam forma puncti l reflectitur ad uiſum e ab aliquo puncto ſpeculi lineæ h b: & locus ima ginis ſuæ per 49 huius eſt punctum g, tantũ diſtans à ſuperficie ſpeculi ultra ſpeculum, quátum punctus l ſupra ſpeculum. Similiter forma puncti freflectitur ad uiſum e ab aliquo puncto lineæ z b: & locus imaginis eſt punctũ d. Ducta quoq linea f l, & linea d g: palá quia quodcũq punctum lineæ f l reflectitur ad uiſum e, ſimiliter locus imaginis ſuę eſt tantùm diſtans à ſuperficie ſpeculi ultra ſpeculum, quantùm ille punctus eſt ſupra ſpeculũ. Quilibet ergo punctus lineæ f l tantùm uidetur diſtare ſub ſpeculo, quantùm ip ſe punctus a ſuperficie ſpeculi ſupra ſpeculum. Si ergo linea f l fuerit recta, erit linea d grecta: ſi linea f l fuerit arcus circuli, erit quo q linead g arcus circuli, & ſemper eiuſdem curuitatis & diſpoſitionis. Linea ergo f l ſemper apparebit eiuſdem quan titatis & figuræ, cuius eſt extra ſpeculum. Et hoc eſt propoſitum. Supponendum tamen eſt, ut tale ſpeculum planum ſit æ qualiter politum: quoniam ſi ad longitudinem uellatitudinem nimis declinet politio, declinabit & forma ſecundum idem per 40 huius: neceritin longitudi ne & latitudine debitus ordo formæ.

◉53. Altitudines & profunditates à planis ſpeculis reuerſæuidentur, cum ſpeculorum ſuperfi ciebus perpendiculariter inſiſtunt. Euclides 7th. catoptr.

◉Eſto altitudo uiſa, quæ a b c e: ſitq́ centrum uerò communis ſuperficiei reflexionis & ſuperficiei ſpeculi plani ſit e f g h i: incidatq́ forma pun

cti a ſecundum lineam a h, & reflectatur ſecundum lineá h d: & forma pũcti b incidat ſecundum lineã b g, & reflectatur ſecundum lineá g d: & forma puncti c incidat ſecundum lineam c f, & reflectatur ſecundum lineam f d. Dico, quòd altitudo e a uide bitur reuerſa. Protracta enim linea e a, quę perpendicularis eſt ſuper lineam e i, ſub ſpeculum, & protractis omnib. lineis reflexionis ad concurſum eum protracta linea a e ultra punctũ e: incidat linea d h in punctum m: & linea d g in pũ ctum l: & linea d f in punctum k. Palàm per pręmiſſam quoniam linea k e ęqualis eſt ipſi lineę e c, & leipſi e b, & m e ęqualis ipſi e a. Pũcta ergo altitudinis e a propinquiora ſuperficiei ſpeculi ſuperius exiſtentia, propin quiora uidebuntur eidem ſub ſpeculo inferius, & puncta remotiora ſuperficiei ſpeculi ſuperius, remotiora uidebuntur ſub ſpeculo inferius. Videbitur ergo altitudo reuerſa ſub ſpeculo: quod enim eſt ſuperius in altitudine, uidebitur inferius, quoniá ſub maiori diſtantia à uiſu uidetur: & quod eſt inferius in altitudine, uidebitur ſuperius, quoniá propinquius uiſui uidetur. Et eodem modo demonſtrandũ, ſi linea a b c ſit linea profunditatis alicuius rei. Patet ergo propoſitũ.

◉54. Obliquæ longitudines à planis ſpeculis uidentur, quemadmodum ſe habent. Euclides ‡ the. catoptr.

◉Sit d e longitudo obliquè diſtans à ſuperficie plani ſpeculi, ita ut punctum eius, quod eſt e, ſit remotius ab ipſa ſuperficie ſpeculi: cõmunis quoq ſectio ſuperficiei reflexionis & ſuperficiei ſpeculi page 215 ſit linea k q a g: cẽtrumq́ uiſus ſit punctus b: & incidat forma puncti d ipſi ſpeculo ſecundum lineá

d a, & reflectatur ſecundum lineá a b ad centrũ uiſus: & incidat forma puncti e ſecũdum lineam eg, & reflectatur ad uiſum ſecundum lineam g b: protrahaturq́ cathetus d k perpendiculariter, & linea reflexionis, quę eſt b a, donec concurrantin puncto m: & protrahatur cathetus e q perpendiculariter, donec concurrat cũ linea b g in puncto l: eritq́ per 49 huius linea d k æqualis lineæ k m, & linea e q æ qualis lineę q l. Et quoniam lógitudo d e obli què ſe habet ad ſuperficiem ſpeculi, (etenim pun ctum e remotius eſt à ſpeculo  punctum d) erit li nea e q longior quã linea d k: ergo & linea q l longior quá linea k m. Punctũ ergo illius obliquę magnitudinis, quod eſt remotius ſuper ſuperficiẽ ſpe culi, hoc ſimiliter ſub ſuperficie ſpeculi à remotiori uidetur: & quòd ſuperius propin quius eſt ſpeculo, hoc ſub ſpeculo etiá uidetur eſſe in loco propinquiori. Videntur ergo tales magnitudines quẽadmodũ ſe habẽt. Et hoc eſt, quod ꝓponebatur.

◉55. In ſpeculis planis dextra apparent ſiniſtra, & ſiniſtra dextra. Euclides 19 th. catoptr.

◉Eſto ſpeculum planum g s t: & uiſa res ſit d b: ſint quoq lineæ incidentię d g & b s: & ſit centrum uiſus p:lineæ quoq reflexionis ſint p g & p s: & ſit, ut linea reflexionis, quæ eſt p g, concurrat cũ catheto incidentiæ, quæ d h in puncto f: & linea reflexio

nis, quę eſt p s, concurrat cum catheto b tin puncto e: producaturq́ linea fe, quæ eſt per 52 huius imago rei uiſæ, quæ d b: apparebunt ergo dextra ſiniſtra, & ſiniſtra dextra. Quoniam enim per 33 huius ſemper ad an gulum maiorem angulo incidentiæ ſit reflexio, & it a ad partem oppoſitam parti incidétiæ: patet quòd dextrum rei uiſæ ſemper uidebitur ſub linea reflexionis magis ſiniſtra, & ſiniſtrum ſub linea reflexionis magis dextra: illa enim linea reflexionis, quę plus eſt dextra, cadet ſuper dextram parté imaginis, & ſiniſtra cadet ſuper ſiniſtram. Sic ergo dextrum rei apparet ſub ſiniſtro imaginis, & econuerſo: quoniam imago rei uidetur ſe habere ad rem, ſicut homo ſtans erecta facie con tra aliquem alium: tunc enim pars ſiniſtra opponitur dextræ, & dextra ſiniſtræ: quia ſemper cum aliquis ho mo alij opponitur, contrarius eſt eis oppoſitis adinui cem ſitus:ad eandem enim poſitionis differentiam eſt dextrũ unius ſiniſtrum alterius, & econuerſo: & ſic quod eſt rei uiſę dextrũ, fit ſuę imaginis ſiniſtrũ: & quod eſt rei uiſæ ſiniſtrum, in imagine dextrum erit ſecundum uiſum. Patet ergo propoſitum.

◉56. Poſsibile eſt ſpeculum planum taliter ſiſti, ut intuens propria imagine non uiſa, uideat imaginem rei alterius non uiſæ, Ptolemæus 9 th. 2 catoptr.

◉Sit a b lignũ horizonti perpẽdiculariter infixũ, uel ſuperficiei ſibi ęquidiſtanti, uel aliter quomodocun q diſpoſitę, quæ ſit b g: ſitq́ ſpeculum planũ, in quo ſit linea d b: & ſit quadratum. Et quia lignum a b eſt perpendiculariter erectum ſuper g b ſuperficiem, ducatur linea g b, ut cótingit; palàm ergo quòd angulus a b g eſt rectus: diuidatur ergo ille angulus rectus in tres partes æquales per 28 th. 1 huius: inclineturq́ſpeculum d b taliter à ligno a b, ut angulus d b a ſit tertia pars unius recti, ꝗ eſt a b g: erit ergo angulus d b g duę tertiæ partes unius recti. In hoc autem conſiſtit bonitas opera tionis mechanicæ & utilior effectus: quęcunq tamen alia pars recti anguli abſcindatur, ad idé peruenit demonſtratio, ut patet. Sit itaq angulus a d b tertia pars unius recti: & producatur linea ſpeculi, quę eſt b d, ultra punctum d in continuum & directum uſq ad punctum, quod ſit e. Et quoniá linea g b eſt perpendicularis ſuper lineam a b, cum linea quoq ſpeculi, quæ eſt d b, continet angulũ acutum: tunc à puncto g, quod ſit in ſuperficie orthogonaliter erecta ſuper ſpeculi ſuperficiem, ducatur linea perpendicularis ſuper lineam b e per 12 p 1, quę ſit g e: angulus igitur b e g erit rectus. Sit itaque locus ipſius uiſus punctũ g, à quo ad pun ctum d protrahatur linea g d: à puncto quoq d ꝓducatur linea cadens ſuꝗ lineam b g, quę in cidat in punctum z, ita ut angulus z d g ſit æqualis angu lo e g d conſtituto ſuper terminum lineę g d per 23 p 1: erit ergo linea z d ęquidiſtans lineę g e per 27 p 1: ergo ք 8 p 11: erit linea z d erecta perpẽdiculariter ſuper ſuperficiẽ ſpeculi, & perpendicularis ſuper cõmunem ſectionẽ ſuperſiciei reflexionis & ſpeculi, quę eſt b d: angulus ergo z d b eſt rectus æqualis angulo g e d ex præmiſsis, & etiam per 29 p 1. A puncto quoque z ducatur linea z h perpendicularis ſuper ſuperficiem g b per 11 p. 11: & ſuper punctum d terminum lineæ z d conſti page 216 tuatur angulus æ qualis angulo g d z, qui ſit angulus z d i. Et quoniã ք 2 th. 1 huius cõcurret linea di cũ linea zh: ideo quia linea d i pro ducta ultra punctũ d, cõcurret cũ linea a b, ut patet expræmiſsis, & per 14 th. 1 huius: ſit ergo linea

rũ di & z h concurſus in puncto i: & à puncto i ducatur linea ęquidi ſtans lineę b d per 31 p 1, quę ſit lineait: & à puncto b extrahatur քpendicularis ſuper ſuperficiẽ ſpeculi per 12 p 11, quę fit b q: eritq́ ք28 p 1 linea b q æquidiſtans lineæ g e: ergo per 8 p 11 linea b q, ſicut & linea g e, erecta eſt perpendiculari ter ſuք ſuperficiẽ ſpeculi, quæ eſt d b. Super punctũ ergo b terminũ lineę q b conſtituatur angulus æqualis angulo g b q, qui ſit q b t: cõ curret ergo linea b t cum linea æquidiſtanter ducta lineę d b à pun ctoi, quæ eſt linea it, per 2 th. 1 huius: ſit concurſus punctus t: & cõpleatur tabula i t. Depingatur itaquein tabula, in qua eſt linea it, imago quæcunq placuerit: & ponatur tabula depictæ imaginis in loco lineęit, ſecundum medium lineæ tabulæ correſpondens lineæ zi: & perforetur ſuperficies g b ſecundum lineam z b, ita ut forma picturæ poſsit uenire ad ſpeculum d b. Cũ itaq centrum uiſus fuerit in puncto g, uidebit intuẽs formam imaginis depictę in tabula it, propriam uerò non uidebit imaginẽ: cuius hęc eſt demõſtratio. Quia enim angulus g e b eſtrectus, patet per 16 p 1 quoniã angulus g d b eſt obtuſus: & ſimiliter omniũ punctorũ formæ uel faciei ipſius uidentis incidentium ſpeculo d b, anguli ſunt obtuſi ք eãdem 16. Quia uerò anguli incidentiæ ſemper ſunt æquales angulis reflexionis per 20 huius: palã ք 13 p 1 quoniã nun erit reflexio formæ ipſius uidentis ad centrum uiſus, ſed ſemper ad puncta, quæ ſunt ſub uiſu, quod patet per 33 huius. Nũquã ergo uidebit quis exiſtens ſecundũ centrũ uiſus in pũ cto g propriam imaginẽ in ſpeculo plano taliter ordinato ſecundũ ſitum. Et ſi uiſus elongetur à fpe culo ſecundũ quodcunq punctũ ultra punctũ g, utpote ad punctum f: palàm quoniã angulus f e b eſt maior recto: ſed & angulus f d b eſt maior angulo f e b per 16 p 1: nunquá ergo fiet reflexio ad pũctum f, ſed ſemper ad alium punctum ſub linea. Similiter quoq accedente uiſu ad ſpeculũ ſecundũquodcun q punctum lineę g z, pręter ſecundum ipſum punctúz, nun uidebit uidens ſui ipſius imaginem: ſola enim perpendicularis, quæ eſt linea z d, ut patet expræmiſsis, per 21 huius reflectitur in ſe ipſam: & ita in puncto z conſtituto centro uiſus uidebit intuens formá ſui ipſius oculi à ſpeculo plano taliter diſpoſito reflexá, non aũt aliã partem faciei: quoniá ſola perpendicularis, quæ eſt linea unica, reflectitur in ſe ipſam: & ita ſolius illius puncti fit reflexio, non aũt punctorũ aliorũ. Si ergo uiſus à puncto g appropinquet ſpeculo ſecundũ punctũ k cadentẽ inter puncta g & z: ſi à pũcto k ducatur linea ad punctũ d, quę ſit k d: palã per 14 th 1 huius, & ex pręmiſsis quòd lineę d k & e g cõ currãt ultra lineã g k: ſola enim linea d z æ quidiſtat lineæ e g: angulus uerò g e d eſtrectus, & angulus z d b rectus: ergo angulus k d b eſt obtuſus: fiet ergo reflexio ad alium pũctũ ſub pũcto k. A pũcto uerò z, ut prædictũ eſt, fiet reflexio in ipſum punctum z: ideo quia linea z d ęquidiſtãs lineæ g e, eſt perpẽdicularis ſuք lineam d b per 29 p 1, & ex hypotheſi. Similiter quoq poſito uiſu in quocũ q puncto lineę z b (quoniá à quolibet punctorũ illorũ eſt ducere perpendicularẽ ſuper ſuperficiẽ ſpeculi, uel ſuper lineá d b) reflectitur illarum quælibetin ſe ipſam ք 21 huius. Palã itaq quoniã cõſtitu to uiſu in linea g z, non uidebit intuens imaginẽ ſui ipſius: quia, ut dictum eſt, ſola perpendicularis ſecundum unicum punctũ reflectitur ad uiſum, non aũt alia puncta formæ. Quia uerò angulus i d z eſt æ qualis angulo z d g, & linea z d eſt perpendicularis ſuper ſuperficiẽ ſpeculi d b: ergo per 20 huius forma puncti i à puncto ſpeculi d reflectitur ad uiſum in puncto g exiſtentem. Et quia angulus t b q eſt æ qualis angulo g b q, ut patet expræmiſsis, & linea b q perpendicularis eſt ſuper ſuperficiẽ ſpeculi: palàm per 20 huius quoniam forma puncti t à puncto ſpeculi b reflectitur ad uiſum in pun cto g: ergo per 34 huius forma totius lineæ i t reflectitur à ſpeculo d b ad uiſum in puncto g. Non ui debitur autem ipſa tabula depicta i t, quoniã eſt ſub ſuperficie, cui ſuperſtat ſpeculũ & uiſus. Poteſt aũt ſic fieri ut ſecundum longitudinẽ lineæ z b ſit factus murus ſuper terram ad altitudinem uidentium, qui interius ſit concauus, ſuperius uerſus ſpeculum apertus: & in illo muro deponatur tabula picta, quæ eſt i t, ęquidiſtanter ſpeculo b d, & ſit uiſus in diſtantia à ſpeculo ſecundum ſitum puncti g, & ſit prohibitus per aliquod inedium, ne poſsit propius accedere: tunc enim omnes formæ pũ ctorũ depictæ imaginis incidẽt uiſui. Diſponatur ergo taliter ք ingeniũ, ut tabula depicta nullo mo do uideatur: & ſit ſpeculũ ſitũ uerſus lumen, ita utaer circa ipſum ſit luminoſus: ſitq́ tabula depicta ſimiliter lumẽ habens: quia aliter in tenebris latens non poſſet uideri: mediãte enim lumine formã fuã multiplicat ք medium, & peruenit ad ſpeculum, & reflectitur ad uiſum. Palã ergo propoſitum.

page 217

◉57. Poßibile est ſpeculum unum planum in camera propriataliter ſiſti, ut in ipſo uideantur ea, quæ geruntur in domo alia uel in uicis & plateis. Ptolemæus 7 th. 2 catoptr.

◉Sit in camera uidentis locus aliquis, in quo exiſtente uiſu placet uidere per ſpeculum planum omne illud, quod alibiagitur: quilocus cameræ, in quo ſiſtitur centrũ uiſus, ſit ſignatus puncto a: & ſit locus, in quo eſt uoluntas aliquid uidendi, quod in illo loco agitur, ſignaturs puncto b: ſitq́ rima ſiue fene

ſtra in camera uidentis oppoſita loco b, quę ſit g: & du catur linea b g: & producatur in continuũ & directũ intra cameram ad aliquem punctum, qui ſit d: quod to tum poteſt fieri per aſtrolabium ſiue quadrantẽ uel aliud inſtrumentum certificationis uiſuum: uiſo enim puncto b, reuoluatur uiſus fixo inſtrumento, & cadat uiſus per eaſdem pinnulas immotas in punctũ cameræ d. Ducantur ergo lineę d a & g a: & diuidatur linea g a per 119 th. 1 huius in puncto e, ita ut ſit proportio li neæ a e ad lineã e g, ſicut lineæ a d ad lineam d g: quæ ambę per inſtrumẽti acceptionẽ ſunt notæ: ducaturq́ linea e d: diuidet ergo per 3 p 6 linea d e angulum a d g per æ qualia. Ponatur itaq ſpeculũ perpẽdiculariter erectũ ſuper lineã d e in puncto d per cõuerſam 11 p 11, in quo ſpeculo ſit linea f h. A puncto itaq ſpeculi d re flectetur forma puncti g ad uiſum a per 20 huius: ergo & forma puncti b per eandẽ 20 huius: diſtantia enim ſecundũ eandem lineam naturã reflexionis nó immutat. Videbit itaq uiſus ſecundũ eius centrũ in puncto cameræ, quod eſta, exiſtens, omne, q erit, & quod agetur in loco b, ſiue ſit domus alia ſiue uicus ſiue platea. Et hoc eſt, quod ꝓ ponebatur.

◉58. Poßibile eſt ſpeculum ex ſpeculis planis compoſitum conſtrui, in quo uideantur ſolius aſpicientis plures imagines ad modum chorearum. Ptolemæus 6 th. 2 catoptr.

◉Aſſumatur arcus circuli a z, cuius centrum ſit h: & quoniam arcus a z indefinitus aſſumitur, eſto, ut ipſe exempli cauſſa, diuiſus ſit in quinq partes æ quales, uel quotcũq quis uoluerit, partes, ita ut arcui a b ſint æ quales arcus b g, g d, d e, e z: & ducantur chordę a b, b g, g d, d e, e z, quæ omnes erunt æquales per 29 p 3: & à centro h ducantur lineę h a, h b, h g, h d, h e, h z: & ablatis arcubus ſuper chor das a b & b g & alijs, erigantur ſpecula plana quadrangula parallelogramma, ita ut eorum latera a i b k, g l, d m, e n, z x ſint ęquidiſtátia: & ſint ſpecula con tinua ad inuicem taliter, ut latera eorũ, quæ ſunt b k, g l, d m, e n ſint cõmunia: ſint aũt ſpecula adinuicem

taliter cóp oſita, ut anguli contenti à lineis a i & i k: b k, & k l: g l, & l m: d m, & m n: e n, & n x ſint æ quales an gulis contentis à lineis h a & a b: h b & b g: h g & g d: h e & e z: ſintq́ ſuperficies inſiſtétes lineis a b, b g, g d, d e, e z uerſę inferius, & ſuppoſitæ ſuperficiebus alijs ſu perius eleuatis, in quibus ſunt lineæ i k, k l, l m, m n, n x: & ſint ſuperficies ſuperiores inferioribus æquidiſtantes: hęc enim omnia ſpecula taliter diſpoſita aſpe ctum uniformẽ habebunt ad uiſum exiſtenté in centro h. Quoniam enim lineæ h a, h b, h g, h d, h e, h z ducuntur à centro h ad puncta cōmunia chordis & arcu bus, patet per 18 p 3 quoniá omnes ſunt perpendiculares ſuper lineas circulum a z in illis purctis contingentes: ergo per 21 huius omnes illæ lineæ reflectuntur in ſe ipſas: erit ergo diſtin ctio imaginũ ſecundum illas: ſed & perpendiculares, quæ à puncto h ducuntur ſuper ſuperficies ſpeculorum planorũ, quæ per 20 th. 1 huius ſolùm numerantur numero ſuperficierum ſpeculorũ: & circa omnes illas fit uniformis reflexio ad uiſum: numerabuntur ergo imagines numero ſpeculorum, quorum numero & loca imaginum numerantur: ideo quia à puncto h productæ perpendiculares non concurrunt ultra ſpecula, cum omnes in puncto h concurrant: eſt autem locus cuiuſq imaginis in concurſu catheti cum linea reflexionis per 37 huius. Et cum hæc ſpecula uniformiter reſpiciant uiſum in pun cto h: patet quòd qua ratione reflexio fit ab uno ipſorum ad uiſum, eadem ratione fit reflexio à quolibet aliorum: & ſic reflexionum lineæ numerantur numero cathetorum. Plures ergo uidebuntur imagines diſp oſitę adinuicem numero & ordine ſpeculorum. Quia uerò ſpecula reſpiciunt uiſum, ut ſui centrum, ad modũ arcus circuli, & imagines ipſius uidentis reſpicient uidentem ad modum chorearũ. Quod eſt propoſitũ. Poſſunt & per hoc ſpeculũ uariato ſitu plures elici imaginum ſituationes, quod experimentantis induſtriæ cenſuimus relinquendũ, ut ſi ſpeculũ a b ſecundũ baſim ai fituetur æquidiſtãs ſuperficiei horizontis, uel ſecundũ alios modos diuerſos, ut libuerit, diuerſetur.

page 218

◉59. Poßbile eſt ſpeculum ex ſpeculis planis compoſitum conſtrui, in quo aſpiciens ſuam uideat imaginem uolantem. Ptolemæus 6 th. 2. catoptr.

◉Aſſumatur trigonum iſoſceles rectangulum, quod ſit b a g: & ſit angulus eius, qui b a g, rectus: & linea b g ſecetur in duo æqualia in puncto c: & ducatur linea a c: & ſuper lineam a g ponatur ſpeculum planum, quod ſit z h: & ſuper lineam b a ponatur aliud ſpeculum planũ, quod lit d e: & ſit uiſus intuentis in linea a c, reſpiciẽs in quodcunq

illorum ſpeculorum uoluerit, ut in z h: & alte rum ſpeculum, quod eſt e d, iaceatin plana ſu perficie, ſuper quod ſtat intuẽs: & accedat & recedat intuẽs, donec calcanei ſui forma per ueniat ad ſpeculum e d: dico quòd reuerbera bitur in aliud ſpeculum, quod eſt z h, in quo aſpiciens putabit propriam imaginem uolare: quoniam uidebit ipſam eleuatam ſecundum ſe totam in aere, cum tamen ipſe aſpiciens ſtet ſuper ſuperficiem terrę uel alterius rei, in qua eſt ſpeculum e d: quoniam forma calcanei incidens inferiori ſpeculo, quod eſt e d, reflectetur ad ſuperius ſpeculum, & in illo figurabitur tota forma intuentis. Et ſi intuens mouerit ſe aliqualiter, ita tamen, ut nó muterur ſitus reſpectu reflexionũ, quæ fiunt à ſpeculo: moueri uidebitur imago in aere per 42 huius: & ſic uidebit aſpiciens ſuam imaginem uolantẽ. Quod proponitur. Et circa hoc plura alia diligentia artificis perquiret. Vt aũt idem propoſitũ & aliter melius pateat figuraliter demonſtratũ: ſit orthogonium trigonũ a b c, cuius angulus b a c ſit rectus: & in cuius latere a b ſituetur ſpeculum planũ, cuius media linea ſit d e: cuius punctus d ſit propinquior puncto b, quàm punctus e: & ſit trigonũ a b c ſecundũ eius la rus a b poſitum in ſuperficie horizontis uel alia quacunq ſuperficie, ſuper quã eleuata ſit ſtatura intuentis, cuius plantæ pedis ſtent in puncto g aliqualiter eleuato ſuper lineam a b: & ducatur linea g d: & ſuper punctũ d terminũ lineæ b d fiat per 23 p 1 angulus æqualis angulo g d b, qui ſit h d a, producta linea d h ad lineam a c: & ſuper punctum h terminum lineæ c h fiatangulus d h k æqualis angulo d h a, producta linea h k ad lineam b c: poſitoq́ centro uiſus in puncto k: pater ex præmiſsis & per 20 huius, quoniam forma puncti g à puncto h refle ctetur ad uiſum, ſi punctum h ſuerit punctum ſpecu li alicuius: inuentoq́ per 46 huius in ſpeculo d e puncto reflexionis formæ puncti m, quod ſit in uertice uidẽtis: ſit formæ puncti illius punctus reflexio nis e: & ducatur linea m e: & angulo m e d ſuper pun ctum e terminum lineę m e per 23 p 1 fiat æqualis angulus, qui ſit a e l; producta linea el ad lineam a c: & inter puncta a & h ſituertur ſpeculum, quod ſit l h, ita quòd puncta l & h ſint in ſuperficie illius ſpeculi, & ſimiliter punctum a. Et quoniam forma puncti m à puncto ſpeculi d e (quod eſt e) reflectitur ad totam ſuperficiem ſpeculi 1 h per 22 huius, & ab illo puncto ſpeculi 1 h, in quo anguli e l a, & h l k ſunt æquales, (quodcunq enim ſuerit illud punctú, ſemper ipſum dicatur punctuml) fiet reflexio ad uiſum k. Quoniá enim, ut patet per 26 huius, anguli k l c, & k h c ſunt acuti, patet per 14 th. 1 huius quoniam illæ lineę con current, ſitq́ punctus concurſus k. Palàm ergo per 34 huius quòd tota imago aſpicientis, quæ eſt linea g m, à ſuperficie ſpeculi e d reflectitur ad ſpeculum l h, & à ſuperficie ſpeculi l h reflectitur ad uiſum exiſtentem in puncto k. Et quoniam, ut pater per 37 huius, locus imaginis formæ uniuſcuiuſq puncti eſt in concurſu catheti ſuæ incidentiæ cum linea ſuæ reflexionis: producatur itaq à puncto ſpeculi d e, à quo fit reflexio formæ puncti g, quod eſt d, per 11 p 11 linea perpendicularis ſuper ſpeculi a h ſu perficiem: & patet, cum exhypotheſi angulus d a h ſit rectus, quòd illa perpendicularis eſt linea d a. Similiter quoq perpendicularis à puncto reflexionis formæ punctim, quod eſt ſpeculi de punctũ e, ducta ſuper ſuperficiem ſpeculi a h, eſt eadem linea, quæ e a: hæc itaq linea eſt cathetus incidentiæ formarum punctorum g & m reflexorum à punctis d & e ad ſpeculum l h. Et quoniam, ut præmiſſum eſt, patet per 26 huius, quòd anguli k h c & k l c ſunt acuti, quoniá linea angulum d h k uel e l k per æ qualia diuidens, eſt perpendicularis ſuper lineam l h: angulus uerò d a h eſt rectus: ergo per 14 th. 1 huius linea d e a concurret cum ambabus lineis k l & k h: ſit ergo, ut punctus concurſus linearum d a & k h ſit n: & punctus concurſus linearũ e a & k l ſit o. Erit ergo linea o n imago formæ 219 totius lineæ m g: eritq́ punctum, quod eſt imago formæ puncti g, plantarum ſcilicet ipſius intuentis altius in aere quàm punctum o, quod eſt imago formæ puncti m, uerticis ipſius uidentis. Videbit ergo ex puncto k intuens ſpeculum l h, ſuam imaginem in aere uolantem: quoniam uidebit pedes altius in aere quàm ipſum caput, collocatos. Per eadem quoq demonſtrandum, ſi trigonum a b c fuerit oxygonium, niſi quòd imago intuentis aliam recipit ſitus diſpoſitionem: catheti enim incidentiæ aliter ſuperficiei ſpeculi incidunt quàm prius: ſemper tamen trigono a b c exiſtente orthogo nio uel oxygonio uidebitur imago intuentis uolans ſub ſpeculo. Quòd ſi trigonum a b c fuerit amblygonium, poſsibile eſt fieri, ut imago ſit uolans in aere retro uiſum: quoniã ut patet per 14 th. 1 huius, catheti incidentiæ & lineæ reflexionum concurrent retro centrum uiſus. Non uidebitur autẽ talis imago, quoniam ſemper fugiet abſcõſa ab ipſo uiſu, niſi fortè ab alio ſpeculo tertio ad uiſum poſſet fieri reflexio. Patet ergo illud, quod proponebatur: & hoc: uiſu ſolùm reſpiciente in ſpeculum a h, non in ſpeculũ d e. Et hæc quidem demonſtrata ſunt, ac ſi à punctis primarum reflexionum, quæ ſunt d & e, ducantur catheti incidentiæ: quæ ſi imaginentur à locis primarum imaginum duci, multò fortius ſecundæ imagines, quæ uidentur in ſpeculo a h, uidebuntur eſſe diſpoſitæ, ut uolantes.

◉60. Per duo ueltria ſpecula plana orthogonaliter ad inuicẽ diſpoſita, poſsibile eſt eiuſdem pun cti imaginem uideri. Euclides 13 th. catoptr.

◉Sit uiſibile aliquod, in quo ſit punctum a: & ſit centrum uiſus punctũ b: & ſint tria ſpecula plana g d, d e & e z orthogonaliter ad inuicẽ diſpoſita: ducatur quoq à puncto a linea a z perpendiculari ter ſuper ſuperficiem ſpeculi e z per 11 p 11: & producatur linea a z in continuũ: abſcindaturq́ in pun cto c taliter per 3 p 1, ut linea z c ſit

æqualis lineę a z: & à puncto b, q eſt centrum uiſus, ducatur linea b g perpendiculariter ſuper ſpeculũ d g: & producatur taliter, ut linea g s ſit æ qualis lineæ b g. A puncto quoq c ducatur perpendicularis ſuper ſuperficiem ſpeculi d e, quæ ſit c k: & producatur ultra punctũ k a d punctũ l, quouſq linea c k ſit æ qualis lineæ k l: & à puncto l ducatur linea ad punctũ s, ſecans ſpeculum d e in puncto m, & ſpeculũ d g in puncto f: & à puncto m duca tur ad punctum c linea m c ſecans ſpeculum e z in puncto r: & ducan tur lineæ a r & b f. Quia ergo linea b g eſt æ qualis lineę g s, & linea g f cōmunis ambobus trigonis s g f & g f b, & angulus b g f æqualis eſt angulo s g f, quia ambo illi anguli ſunt recti: erit per 4 p 1 linea b f æ qualis lineæ s f, & angulus g f b æ qualis angulo g f s, & angulus f b g æqualis angulo f s g: ſed angulus s f g eſt æ qualis angulo d f m per 15 p 1: ergo angulus d f m æ qualis eſt angulo g f b. Poteſt ergo ք 20 huius forma puncti m reflecti ad uiſum b. Quia uerò linea c k eſt æqualis lineæ k l, & linea k m cõmunis eſt ambob. trigonis c k m & l m k: angulus quoq l k m æqualis eſt angulo m k c, quia ambo recti: erit per 4 p 1 linea l m æ qualis lineæ m c, & angulus l m k page 220 æ qualis angulo k m c: ergo angulus d m f eſt æ qualis angulo k m c: quoniam per 15 p 1 ipſe eſt æ qua lis angulo l m k: ergo per 20 huius forma puncti r poteſt reflecti à puncto m ad punctũ f: & à puncto f ad punctum b centrum uiſus. Per duo ergo ſpecula, quæ ſunt d e & d g, uidetur forma puncti r reflexa ad idem centrum uiſus, quod eſt b. Et quia linea a z eſt æ qualis lineę z c, & linea z r communis eſt ambobus trigonis a r z & z r c: angulus quoq a z r eſt æqualis angulo r z c, quia ambo recti ſunt: erit angulus a r z per 4 p 1 æ qualis angulo z r c: ergo per 15 p 1 angulus m r e eſt æ qualis angulo a r z. Forma ergo puncti a reflectitur à puncto r ſpeculi z e ad punctum m ſpeculi d e, & à puncto m ad punctum f ſpeculi d g, & à puncto f ad centrum uiſus b. A tribus ergo ſpeculis uidetur forma & imago eiuſdem puncti a. Quod eſt propoſitũ: & hoc accidit uiſu ſolùm reſpiciente in ſpeculum d g.

◉61. Poßibile eſt per quotcun quis uoluerit plana ſpecula ſecundum diſpoſitionem polygonij æquilateri & æquianguli ad inuicem diſpoſita, eiuſdem puncti imaginem uideri. Euclides 14 th. catoptr. Ptolemæus 8 th. 2 catoptr.

◉Sit centrum uiſus punctum a: & punctum rei uiſæ ſit b: & ducatur linea a b: & ſecundum quantitatem lineæ a b deſcribatur polygonium æ quilaterum & æ quiangulũ, quotcunq laterũ uiſum fuerit ordinari. Sit autem nunc, exempli cauſſa, polygonium a e d g b pentagonũ: cui circunſcribatur circulus per 14 p 4: & ducantur lineæ ad centrum circuli, quod ſit c, ab angul: s polygonij, quæ ſint a c, e c, d c, g c, b c: palàm itaq quoniam omnes illæ li

neæ ſunt æquales per definitionem circuli: anguli er go ad baſes oẽs ſunt æ quales per 5 & 8 p 1: & in concurſu quorumliber dictorum laterum ponatur ſpecu lum planum, præter quàm in punctis a & b, ut ad pun cta e, d, g: uel ſi fuerit polygoniũ plurium laterum, po nantur plura: & erigantur omnia orthogonaliter ſuper lineas ad centrum circuli productas, ut ſunt hæ li neæ d c & g c: quod fier per 11 p 11: ita ut ſpeculum f h ſuper lineam g c ſit perpendiculariter in ſiſtens: ad unum uerò angulum ſit punctum rei uiſæ, & ad alium ſibi proximum ſit centrum uiſus, ut ſunt hic puncta a & b. Quia itaq angulus c g f eſt æ qualis angulo h g c; quia ambo ſunt recti per 18 p 3: ſed & angulus c g b eſt ęqualis angulo c g d, ut patet per pręmiſſa & per 8 p 1: angulus ergo b g r æ qualis eſt angulo d g h. Ergo forma puncti b à puncto g ſpeculi f h reflectitur ad punctum ſpeculi proximi, quod eſt ad punctũ d: per æ quales enim angulos fit omnis reflexio, ut pa tet per 20 huius. Et quoniã omnes anguli illi præmiſsis duobus angulis ſimiles inter ſe, ſunt æ quales: palàm quia fit reflexio à puncto d ad punctũ e, & à puncto e ad punctũ a, quod eſt centrũ uiſus. Viſus itaq exiſtens in puncto a, & intuens ſolum ſpeculum, cuius eſt punctũ e, uidebit formam b, quæ immediatè nõ reflecteretur ad ipſum à puncto ſpeculi e, reflexam mediantibus ſpeculis g & d. Quod eſt propoſitum. Quòd ſi centrum uiſus ſit in puncto c, quod eſt centrũ circuli, cuius periphe riam contingunt omnia ſpecula in angulis polygoniorũ conſtituta: palàm quòd forma puncti c ab omnibus pũctis reflectitur in ſe ipſam: quoniã omnes lineę, quæ ſunt c a, c b, c g, c d, c e ſunt perpendiculares ſuper ſpeculo rũ ſuperficies: reflectuntur ergo in ſe ipſas ad punctũ c per 21 huius. Palàm ergo eſt propoſitũ. Et ſi plurima ordinantur hoc modo ſpecula, de omnibus eſt eadẽ demonſtratio & idem modus circum ſcribendi circulũ alteri polygonio, qui & pentagono. Per hęc itaq duo theo remata patet quòd rei, quę nõ uidetur, imago poteſt in ſpeculo uideri: ut ſi res taliter diſponatur ad primũ ſpeculum, quòd ad ipſum uiſus pertingere non poſsit: hoc autem faciliter accidit cogitanti.

◉62. Á pluribus ſpeculis planis poßibile eſt formã rei per ſe uiſæ, uelrei non uiſæ reflecti ad ui ſum, it a ut diſtantia imaginis à centro uiſus ſit æqualis omnibus lineis incidentiæ & ipſi lineæ reflexionis.

◉Sit centrũ uiſus in puncto a: & punctus rei uiſę b: & inter illos punctos, ſi placet, exempli cauſſa, ſit aliqua magnitudo tegens unũ illorum punctorum ab altero, ut paries uel aliud aliquid, quod ſit p g: & à punctis a & b ad oppoſita ipſis loca ducantur lineæ æquidiſtantes per 31 p 1, quæ ſint a d & b e: & copuletur linea d e: ſintq́, exempli cauſſa, lineæ b e & a d perpendiculares ſuper lineam e d: & diuidatur angulus a d e per æ qualia per 9 p 1 ducta linéa d z: & ſimiliter diuidatur angulus b e d per æqualia per lineã e h: & ſuper punctũ d terminũ lineæ z d erigatur perpendiculariter linea k d c per 11 p 1: & ſimiliter ſuper punctũ e terminũ lineæ h e erigatur perpendiculariter linea l e m: & his duabus lineis k d c & l e m imaginentur ſuperponi duo plana ſpecula. Forma itaq puncti b incidet ſpeculo plano, quod eſt m e l, in puncto e, & reflectetur in punctũ d per 20 huius: quia anguli b e m & d e l ſunt æ quales: anguli enim h e l & h e m ſunt æquales, quia recti: ſed & anguli h e d & h e b ſunt æquales ex præmiſsis. Item forma incidens ſpeculo k d c ab eius puncto d reflectetur ad punctum a, quod eſt centrũ uiſus per 20 huius: quoniã, ut ſuprà patuit, anguli e d z & z d a ſunt æ quales. Videbitur ergo ſorma puncti b per uiſum exiſtentẽ in puncto a, cum tamen res, in qua eſt punctũ b, non ſit uiſibilis per ſe ipſam. Linea quoq reflexionis ad uiſum, quæ eſt d a, eſt ſemper una, quãuis lineæ page 221 incidentiarũ ſecundum numerum talium ſpeculorum numerentur. Et ſi à puncto rei uiſę, quod eſt b, ducatur per 11 p 11 linea perpendicularis ſuper ſuperficiem ſpeculi, quę ſit b m, ſecans lineam e l m in puncto m: erit angulus b m c rectus: ergo per 32 p 1 erit an

gulus e b m acutus. Cum ergo angulus b e d ſit rectus: palàm per 14 th. 1 huius quia lineæ b m & d e concurrent: ſit concur ſus ipſarum in puncto n. Quia itaq linea m e l cadens ſuper li neas e h & b n facit angulum e m b intrinſecũ æ qualem angu lo l e h extrinſeco: patet per 28 p 1 quoniá lineæ b n & e h ſunt ęquidiſtantes. Ergo angulus d e h extrinſecus eſt æqualis angulo e n b intrinſeco per 29 p 1, & angulus e b n eſt æqualis angulo b e h: quia ſunt coalter ni: ſed angulus b e h eſt æqualis angulo h e d, utpatet ex præmiſsis, diuiſus eſt enim angulus b e d per æqualia per lineam h e: erit ergo angulus e b n æqualis angulo e n b: ergo per 6 p 1 lineę n e & b c ſunt æ quales: eſt aũt per 37 huius punctũn locus imaginis formę puncti b reflexi ad uiſum exiſtentem in puncto d à ſpeculi m e l puncto e. Item à puncto n ducatur linea perpendicularis ſuper lineá c d k per 12 p 1: quę ſit n k. Patet ergo, ut prius, per 32 p 1 quòd angulus d n k eſt acutus: ſed angulus n d a eſt rectus: ergo per 14 th. 1 huius lineę n k & a d productæ concurrent: ſit punctus concurſus s. Quia itaq linea d k cadens ſuper lineas z d & n s facit angulũ z d c extrinſecũ æ qualem angulo n k d intrinſeco, uterq enim illorũ angulorũ eſt rectus: patet ergo per 28 p 1 quòd lineę n s & z d æquidiſtant: ergo per 29 p 1 eſt angulus z d a extrinſecus æqualis angulo n s d intrinſeco: ſed & anguli s n d & n d z ſunt æquales, quia coalterni: & anguli n d z & z d a ſunt æquales, ut patet ex præmiſsis: angulus enim n d a diuiditur per æqualia per lineã z d: angulus ergo d n s eſt æ qualis angulo d s n: ergo per 6 p 1 duę lineę d s & d n ſunt æquales. Quia itaq linea e n eſt æqualis lineę e b: erit linea d n æqualis duabus lineis d e & e b: ergo linea d s eſt æqualis illis eiſdẽ duabus lineis d e & e b. Et ꝗa per 37 huius punctũ s eſt locus imaginis formę puncti n reflexę à puncto ſpeculi k d c, quod eſt d, ad uiſum exiſtentẽ in puncto a: patet quòd linea a s, quę eſt diſtantia imaginis à centro uiſus eſt æqua lis duabus lineis incidẽtię, quę ſunt b e & e d, & inſuper lineę reflexionis, quę eſt d a. Et hoc eſt propoſitum: quoniam ſi à pluribus ſpeculis fiat reflexio, eodem penitus modo erit demonſtrandum.

◉63. Reflexione à pluribus ſpeculis planis ad eundẽ uiſum facta, ab imparibus quidẽ dextra apparẽt ſiniſtra, & ſiniſtra dextra: à paribus uerò dextra apparent dextra, & ſiniſtra ſiniſtra: & diſtantia imaginis à uiſu conſtabit ex quantitate omnium linearum incidentiæ & lineæ reflexionis. Ptolemæus 3 th. 2 cattoptr.

◉Sit centrũ uiſus a: & linea rei uiſę ſit b g: & ſi placet, ſit inter centrũ uiſus & rem uiſam aliq corpus denſum ſimplicẽ prohibens uiſionẽ, ut paries uel aliquid ſimile, quod ſit d: fiatq́ reflexio ex tri bus ſpeculis, quę ſunt e z & h c & k l: reflectaturq́ forma lineę b g per hæc tria ſpecula ad uiſum exi ſtentẽ in puncto a: ſitq́, ut punctus b lineę b g incidat ſpeculo k l in pũcto k, & ſpeculo h cin puncto h, & ſpeculo e z in puncto e: reflectaturq́ ad uiſum a ſecundũ lineam e a. Et fimiliter forma puncti g incidat ſpeculo k lin pũcto l, & ſpeculo h cin pũcto c, & ſpeculo e z in puncto z: & reflectatur ad uiſum ſecundũ lineá z a. Et ducantur hę lineę incidentię & reflexionis, quę erunt b k, k h, h e, e a: & g l, l c, c z, z a: ſitq́ locus imaginis formę puncti b in primo ſpeculo, q eſt k l, punctũ t: & locus imaginis formę puncti g in pri

mo ſpeculo ſit pũctũ q: & ducatur linea t q: quę per 49 huius erit æqualis lineę b g. In ſecundo uerò ſpeculo, q eſt h c, linea imaginis ſit s o. In tertio ue rò ſpeculo, q eſt e z, linea imaginis ſit m n. Pater itaque quoniam in quolibet iſtorum ſpeculorum táta eſt diſtantia imaginis ſub ſpeculo à ſuperficie ſpecu li, quanta eſt diſtantia formę, quę reflectitur à ſpeculo, à ſuperficie ipſius ſpeculi per 49 huius: linea ergo k b, quę eſt diſtantia page 222 puncti rei uiſę à ſuperficie ſpeculi extra ſpeculum, eſt æqualis lineę k t, quę eſt diſtantia imaginis à ſpeculo ſub illo: & linea g l eſt æqualis lineę l q: itẽ linea t h, quę eſt diſtantia formæ uiſæ à ſuperficie ſpeculi h c, eſt æqualis lineæ h s, quę eſt diſtátia loci imaginis ſub eodẽ ſpeculo: & linea q c eſt æ qua lis lineę c o: linea quoq s e, quæ eſt diſtãtia formæ reflexę à ſpeculo z e eſt æ qualis lineę e m, quę eſt diſtantia formæ ab eodẽ ſpeculo ſub illo: & ſimiliter linea o z eſt æ qualis lineæ z n. Et quoniá, ut pa tet per 37 huius, locus imaginis uniuſcuiuſq formæ puncti uiſi eſt in puncto concurſus catheti ſuæ incidentiæ cũ linea reflexióis: & in ſpeculis planis imago ſemper eſt æqualis rei uiſæ ք 52 huius: pa tet quòd uiſus exiſtens in puncto a, cõprehendet imaginẽ formæ lineę b g in loco lineę m n æqualé ipſi rei uiſæ: & eius diſtantia à uiſu, quę eſt ſecundũ lineas a m & a n, eſt æ qualis omnibus lineis inci dentię: quoniá linea a m eſt æqualis lineæ reflexionis, quę eſt e a, & lineę m e, quæ eſt æqualis lineæ e s, quę ſecundũ præmiſſa eſt æqualis lineæ incidentię, quæ eſt e h, & lineę h s, æquali lineę t h, quæ eſt æqualis lineę k h, & lineę t k, quę linea t k eſt æ qualis lineę k b. Et ſimiliter linea a n eſt æqualis li neę reflexiõis, quæ eſt a z, & omnibus lineis incidentię, ut iam patuit. Et quoniã, ut patet per 55 huius in ſpeculis planis dextra apparent ſiniſtra & ſiniſtra dextra: palàm quòd in ſpeculo primo reſpe ctu rei uiſibilis, quod eſt ſpeculũ l k, fit imago formę rei b g uiſę, quę eſt imago t q, traſmutata modo dicto: ſed & eadem imago reflexa à ſecundo ſpeculo, quod eſt h c, mutat dextrum in ſiniſtrũ & ſiniſtrum in dextrum. Redit ergo in ſpeculo numeri paris diſpoſitio partiũ imaginis ad diſpoſitionem partiũ ipſius rei uiſæ. Et quia in ſpeculo tertio, quod eſt e z, imago ſecunda, quę eſt s o, mutat ſitum partiũ ſuarum: patet quòd imaginis m n ſitus eſt alius à diſpoſitione formę rei, quę eſt b g. In fpeculis itaq numeri paris fit imago ſimilis rei ſecundum dextrum & ſiniſtrum, & in ſpeculis imparibus tranſmutaturr. Et ſic uniuerſaliter quotcunq ſpeculis paribus uel imparibus pofitis, fecundum hæc imaginum diſpoſitio uariatur ſecundum dextrum & ſiniſtrum. Patet ergo propoſitum.

◉64. Duo ſpecula plana rectangula & æqualia poßibile eſt ſic ſiſti, ut intuens in uno ſpeculorũ ſuam imaginem uideat uenientem, & in altero recedentem. Ptolemæus 4 th. 2 catoptr.

◉Sint duo ſpecula plana rectangula & æqualia, cuiuſcũq placuerit quantitatis ſuorũ laterũ, dum tamen latera unius ſint æqualia lateribus alterius: & ſint latera eiuſdẽ ſpeculi inter ſe proportionalia, ita ut longitudo ſit dupla latitudini eiuſdé ſpeculi: aſſumaturq́, linea, cuius longitudo ſit multò maior uno latere illorũ ſpeculorũ: & ſit, exempli cauſſa, quatuor cubitorũ, quæ ſit a b: & ſecetur ex ea portio æqualis quartæ parti unius lateris longitudinis ſpeculi per 3 p 1, quę ſit a g: & diuidatur linea g b in duo æ qualia in puncto d: & à pũcto d ducatur linea perpendiculariter ſuper lineá a b per 11 p 1: producaturq́ in continuũ & directum: & abſcindatur ab ipſa linea æ qualis altitudini ſpeculi, quę ſit linea d z: & à puncto b ducatur linea æqualis & æquidiſtans lineę d z, quę ſit b c: & producatur linea c z orthogonaliter ſuper lineam b c, quę erit ęqualis lineę b d per 33 p 1: & producatur linea c z in continuũ & directũ: ducaturq́ à puncto g linea g e æquidiſtans & æqualis lineę d z: erit ergo linea g e per 30 p 1 æ

qualis & ęquidiſtans lineæ b c. Et ſuք pun ctum e centrum exiſtens deſcribatur por tio circuli ſecundum modum quantitatis placitę, quę ſit r i: diuidaturq́ arcus r i ք æ qualia per 30 p 3 in puncto l: & ducatur linea l e: & à puncto e ducatur una linea perpendicularis ſuper lineá l e, quę ſit e m: & itẽ alia, quę ſit e n, quę tamen lineæ adinoicem coniunctę ſunt linea una per 14 p 1: & ſit linea m e æqualis lineę n e: & tota linea m n ſit æqualis longitudini ſpeculi. Si ergo duoru ſpeculorũ planorum rectangulorũ & ęqualiũ angularis coniunctio fiat ſuper lineam m n. tunc diuident lineę m e & n e ſuperficies illorũ coniunctorũ ſpeculorum per æ qualia: patetq́ quòd illa ſpecula non erunt in una plana ſuperficie diſpoſita: perpen diculares ergo à centro uiſus ſuper illa ſpecula ductæ, quæ ſunt catheti incidentię formæ ipſius uidentis, ſunt diuerſæ Poſito ergo centro u ſus in pũcto d, & motis ſpeculis ſuper lineam l e fixam: ui debit homo ſeipſum ſuper unũ duorum ſpeculorum uenienté & in altero recedentẽ: eſt enim longitudo amborum illorũ ſpeculorú, quę eſt linea m n, quaſi dupla latitudinis unius ipſotũ: & ſic pun ctum eſt quaſi mediũ ſuperficiei amborũ illorum ſpeculorũ: unde circa ipſum æqualior fit motus. Et ſi hæc ſpecula fuerint taliter ordinata, ut claudantur & aperiantur, & angulos inter ſe exiftentes uarient, cum reuoluentur: multa deformitas efficitur imaginũ unius etiam rei: anguli tamen taliter ſint diſpoſiti, ut ab uno ſpeculo in aliud fieri poſsit reflexio: nec æſtimamus hæc demonſtratione alia  in his, quæ præmiſſę ſunt in ſimplicibus planis ſpeculis, indigere: & hæc practicę artificũ ducimus cõmittenda: quia & hæc, quæ præmiſimus, plus habilitatem operis mechanici reſpiciunt,  firmitudinẽ demonſtrationis: fuit enim iſtud diligens inuentio antiquorũ, cui poteſt addere & demere ille, qui diligenter perſpexerit ea, quę demonſtrationis neceſsitate cõſcripſimus in hoc libro.

page 223

◉65. Abuno ſpeculo plano ſoli oppoſito ignem eſt impoßibile accẽdi: à pluribus uerò poſsibile.

◉Hoc enim euidens eſt: quia ignis non accenditur niſi per aggregationem plurium radiorum: lineæ uerò reflexionis à ſpeculorum planorum diuerſis punctis productæ nõ concurrunt, ut per 47 huius demonſtratum eſt: in nullo ergo puncto conueniunt illi radij reflexi ad generationem ignis poſsibilis in materia combuſtibili quacunq Patet ergo primum propoſitorum. Iam autẽ dixit Anthemius neſcio qua ductus experientia, quòd ſolùm uiginti quatuor reflexi radij concurrentes in uno puncto materiæ inflammabilis, ignem in illa accendant: & coniunxit ſeptem ſpecula plana hexagona colligatione ſtabili fixa, ſcilicet ſex extrema circa unum, quod ſtatuit in medio illorum, & uniebantur illa ſpecula in quibuslibet angulis hexagoni: ideo quia figuræ hexagonæ replent locũ ſuperficialẽ: ualent enim tres anguli hexagoni quatuor rectos. Et dixit Anthemius quòd ad quamcunq diſtantiam ſic ignis potuit accendi: quæ ſi ad complendá unam planam ſuperficiem coniunxerat, non poterat, ut ex præmiſsis patére poteſt, intentionem ſuam aliter conſequi, quàm ſicut ex uno ſpeculo plano: quoniam, ut prædictum eſt, tres ſuperficies hexagonæ replent punctum unum: quia angulus quilibet hexagoni ualet duas tertias duorum rectorum, & tres anguli hexagoni ualẽt quatuor rectos: concurrentes ergo tales tres anguli nullum uacuum dimittunt: nihil eſt ergo quod punctum ſui concurſus diſtinguat à natura planę ſuperficiei & unius. Quòd ſi ijdem hexagoni taliter adinuicem inclinentur, ut ab una ſphæra fiant circumſcriptibiles: tunc ad centrum illius ſphæræ fiet reflexio omniũ radiorum perpendiculariter ab uno puncto illis ſuperficiebus incidentium;[?] & augebitur uigor caliditatis: unde tale ſpeculum melius poſſet ex trigonis quàm hexagonis componi: quoniam numero ſuperficierum numerabuntur radij, & uirtus augebitur caloris: hęc tamen; quia facilia ſunt, non duximus proſequenda ipſa, relinquentes artificis induſtrij animæ.