Vat. lat. 4595: Trattato V

Avvertenze: per consentire di leggere il testo seguendo il corpo di disegni prodotti da Mark Smith, la trascrizione dei simboli alfanumerici che indicano punti, linee, angoli e altre figure geometriche seguo il manoscritto vaticano, segnalando tra parentesi quadre il simbolo alfanumerico adottato da A. Mark Smith.

Solo nel caso del simbolo K, che ricorre nell’edizione di Smith, ma non è presente che per una sola occorrenza nel MS vaticano, dove lo stesso simbolo è sempre Z, seguo la simbologia di Smith senza segnalare.

[Capitolo 1]

[92 verso b] Questo libro è partito in due parte la prima parte è prohemio de lo libro, la seconda ne le imagine.

[1.1] La prima parte è manifesta per lo quarto libro che le forme de li corpi visi se riflecteno da li corpi politi e lo viso aquista esse da li corpi politi per la riflessione. E fo manifesto como si fa la quistione de le cose per la riflessione de le forme. E lo viso comprende la cosa visa in lo luoco de la riflessione diterminato e prima quando non fosse el sito de la cosa visa mutazione al viso. E la forma compresa in lo corpo polito fia nominata imagina. E noi expianeremo in questo libro i luoci de le imagine da li corpi politi e diremo como s’aquista da questi luoci la scienza e si truova silogisticamente e dimostrasi. La parte siconda parla de le ymagine

[Capitolo 2]

[2.1] La imagine de ziascheduno punto lo luoco è lo punto in lo quale la linea di la riflessione seca la perpendiculare dal punto de la cosa visa intellecta sopra la linea contingente la linea comune a la superfitie del spechio [aut superficei speculo continue] e la superfitie de la riflessione.

E noi dechiararemo questo. [2.2] Prendasi uno spechio piano e statuiscasi equidistante a l’orizonte e lo legno directo pollito ortogonalmente se rizie sopra lo spechio che si possa vedere tuto lo legno, e se non aparessi rito sarebe erore. E segnisse in lo ligno alcuno punto negro, aparerà certamente al viso questo legno [93 recto a] a questo equale oltra lo spechio a questo ligno continuo e ortogonale sopra el spechio e nel legno aparente aparirà el punto signato tanto distante da la superfitie quanto da quella medesima dista in lo lingo superiore e se se decline lo ligno sopra lo spechio aparerà aparente declinato declinato in medesima declinatione. E lo punto signato in lo aparente signato serà aparente ed equalmente rimoto da la superfitie del spechio. E se dal punto signato alcuno legno si riçie ortogonalmente sopra el spechio è a questo ortogonale continuo. Quello medesimo aviene a più punti signati in lo legno, uno medesimo punto avirà a lo elevato o a lo depresso speculo.

[2.3] Manifesto fia adonche per questo che la imagine del punto viso apare perpendiculare duta dal punto del viso a la superfitie del spechio, e in questo spechio quella che è perpendiculare sopra la superfite del spechio è perpendiculare sopra la linea comune a la superfitie e a la riflessione. [2.4] questo medesimo si potrà manifestare in la piramide sopra la base ortogonalmente adhibita. Aparerà a questa la piramide, zioè l’altra piramide continua de le quale una medesima base e di queste piramide li acumine equalmente da lo speculo distante. E manifesto che se da lo acumine a lo acumine produchasi una linea recta serà perpendiculare sopra la base e così sopra el spechio cum ziò sia che sia una medesima superfitie del spechio e de la base, per la quale cosa el cono de la piramide in la perpendiculare aparerà ducta da esso a lo spechio.

Similmente, da qualunqua punto di la piramide si producha la linea la punto risguardante esso ne la piramide aparente. Serà quella linea ortogonale sopra la base e sopra la superfitie de lo spechio, per la quale cosa la imagine de ziascheduno punto de la piramide cade in la perpendiculare intellecta dal punto detto in la superfitie de lo spechio <o continua è a> [93 recto b] esso [2.5] [Se quicumque corporis punctus oponatur a speculo plano est intelligere… manca fino aut ei continuam] Ed è da intendere a quella una altra piramide oposita per la quale cosa una medesima base è sopra el spechio ortogonale e perpendiculare dal cono al cono ortogonale sera sopra el spechio per la quale cosa la imagine de ciascheduno punto oposito certamente al spechio cade in la perpendiculare dal punto e continua a essa. Ma è manifesto che ne spechi no avirà la comprensione de la forma o voi de forme sino per le linee de la riflessione, per la quale cosa la imagine del punto viso cade in la linea de la riflessione e ziascheduna tale linea è recta unde la imagine de ziascheduno punto cade in lo punto de la sectione perpendiculare da quello punto in la superfitie de lo spechio e de la linea de la riflessione. E in li spechi piani cade e una solamente è la linea comune a la superfitie de lo spechio e la superfitie de la riflessione cum la linea contingente lo luoco de la riflessione per la quale cosa è manifesto che in li spechi piani proni lo loco è in punto de la sectione perpendiculare dal punto viso sopra la linea contingente la linea comune a la superfitie del spechio e a la superfitie de la riflessione.

[2.6] In li spechi sperici e di fuori politi serà manifesto quello che noi habiamo detto. Toghasi una superfitie grande così fatta che in la quale aparischa la forma de uno bachero sotile perpendicularmente erecta. Sopra esso aparirà certamente al forma del bachero continua al bachetto ma no aparirà in forma del bachetto al punto signato distante da la superfitie del spechio sicondo la distantia de esso da quello medesimo bachetto e fosse el bachetto più sotile da la parte de uno capo cha l’altro, o voi cha da l’altra parte, <aparirà> aparirà certamente in questo spechio la sua forma piramidale, ed è erore del viso che noi asigneremo poi. [2.7] Anchora facisi la piramide de esso ortogonale sopra la base circolare, de circulatione perfecta, e sia aplicata a questo spechio. Vederassi certamente la piramide a questa continua recta sopra una medes [93 verso a] ima basa ma minore di questa. Ch’apare piramide, manifesto è per questo che tute le linee da la parte de la imagine del cono al circulo de la base paiano equale e se la piramide se declina, zioè che di essa si oculta alchuna cosa pure che lo luoco de la riflessione sia esposto al viso in lo spechio, aparerà niente meno la imagine de la piramide. E se il viso se alonghi dal spechio, o veramente acceda, pure che sopra la linea de lo luoco de la riflessione, a protracto acceda comprenderassi la imagine de la piramide, ma lo accesso e ricesso secondo questa linea serà a ciò che sia chiamato loco de riflessione. E dal segno al locho del viso dughassi una linea sicondo la quale si facia processo.

[2.8] E perché veramente la imagine de la piramide ortogonale sopra la base de la piramide, e la basa è circulo de li circuli de la in la spera, serà la linea in lo cono de la piramide al cono de l’imagine dutta ortogonale sopra quello circulo, e passi per quello centro. E serà ortogonale sopra la spera e passarà per lo centro de esso e serà ortogonale sopra la superfitie la spera in lo punto per lo quale passa questa linea. E serà similmente ortogonale sopra la linea contingente el circulo de la spera. Per quello punto transeunte, e questa contingente è la linea comune a la superfitie di la riflessione e a la superfitie contingente a la spera e a la superfitie de la riflessione. La linea dal cono de la piramide al cono de la imagine ducta è perpendiculare sopra la linea contigente la linea comune de la superfitie de la riflessione e superfitie de lo spechio, la quale certamente è lo circulo. [2.9] In questa perpendiculare adonche si vede la imagine del cono e manifesto è che la imagine del cono è ne la linea de la riflessione per la quale cosa si comprende la imagine del cono in lo concorso de la linea de la riflessione e perpendiculare dal cono a la spera ducta o veramente al contingente circulo comune a la superfitie de la spera de la riflessione.

Sumpto ziascheduno punto a questo spechio oppo [93 verso b] sito è da intendere la piramide sopra la superfitie del spechio ortogonale o continua, del quale el cono sia el punto sumpto. E la linea da quello punto a la imagine di quello punto serà in la superfitie de riflessione, per la quale cosa e la linea dal punto viso è perpendiculare sopra la superfitie del spechio o continua a esso, per lo modo predicto, perché el punto viso e la imagine de esso sempre sono in la superfitie de la riflessione per la quale cosa è la linea dal punto viso dutta a la imagine de essa.

[2.10] In li spechi colonari esterni non apare che, o voi quelle cose che noi habiamo detto che apareno in lo legno e la piramide, perché le cose ditte, in quisti spechii paieno non recte ed è erore del viso comune e lo quale noi poi assignaremo. Aviene nientemeno in lo solo punto del corpo de vedere lo luoco de la imagine. [2.11] Per gratia de lo esempio, adutto lo instrumento de lo libro precedente, incomenciase da la regula, cum ziò sia che el speculo colonare sia infisso, aziò che la megia linea de la portione del spechio sia in la superfitie de la regola. E non passi questa la tavola enea ma sopra essa cada ortogonalmente si che l’altitudine de la regola sia sopra la linea dividente el triangulo de la tavola enea. La erectione facta in questa tavola emplasi de cera e indughasigli planitie, o voi pianura, a ciò che sia in una medesima superfitie, cum la tavola e de aziò che più certa si facia la directione ortogonale de la regola sopra la tavola. [2.12] Da poi adomandasi la regola acuta e acunzesi la estremità e aplichesi l’acuità di questa regola a la megia superfitie de la linea de l’anullo e descenda sicondo questa linea {aggiunto in margine: e dove sera caduta sopra la regule faciasive signo. Poi desenda l’agho <illegibile> [ma in latino: super] questa linea} in la quale sia infisso uno pochi uno corpo bianco [modicum corpus album] e questo in lo termine ne desenda l’agho per fino a la reghola. [2.13] Diase el viso si che sia in la superfitie di la reghola e serissi, o voi chiudasi, l’uno di l’ochii. Vederassi che la imagine del corpo sopra la linea dal punto signato a l’acume de l’agho protracta, la quale certamente linea perpendiculare sopra la superfitie de la reghola, la quale superfitie tocha la colona in la linea de la longitudine ed è perpendiculare sopra la linea [94 recto a] de la longitudine de la colona, la quale è in la superfitie de la regola ed è linea comune a <la superfitie> a la superfitie de la colona e a la superfitie de la riflessione. E in la superfitie de la riflessione la linea de la longitudine e la linea perpendiculare. [5.14] e se il sito del viso si mute, o voltisse, circa la superfitie de l’anulo a pareranno como prima e in una medesima linea el corpo e la imagine del corpo e l’acho. Ed è linea perpendiculare sopra la megia linea de la longitudine di la colona e questa perpendiculare è in la superfitie de la riflessione perché la superfitie de l’anulo seca la colona sopra el circulo equidistante a la base de la colona [manca da et in hac superfitie … equidistanti basi columpne] quellaè superfitie di riflessione. Ma in questo sito la linea la linea comune de la superfitie de la colona e de la superfitie de la riflessione è circulo perpendiculare in la quale si vede l’immaginee lo corpo ortogonalmente cade sopra la linea sopra questo circolo contingente.

[2.15] Queste cose compiute, rimuovasi l’acho da luoco suo e ponghavise la regola acuta sopra la linea megia si che cagioa sopra la megia linea de la longitudine de la regola e diavisi la regola cuta a la superficie de l’anello, la cera firmamente. Poi rimuovasi la regola in lo quale è lo spechio e tenghasi la regola acuta e aplichessi la sua acuità a la megia linea de la longitudine de la regula, e secondo el precesso de l’acuità faciasi cum lo ‘nchiostro [incausto] sopra el speculo protractione poi togasi ela triangulo cereo picholo del quale l’uno lato sia equale a l’altitudine de la regola in la quale è ‘l spechio. E sia l’altitudine di questo triangulo moderata, e le superfitie di questo triangolo siano piane azuista [pro] posse E diase a la colona de la regola de la tavola <de la tavola> cerea triangulo firmamente soto la base de la regola e lo lato de esso equale a l’altitudine de la regola, ponghasi sopra lo lato de la base de la regola. E quando serà così serà di questo triangolo l’altitudine sopra la base de la colona o equale a la tavola de la reghola a ziò che si facie superfitie piana a modo de la superfitie de la regola e la superfitie piano compremasi per fino a tanto che sia bene pianato [94 recto b] E sopra la superfitie de questo triangulo si pongha la reghola acuta e seghesi la fine di questo triangolo cum l’acuità de la regola e sera fine de esso la base linea erecta e sarà questa linea la base de la regola in la quale è lo spechio. [2.16] Poi ponghasi la reghola sopra la superfitie de la tavola la quale è in lo strumento e ponghasi la fine de esso la base la quale è in la longitudine la quale è lato del triangolo cereo sopra la linea la quale è in la longitudine, como facto è prima. E serà superfitie de la reghola, in la quale è lo speculo, ortogonale sopra la tavola cerea [enea], e questa superficie seca la tavola enea sopra la linea la quale è ne la longitudine de essa. E questa superfitie non cha la superfitie del spechio sopra la linea la quale è in la superfitie del spechio. E questa superfitie è superfitie de la regola in la quale è lo spechio e serà angulo de la regola acuta adherente in la megia linea de la superfitie de l’anello in la quale superfitie serà lo spechio declinato in la parte in la quale è el capo del triangulo perché la reghola a exaltato una parte de esso cum lo corpo del triangulo [manca: alia pars … superficies eris] di ramo e sera la linea la quale è in la metà del speculo declinata. [2.17] E quando fue lato del trinagulo cereo sopra la linea la quale è in la longitudine [eris] delere, credo vogla di lo ramo, si moverà la regola in lo quale è lo spechio, e lo lato de lo triangulo in questo moto, si esso sia sopra la linea de la longitudine [eris] de lo ramo e proceda e retroceda per fino a tanto che concorra lo angulo de la regola acuta cum alchuno punto de la linea de la superfitie de lo spechio del spechio per fino che si firme la reghola acuta, e rimuovasi la linea in lo spechio cu l’inchiostro facta. E faciasi uno punto in la superfitie de lo spechio in lo directo del capo de la regola acuta. E rimuovasi la regola acuta e ponghasi l’acho, e sia l’agho sopra la linea megia de la superfitie de l’anello e sforcisi de achostarsi cum la cera e serà linea intellectuale da l’acho in lo punto signato in lo punto del spechio perpendiculare sopra la superfitie de la regola [94 verso a] quale recha sopra la superfitie del spechio sopra ziascheduna linea da quello punto protracta in la superfitie de la contingente lo speculo. Serà adonche perpendiculare sopra la linea recta contingente la linea comune de la superfitie.

[2.18] Ponghasi adonche el viso ne la superfitie de l’anello ne lo capo de essa e vedeirà in lo spechio per fino che comprenda la forma del corpo picholo el quale è in acto [acu] e alora perciperà quello acto corpo e lo punto signato in lo spechio e la imagine di quello corpo. E la linea transiente per lo corpo picholo e per lo punto signato in la superfitie contingente la superfitie del spechio sopra el punto signato. E questa superfitie de l’anello è da le superfitie de le riflessione el corpo picholo e lo centro del viso sono in questa superfitie e lo punto de la riflessione è in questa superfitie, e questo damo inanci el proveremo. E la imagine del corpo picholo in questo sito serà sopra la linea recta dal corpo picholo protracta recta sopra la superfitie del spechio e cum questo la linea perpendiculare sopra la linea recta contingente la linea comune a la superfitie del spechio e a la superfitie de la riflessione la quale è superfitie de l’anello e superfitie de la riflessione è da le superfitie declinanti secante la colona tra le linee de la longitudine de la colona e li circuli de esso equidistante a le base, perché la regula e lo spechio el quale è in essa sono declinata, la linea adonche comune a queste superfitie e a la superfitie de lo spechio è da la sectione colonari . E così expianeremo lo loco de la imagine, se si muta lo sito de la regola in la quella è lo spechio e declinasse sopra la superfitie de esso per altra declinatione minore o magiore.

[2.19] Manifesto sia per le preditte cose che la imagine si se percepi, o voi si comprende, dove la perpendicolare del viso punto, o voi dal punto visto, a la superfitie del spechio ducta concore cum la linea de la riflessione, e questo è lo sito predetto. Se [94 verso b] dal punto viso a la superfitie del spechio se produchano le linee a la superfitie del spechio la quale perpendiculare è minore di ziascheduna altra, perché ziascheduna altra prima seca la linea comune a la superfitie contingente el spechio ortogonalmente cade perpendicularmente, e a questa superfitie di reflessione cha ella vengha a lo spechio, e ziascheduna linea al punto viso in questa superfitie a questa linea comune conducta è magiore de la perpendiculare perché magiore angulo si risguarda e per è il proposito nostro. [2.20] E questa medesima a comparatione si potrà dare in lo spechio de la piramide esteriore e questo medesimo se manifesta, o sia imagine de le cose vise siano in le sectione piramidale o siano in quelle le quale fosseno sicondo le linee de la longitudine.

[2.21] In li speculi sperici concavi si comprendeno alcune imagine oltra el speculo, alchune in la superfitie e de queste alchune se comprendeno in verità e alchune ultra la verità. [2.22] tute quelle de le quale di comprende la verità apareno in lo luoco de la sectione e de la linea de la riflessione che così manifestarà. Faciasi la piramide ortogonale sopra la base e lo diametro de la base sia minore de la metà del diametro de la spera e la linea de la longitudine de la piramide sia maggiore di quello medesimo semidiametro e seghesi da la parte de la base a la quantità de esso e faciasi sopra la sectione uno circolo e sighisi la piramide sopra questo circulo. Poi in lo megio del spechio faciasi uno circulo a quantità de la base de la piramide rimanente e achuncesi a questo circolo la piramide, e prendasi cum la cera. [2.23] Da poi statuiscasi il viso in lo sito in lo quale possa comprendre la ymagine de la piramide e diavise la luxe a ziò che la comprensione si facia più certa. Non vederà certamente la piramide a questo congiunta ma comprenderà questa ultra el spechio estensa unde aparirà alchuna continua de la quale [95 recto a] la base oltra el spechio e la parte de esso piramide cerea e se in questa piramide signata sia la linea de la longitudine cum lo inchiostro, viderasi questa linea protedersi sicondo la superfitie de la piramide aparente e perché el cono de la piramide ducta serà perpendiculare sopra la contingente de ziascheduno circulo de la spera per lo capo de la linea transeunte. [2.24] Per la quale cosa ziascheduna linea de la longitudine de la piramide aparente è perpendiculare sopra la linea contingente la linea comune a la superfitie <a la superfitie de la riflessione> e a la superfitie de la spera la quale linea certamente è comune ed è circulo. E ziascheduno punto de la piramide in questa pare perpendiculare e ziascheduna perpendiculare è in la superfitie de la riflessione, perché il punto viso de la imagine d’esso sono in lo perpendiculare e in questa superfitie. E ogne imagine si comprenderà in la linea de la riflessione, per la quale cosa la imagine de ciascheduno punto de la piramide, serà in lo punto de la sectione perpendiculare e de la linea de la riflessione. I punti di quali le immagine circa [citra] el spechio si comprendono quivi, e tra il viso e lo spechio sono, cum ziò sia cosa che da ziascheduna de essi la linea ducta el centro del spechio seghi la latitudine de la via, el viso e lo spechio de lo interiacente. E a ciò che questo si vegia rimuovasi la piramide da megio del spechio e colloghisi, o vuoi sia collocato in la parte. Serà el cono del centro del spechio e la rimotione del viso da la superfitie del spechio si fa magiore del semidiametro de la spera.

Poi finalmente prendasi uno legno sotile e bianco e statuischasi in lo spechio che sia centro de lo spechio directamente megio tra el capo de lo legno e lo centro del viso e dirizese lo guatare in lo punto del spechio dal quale la linea al cono de la piramide ducta sia tra el capo de lo legno e lo [95 recto b] viso e guatisi lo spechio per fino a tanto che aparischa el capo de lo legno e aparirà la forma del capo de lo legno e serà [citra] lo spechio e più propinqua al viso del cono de la piramide. E serà in una medesima linea recta <el cono> el cono de la piramide e lo capo de lo legno e la imagine del capo e questa linea contingente la linea comune a la superfitie del spechio e a la superfitie di la riflessione e la linea comune è circulo. E questa linea a questo circulo serà diametro perché el centro di quello circulo è centro de la spera per la quale cosa serà questa linea perpendiculare sopra la linea contingente el circulo in capo di questa linea e questa linea passa per lo punto viso e per la imagine de esso. E così ziasceduno punto citra el speculo viso si comprende in una medesima linea cum lo centro e cum la imagine de esso, e ziascheduno punto si vede in la linea de la riflessione e imperò in luoco de la sectione perpendicolare e de la linea de la riflessione.

[2.26] E quelle cose de le quale si comprende la verità in quisti spechi sopra la imagine di le quale sopra aparissino ultra lo spechio o citra la superfitie de esso e fuori, nisuno sono sopra lo quale in questo spechio comprende in verità al viso, elle vietano aparere le imagine sue vere. E le imagine le quale aparischono in la superfitie del spechio così fatto sono de l’ultima partizione e queste noi espianaremo quando serà tempo, o voi quando serà presente sermolo [sermo] in li erori del viso. Ziascheduno punto adonche che in questo spechio in verità compreso apare in lo concavo perpendicolare ed è la linea de la riflessione la quale perpendiculare certamente passa dal punto viso al centro de la spera e cade ortogonalmente in la linea contingente la linea comune. [2.27] In li spechi colonari concavi se diversifica la imagine alchuna volta serà luoco de esso in la superfitie del spechio, alchuna volta oltra, alcuna volta citra. E in [95 verso a] quelle tute, alchuna volta in verità si aprendono, alchuna volta no. [2.28] Quando tu vorà in queste percipere la imagine, fa como tu festi in le colone esteriore. Diavisi la regula in la quale sia la colona concava como fo adhibito de sopra e l’aco, similmente el corpo picholo de l’acho e pongasi el viso oposito in lo megio del circulo e in lo megio de la superfitie de l’anullo, e se si leva el viso uno pocho da la superfitie de l’anullo e guati per fino che vegia la imagine del corpo e comprenda la forma del corpo, el corpo, el punto in lo spechio signato in una medesima linea perpendiculare sopra la superfitie del spechio e questo per lo silogismo sensuale. E serà la imagine oltra el spechio e serà riflessione dal punto de la linea recta la quale è in lo megio del spechio. [2.29] Poi finalmente statuischasi el viso in la superfitie de l’anello, ma fuori del megio, fino a che vegia la imagine del corpo picholo. Certamente vederà essa citra el spechio e vederà el corpo, e la sua imagine, e lo punto in lo spechio signato in una linea recta perpendiculare, sopra la linea recta contingente el circulo equidistante a la base del spechio sopra el punto signato in la superfitie del spechio. E la superfitie di questo circulo è superfitie di riflessione ed è superfitie de la facia de l’anello e lo punto de la riflessione è punto di quello circulo. [2.30] Possea [postea] metevise cum la mano l’altro acho intro de la sumità como corpo picholo [acus in cuius summitate sit corpus modicum], e statutiscasi in la superfitie e l’asse per questo modo, che questo corpo e lo punto signato siano in una medesima linea sicondo el sensual silogismo. E sia el viso in la superfitie de l’anello tra al capo de esso e lo punto signato in la superfitie del spechio, in una medesima linea recta.

[2.31] Ma se se declina la linea recta cum lo triangolo picholo che noi habiamo fatto, a ziò che sia el viso in lo megio de l’anello, citra el circulo spechio, ma in una medesima [95 verso b] linea recta cum lo corpo e in lo punto signato e questa riflessione serà da le sectione colonare perché el spechio è declinato e sapiamo che non si percipe la imagine se no in la linea de la riflessione.

Manifesto è adonche che lo luoco de la imagine è dove seca la perpendiculare la predicta linea de la riflessione, quando si comprende la verità, e avengha che non si comprenda la certitudine de la immagine, nientemeno serà el modo di queste imagine, cum ziò sia che sia verità in le imagine. [2.32] E per simile modo potrà vedere <in le piramide concavi> in le piramidi concave in lo concorso perpendiculare cum le linee de la riflessione. Manifesto è adonche che in tuti li spechi si comprendono le cose vise per la riflessione in locho predicto, el quale luoco similmente è detto imagine.

[2.33] E perché si comprendano le cose vise per la riflessione in li loci de le imagine è perché la imagine sia sopra la perpendiculare de la cosa visa [in speculi], dechiararemo la cagione in la superfitie de lo spechio. El viso quando aquista la forma per riflessione aquista quella subito senza certitudine, e aquista la longitudine per estimatione. E questa longitudine comprende forsi in verità per diligentia data, o voi adhibit, per lo intuito, o voi sguardamento, e forsi no. E questo habiamo espianato in lo libro sicondo, e ivi è detto che il viso aquista longitudine per silogismo da la magnitudine del corpo e in alchuno angulo sotto el quale si comprende la magnitudine. E l’aquistione de la cosa saputa ignota è manifesta in questo modo. Le cose note si comprendono per questo modo si conferisse in le cose cognite e in le magnitudine o in le longitudine note. Similmente el viso comprenderà alchuna cosa per riflessione non comprende la longitudine de la imagine, sino per estimatione da poi finalmente adhibita diligentia aquista la longitudine e [96 recto a] e verifica per silogismo da la magnitudine e de la cosa visa e l’angulo de la piramide sopra la quale la forma si riflette al viso. [2.34] Quando adonche la cosa visa fosse <fosse> da le cose note, el viso aquista la longitudine di esso per longitudine già nota lo angulo equale a questo tenente e a questa longitudine simile.

Similmente, la cosa visa quando fosse ignota si conferisse la magnitudine de la magnitudine de esso a l’altra magnitudine de le cose note, e aquistase la longitudine di questa imagine per silogismo de la mesura de l’angulo el quale tiene la imagine in lo centro del viso in hora de la riflessione. E lo luoco in lo quale è la forma de la cosa visa comprensa per la riflessione de la forma directamente veniente a l’angulo citra l’ochio, accederà sopra la piramide per la quale la forma si riflette al viso, e quella medesima piramide occuparà tuta la forma la quale fosse in lo luoco de la imagine. El viso quando aquista la cosa visa per riflessione aquista quella in lo luoco de la imagine per riflessione, per la quale cosa simile è a la forma directa comprensa, ocupata da quella piramide, e questa è la cagione perché ella si comprende in lo luoco de la imagine. [2.35] Perché si comprenda la imagine in la perpendiculare noi el diremo. Sapiamo che il punto perceptibile al viso no è intelectuale ma sensuale e la forma de esso sensuale. Dico adonche che in le speculi piani che quando la imagine no aparisse in la superfitie del spechio [sed ultra] ma più competente e più ragionevole che aparischa sopra la perpendiculare che è fuori de essa. Quando in lo luoco de la perpendiculare fosse assignato la distantia de esso dal punto di la riflessione del spechio, la quale è parte de la linea de la riflessione da lo luoco de la imagine al punto de la riflessione [ducta, est equalis distantie puncti visi a puncto reflexioni]. La quale superfitie del spechio è ortogonale sopra la perpendiculare, unde la linea di la riflessione a la perpendiculare [96 recto b] ducta è lato comune a dui triangoli e dividerà el perpendiculare per due parte equale. Per la quale cosa dui lati, o voi latera, de uno triangulo serano equali a dui latera, de uno altro l’angulo a l’angulo, perché l’uno e l’altro è dritto [rectus], e così sera la base a la base. [2.36] Si adonche, la imagine in la perpendiculare aparesse equale dal punto, zioè equalmente dal punto, e dal viso distarà cum lo corpo dal quale prociede e serà da imaginare el sito rispecto del punto riflesso el quale è in lo punto viso rispecto de uno medesimo, e quello medesimo sito respecto del viso. Unde in questo sito aparirà la verità del punto viso e de la imagine.

E si la imagine fosse fuori lo perpendiculare, cum ziò sia che fosse necessario essa essere in la linea de la riflessione, o serà oltra lo perpendiculare o citra, rispecto del viso. Se serà ultra, serà certamente più rimoto dal punto de la riflessione e dal viso, el quale punto viso no tegnerà [unde tenebit] minore angulo in l’ochio cha el epunto. E minore parte occupa el viso, unde siando equale aparerà minore de esso. E, se fosse citra lo perpendiculare, parerà magiore perché è più propinquo.

[2.37] In lo spechio sperico esteriore si vede la imagine sopra la perpendiculare, o veramente si vede la imagine del centro del viso o di uno altro punto. Se la imagine al centro, dico che più degna è la perpendiculare da l’ochio al centro de la spera ducta, a ziò che sopra essa aparischa la imagine del centro, che l’altra, e si la forma directamente procieda sicondo questa perpendiculare, perfino al centro di la spera sempre mai oservarà uno medesimo sito rispecto del viso. E così aqualunqua punto de la spera se oppongha la forma perpendiculare al centro mossa, tegnerà, o voi tenerà, la identità del sito, zioè, una medesimo cosa de sito, rispecto del viso. Uno sito medesimo serà de la forma in una perpendiculare el quale serà in l’altra, perché el [96 verso a] perché el centro de la spera ha uno medesimo sito rispecto de ziascheduno punto de la spera, e tute queste così fatte perpendiculare sono de uno sito medesimo. [2.38] ma se fuori de la perpendiculare la imagine si muova a ziascheduno punto de la spera si mutara el viso de sito de esso rispecto del viso, perché harà altro sito fuori del perpendiculare cha in lo perpendiculare e fuori de lo spechio si muove el perpendiculare e si dentro[et non intra]. E si de fuora perpendiculare apara no servarà el sito, e più conveniente fue dove la imagine se servasse el sito che se mutasse, a ziò che el viso più certamente la cosa visa comprenda. Per questo la imagine del centro sopra perpendiculare appare. E a questa imagine non possemo assignare certo punto in la perpendiculare, perché non si truova in uno perpendiculare punto più cha un altro, a ziò che questa imagine apara determinata in esso. Ma sappiamo che in ziascheduno punto di questa perpendiculare aparischa, sempre apare, continua cum l’ochio aparente, e sempre intuita la forma aparente tene uno medesimo luoco e sito. [2.39] De ziascheduno punto la imagine oltra al centro del viso acceda a lo spechio <si declinata> si muove declinata, e però non dura essa la similitudine del sito rispecto del punto viso, e perpendiculare dal punto viso a lo spechio ducta cagia sopra el centro de la spera in la quale la spera osservasse la imagine la similitudine del sito. Non è adonche el punto in lo quale comprensa la imagine serìa la similitudine del sito, sino in quella perpendiculare, quando è necessario quella conprendere in la linea de la riflessione si comprenderà in lo concorso di questa linea, cum questa perpendiculare.

Già habiamo assignato la cagione di questa cosa, ma vero è che le stato de le cose naturale risguarda di li suoi principii e li principii de le cose naturali sono oculti. [2.40] E uno medesimo modo de probatione sarà in lo spechio sperico concavo, similmente in la piramide concava o esteriore e universalmente serà luoco de la imagine in la perpendiculare in zaischeduno <punto> spechio, perché non è luoco de fuori el perpendiculare in lo quale la forma oservi la similitudine e la idempità del sito. [2.41] queste cose espianate resta demostrativamente dech [96 verso b] iarare lo luoco de la imagine in ziascheduna spetie di spechi. [2.42] Dixiamo che ziascheduno punto comprenso dal viso in lo spechio piano quando è egresso da la perpendiculare la quale è dal centro <viso> del viso cade in la superfitie del spechio piano, perché la linea per la quale si riflette la forma di quello punto al viso concorerà cum la perpendiculare producta da quello punto a la superfitie del spechio. E serà el punto del concorso el quale è luoco de la imagine oltra el spechio e serà la longitudine di quella da la superfitie del spechio equale a la longitudine del punto viso da la superfitie del spechio. E lo viso non aquista la imagine del punto viso si no in quello loco. E ziascheduno punto che aquista el viso in questo luoco non aparerà da esso se no unica imagine. [2.43] Ziascheduno punto comprende el viso in lo speculo [sperico] esteriore quando esci la forma perpendicularmente ducta dal centro del viso al centro del spechio, la linea per la quale si riflette la imagine a l’ochio concorerà cum la linea producta da quello punto al centro del spechio la quale linea è perpendiculare ducta da quello punto ortogonalmente sopra la linea contingente la linea comune a la superfitie de la riflessione e la superfitie del spechio. E lo sito del punto concorso, el quale è luoco de la imagine da la superfitie de lo spechio, serà sicondo el sito del viso da la superfitie de lo spechio, e, forsi serà el punto del concorso oltra el spechio, forsi in la superfitie del spechio e forsi dentro lo spechio. E lo viso comprende tutte le imagine dentro lo spechio, avengha che de essi siano i luoci diversi e non comprende lo luoco de ziascheduna imagine silogisticamente e in la superfitie del spechio e ziascheduno punto compreso dal viso in questo spechio non pretende si no una imagine. [2.44] In lo spechio colonare esteriore ziascheduno punto comprende el viso, de medesima piramide esteriore, in lo spechio quando fosse di fuori la perpendiculare ducta dal centro del viso ortogonale sopra la superfitie contingente la superfitie del spechio, [97 recto a] la linea per la quale si riflette al viso la forma concorre cum la perpendiculare ducta da quello punto sopra la recta linea contingente la linea comune a la superfitie de la riflessione del spechio e i luoghi de le imagine di quisti spechi i quali sono ultra la superfitie de lo spechio e ziascheduno punto, che alcuni sono ultra la superfitie del spechio, alcuni in la superfitie del spechio e alchuni citra [la su]perfitie. E lo viso aquista tute le imagine di questi spechi oltra la superfitie del spechio, e ziascheduno punto el quale comprenda el viso in questi spechii, non fa si no una imagine solamente.

[2.45] In lo spechio concavo sperico le linee per le quale si rifletono le forme di li punti visi, alchune concore cum le perpendiculare ducte da quigli punti recti sopra le linee contingente le linee comune a la superfitie del spechio e a la superfitie de la riflessione, alchune sono equidistante, e alchune sono equidistante a queste perpendiculare. E che concoreno con le perpendiculare e lo luoco del concorso el quale è luoco de la imagine, alchuna ultra el spechio, alchuna citra el spechio – in exempio era b. alchuno citra el spechio e forsi che vuole dire che intro lo spechio –alchuno tra el viso e lo spechio, alchuni sopra el centro esso del viso, al[c]huno oltra el centro del viso. De le forme de le cose vise, le quali aquista in quisti spechi, alchune comprende in lo luoco de le imagine, la quale è punto concorso e queste sono le quale el viso certamente comprende, alchune comprende fuori del luoco del concorso, [et] è la comprensione sencia certecia, e le cose vise le quale aquista el viso in questo spechio alchune preterisse una imagine solamente, alchune due, alchune tre, alchuna quatro, non po essere che più. [2.46] In lo spechio piramidale concavo le linee per le quale se riflectono le forme al viso alchune concoreno in le perpendiculare ducte da li punti visi recti sopra le linee contingente le linee comune e alchune sono equidistante a le perpendiculare, le quale concoreno cum le perpendic [97 recto b] ulare in alchuno punto del concorso e ultra el spechio, in alchune fosse citra, alchune se eschono tra el spechio e ‘l viso e alchuni sopra el centro del viso alchuni oltra el centro del viso, e la comprensione de le cose vise in questo spechio per lo viso alcuna sia in lo luoco de la imagine, el quale è luoco del concorso, alchune fuori del luoco del concorso e di quelle cose le quale si comprendeno l’uno pretende una imagine solamente, l’altro due, tre, l’altro quatro ne alchuna cosa che possa pretendere più che quatro, e noi dechiareremo tute queste cose demostrativamente.

[2.47] [PROPOSITIO 1, Figure 5.2.1, p. 563] Sia A punto el viso, B centro del viso, DGH el piano della spera. E sia G punto de la riflessione, DGH la linea comune de la superfitie de la riflessione e a la superfitie del spechio. Dal punto G dughasi EG perpendiculare sopra la linea comune e dal punto A dughasi la perpendiculare sopra la superfitie del spechio la quale sia AH, e producasi intro lo spechio. Et AG sia la linea per la quale acceda la forma al speculo DGH, per la quale si riflette al viso. Adonche BG, EG, AG, sono in la superfitie de la riflessione, e cum ziò sia che EG sia equidistante AH, e BG sia declinata sopra EG, concorerà BG cum AH. Concora adonche in lo punto Z. E dico che ZH fia equale HA [2.48] perché l’angulo BGD equale a l’angulo AGH e l’angulo AHG, equale a l’angulo ZHG, e lo lato HG comune, per la quale cosa el triangolo equale al triangolo, imperò ZH equale AB [AH]. [2.49] E si noi volemo in lo perpendiculare trovare lo luoco de la riflessione seghisi da la perpendiculare oltra el speculo la parte equale a la parte de essa perfino al speculo, e di che sia ZH equale AH. E duchasi la linea dal centro del viso al punto Z, che si fa, o veramente che sia BGZ. Dico che G fia el punto de la riflessione [2.50] Perché AH et HG sono equali [HG e] HZ, et l’angulo a l’angulo, per la quale cosa triangulo al triangulo. Adonche, l’angulo [Z]GH fia equale a l’angulo HGA; ma ZGH fia equale a l’angulo DGB, resta adonche che l’angulo BGE [97 verso a] sia equale a l’angolo EGA, e così el punto G de la riflessione. E così hai el proposito.

[2.51] [PROPOSITO 2, FIGURE 5.2.2 p. 563] Anchora sia A el centro del viso AG perpendicolare sopra lo spechio piano D, seghi questa perpendiculare in la superfitie de l’ochio. Dico che in questa perpendiculare non è punto el quale si rifletta da questo spechio al viso oltra D. [2.52] Sino toghasi oltra al viso el punto in questa perpendiculare e sia H, non parvirà la forma de esso al speculo sopra la perpendiculare per la interpositione del corpo sollido e così non si riflette in la forma de essa sopra la perpendicolare. [2.53] E se si dice che da uno altro punto del spechio si poi riflectere, sia quello B. Moverasse certamente la forma de esso al punto B per la linea HB e rifleterasi per linea BA. Dividasi l’angulo HBA per equale parte per la linea TB. Adonche TB serà perpendiculare sopra la superfitie del spechio. Silicet [sic] zioè TG sia perpendiculare sopra la medesima superfitie, per la quale cosa da uno medesimo punto è da duxere due perpendiculare del spechio, che fia impossibile. [2.54] Medesima probatione serà che la forma del punto D non si po riflettere da un altro punto del spechio che dal punto G, per la quale cosa non si riflette sopra si no per la perpendiculare. Ma il punto in questa perpendiculare sumpto tra G e D, se se dicesse la forma mandarse al viso per riflessione la improbatione, perché o serà corpo sollido o che serà raro, [2.55] ma el sollido procederà sicondo perpendicolare la forma de esso al spechio e ritornarà sicondo quella medesima per fino ad esso e per la soliditate non potrà passare e al viso pervenire. [2.56] E si quello punto fosse raro la forma de esso retornante dal spechio sopra la perpendiculare si mescolarà e achostarassi a esso, neancho si rifletterà al viso.

[2.57] E che la forma de ziascheduno punto <in questa perpendiculare> in questa perpendiculare intra G e D su[m]pta si possa [non possit] da l’altro punto del spechio al viso riflecterse al modo detto di sopra si può provare. Similmente la forma del punto tra A e D sumpti si riflette al viso per [97 verso b] la perpendiculare né per altra perché i punti del centro del viso e a la superfitie de esso interposite sono molto rari, unde non si manda la forma de essi, ne si riflette si che si senta. E perché ziaschduno punto oltra D in la superfitie del viso sumpto se oppone al spechio non ad angulo recto, se vederà sopra la perpendiculare da esso al spechio ducta, e la imagine de esso oltra el spechio equidistante da la superfitie del speculo como esso punto. E perché el D cum gl’altri punti de la superfitie del viso e la imagine sua cuntinua cum le altre imagine, se vede la ymagine D, tanto distante da la superfitie del spechio, quanto dista quella medesima. [2.58] Manifesto è adonche che ziascheduno punto in lo spechio viso la imagine se vederà sopra la perpendiculare e la elongatione de la imagine e del corpo viso da la superfitie medesima del spechio.

[2.59][PROPOSITO 3, FIGURE 5.2.3, p. 563] Anchora la forma del punto viso in lo speculo piano non si riflette a uno medesimo viso si no da uno punto solamente. Sia adonche A el centro del viso, B lo punto viso ZH el spechio. Se adonche se dicha che da due punti del spechio si riflette la forma B al viso, sia uno punto D l’altro E e dughasi una linea dal punto viso, zioè AB, la quale linea certamente serà perpendiculare sopra el spechio, o no. [2.60] Si non serà perpendiculare sapiamo che quella linea è in la superfitie de la riflessione ortogonale sopra la superfitie del spechio, e una sola tale perché <se move> serà comune a due superfitie ortogonali e in essa sunto il punto e ducto da quello la linea da l’una de le superfitie sopra la linea comune a questa superfitie e a la superfitie del spechio, serà questa linea ortogonale sopra el spechio <similmente> similmente da uno medesimo punto se duca una linea in l’altra superfitie sopra la linea comune a quella e a la superfitie del spechio e serà questa linea ortogonale, per la quale cosa da uno medesimo punto è da duxere o voi menare due perpendicular [98 recto a] E perché adonche BA sia in una sola superfitie ortogonale sopra el speculo e i tri punti A,B,E siano in una medesima superfitie ortogonale, in la quale AB, similmente EB e DB, per la quale cosa EA e EB in una medesima superfitie cum DA DB. Ma l’angulo AEH fia equale a l’angulo DEB e l’angulo HEA magiore de l’angulo ADE perché fia estrinseco, per la quale cosa, BED magiore ADE. Ma BDZ equale ADE e BDZ magiore BED [quare ADE maior BED] e detto è minore. Resta adonche che da uno solo punto si farà riflessione. [2.62] Ma si veramente AB sia perpendiculare sopra el spechio già detto è che unico fia el punto in la linea dal centro del viso al spechio ortogonalmente dutta de la quale la forma si riflette dal spechio al viso e già fu provato che la imagine di quello punto da uno solo punto si riflette, per la quale cosa sia el proposito.

[2.63] [PROPOSITO 4] Anchora, risguardato alcuno punto da amedui visi una medesima imagine e medesima apare a l’uno e a l’altro in lo luoco preditto. Unde manifesto fia che la forma del punto non si riflette ad amendui visi da uno medesimo punto del spechio. Se la linea de la riflessione prociedente a uno viso tengha l’angulo cum la perpendiculare erecta sopra la superfitie del spechio el quale tiene l’acesso de la linea de la forma al spechio cum quella medesima perpendiculare, non si potrà torre in una medesima superfitie altra linea la quale facia uno angulo equale a quello cum la perpendiculare. Unde che da questo punto non si riflette linea alchuna ad altro viso. Necessario fia adonche che da diversi punti del spechio si facie riflessione. [2.64] Siano quigli punti T, Z [FIGURE 5.2.4] E sia el spechio QE; A el punto viso; B, G i due visi; AD perpendiculare. Manifesto fia adonche che BT e AT et AD sono in una medesima superfitie ortogonale sopra la superfitie del spechio. Similmente AD, AZ, GZ sono in una medesima superfitie ortogonale, [98 recto b] et DT linea comune fia de la superfitie ADTB e DZ comune a la superfitie ADZG. Se BT e GZ fusseno in una medesima superfitie ortogonale, sera TDZ linea una, e perpendiculare AD o serà tra due perpendiculare predicte a la superfite del spechio da dui visi o fuori [FIGURE 5.2.4 a] [2.65] De amedui sia la linea de la riflessione BT, secarà da la perpendiculare AD oltre el speculo la parte equale a la parte la quale fia AD similmente GZ, secarà quella medesima perpendiculare parte oltra el spechio equale a quella parte. Adonche quelle due linee de la riflessione sectarano perpendiculare oltra el speculo in medesimo punto. Adonche la imagine del punto A in quello medesimo perpendiculare, dal punto si perciperà da amendue i visi, per la quale cosa sera solamente unica e medesima imagine in uno medesimo luoco, la quale sarebe solamente uno viso adhibito. [2.66] Ma si li punti TZ non fosseno in una medesima superfitie de la riflessione ortogonale sopra el spechio [FIGURE 5.2.4 b] serà nientemeno una medesima probatione, cum ziò sia che tute due le line[e] de la riflessione seci, o vuoi seghi, da la perpendiculare la parte equale a la parte superiore, e serà sectione de le linee de la riflessione cum la perpendiculare in uno medesimo punto, imperò sequitasi el proposito.[5.67] Ma se A fosse in la perpendiculare dutta da uno viso a la superfitie del spechio, nientemeno sicondo uno medesimo viso si comprende oltra el spechio in lo punto perpendiculare tanto elongato da la superfitie del spechio quanto dista A da quella medesima perché la forma A apare continua cum le forme de li altri punti le quale certamente si vedono in gli loci simili. E da l’altro viso si comprenderà la ymagine A dal medesimo perpendiculare punto, per la quale cosa a l’uno e a l’altro viso apare solamente unica imagine del punto A, e in uno medesimo punto de essa, per la quale cosa habiamo el proposito. [98 verso a] [2.68] [PROPOSITO 5] In li spechi esteriori si manifesterà quello che habiamo detto. Sia A [FIGURE 5.2.5] <punto> el punto viso, B centro del viso G punto a la riflessione. Manifesto sia che BG, AG sono in la superfitie ortogonale sopra la superfitie contingente la spera in lo punto G. Linea comune a la superfitie de la riflessione e a la superfitie de la spera fia circulo, e sia ZGQ. Linea contingente questo circulo in lo punto de la riflessione sia PGE. Perpendiculare sopra questa linea sia HG. Manifesto è che HG pervengha al centro de la spera che se no cum ziò sia che la linea del centro de la spera dutta al punto G sia anchora perpendiculare sopra la linea PGE, serà da duxere da uno medesimo punto in una medesima parte due linee perpendiculare sopra una linea. [2.69] E sia el centro de la spera N e dughasi la linea dal punto viso al centro de la spera, scilicet, AN, la quale certamente serà perpendiculare sopra la superfitie contingente la spera in lo punto de la spera per la quale passa. E perché manifesto sia che BG seca la spera perché la è tra HG GP i quali contenghono l’angulo recto, concorerà cum la linea AN e cum la perpendiculare HG sia, o voi si fa, in la superfitie de la riflessione serà el centro de la spera in una medesima, e così AN in una medesima superfitie cum HG fassi. [2.70] Adonche el concurso de BG cum AN D. Manifesto è perché D serà loco de la ymagine e queste cose certamente se debono intendere, perché [quando] la linea ducta dal punto viso al centro del viso non fosse perpendiculare sopra el spechio.

[2.71] [PROPOSITIO 6] Anchora la linea PGE [Figure 5.2.6] seca la linea AN. Sia el punto de sectione Ed è detto questo punto fine de la contingentia. Dico che in questo sito la linea dal centro da la spera a lo luoco de la imagine dutta, magiore è de la linea da lo luoco de la imagine dutta a lo loco de la riflessione, [id est] DN magiore DG. [2.72] Perché l’angulo BGH equale a l’angulo HGA, ma l’angulo BGH equale a l’angulo NGD. Ergo l’angulo HGA equale a quello medesimo, e EG per [98 verso b] pendiculare sopra HGN per la quale cosa l’angulo AGE equale è a l’angulo CGD. Adonche la proportione AG ad AD como AE ad ED. [2.73] Si protraghono dal punto A equidistante DG, concorerà con la linea HN e in lo punto H. Serà adonche l’angulo NGD equale a l’angulo GHA, ma lo angulo NGD equale è a l’angulo AGH, per la quale cosa due latera de AG e de HA sono equali. Adoncha la proportione AN ad AG como DN ad DG ma AN fia magiore de AG perché risguarda l’angulo magiore del recto in lo triangolo ANG. Adonche DN magiore de DG che è el proposito.

[2.74] [PROPOSITO 7] Anchora dico che la linea ducta dal fine de la contingentia, el quale sia E, per fino alla spera perpendiculare, zioè parte de la linea EN, minore fia del semidiametro. [2.75] Sia F il punto in che AN tocha la superfitie de la spera. Dico che EF fia minore de NF. [2.76] Perché como è detto la proportione de AG ad DG como AE ad ED, ma AN ad DN como AG ad DG. Adonche AN ad DN come AE ad ED. Adonche AN ad DE como DN ad DE. Ma AN magiore de AE, per la quale cosa DN magiore DE, che sia el proposito. [2.77] [PROPOSITO 8] Anchora sia G [FIGURE 5.2.8] el centro del viso, D el centro de la spera, DZG perpendiculare dal centro del viso a la spera, Dico che de nisuno punto la forma si riflette per questa perpendiculare <sino> sino del punto de esso, el quale è in la superfitie del viso.

[2.78] Ma le forme de li punti assumpti dopo el centro del viso non si rifletteno per essa per la cagione sopra detta. E così similmente ne li punti sumpti tra la superfitie del viso e lo spechio sumpti. Dico anchora che nisuno punto perpendiculare di questo si riflette da l’altro punto del spechio. [2.79] E se se dixe, o voi se dica, che da l’altro punto sia quello punto A serà la linea GA linea di riflessione, e da quello punto intenderemo [lineam] ad A, la quale è la linea per la quale si muove la forma. E queste due linee includono angulo sopra A [99 recto a] el quale angulo certamente e necessariamente dividerà il diametro DA perché è perpendiculare <sopra la perpendiculare> sopra el punto A, perché la perpendiculare divide l’angulo da la linea del moto de la forma e la linea de la riflessione per equale. E così el diametro DA concorerà cum la perpendiculare GD tra el punto sumpto e G. E così due linee recte in dui punti concorerano e includerano la superfitie. [2.80] Resta adonche che el solo punto el quale è in la superfitie del viso la forma si rifletta dal spechio ad perpendiculare e veghasi in lo primo luogho de la imagine de esso cum gl’altri continuante.

[2.81] [PROPOSITIO 9] Anchora GA, GB [FIGURE 5.2.9] como linee dal centro del viso ducte contingente la spera e signisse el circulo sopra el quale la superfitie inclusa in queste due linee seca la spera. Serà AB portione aparente da questo circulo. Dico adonche che i luoci de le ymagine i quali per la riflessione da questa portione fatte se comprendono, alchune sono dentro lo spechio, alchune in la superfitie del spechio, alchune fuori de lo spechio. E ziascheduno di quisti è da essere determinato [2.82] Duchasi dal punto G la linea secante el circulo e la parte de esso la quale è corda de l’arco del circulo, sia equale al semidiametro del circulo. Sia quella linea HGK [il ms. riporta r, ma per comodità dei grafici, seguo la dizione k adottata da Smith] e la corda equale al semidiametro sia HK. E produchasi dal punto H perpendiculare la quale sia DHM. Dico che la forma riflessa dal punto H lo luoco de essa serà intra la spera. [2.83] E duchasi dal punto H la linea tenente lo angulo equale cum l’angulo MH a l’angulo MHG, e sia OH. Riflecteranosi alchuni punti di questa linea dal punto H al viso, e no d’altro. Toghasi adonche alchuno punto de essa, e sia D [O], e duchasi da esso la linea al centro de la spera e si a OD. Serà certamente OD perpendiculare sopra la superfitie contingente la spera sopra el punto d’esso per lo quale passa OD. Ma l’angulo OHM fia equale all’angulo MHG, como per suposito fue, per la quale cosa similmente fia equale a l’angulo KHD. Ma KHD fia equale KDH, la quale risgu [99 recto b] ardano le latera equali [2.84] Adonche l’angulo in OHM equale a l’angulo KDM, per la quale cosa le line KD, OH sono equidistante. Adonche in infinito producte non concoreranno mai. E la linea OD sectarà la linea interiacente KD, OH, e così qualunqua punto si prende in la linea OH, quella linea ducta da quello punto al punto D sectarà la linea de la riflessione intra la spera, la quale linea certamente perpendiculare serà sopra la spera como è OD. Per la quale cosa la imagine de ziascheduno punto aparerà intra la spera.

[2.85] Anchora, l’archo del circulo giacente tra el punto H e tra el punto per lo quale passa el perpendiculare dal centro del viso ducta è HZ. Dico che da ziascheduno punto di questo arco si facie riflessione, lo luoco de la ymagine serà intra la spera. [2.86] La probatione, sia I [FIGURE 5.2.9 a] punto sumpto e duchasi la linea dal centro del viso secante el circulo sopra quello punto, la quale sia GIS e duchasi la perpendiculare da questo punto la quale sia DIT. E faciase linea PI tenente l’angulo equale cum IT a l’angulo TIG. Manifesto sia che soli i punti de la linea PI si riflecteno dal punto I al viso. Manifesto anchora sia che la linea IS fia magiore de la linea KH, però magiore de ID [ma SD]. Adonche l’angulo SDI fia magiore de l’angulo SID, per la quale cosa fia magiore de l’angulo GIT e imperò magiore de l’angulo RIP [TIP]. [2.87] Adonche la linea PI e SD non concoreno mai e la linea ducta da ziascheduno punto de PI ab punto, o veramente, al punto D seca la linea SI la quale entra la spera, la quale SI è linea de riflessione e ogne linea ducta da ziascheduno punto de la linea PI serà perpendiculare sopra la spera, come fia PD. E cum ziò sia che lo luoco de la imagine sia in lo concorso perpendiculare dal punto viso ed è la linea de la riflessione, serà la imagine de ziascheduno punto de la linea PI intra la spera. Manifesto è adonche che de tute le imagine [99 verso a] de l’arco HZ el proprio luoco serà intra lo spechio el quale fia el proposito nostro. [2.88] Anchora sumpto ziascheduno punto de l’archo HB, dico che alchuna imagine serà intro lo speculo, alchuna serà in la superfitie del spechio, alcuna di fuori [2.89] Toghasi alcuno punto de esso e sia N [FIGURE 5.2.9 b] e producasi una linea dal punto G, secante el circulo, la quale sia GNQ e ducasi la perpendiculare DNF e protahasi la linea tenente l’angulo equale cum lo perpendiculare angulo FNG, e sia EN. Perché la linea NQ minore fia de la linea KH e ancho minore de la linea QD, e così l’angulo QDN fia minore <fia> di l’angulo DNQ, per la quale cosa minore de l’angulo GNF, per la quale cosa minore de l’angulo ENF. Adonche la linea EN et DQ concorerano. Sia adonche el concorso in lo punto [illegibile, ma E] E. Manifesto fia che la linea EDQ [EQD] fia perpendiculare sopra la spera e seca la linea GNQ, la quale fia linea di riflessione in lo punto Q, el quale è punto de la spera, per la quale cosa la imagine del punto E, quando fosse la riflessione sopra el punto N, aparirà nel punto Q ed è in la superfitie de la spera. [2.90] E se in la linea EN si prenda el punto oltra E, in lo punto R, perpendiculare dutta da esso al centro de la spera como RD secarà la linea de la riflessione, la quale fia GNQ, ultra el punto Q e de fuori de la spera, per la quale cosa la imagine de ziascheduno punto de la linea EN sumpto ultra E serà fuori de la superfitie del spechio.

[2.91] Ma se in la linea EN citra el punto E si prenda alchuno punto, [la] perpendiculare da esso dutta al spechio, sectarà la linea GNQ intra la spera perché in lo punto el quale si fa tra N e Q. Imperò la imagine de ziaschduno punto de la linea EN intra E et N sumpto aparerà intra la spera. [2.92] E medesima probatione sera in tuto, assunto ziascheduno altro punto de l’archo BH e così la ymagine de ziascheduno punto di BH una sola è in la superfitie del spechio e le altre, alchune in lo spechio, alchune di fuori. E quello che fia dimostrato in lo archo ZB parime [potest parere] de uno modo si poi manifestare in lo archo ZA e serà in tuto una medesima demostratione de ziascheduno circulo de la spera. [99 verso b] prendassi la portione al viso oposita e perpendiculare GD equalmente divisa. [2.93] Unde el viso immoto e la perpendiculare GD manente firme si muova la perpendiculare equidistante la linea GHK, secarà la spera cum lo moto suo la portione circulare e la imagine de ziaschduno punto di questa portione aparirà intra la spera.

[2.94] Ma se la linea contingente GB si muova equidistante perpendiculare el viso, secarà da la spera la partizione predicta magiore, e da ziascheduno punto de le estremità de uno sopra l’altra se referisse la ymagine de la quale lo luoco serà in la superfitie de la spera, alchuna intra la spera, alchuna di fuori. [2.95] Sapiamo per le dette cose che in questo spechio ziascheduna imagine aparisse in lo diametro de la spera, o dentro o di fuori o in la superfitie. E ogne diametro in lo quale aparischa imagine, alchuna in la superfitie de la spera, o di fuori, è più dimissa del punto de la spera del quale tocha la linea contingente dal centro del viso ducta a l’ultimo punto de la portione aparente. Sapiamo che ziascheduna linea de riflessione seca la spera in dui punti, in lo punto de la riflessione e ne l’altro.

[2.96[ [PROPOSITIO 10] Resta a dechiarare a ziò che più certamente i luoci de le ymagine [determinemus]. Dico che, sumpto el diametro, se a esso se ducha una linea secante la spera dal centro del viso, de la quale la parte iacente tra el punto de la sectione de la spera, el punto del diametro el quale atinge, fia equale a la parte del diametro giacente tra quello punto el centro. E quello punto non è luoco de alchuna imagine. [2.97] Per gratia de lo esempio sia AG [FIGURE 5.2.10] el circulo de la spera, H el viso, ED el diametro de la spera, s’avere perpendiculare. HZ sia la linea secante sopra el punto [F] e sia concurente cum ED in punto Z, e sia ZF equale ad DZ. Dico che Z non è luoco de alchuna imagine. [2.98] [Palam enim quod non est locus ymaginis alterius] cha alchuno punto ED perché la imagine de ziascheduno punto fia sopra el diametro da esso al [100 recto a] centro de la spera ducto e che lo luoco de la imagine di quello punto o veramente di alchuno punto de ED non sia in Z. [2.99] Così si manifestarà, duchasi la perpendiculare <dal punto> dal punto di sopra di sopra el punto F, sia DFN, e sopra el punto F si facia l’angulo equale a lo angulo NFH, che sia QFN. Palami est, zioè manifesto sia che l’angulo QNF fia equale a l’angulo ZFD. Et ZFD fia equale a l’angulo ZDF, perché risguardano le latera equale. Adonche QFN fia equale a lo angulo ZDN per la quale cosa la linea FQ fia equidistante a la linea ED. [2.100] Adonche in infinito producte non concorerano mai. Adonche nisuno punto de AD [DE] la forma si moverà al punto F per QF, e non poi essere luoco de la imagine de alchuno punto in lo punto Z, si la forma sua non si muova ad F per la linea QF. Un medesima serà improbatione, sumpto ziascheduno diametro, per la quale cosa sequita el proposito.

[2.101] Anchora dico che nisuno punto de la linea ZD poi essere luoco di alcuna imagine. [2. 102] Toghasi el punto P e duchasi la perpendiculare DBM et in l’angulo MBH faciase l’angulo equale, el quale sia EBM [TBM]. Manifesto sia che TBM sia equale PBD, e manifesto anchora che l’angulo DPH è magiore de l’angulo PZF, perché è estrinseco. Adonche gl’altri dui anguli DPH sono minori a li altri dui anguli del circulo DZF. Ma l’angulo DPB [PDB] fia magiore de l’angulo ZDF. Resta adonche che l’angulo PDP [DBP] sia minore de l’angulo DFZ. Ma l’angulo DFZ è equale a l’angulo ZDF, adunche molto minore de l’angulo PDB, per la quale cosa l’angulo TBM [TMB] minore fia de l’angulo PDB. Adonche le linee TB et ED non concoreno mai e così nisuna imagine de punto B si riferisse si riferisse ad punto B [P]. Similmente de ziascheduno punto de la linea ZD. Resta adonche che tuta ZD sia vacua da li luoci de le imagine. [2.103] [PROPOSITO 11] Anchora, sunto ziascheduno diametro [100 recto b] tra le linee de la contingentia dal viso a lo spera ducta, oltra el diametro dal centro del viso al centro de la spera intellecta, e determinato el punto el quale noi habiamo detto el quale fia meta, o voi fine <di> di li luoci de le imagine, dico che ne punti solamente di quello diametro, i quali sono tra la superfitie de la spera e la meta predicta, sono luoci de le imagine de li punti di quello diametro. [2.104] Per gratia de lo esempio sia BZ, BE [FIGURE 5.2.11] le linee de contingentia, B el centro del viso, A el centro de la spera, BHA el diametro visuale DA el diametro sumpto cum la meta, G el punto de la spera. Dico che ne soli punti G e T, interiacenti cadeno le imagine de li punti D. A. [2.105] [segno di inserimento con testo non comprensibile, ma: quod enim] certamente non caderano in lo punto G o fuori de al superfitie de la spera, manifesto è per questo che sopra detto ,el diametro in lo quale è lo luoco de la imagine in la superfitie de la spera, inanci di fuori essere più dimisso del punto de contingenta, cum ziò sia cosa che il diametro DA fia tra le linee de la contingentia non serà in esso lo luoco de la imagine o in la superfitie de la spera o fuori. Che certamente in ciascheduno punto tra G et T sumpto cagia imagine e starà. [2.106] Toghasi uno punto e sia Q e dughasi la linea BQ secante la spera in lo punto C. E dughasi la perpendiculare ACL et a l’angulo LCB faciase uno angulo equale ad DCL e duchasi la linea BT secante la spera in lo punto F et dughasi la perpendiculare AF. Adonche il triangolo ACB contiene il triangolo AFB, per la quale cosa l’angulo AFB magiore fia de l’angulo ACB. Resta adonche che l’angulo AFT sia minore ACQ, ma l’angolo AFT in equale a l’angolo FAT perché risguardano le latera equali. Adonche ACQ serà magiore [angulo CAQ] per la quale cosa LCB magiore CAQ, unde DCL magiore CAQ. Adonche CE, AQ concorerano. Sia D el concorso [100 verso a] la forma adonche del punto D riflectasi in lo punto C per la linea CB, e lo loco de la ymagine è Q. E sia una medesima probatione, sumpto ziascheduno punto tra G e T.

[2.107] [PROPOSITIO 11] Resta che noi assignamo i loci de le imagine in la sectione de la spera oculta al viso. [2.108] Sono adonche AC , AG [FIGURE 5.2.12] linee contingente la portione aparente, A centro del viso, B el centro de la spera ADBZ diametro visuale, ZGD [ZCG] circulo de la spera, in le superfitie de le linee de la contigentia, el diametro BG. E manifesto sia che l’angulo ZBG fia magiore de lo recto, cun ziò sia che in lo triangulo BAG, l’angulo BAG [BGA] sia recto, serà l’angulo GBA [BGA] minore del recto e perché magiore sia ZGB che non è HGB, recto, [Sit HBG rectus]. Serà adonche HB equidistante a le linee de la contingentia AG. Adonche producte non concoreranno mai, ziascheduno diametro tra H e G concorerà cum la linea AG. [2.109] Ducasi da lo punto [A] la linea secante la spera la quale sia AMO, si che la corda la quale fia MO sia equale al semidiametro OB e concora el diametro BO cun la linea AG in lo punto T. Dico <OH> in ziascheduno punto [TO] è lo loco de la imagine [et in nullo alio puncto dyametri TB est locus ymaginis, et sunt O, T] sopra OT i termini di loci de le imagine. [2.110] E prendasi el punto e sia K e ducasi ANK secante la spera, in lo punto N. E duchasi perpendiculare BNX et XNA faciasi l’angulo equale per la linea FA [FN]. Manifesto che FA [FN] non cade tra B e C [T] imperò o che secarebe la spera, o che secarebe la contingente [aggiunto in interlinea AT, ma AP in Smith] in dui punti. Adonche la forma del punto F si moverà per FN al punto N e rifleterassi ad A per la linea AN, e aparirà la imagine de esso in lo punto K. e medesima probatione [ sumpto quoqumque alio puncto] [2.111] [PROPOSITO 13] [Amplio, dico quod in arcu OG] qualunqua diametro si prenda contenerà i luoci de le imagine e intra lo spechio alchuno, e una [in] superfitie <del punto> [speculi] e altraminte fuori de lo spechio. [2.112] Prendasi adonche el punto L [FIGURE 5.2.13] e protraghasi el diametro BL perfino che seghi AC [AP] in lo punto E, e producasi la linea AL secante la spera in lo punto R, manifesto fia che XL [RL] fia minore de LB perché fia minore de MO el quale è equale semidiametro. Se adonche [100 verso b] da A si producha una linea al diametro LB, de la quale la parte giacente tra el circulo e lo diametro sia equale alla parte del diametro dal punto in lo quale cade al centro, caderà certamente tra L e B. E si fosse caduto tra L et E serà XL [RL] magiore de AB [LB] e ogne linea iacente tra el centro e quella equale serà magiore de la parte del diametro la quale termina, sicondo la probatione a la signata metà in la expletione de le imagine. [2.113] Sia adoche el punto in lo quale la linea equale caderà [I], dico che in ziascheduno punto [EI] a esso fia lo luoco de la imagine. E serà medesima demostratione che fue in TO. [2.114] Adonche alchune imagine in lo diametro AB [EB] sortischono, zioè aquistano, i loci intra lo speculo, alchuni fuori de lo spechio, una sola visa [in superfitie scilicet] in lo punto L. E così potrà mostrare in ziascheduno diametro de le parte OG transeunte.

[2.115] [PROPOSITO 14] Anchora, sunto ziascheduno diametro in <vuoto> [in arco OH] lo loco de la imagine in esso serà fuori de lo spechio. [2.116] Prendasi el diametro BQ [FIGURE 5.2.14] e concora con la contingente in lo punto P. E duchasi la linea ANQ secante la spera in lo punto N già fia detto che MO fia equale OB ma NQ magiore MO, per la quale cosa NQ fia magiore de QB e la linea ducta a la circumferentia dal diametro PB equale a la parte PB essa, e lo centro interiacente non cagierà tra Q e B. ma se cadesse sicondo la supradetta probatione serà NQ minore de QB. [2.117] Resta adonche che la linea equale cagia tra P e Q, e che non cagia in lo punto P, manifesto fia per questo che lo angulo PGH [PGB] recto adonche PB magiore de PG, caderà [Cadet ergo citra P] adonche sera PQ sia lo punto in lo quale cade serà adonche metà di loci de le imagine. [2.118] [Sit punctus in quem cadi S. Erit igitur S metà locorum ymaginum] E ziascheduno punto tra P e S serà loco de la imagine e fia una medesima probatione la quale fo fatta di sopra. [2.119] Manifesto è per questo che le ymagine de li diametro de l’archo HO sono fuori de le imagine del diametro FB, una <vuoto> [in superfitie] la quale fia in O, tute le altre [101 recto a] de fuori, scilicet, DO [TO]. Tutte inanci le imagine del diametro e l’arco GE [OG] alchuna dentro, alchuna di fuori, alchuna in la superfitie.

[2.120] [PROPOSITO 15] Anchora in l’archo HÇ [HZ] [FIGURE 5.2.15] non si poi prendere el diametro in lo quale è luoco de la imagine, perché nisuno diametro ivi sumpto concore cum la contingente AP. [2.121] E da ziascheduno punto di quello tale diametro, ducasi la linea a la spera, caderà certamente in la portione GRE [GZC] e nisuna in la portione GDT [GDC], si no secando la spera. Adonche nisuna forma del punto de alchuno tale diametro venirà a la portione aparente al viso. [2.122] E quello che detto è in l’archo GH si po per medesimo modo dimostrare in la parte de l’archo OZ, riguardante essa. E sumpto l’arco circa Z equale HZ, in nisuno diametro di quello archo serà lo luoco de la imagine. [2.123] Uno medesimo modo è da dimostrare in ziascheduno circulo per la quale cosa la linea HB si muova, permanente l’angulo HBZ, significata per lo moto suo la portione de la spiera in li diametri de che nisuno sia loco de la imagine. Ora si veramente HB si muova in lo moto OH [Si vero OH immota, moveatur OB] se descriverà la portione de la quale tute le imagine fuori; del vero diametro TB una in la superfitie le altre di fuori. De moto de l’arco OG faciasi portione de la quale alchune imagine vise [in superficie] alchuna fuori de lo spechio, alchuna dentro. [2.124] Ma verò è che el viso non comprende quale sono le imagine che sono di fuori quale sono che sono dentro, neancho si certifica in la comprensione de esse si no che le siano oltra la portione aparente. Già adonche sono determinati in quisti speculi li luoci de le imagine. [2.125] [PROPOSITO 16] Anchora, del punto viso la forma non si po in questo spechio riflectersi al viso sino da solo el punto [a solo puncto] del spechio. [2.126] [FIGURE 5.2.16] Sia el punto B a centro del viso e non sia [A] da la [in] perpendiculare dutta al centro. Dico che B si riferisse ad A da uno solo punto del spechio e una sola imagine pretende al viso in questo spechio. [2.127] Manifesto sia che alchuno punto si poi ri [101 recto b] riflectere la forma de esso. Sia quello G, e ducanosi BG AG e sia [N] centro de la spera, e ducasi el diametro BN secante la superfitie de la spera in punto L e del termine de la portione oposita al viso siano D, E. E seghi la linea AG perpendiculare in lo punto Q el quale è luoco de la imagine. [2.128] Manifesto fia che ANB sono in una medesima superfitie ortogonale sopra la spera e cum ziò sia che tute le superfitie sopra la spera in le quale fosse BN, seghi sopra BN e non possa la superfitie in la quale la linea BN estendersi al punto A viso solamente una. Manifesto fia che A e B e N sono in una superfitie ortogonale solamente sopra la spera, non in più. E quando fia necessario che el punto viso A siano in medesima superfitie ortogonale sopra el punto de la riflessione, manifesto è che non si farà <vuoto> [reflexio] del punto B al viso si no in lo circulo de la spera el quale è in la superfitie ANB. Sia adonche el circulo DGE. Dico anchora che da nisuno punto di questo circulo excepto che da AG [G] si farà reflexione. [2.129] E se rudiciessi [dicatur] che dal punto L, cum ziò cosa che BN sia perpendiculare [et AL non sit perpendicularis] riflectassi, e la forma perpendiculare veniente necessariamente perpendiculare reflectassi, manifesto fia che non se referissi B ad A dal punto B, ne anchora da l’altro punto de l’archo LE. Perchè a ziascheduno punto di quello archo duchasi la linea dal punto b, passarà cum lo contingente di quello punto l’angulo obtuso da la parte E, e la linea ducta dal punto A a quello punto passarà cum quella contingente l’angulo acuto da la parte L, per la quale cosa se da quello punto si fesse riflessione serebe l’angulo acuto equale a l’obtuso.

[2.130] Anchora, da nisuno punto de GL si poi fare riflessione. Sumasi, o voi prendasi, da qualunqua punto tu voi e sia Z e ducasi la linea ad ZO [AZO] secante la perpendiculare in lo punto O [101 verso a] e ducasi la linea contingente el circulo, la quale cade necessariamente tra BG e BL, e sia MZ. E sia FG la linea contingente el circulo in lo punto G. Manifesto è da le cose, o voi per le cose, di sopra che la proportione BN ad NQ como BF ad FQ. E per medesimo modo la proportione BN ad NO <como la proportione> como la proportione de BM ad MO. Ma magiore fia la proportione de BN ad NQ cha de BN ad NO. Adonche magiore è la proportione de BF ad FQ cha BM [ad MO, quod plane impossibile, cum BF sia minus BM, et] FQ magiore de MO. Resta adonche che dal punto Z non si farà riflessione.

[2.131] Vero è che d’alchuno punto de l’archo GD non si farà riflessione, e così si manifestarà. Sumasi quiaqua punto e sia T. E ducasi la linea BT, e la linea ATH secante BN in lo punto H. E [ducatur] contingente el circulo in lo punto T la quale sia CT. Serà adoncha la proportione BN ad NH como de BC ad CH et BN ad NQ como de BF ad FA [FQ]. Ma magiore de BFN [BN] ad NH cha de BN ad NQ. Adonche magiore BC ad CH cha de BN ad NQ. Adonche BC ad CH che DE BF ad FA [FQ]. Che manifestamente è falso. Cum ziò sia che BF magiore de BC et CH magiore de FQ. Resta adonche che da nisuno punto de l’archo GD si facia riflessione del punto D [B], per la quale cosa ziascheduno punto da uno solo punto de la spera se referisse al viso. Adonche serà una sola linea de la riflessione de ziascheduno punto viso, per la quale cosa serà unica unica imagine de uno punto. [2.132] E se el punto B fosse in lo perpendiculare visuale, manifesto fia che si riflette da uno solo punto perché perpendiculare solamente, e la linea serà sua imagine e per la continuità de li altri punti in lo loco de la imagine proprio. [2.133] [PROPOSITO 17] Anchora, se ne l’altro diametro si prendanno dui punti da una medesima parte del centro lo luoco de la ymagine del punto più propinquo al centro serà più rimoto dal centro de la spera e lo luoco de la riflessione <del punto> del punto più propinquo a lo [101 verso b] centro serà più rimoto dal centro del viso perché [quam] del punto più rimoto dal centro de la spera. [2.134] Per gratia de lo essempio dico che lo luogo de la imagine del punto C [FIGURE 5.2.17] fia più rimoto dal centro del luoco de la imagine del punto B, e lo punto de la riflessione del punto C più rimoto da A, punto del punto de la riflessione del punto B, e l quale è punto G. Dico perché el punto C non si riflette se no d’alchuno punto de l’archo GL. [2.135] Manifesto fia che non si rifleterà da alchuno punto LE, né dal L né dal punto G, cum ziò sia che B si riflette da esso. E se se diciesse che da alchuno punto de l’archo GD sia quello punto T, e sia CT [linea] per che si muove la forma al spechio. E ducasi perpendiculare PT [NT], la quale necessariamente dividirà l’angulo CTA per parte equali, e ducasi la perpendiculare NGK. Serà l’angulo PTA [NTA] magiore de NGA. Resta adonche l’angulo PTA minore de l’angulo KGA, per la quale cosa l’angulo CTP minore de l’angulo BGK, ma l’angulo CEP [CPT] vale l’angulo TNC, e l’angulo ECN [TCN], perché è estrinseco. E l’angulo BGK vale l’angulo GNB e [più] l’angulo GNB. Serano adonche dui anguli TNC e TCN minore de dui anguli GBN e GNB, la quale cosa fia impossibile, cum ziò sia che l’angulo TNC contengha GNB como parte, e l’angulo TCN sia magiore GBN perché è estrinseco. [2.136] Resta adonche che el punto C non si rifletta si no da li punti G e L intermedij e tute le linee dal punto A ducte per questi punti al diametro BN cagiano li punti dal centro de la spera più rimoto dal punto Q, e cagieno in li punto de la spera dal centro del viso più elongati dal punto G, e così sia el proposito. [2.137] [PROPOSITO 18] Anchora, dato lo spechio e dato el viso punto, è da trovare el punto de la riflessione. [2.138] Sia B [FIGURE 5.2.18] el punto viso, A el centro del viso, e ducanosi da essi due linee al centro del spechio, se serano state quell[e] [102 recto a] equale serà ligiera cosa a trovare. Perché torassi el circulo de la spera in la superfitie di quelle linee e sapiamo che da uno solo punto di quello circulo si fa riflessione. Dividerassi adonche l’angulo el quale contengono in lo centro quelle due linee per equale parte. [2.139] E ducasi la linea dividente l’angulo fuori de la spera, serà certamente perpendiculare sopra la linea contingente questo circulo in lo punto per lo quale passa e se si duxe a quello punto due linee, l’una dal centro del viso l’altra dal punto viso, farano cum quella perpendiculare e cum quelle due prime linee ducte, ianguli [triangulos], <di quali> di li quali dui latera a dui latera equale, e l’angulo a l’angulo, e così el punto del circulo per lo quale passa quella perpendiculare fia punto de la riflessione, che sia el proposito.

[2.140] ma se la linea da punto del viso al centro de la spera ducta fosse inequale a la linea del centro del viso ducta a uno medesimo centro, fia necessario de proporre alchuni accidenti, di li quali l’uno fia: [2.141] [PROPOSITO 19] sumpto el diametro del circulo e sumpto el punto in la circumferentia è da duxere da esso el diametro da fuori producto una linea la quale da lo punto in lo quale seca el circulo, per fino al concorso cum lo diametro, sia equale a la linea data. [2.142] Per gratia de lo esempio sia QE, [FIGURE 5.2.19a] la linea data GB el diametro del circulo ABG, A el punto dato. Dico che dal punto A, produrò la linea la quale dal punto in lo quale harà secato el circulo perfino al diametro GB sia equale al la linea QE, che così se manifesterà. Duchanosi le linee AB AG le quale veramente o che serano equale o inequale. [2.143] Siano equale, e agiunghanosi a la linea QE, tale linea siché quello che si farà per lo dutto de tuta, cum la adunita, sia equale al quadrato AG, e sia la linea adiunta EZ e sia equale a quello che si fa per le dutto AG in sé, serà QZ [aggiunto in interlinea] magiore de AG. E se EZ fosse equale o magiore de AG è impossibile come è detto perché [ut ductum] QZ [aggiunto in margine] in EZ sia equale al quadrato AG. [102 recto b] Ma se le minore, manifesto sia che QZ magiore de AG. [2.144] Produchasi adonche ad equalità QZ [AG] e sia AGT, e aporto el piede del circino A faciase el circulo sicondo la quantità AGT, el quale circulo certamente sectarà el diametro BG e seghilo in lo punto D. E duchasi la linea AD la quale secarà necessariamente el circulo. Si ella fosse contingente in lo punto A serei equidistante BG e non concorerebe mai cum essa. Seghesi adonche in lo punto H e duchasi la linea GH. [2.145] manifesto quando si fa quadrangulo intra el circulo due angoli opositi, zioè ABG [AHG], vagleno due recti, ma ABG [AGB] è equale ABG, cum ziò si che si risguardeno equali latera, per la supositione. Serà adonche l’angulo AHG equale a l’angulo DGA, e l’angulo AGH [HAG] comune a tuto el triangulo ADG el partiale AHG. Resta adonche che l’angulo HDG sia equale a l’angulo HGA, el triangulo sia simile al triangulo. Per la quale cosa la proportione DA ad AG como de AG as AH, per 4.6, [riferimento a Euclide libro VI, 4, che manca nel testo latino]. Adonche che ella sia exducta DA in AH è equale al quadrato AG. Ma DA equale TA. Adonche è equale QZ. E serà AH equale EZ et DH equale QE, la quale è datata [data] line[a], che sia el proposito nostro. [2.146] E si veramente AB et AG non siano equale, [FIGURE 5.2.19c] protrahase dal punto G la linea equidistante AB la quale sia GN et sumasi, o voi prendasi, ziascheduna linea, la quale sia ZT, e faciase sopra el punto Z angulo equale a l’angulo AGD, per la line ZF. E duchasi dal punto T la linea equidistante a ZF, e sia TM. E da l’angulo TZF seghesi l’angulo equale a l’angulo DGN [NGD] per la linea ZM, perché questa linea necessariamente concorrerà TM … cum ziò sia che tra le equidistante sia el punto del concorso M. Resta adonche l’angulo MZF equale a l’angulo AGN. [2.147] e dal punto T duchasi la linea equidistante a la linea ZM, la quale sia TO, la quale necessariamente concorerà cum FZ. E sia el concorso in [102 verso a] lo punto K. E prendasi la linea de la quale la proportione a la linea ZT como BG ad EQ, linea data e sia I. Finalmente faciase sopra el punto M sectione piramidale <como> como insigna apolonio in lo libro secondo in la propositione quarta, e sia UTM [UCM], la quale sectione non seghi le linee ZZTO [KO] e KF. E in questa sectione ducasila linea equale a linea I, scilicet MC, e producasi perfino alle linee KT e KF, e siano li punti de le sectione O, L. Adonche como ivi se prova, serà OM equale CL [2.148] E dal punto T ducasi la linea equidistante CM que sit, zioè la quale sia, CF [TF], e sopra el punto A, faciasi l’angulo equale a l’angulo ZFT per la linea AND. Manifesto sia che questa linea concorerà cum GD, cum ziò sia che l’angulo GAN [AGN] sia equale ZFT [FZM]. Adonche AD linea o che serà contigente el circulo o che serà secante esso, perché si non fosse contingente, e l’archo AB fosse magiore de l’archo AG, secara l’archo AB, [et si AB fuerit minor, secabit arcum AG] [2.149] E così adonche contingente in lo punto A. Cum ziò sia cosa che l’angulo GAN sia equale a l’angulo ZFT e l’angulo AGN a l’angulo FZY, serà el tercio al tercio equale, e serà el triangulo AGN simile al triangolo ZFY. Similmente, cum ziò sia cosa che AGD sia equale a l’angolo FZT serà el triangulo AGD simile a lo triangulo FZT. Adonche quale proportione è AN ad AG, tale proportione fia EY [FY] FZ, equale proportione fia AD ad GD quella medesima fia FZ ad ZT, per la quale cosa quale proportione fia AN ad GD [ea est] FY ad ZT. [2.150] Unde, perché ZT [TM] sia equidistante FL [et] FT equidistante ML, serà FT equale ML, per la quale cosa sera equale CO, cum ziò sia che sia equale MO [ad] IT [LC], et MO sia equale IT [YM] perché fia equidistante a esso, YM equidistante TO. Resta adonche FY equale TM [CM], et TM [CM] equale I, serà adonche FY equale I. Ma la proportione de I ad ZT como de BG [102 verso b] ad EQ. Adonche la proportione AN ad GD come de BG ad EQ. [2.151] E veramente l’angulo GAN fia equale a l’angulo GBA, come pruova Euclide in lo tertio libro, e l’angulo NGD fia equale a l’angulo ABG, cum ziò sia che NG sia equidistante AB. Adonche l’angulo NGA fia equale a l’angulo NAG, e l’angulo NGD comune, per la quale cosa l’angulo tertio equale al tertio, per la quale cosa el triangulo NDG simile al triangulo ADG. Adonche la proportione AD ad GD como GD ad ND, si ché quello che si fa dal dutto AD in DN fia equale a lo quadrato DG. [2.152] E veramente el quadrato AD fia equale ad esso che si fa per lo dutto BD in DG, como pruova Euclide, e lo quadrato [in interlinea: al tercio] AD fia equale ad esso, el quale si fa per lo dutto AD in DN e a quello el quale si fa per lo dutto AD NA, e a quello che si fa dal dutto BD in DG fia equale al quadrato DG e a quello che si fa dal duto BG in GD, como pruova Euclide. Rimoti adonche, le parte equale resta che quello che si fa dal duto AD in AN fia equale a quello che si fa dal dutto BG in DG. Adonche la proportione del sicondo al quarto como del tercio al primo, per la quale cosa la proportione AN ad DG como BG ad AD. Ma già fia detto che la proportione AN ad GD como BG ad EQ. Adonche EQ equale AD, per la quale cosa habiamo el proposito.

[2.153] Che se AD non fosse contigente el circulo ma fosse secante e fosse e AG magiore de AB secarà certamente l’archo AG [FIGURE 5.2.19d], seghilo adonche in lo punto H e ducasi la linea HG [AG]. [2.154] Manifesto che due anguli AHG, ABG vagleno dui recti, se l’angulo NGD fia equale a l’angulo ABG. Adonche, l’angulo AHG e l’angulo NDG comune, per la quale cosa l’angulo tertio equale a l’angulo tertio, e lo triangulo HGD [103 recto a] simile al triangolo NGD. Adonche la proportione HD ad DG como proportione DG ad DN, per la quale cosa quello che si fa del dutto HD in DN [est equale quadrato GD]. [2.155] [Sed quod fit ex ductu AD in DH] fia equale a quello che si fa dal dutto <dh > >in DN et DH in AN <a quello che si fa > BD in GD, como pruova Euclidi, e quello che si fa dal dutto AH in DN [AD in DH] in DN in AN E quello che si fa per lo dutto BD in GD, el quadrato GD. Rimosse adonche le parte equale, zioè el quadrato GD, perché si fa dal dutto DH in DN, resta quello che si fa dal dutto DH in AN fia equale a quello che si fa dal dutto BG in DG, per la quale cosa la proportione del sicondo al quarto, i. BG ad DH, como dal tertio al primo i. BG ad AD . Ma già sia provato che la proportione AN ad DG, como BG ad EQ. Adonche EQ fia equale DH. E così el proposito. [2.156] Ma seAG serà meno AB, e seghi al’archo AB, sia la sectione del punto H [FIGURE 5.2.19e] e duchasi la linea HG. Manifesto sia che l’angulo NGD Sia equale a l’angulo ABG [manca da SEd angulis ABG a est angulo AHG] e l’angulo NGD comune, per la quale cosa el tercio al tercio equale e li trianguli simile. Adonche la proportione HD ad GD como GD ad DN, e però quello che si fa dal dutto HD in DNfia equale al quadrato GD. [2.157] Ma quello che si fa dal dutto HD in DA fia equale a quello che si fa dal dutto BD in DG e quello che si fa, e quello che si fa de HD in DA fia equale a quello che si fa dal dutto in HD [in DA est equale ei quod fit in ex in HD] e AN in HD, [sicut] el dutto BD in DG vale quanto [quadratum] DG e ‘l dutto BD in DG. Adonche rimote le parte equale serà de dutto HO [HD] in NA, como BG in DG, adonche la proportione AN ad DG fia como BG ad HD. Ma già fia detto che la proportione AN ad DG è como BG ad EQ. Adonche EQ fia equale HD, che fia el proposito, per la quale cosa dal punto Adato, habiamo dutto la linea exstante [secante] el circulo, che dal punto de la sectione al diametro fia equale a linea.

[2.158] [PROPOSITO 20] Anchora, dal punto dato in lo circulo fuori del diametro de esso è da dure la linea per lo diametro al circulo, a ziò che la parte d’esso dal diametro al circulo sia equale alla linea [103 recto b] data. [2.159] Per gratia de lo esempio ABG [FIGURE 5.2.20] sia el circulo dato, BG el diametro, A el punto dato, HZ la linea data. Dico che dal punto è da produxere la linea transeunte per lo diametro BG de la quale la parte dal diametro al circulo sia equale a la linea HZ. [2.160] La probatione: duchanosi le linee AB AG e sopra el punto H si facia l’angulo equale a l’angulo AGB per la linea MH, e sopra quello medesimo punto faciase l’angulo equale a l’angulo ABG per la linea HL e dal punto D [Z] si duca equidistante a la linea BM, [HN] la quale sia ZN, la quale certamente secarà HL. E dal punto T ducasi la sectione de la piramide EP [TP], la quale asignarà Ablono in lo libro de la piramide, la quale sectione certamente non contingerà alchuna linea [ZN] [e] in HL tra le quale giace. Similmente si facia la sectione de la piramide oposita a essa tra quelle medesime linee, che sia CU. [2.161] Adonche se la linea minima de le linee dal punto T a la sectione CU fosse ducto equale al diametro [BG], per gratia de lo esempio, el circulo facto sicondo questa minima linea, posito el piede del circino super punto T, contingerà la sectione de CU.

Ma si la minima de le linee dal punto T a la sectione CU dutta, fosse magiore [minore] del diametro BG el ciruclo fatto al modo predetto, secondo la quantità de BG, secarà la sectione CU in dui punti. [2.162] Sia adonche da la minima et equale al diametro BG, la quale certamente secarà ZQ e HF, cum ziò sia che se producha a la sectione giace tra esse. E duchasi dal punto Z equidistante a questa la quale certamente secara HM e HL, como sua equidistante. Seche, o voi seghi, adonche nei punti M, L e sia MZL, el punto de la sectione in lo quale TC seca ZN sia Q, e sopra el diametro GB faciase l’angulo equale a l’angulo HLZ el quale sia DGB. Ducanosi due linee AD, BD. [2.163] Manifesto è cum ziò sia che l’angulo sia recto, gli altri dui anguli AGB vaglono uno recto, per la quale cosa LHM è recto e fia equale [103 verso a] a l’angulo GDB. E l’angulo HLM fia equale a l’angulo DGB. Adonche el tercio al tercio, el triangulo al triangulo similemente, per la quale cosa la proportione GB ad BD como LM ad MH. [2.164] Ma perché l’angulo ADB fia equale a l’angulo AGH [BGA], perché cadano in uno medesimo archo, e l’angulo GBA [BGA] equale a l’angulo MHZ, [ex hypotesis, erit angulus ADB equalis angulo MHZ]. E già habiamo che l’angulo DGB [GBD] fia equale a l’angulo HMZ. Adonche el tercio al tercio e lo triangulo DEB simile al triangulo MHZ, Sia E el punto in la quale linea AD secha el diametro BG. Adonche la proportione BD ad DE como de MH ad HZ. [Igitur proportio BG ad DE sicut LM ad HZ]. [2.165] Unde Ablonio che quando fosseno due sectione oposite piramidale, o voi a la piramide, tra due linee e produrasse la linea da l’una sectione a l’altra, la parte de essa [est equali alii parti] che interiace l’altra sectione a l’altra linea, per la quale cosa QC equale TF. Ma TQ equale fia MZ, cum ziò sia che sia a quello equidistante. Adonche MZ equale FC e ZL equale ad TF. Adonche ML TC. Per la quale cosa la proportione GB ad ED como TC ad HZ, e cum ziò sia che TC sia equale BG erit [sic] serà ED equale HZ, che fia el proposito.

[2.166] E se la linea a T a la sectione CU e fosse minima minore del diametro BG, produchasi oltra la sectione per fino che la sia equale. E sicondo la sua quantità fia el circulo el quale secharà la sectione in dui punti da i quali le linee dutte ad Z [T] serano equale BG, e dal punto T, duchasi la equidistante ad amedue, e alora serà da duxere dal punto [A] al modo predetto due linee equale a la linea data. Serà in tuto uno medesimo modo de provare.

[2.167] [PROPOSITIO 21] Anchora, mo dato uno triangolo ortogonio, e dato uno punto in uno de le latera continenti l’angulo recto [est ducere a punto illo lineam ad aliud latus continentium rectum lineam] secante la linea el tercio recto oposito, si che la parte di questa linea interiacente el punto de la sectione e lo lato in lo quale non è lo punto dato, habiase a la parte de lo lado oposito a lo recto che è a la sectione a lo lato in lo quale fia el punto dato como la data linea a la data linea. [2.168] Per grazia de lo esempio ABG [FIGURE 5.2.21] fia el triangulo dato, del quale a l’angolo ABG [103 verso b] recto, e in lo lado GB lo punto dato D fuori del triangolo o dentro. Dico che dal punto D fia da produxere una linea secante lo lato AG concorente cum lo lado AD [AB] si che la parte de essa interiacente le latera AB AG sia de la proportione de esso a la parte de lo lado AG, che fia da quella linea per fino al punto G como se ha E ad Z, le quale sono linee date. [2.169] La provaxione: sia punto D in esso triangulo ABG, e ducasi da essa la linea equidistante AB la quale sia DN e faciasi el circulo sopra tri punti G, M, D e protrahase la linea AD. E perché fia manifesto che l’angulo GMD fia equale a l’angulo GAB serà magiore de l’angulo GAD, seghesi da quello equale per la linea MN e sia DMN, e sia H la linea a la quale esso se ha AD, como se E ad Z, e dal punto N qui fia el punto del circulo, ducasi la linea la diametro GM equale a la linea H, secondo le sopradette cose, e sia NL, el punto in lo quale seca el circulo fia C. E ducasi la linea GC, e dal punto D ducasi la linea al punto C, la quale cum ziò sia cosa che cagia tra due equidistante, tenente l’angulo acuto, cum l’altra, se si produxe, necessariamente concorerà cum l’altra. Concora adonche, e sia el punto del concorso Q. [2.170] Manifesto che l’angulo GMD fia equale a l’angulo GCD, perché cagiono in uno medesimo archo, e l’angulo GMD fia equale a l’angulo GAB. Resta adonche che l’angulo GCQ sia equale a l’angulo GAQ. Sia T el punto in lo quale DQ seca AG e l’angulo GAC [GTC] sia equale a l’angulo ATQ. Adonche el terzio al tercio, per la quale cosa el triangolo [ATQ similis est triangulo] TGC. Adonche la proportione QT ad TG como AT ad TC. [2.171] Ma l’angulo MND [NMD] fia equale al angulo TAD, e a l’angulo NOD [NCD] TEL [TAD] equale. Per la quale cosa NOD [NCD] equale TAD e l’angulo CTL comune a dui trianguli, per la quale cosa el tertio al tertio e lo triangulo simile a lo triangolo, scilicet TLC al triangulo TAD. Adonche la proportione TA ad TC como proportione AD ad LC, como QZ ad TG. Ma LC fia equale a la linea H, e la proportione [104 recto a] AD ad H como E ad Z. Adonche la proportione QT ad TG como E ad Z, el quale fia el proposito.

[2.172] Ma se D s’imprenda in quello lado fuori del triangulo [FIGURES 5.2.21a, 5.2.21b] produchasi dal punto D equidistante AB e sia DM, e ducasi AG perfino che concora cum DM in lo punto [M] e faciasi el circulo transeunte per tre punti G,O, M [G, D, M] e duchasi la linea AD, serà certamente l’angulo GAD magiore de l’angulo GMD. Faciasi a quello equale, e fia NMD, e dal punto N el quale sia el punto del circulo, ducasi linea equale a la linea H, a la quale H se ha AD como E ad Z, e sia NCL e questo sopra el diametro MG, e lo concorso sia L. [2.173] E cum ziò sia cosa che l’angulo NMD e l’angolo NCD vaglono due recti, e l’angolo MND sia equale a l’angulo TAD, seranno li trianguli TCL e TAD simili e cum ziò sia che due anguli GCD, GMD siano equali, serano due trianguli GCD TAQ simile, e serà la proportione AD ad CL, la quale fia equale H, como QT ad CG [TG], e così sia E ad Z, como QT ad EG, el quale fia el proposito. [2.174] [PROPOSITIO 22] Anchora, dati due punti, zioè E, D e dato el circulo, è da trovare il punto in eo ut angulo contento da le linee da li punti preditti a quello punti dutto divida la linea per parte equale contingente el circulo in quello punto. [2.175] Per gratia delo essempio ducasi dal punto E [FIGURE 5.2.22] al centro del circulo dato la linea EG e producasi per fino a la circumferentia e sia ES. Finalmente ducasi la linea GD e sia MI linea in lo punto SC [C] divisa como la proportione IC ad CM como EG ad GD. E dividasi MI per equali parte in lo punto N, e ducasi la perpendiculare NO sopra el punto M, faciasi l’angulo uguale a la metà de l’angulo DGS per la linea MO. Manifesto è che serà minore de lo recto e l’angulo ONM recto. Adonche MO concorerà cum NO. Concora adonche in lo punto O e dal punto C, ducasi la linea al triangulo la quale sia CKF si che la proportione KF ad FM sia como la proportione EG ad GS e sopra el pun[to] G faciase uno angulo equale a l’angulo MFK, per la linea, per fino al circulo dutto la quale sia AG e sia l’angulo AGE e d [104 recto b] [d]ucasidue linee GA DG dico che A fia el punto che noi adomindemo. [2.176] Ducasi la linea EA cumziò sia che adonche MFZ [MFK] sia equale a l’angulo AGE, e la proportione ZF [KF] ad FM como proportioine EG af GA cum zio sia che GA sia equale GS serà el triangulo AGE simile al triangolo MFK. Adonche l’angulo è simile a l’angulo, o veramente similmente , sia equale a l’angulo EAG e l’angulo AEG equale a l’angulo MKF. [2.177] Adonche dal punto A ducasi una linea tenente cum la linea AC l’angulo equale al’angulo NMK, e sia la linea AZ, la quale necessariamente conorerà cum la linea GE, perché quale proportione fia de ZF [KF]ad FM, tale fia da EG ad GA, e l’angulo GAZ e quale a l’angulo FMC. Adonceh como la linea MO concoreraà cum FK in lo punto F, concorerà AZ cum GE. Sia il concorso in lo punto Z e producasi AZ per fino al punto Q, si che la linea AZ habiase ad ZQ como MC ad CI , ducasi la linea EQ. [2.178] Da poi dal punto A duchasi equidistante EQ la quale sia AT. Serà l’angulo AQE equale a l’angulo QAT, perché due anguli ZEA e EATT sono minore de dui recti, concorerà AT necessariamente cum EZ. Sia el concorso apresso T. Manifesto fia che l’angulo AEG fia equale a l’angulo MZF [MKF], ducta dal punto E la linea perpendiculare sipra AZ, la quale sia EL, serà l’anguol AEL equale a l’angulo MKN, cum AEL [EAL] sia equale a l’angulo KNM, perché l’uno e l’altro recto. Resta adonche che l’angulo EZL sia equale a l’angulo KEN. Adonche l’angulo EZQ equale a l’angulo KCI. [2.179] manofesto fia che el triangulo EAG simile a lo triangulo FMK e lo triangulo EAL simile a lo triangulo KMN e lo traingolo ELC [ELZ] simile a lo traingulo ZNC [KNC] e lo ltriangulo EAZ a lo triangulo KMC. Adonche la proportione AZ ad ZE como MC ad CK, la proportione QZ a ZA como IC a CM. Adonche la proportione QZ ad ZE como IC ad CK, per la quale cosa el triangulo QZE simile al triangulo ICK el triangulo QLE simile a lo triangulo IKN. Serà la proportione MN ad CA [NI] como AL [104 verso a] ad LQ, e così AL equale ad LQ, et EQ sera equale EA e l’angulo EQZ equale a l’angulo LAT, e l’angulo EZQ equale a l’angulo AZT. Adonche el tertio al tertio equale e lo triangolo EZQ simile a lo triangolo ZAT per la quale cosa la proportione QZ ad ZA como EZ ad ZT, como EQ ad AT e como AE ad AT, ma como QZ ad ZA, como EG ad GD, adonche AC ad AT como EC ad GD. [2.180] Faciasi adonche sopra el punto A, l’angulo equale a l’angulo GAE el quale sia UAG. Manifesto che l’angulo GAL sia la metà de l’angulo UAT, ma sia la metà de l’angulo DGU, per la quale cosa UAT fia equale a l’angulo DGU. Ma li anguli TAU TZE [TUA] sono minore de li dui recti CU AT [et UT]. E ziò che concoreno per che dui anguli TAU et DGU sono minori de dui recti. Adonche AU concorerà cum TG [DG]. [2.181] Dico che concorerà in lo punto D, perché farà cum le linee UG GD triangulo simile al triangulo [AUT], o che harano esso angulo AUG comune e l’angulo TAU equale UGD adonche la proportione AU ad AT sicut, zioè como, UG a la linea la quale seca AU ex GD, e la proportione EA ad AU como EG ad GU, cum ciò sia cosa che l’angulo UAG equale a l’angulo GNE [GAE]. [2.182] E cum ziò sia cosa che sia una medesima proportione EA ad AT EG ad GD e la proportione EA ad AT sia compacta de la proportione CU ad AU e AU ad AT, serà la proportione AG ad GD compacta de quelle medesime, per la quale cosa serà compacta de la proportione EG ad GU e GU a la linea la qual seca AU ex GD. Ma è compacta de la proportione EG ad GU e GU ad GD. Adonche la linea la quale seca AU ex GD fia la linea GD. Adonche AU seca GD in lo punto D. [2.183] Produchasi adonche dal punto A contigente che sia AH, serà adonche GAH recto. Ma GAL la metà de l’angulo DGM, adonche l’angulo LAH metà de l’angulo DGE cum ziò sia che quigli dui vaglano due recti. Ma cum ziò sia che l’angulo TAU sia equale a l’angulo DGU, serà l’angulo TAD equale ad TGE [DGE]. Adonche l’angulo LAH è la metà de l’angulo TAD e l’angulo EAL metà de l’angulo EAD [EAT]. Per la quale cosa [104 verso b] [E]AH dividi l’angulo EAD per equale, per che fui el proposito.

[2.184] E se AU, cum ziò sia che sia l’angulo sopra el punto A equale a l’angulo GAE, non cade sopra la linea ES, fuori del circulo o dentro, sia adonche equidistante [FIGURE 5.2.22a]. Adonche l’angulo UAG fia equale a l’angulo AGE e quello medesimo sia equale a l’angulo GAE. Per la quale cosa l’angulo GAE fia equale a l’angulo AGE. Adonche EG equale AE. Similmente l’angulo TAD serà equale a l’angulo ATG perché <vuoto> [coalternus]. Ma già fia detto che l’angulo TAD fia equale a l’angulo DGT. E similmente due anguli ADG AGT [DGT] sono equali. [2.185] Sequirassi adonche per queste cose che la linea la quale seca AU ex DG sia equale a la linea AT. E già fia detto che EG equale AE adonche la proportione EG a la linea a la quale seca AU ex DG como AE ad AT. Ma già detto fia detto che AE ad AT como EG ad GD. Adonche la linea la quale seca AU ex DG è GD e perché TAD sia equale a l’angulo DGT serà LAH la metà de l’angulo TAD, como detto fia di sopra et EAL metà EAT, che sia el proposito. [2.186] [PROPOSITO 23] Anchora è dato el circulo el quale G el centro [FIGURE 5.2.23] e dato in esso el diametro GB e dato C, punto fuori de circulo, è da duxere dal punto C al diametro GB la linea secante el circulo sì che la parte de essa dal circulo per fino al diametro, fia equale a la parte del diametro interiacente esso e lo centro. [[2.187] Per gratia de lo esempio, ducasi dal punto E perpendiculare sopra el diametro e sia EC, e ducasi una linea EG e prendasi la linea QT equale a la linea EC, e faciasi sopra QT la portione del circulo che ziascheduno angulo cadente in questa portione sia equale a l’angulo EGB, e compiasi el circulo. E da megio del punto QT ducasi perpendiculare da amedue le parte per fino al circulo, serà certamente el diametro di questo circulo. E dal punto Q [105 recto a] ducasi la linea a questo diametro secante esso in lo punto F e producasi per fino al P, punto del circulo, si che FP sia equale a la metà de GB. E ducasi la linea PT e la linea DF e ducasi dal punto P la linea equidistante al diametro la quale sia PU. Concora cum TF in lo punto U, e dal punto U ducasi equidistante EQ [TQ] che sia UO e dal punto T ducasi perpendiculare sopra PQ, che sia T[N] e dal punto T ducta a l’equidistante [PQ] la quale sia IS [TS], e dal punto N [U] perpendicularmente sopra PQ che sia UH, da poi da l’angolo LGE [BGE] seghisi l’angulo QPU [qui sir BGD,et ducatur linea EDZ. Dico quod] DZ fia equale ZG [2.188] E ducasi dal punto D perpendiculare sopra BG, che sia DI, e ducasi dal punto D contingente che sia DK. Manifesto fia che el diametro FL sia perpendiculare sopra QT e sopra OU, [et PU] e per questo sia equidistante, e serà l’angolo OUP recto. E perché OU dividese dal diametro per parte equale e ortogonalmente a essa, FO equale FU, per la quale cosa l’angolo FOU equale a l’angulo FUO. Ma cum ziò sia che due anguli POU, OPU vaglano uno recto, serà l’angulo FUP equale a l’angulo FPU, e imperò [FP] equale sempre FU, e così eguale FO, e così equale BG, et equale GO [GD]. E così la proportione EC ad GD como EQ [TQ] ad PO. [2.189] Ma cum ziò sia che l’angulo KDG sia recto sera equale <a l’angulo GID e> a l’angulo GID e l’angulo IGD comune. Serà triangulo IGD simile al triangulo KDG e serà la proportione GD ad DI como GK KD. E l’angulo ZGD [KGD] equale a l’angulo OPU et ZGD [KGD] recto equale OUP e così el triangulo ZGD [KGD] simili al triangulo OUP. E la proportione ZG ad ZD [KG ad KD] como OP ad OU. Adonche GD ad GI [DI] como OP ad OU. Adonche la proportione de EC ad DI como QT ad OU. [2.190] Ma la proportione QT ad OU como IF [TF] ad FU, cum ziò sia cosa che el triangulo TFQ si simile al triangulo OFU. <vuoto> e l’angulo UFT [UTS] recto equale a l’angulo FHU [HFU] recto [quia coalternus ei, et angulus UST rectus equalis angulo FHU. Erit triangulus UST] equale a l’angolo simile al triangolo HUF e così la proportione TU ad UF como SU ad UH. Per [105 recto b] la quale cosa la proportione TF ad UF como SH [ad UH]. Ma TN equale SH, perché fia equidistante a essa, e como fra due equedistante. Adonche la proportione TF ad UF como TN ad UH, per la quale cosa la proportione QT ad OU como TN ad UH et EC ad DI, como TN ad UH. [2.191] E cum ziò sia cosa che l’angulo GID sia recto equale a l’angulo PHU e l’angulo IGD equale HPU, [erit triangulus IGD similis triangulus HPU] e la proportione ID ad GD como TU ad NP [HU ad UP], ma cum ziò sia che l’angulo CGE sia equale a l’angulo NPT el angulo GCE recto equale PNT [NPT]. Serà proportione GE ad EC como PT ad UT. Adonche la proportione GE ad GD como PT ad UP. [2.192] A l’angulo DGE equale a l’angulo UPT. Adonche el triangulo DGE simile a lo triangulo UPT. Adonche el <triangulo> [angulo] GDE equale a l’angulo PUT. Resta adonche l’angulo DGZ equale a l’angulo UPF, per la quale cosa el tercio al tercio, e la proportione DZ ad ZG como UF ad FP. Ma UF equale FP. Adonche DZ equale ZG, che sia el proposito. [2.193] [PROPOSITO 24] Anchora dato el triangulo ortogonio ABG [FIGURE 5.2.24] del quale l’angulo ABG recto, e dato in BG o in [AB] dal punto D, è da duxere le linee dal punto D a lo lato AG, concorente in lo punto el quale sia Q, e da l’altra parte concorente con lo lado aziò che essa tuta se habia ad GQ, como E fia ad Z. [2.194] Per gratia de lo esempio, ducasi dal punto D equidistante AB la quale sia DM e faciasi el circulo transeunte per tre punti D, M, G, serà MG el diametro e ducasi la linea AD e sia H la linea a la quale se habia AD como E ad Z. E pure l’angulo DMG sia equale a l’angulo BAG, seghisi da esso equale a l’angulo DAG e sia CMD e duchasi MC perfino che continga el circulo in lo punto C, dal quale si duca la linea al diametro MG e perfino al circulo, si che M [LN] fia equale a la linea H e ducasi la linea <al diametro MG perfino al circulo così> NG e la linea DN concorente cum [105 verso a] AG in lo punto Q e cum AB in lo punto T. [2.195] Cum ziò sia che l’angolo DMC sia equale a l’angulo DN[G] quia sopra uno medesimo archo serà l’angolo QNL equale a l’angulo DAQ, e l’angulo NQL equale a l’angulo DQA, per la quale cosa el triangulo NQL simile al triangulo DGA. Adonche la proportione AQ ad QN como AD ad NL. [2.196] Ma cum ziò sia che l’angulo DMG sia equale a l’angulo DNG, serà QNG equale a l’angulo TAQ. Sia T el punto in lo quale DN concorre cum AB e l’angulo TAQ [TQA] simile a l’angulo NQG. Serà triangulo TQA simile triangulo NAG[NQG], e serà la proportione TQ ad QG como AD ad LN. Ma LN fia equale H, et AD ad H , como E ad Z. Adonche TQ ad QG como E ad Z. Che fia el proposito. [2.197] Poi avinire che dal punto C serà da duxere due linee simile CLN [CN] e alora serà da duxere due linee dal punto D simile TQ a la parte d’amedue la quale seca da AG, sia proportione como E ad Z, e serà medesima probatione. [2.198] [PROPOSITO 25] Avute le predette cose dato speculo sperico serà da trovare in esso il punto de riflessione. [2.199] [FIGURE 5.2.25] Per gratia de lo esempio sia A el centro del viso, B el punto viso, G el centro de la spera e ducase le linee AG BG e toghasi la superfitie in la quale sono queste due linee, e toghasi el circulo comune a questa superfitie e a lo spechio. Si trovarà adonche el punto de la riflessione in questo circulo [2.200] E prendasi la linea zioè una altra linea MK e dividasi nel punto F como FM e habiase ad FK como BG ad GA. E dividasi MK per parte equale in lo punto O, ducasi dal punto O perpendiculare, la sia CO, e ducasi dal punto Z [K] la linea ad CO tenente cum esso lo angulo equale a la metà de l’angulo BGA, che sia KC. E dal punto F ducasi la linea ad CK, la quale sia FP, concorerà cum CO in lo punto S, si che la proportione SP ad PK como BG al semidiametro GN [GD]. E da l’angulo BGA seghesi l’angulo equale a l’angulo SPK, scilicet DBG [DGB], e ducanosi le linee SK BD. [2.201] Serà adonche la proportione BG ad GD como SP ad PK [105 verso b] e così il triangolo SPK simile al triangulo BGD, e serà angulo SKP equale a l’angulo BGD. E forse, secondo le predette cose, potremo da punto F duxere una altra linea ad CK simile SP, che la proportione de essa a la parte la quale secarà da CK como SP ad PK e a lo punto K ad O se produrà l’altra linea la quale SK l’altro cum [illegibile ma CK] tenente l’angulo magiore o minore de l’angulo CKS. Ma si di quisti anguli non fosse magiore de lo recto non serà da trovare el punto de la riflessione. Sia adonche l’angulo CKS magiore del recto e atrovasi el punto così. [2.202] Serà l’angulo HD [BDG] magiore de lo recto, ducasi contingente NDI [NDY] e cum ziò sia cosa che l’angulo PKO sia minore de lo recto, seghesi da l’angulo BEG [BDG] equale a quello, el quale sia QDG. E cum ziò sia cosa che l’angulo SPK sia equale a l’angulo QGD. Serà el triangulo SPK simile al triangulo QGD, e serà l’angulo <q>DQB equale a l’angulo KFS, e lo triangulo DQB simile al triangolo KFS. [2.203] Producasi <a>DQ e dal punto B produchasi perpendiculare sopra esso el quale sia BZ. Serà adonche l’angulo BQZ equale SFO. E l’angulo BZQ recto equale a l’angulo SOF, e così lo triangulo BQZ simile a lo triangulo SFO. [2.204] Ducasi DZ per fino al punto I, e sia ZI equale ZD. Manifesto fia adonche che ZQ ad QB et QB [ad QD] como OF ad SF e [FS] <sono> ad FK e per questo serà ZD ad QD como OK [ad FK], e così ID ad QD como MK ad FK, e così IQ ad QD <co MF ad FK et IQ ad QD> sicut, zioè como, BG ad GA. [2.205] Ducasi la linea BI e a quella equidistante DL. Serà el triangulo LDQ simile al triangulo BQI e la proportione IQ ad QD como IB DL. E cum ziò sia che IZ sia equale ZD, et BZ perpendiculare, serà BD equale BI. Per la quale cosa serà BD ad DL como BG ad GA. [2.206] Ducasi dal punto D linea, la quale sia DB [DH] tenente l’angulo cum la linea LD a l’angulo B[G]A. E cum ziò sia che HL et DL concorano, serano due anguli LHD LDH, di dui recti minori e così due anguli AGH, DHG equali a essi sono minori de dui recti per [106 recto a] la quale cosa HD concorerà cum GA. Dico che concorerà nel punto A. [2.207] manifesto che l’angulo GDN recto equale a dui anguli OCK, OKC, e l’angulo OKC equale GDQ. Resta l’angulo QDN equale a l’angulo OCK, e così QDN <metà de l’angulo LGA> metà de l’angulo BGA, HDL. Ma l’angulo QDB fia la metà de l’angulo BDL, perché la proportione BQ ad QL como BD ad QL, DL. Cum ziò sia che el triangulo DLQ sia simile al triangulo BQI, et BD equale BI. Resta adonche che l’angulo NDB sia la metà de l’angulo HBD, e così BDN equale NDH. Resta BDC equale a l’angulo HDG. Ma l’angulo HDG equale al triangulo EDA conpositione [contraposito], per la quale cosa BDE equale EDA, e così D fia el punto de riflexione. E così dico se HD concorra cum AG in lo punto A, la quale cosa così si manifestarà.

[2.208] Ducasi la linea HT equidistante BD. Manifesto sia che l’angulo BDE equale fia a l’angulo BDG [HDG]. E BDE fia quale a l’angulo HTD, per la quale cosa HT serà equale HD. Ma la <probatione> [proportione] BD, ad HT como BG ad GH, como prova Euclide, adonche la <probatione> [proportione] BD ad DH como BG ad GH. Ma HD concorerà cum GA e farasse il triangulo simile al triangulo HDL, cum ziò sia che habieno l’angulo LHD in comune e l’angulo HDL sia equale a l’angulo HGA adonche la <probatione> [proportione] BD ad DL sie, o voi fia, constituida e composita de la proportione BD ad DH [et DH] ad DL. Adonche consta de BG ad GH et GH ad linea la quale seca HD de GA. Ma constituida de le proportione BG ad GH et GH ad GA. Adonche GA fia linea la quale seca HD de GA, e così concorerà con essa in lo punto A, che fia el proposito. [2.209] Ma se l’angulo CKS non serà magiore de lo recto, dico che non si farà riflessione ad as [aliquo] punto del spechio al viso. [2.210] E se se dixe potersi si D el punto di la riflessione e producasi la linea AD per fino ad H, punto in lo diametro BG e faciasi l’angulo LDH equale a l’angulo AGB, e producasi contingente NDY, e faciasi l’angulo QND equale a la metà de l’angulo AGB. [2.211] Manifesto fia che el triangulo HDL [106 recto b] fia simile al triangulo HGA, per la quale cosa la proportione DH ad DL como HG ad GA. Ma BD ad DH como BG ad GH, che se manifesterà per HT equidistante BD. [Igitur BD] ad DL como BG ad GA. Cum ziò sia che BDE sia equale a l’angulo HDG, serà l’angulo BDN la metà de l’angulo BDH. Ma NDQ metà de l’angulo HDL. Adonche BDQ metà dell’angulo BDL, per la quale cosa la proportione BQ ad QL como BD ad DL. [2.212] Ducasi dal punto B equidistante DL e sia BI, concorra DQ cum essa in lo punto I. E dividasi DI per parte equale in lo punto Z, e ducasi BZ, serà triangulo QDI simile al triangulo QDL, adonche QB ad QL como BI ad DL e così BI equale BD. Et IQ ad QD como MF ad FK, e così ID ad QD como OK ad FK e così ZQ ad QD como OF ad FK. [2.213] Manifesto fia che BZ fia perpendiculare. E ducasi perfino che concorra cum GD in lo punto X, la quale cosa fia possibile cum zio sia che l’angulo DZX recto ZDX minore de lo recto. E manifesto sia che la proportione BG ad GD como SP ad FK. Cum ziò sia che l’angulo CKG [CKS] se dica none essere magiore del recto. Dico che sopra il punto K si fa magiore de lo recto per la linea concurente cum CO in lo punto dal quale se duserò la linea ad CK, passante per lo punto F, retinente la propositione [proportionem] a la parte CK como BG ad GD [2.214] Per gratia de lo esempio manifesto fia che conciò sia cosa che l’angulo QDN equale a l’angulo KCO serà l’angulo QDG equale a l’angulo CKO. Faciase adonche sopra el punto K l’angulo equale BDG e pongasi che la linea tenente questa linea concora cum [CO] esso in lo punto S, e ducasi SFP manifesto fia che con ziò sia che l’angulo BZD recto equale angulo SOK, serà triangulo BZD simile SOK, e la proportione HZ ad BD como de OS ad SK. H [Sed] QZ ad QD como OF ad FK. Serà adonche l’angulo ZBQ equale a l’angulo FSK per la quale cosa el triangulo BDG simile al triangulo SPK. Adonche la proportione [106 verso a] SP ad PK como BG ad GD el quale fia el nostro proposito. [2.215] Anchora, impossibile fia che due anguli sopra MO constituiti siano amedue magiore de lo recto. E se l’uno e l’altro de tali fosse magiore de lo recto sopra uno medesimo centro [fiat angulus equalis angulo SKM] altro angulo diverso da questo el quale fia sopra KM l’altra linea simile SK. E così dal punto D e da l’altro punto di quello circulo si farà riflessione, la quale fia impossibille. Cum ziò sia che già provato sia che uno punto de riflessione sia a uno viso e già sia dimostrato como si possa trovare. [2.216] E avengha che a due visi siano due punti di riflessione. Nientemeno serà unica imagine in sensuale sillogismo et unico loco de imagine e questo noi provaremo perché due linee da li centri de li oculi al centro del circulo ducte sono equale. [2.217] E si el punto del sito viso, o veramente, el sito del punto viso rispecto de amedui visi sia una medesima cosa como le linee del punto viso al centro de li ochii siano equali, ligieri serà la proportione perché li diametri visuali secano dal circolo de l’archo de la riflessione e tene li anguli equali cum la linea dal punto del viso al centro de la spera ducta, e l’archo questa linea e li diametri visuali interiancentei sono equali. E se si prende li punti de la riflessione sicondo la supradicta propositione [probationem], de l’archo del circulo interiacente quisti dui punti el punto del circulo el quale fia in la perpendiculare dal punto viso dutta serano equale, che ligieramente se manifestarà iterata la proportione superiore. [2.218] E questo, o sia i punti de la riflexione in uno medesima superfitie de riflessione o sia in diverse, serano nientemeno quigli archi equali e le linee dutte da li centri de li occhi a li punti de la riflessione, e le linee dal punto viso a li medesimi punti equale, e le linee da li centri de l’ochij a li punti de la riflessione preciedente necessariamente se secarano insieme [106 verso b] e la proportione [probatio] fia evidente che sopra uno medesimo punto perpendiculare dal punto viso dutte serà sectione, e in questo punto ad ameduei li visi aparerà la imagine e una sola, che fia el proposito. [2.219] E sia la ordinatione de le imagine como l’ordinatione de li punti visi. E se in la cosa si prenda la linea de li corpi [a capitibus] de la quale si ducano due linee al centro de la spera si farà triangulo in lo quale si contingnerà la imagine di tuti li punti di quella linea. E se fosse bene in quella linea punto de medesimo sito, la imagine del punto più rimoto da esso serà in lo diametro più rimoto da esso diametro e più, o voi del più, propinquo in lo più propinquiore. E così se oserva il sito ne le imagine como fue in li punti del viso. [2.220] E sumpta la linea in la quale fia el punto de uno medesimo sito, ziascheduno punto di quella linea de uno medesimo sito serà in rispecto de due ochii, sicondo el modo predicto e harà unica imagine per la equalità de li anguli di quella linea, cum le linee visuale. E se si prende la linea la quale l’angulo lo quale contengono due linee dal centro de li ochii al punto viso divida per equale parte de ziascheduno punto di quella linea, quantuqua producta serà uno medesimo de amedui li visi como fue de l’altra, e uno medesimo modo de proportione [probationis].

[2.221] Ultra, queste due linee non fia da prendere oservante uno medesimo sito, unde con ziò sia che el punto viso si comprenda in la perpendiculare, ma perceptibilmente rimoti da sé. E la imagine de ziascheduno punto da qualunqua si vegia l’ochio sempre apare unità de la imagine, como detto in lo viso directo. Che le forme avenga che in diversi loci cagiano, ma per la distantia de [107 recto a] essi insensibile non diversifica l’aparentia, se non diversifica la parte. Similmente questo, quando la rimotione da uno punto da uno viso pocho magiore che da l’altro serano i loci de le ymagine inperceptibilmente rimoti, unde apareno insiemea de esse una copacta, i quali loci de imagine certamente alchuna volta no in uto distano, o voi sono distante, ma partialmente.

[2.222] In li spechi colonari esteriori alchuna volta la linea cimune de la riflessi[one] e de la superfitie del spechio è linea recta, alchuna volta circulo, alchuna volta sectione colonare. [2.223] Quando la linea fosse comune linea recta serà lo luoco de la imagine in lo perpendiculare dal punto viso dutta sopra la superfitie del spechio tanto distante da la linea comune quanto el punto del viso da quella medesima. E quella medesima probatione la quale fia detta in lo speculo piano. [2.224]E quando l’altra comune fosse circulo, serà alchuna volta di fuori alchuna volta in esso circulo de essa cosa una medesima assegnatione in tuto la quale fia in lo spechio exteriore sperico. [2.225] Ma se la linea comune fosse sectione colonare, dico perché alchune de le imagine intra lo spechio alchune ne la superfitie del spechio alchune fuori de lo [spechio] le quale singularmente se expianano.

[2.226] [PROPOSITO 26] Sia ABG [FIGURE 5.2.26] sectione colonare, B el punto de la riflessione, E el punto viso, D centro del viso. E ducasi al punto B perpendiculare sopra la superfitie contingente el spechio [in puncto B] la quale sia TBQ, e ducasi dal punto E perpendiculare sopra la superfitie contingente el speculo la quale sia EKQ. E la linea contingente el spechio in lo punto K, [que sit EKQ. Et linea contingens speculum in punto B sit CU; et linea contingens in puncto K] sia KM. Dico imperò che due perpendiculare TB, EKQ [EQ] concorerano. [2.227] E ducasi le linee EB DB e ducasi la linea KB. Manifesto sia che KM cagierà in figura [107 recto b] EKB e la linea BC in figura medesima. Adonche BC secara EK. Seghelo in punto C. Manifesto fia perché l’angulo TBK fia magiore de recto, e l’angulo EKB similmente magiore de lo recto per la quale cosa TB EK concorerano. Sia el concorso el punto Q. Similmente DBK magiore de lo recto. Adonche DB EK concoreranno. Sia el concorso el punto H. Adonche H fia lo luoco de la imagine. Dico anchora che la proportione EQ ad QH como EC ad CH, e anchora che BH [QH] fia magiore de HB. [2.228] Ducasi HF equidistante EB. Manifesto perché l’angulo EBC equale fia a l’angulo DBU. E adonche equale a l’angulo CBH, Resta adonche EBT equale a l’angulo HBQ, cum ziò sia che TBC sia recto et BQC [QBC] recto. E cum ziò sia cosa che adonche CB divida l’angulo EBH per parte equali, serà la proportione EC ad CH como EB ad BH.

[2.229] Ma l’angulo EBT fia equale a l’angulo HFB per la qualcosa HF, HB sono equali. Ma la proportione de EB ad HF como EQ ad QH, serà adonche EC ad CH como EQ ad QH, che fia el proposito. E per questo cum ziò sia cosa che sia la proportione EQ ad QH como EB ad BH et EQ sia magiore de EB, serà QH magiore de HB, che fia el proposito. [2.230] Manifesto sia per questo che sopra la sectione GB ducasi perpendiculare sopra la superfitie contingente, la sectione concorerà cum TB. E queste cose certamente si manifestano quando el punto viso non fosse in la perpendiculare visuale. Manifesto sia per le cose sopradette che de uno solo punto la forma perpendiculare accede al spechio e per quella medesima si riflette, ed è el punto perpendiculare esistente ne la superfitie del viso.

El punto oltra el viso sumpto non si poi riflectere sopra questa perpendiculare, perché non poi accedere a lo spechio sopra la perpendiculare per la sopradetta ragione. E similmente non si poi riflettere da altro punto [107 verso a] del spechio perché advirebe due perpendiculare concorere e farsi triangulo del quale due anguli recti, come fue manifesto di sopra. [2.231] [PROSITIO 27] Anchora, toghasi la sectione colonare [FIGURE 5.2.27] e prendasi in essa il punto A, e ducasi contingente la sectione la quale sia [AT] e prendasi la perpendiculare sopra [AT] dentro el spechio, che sia AD. [2.232] Manifesto che A dividisse la sectione in due parte de le quale amedue è unico punto del quale punto contingente serà equidistante AD. Sia adonche G, del quale la tangente concora cum AD in lo punto B [H] e ducasi perpendiculare sopra questa contingente la quale sia QG, e questa necessariamente concorerà cum HD, como già fu dimostrato in la preciedente figura. Si fa el concorso in punto D, e ducasi la linea [GA usque puncto P, et ducatur linea] QA. Adonche l’angulo QAH, o che fia equale a l’angulo HAP o che fia magiore o minore. [2.233] Se sia equale prociede adonche la forma del punto Q ad A e rifleterassi ad P, el quale sia viso, e lo luoco de la imagine serà el punto de la sectione colonare, zioè G, o altrimente, scilicet G. [2.234] Ma se sopra el punto Q si prenda alcuno punto, como el punto F, serà certamente el punto FAH minore de l’angulo HAP. Faciase a esso equale NAH, concorerà certamente NA cum GQ dentro la colona, sia in lo punto K, manifesto fia adonche che la imagine del punto F serà in lo punto K, e le imagine de tuti i punti oltra el punto [Q] dentro la colona. [2.235] Ma se veramente dentro QT si prenda alcuno punto como el punto C, serà l’angulo CAH magiore de l’angulo HAP. Faciasi a esso equale HAM. Manifesto che MA cade sopra G, e fuori de la sectione in lo punto O. Serà adonche la imagine C in lo punto O, de tuti li punti T e Q interiacenti, le imagine serano fuori de la sectione tra G et T. [2.236] E si l’angulo QAH fosse minore de l’angulo HAP, seghisi da esso equale HAN. Manifesto che la imagine Q serà in lo punto K e de tuti li punti superiori serano le imagine infra la sectione. Ma si di sotto si prenda C punto, como [107 verso b] l’angulo CAH sia equale a l’angulo PAH serà l’imagine in la sectione e tute intra C et Q, intra tute intra C et T, di fuori.

[2.237] E si l’angulo QAB fosse amgiore del’angulo HAP, faciasi equale a esso HDM [HAM] [FIGURE 5.2.27a]. Manifesto q[uo]d MO [MA] secarà la sectione e seghilo in lo punto B, e ducasi contigente sopra el punto B. la quale concora cum DH in lo punto L. Serà l’angulo DLB e l’angulo HLB otuso et LB concorente cum HG farà cum esso lo acuto ducasi cum essa lerlendiculare dal punto B sopra LB, la quale sia SB. Secarà certamente HG e farà l’angulo acuto cum essa a la quale l’angulo contraposto così serà acuto. Et HG seca QA. Sia el punto de la sectione U, e fa l’angulo acuto cum essa sopra el punto , per la quale cosa SB e QU concorerano . Sia el concorso in lo punto [Z]. E manifesto fia adonche che la forma del punto si moverà al spechio per ZA e riportasse per AM e lo luoco de la imagine B. E le imagine de li punti de la linea ZF, ultra Z, serano dentro la sectione di punti [et punctorum citra Z extra sectionem] serà Z e di fuori la sectione, che fo el proposito. [2.238] [PROPOSITO 28] Anchora da uno solo punto del spechio colonari si fa riflessione al centro del viso como el punto N [B] si riflecte ad A dal punto G. Dico che non se rifirisse ad esso da l’altro punto del spechio CH dal punto G. [2.239] Perché se in la superfitie de la riflessione la quale fia ABGSia tuto l’asse del spechio serà linea comune a la superfitie del spechio e a la superfitie de la riflessione linea de la longitudine del spechio. Cum zio sia che in la superfitie de la riflessione sia el centro del viso, el punto viso, el punto de la riflessione e lo punto de l’asse in lo quale cade perpendiculare, una sola superfitie si po prendere in la quale [sia] quella linea de la longitudine, o veramente de l’asse, e li punto A, B, per la quale cosa si fa riflessione si no d’alchuno punto de la linea de la longitudine. <che dal punto G per la quale cosa > Ma già fue proposito [probatum] che non si fa riflessione ad A da altro punto de la linea de la lon [108 recto a] gitudine che dal punto G per la quale cosa in questo sito da uno solo punto del spechio si fa ad A riflessione.

[2.240] Ma se la superfitie ABG sia equidistante a la base de la colona serà, la linea comune circulo [equidistans basi]. E già fo manifesto che da altro punto di quello circulo non si po fare ad A riflessione. E se da altro punto del spechio si fa riflessione, perpendiculare duta da quello punto cagierà ortogonalmente sopra l’asse e secarà la linea ABM in alchuno punto e da quello punto si duca la linea a l’asse in la superfitie equidistante a la base de la colona serà certamente ortogonalmente sopra l’asse. E così due perpendiculare farano cum l’axe uno triangulo del quale dui anguli sono recti, la quale cosa fia impossibille. Manifesto <andocha> [adonche] che in questo sito non se referisse B ad A se no dal punto G. [2.241] Ma se la superfitie ABG seghi lo speculo per sectione colonare, dico che da solo el punto G si fa riflexione. [2.242] Ducasi [in interlinea] dal punto A [FIGURE 5.2.28a] la superfitie <la superfitie> [equidistans] certamente a la base de la colona, la quale sia EZI e dal punto C [G] similmente la superfitie equidistante a la base del spechio, in la quale si duca da l’asse la linea al punto C[G] che sia TG. Serà certamente perpendiculare sopra la superfitie contingente el spechio in lo punto G. E concorra cum AB in lo punto Z [K], e ducasi dal punto G la linea de la longitudine del spechio la quale sia GZ, e sia l’asse TQ. E dal punto B perpendiculare ducasi a la superfitie EZI, che sia BH, e ducase le linee AZ HZ. E ducasi dal punto Z in la superfitie quella a l’asse la linea la quale sia ZQ. Serà certamente perpendiculare sopra l’asse, cum ziò sia cosa che l’asse sia perpendiculare sopra questa superfitie, e serà perpendiculare sopra la superfitie contingente el spechio in lo punto Z e concora cum la line[a] AH in lo punto L <d>. Dico che la forma del punto H se referisse ad A dal punto Z. [2.243] Ducasi A equidistante a la linea ZG [KG] la quale sia AM, la quale certamente con [108 recto b] corerà con BG. Sia el concorso in lo punto M. Manifesto per la quale cosa GZ equidistante a la linea BH, cum ziò sia che l’una e l’altra sia ortogonale sopra la superfitie equidistante, per la quale cosa la linea GBM fia in la superfitie di queste linee. Adonche tri punti M, Z, H, sono in questa superfitie. E anchora AM fia equidistante KG, IH [LZ] equidistante KG, perché GZ è equidistante TQ, e tra le superfitie equidistante. Adonche <illegibile> [LZ] equidistante AM, per la quale cosa in la superfitie, zio[è] sono in una medesima superfitie, e in quella fia la linea AH. Adonche in questa superfitie sono tri punti M, Z, H. E già fo manifesto che sono in la superfitie MBH. Adonche in linea comuni sono queste due superfitie. Adonche HZM fia linea retta. [2.244] Manifesto cum ziò sia che G sia il punto de la riflessione serà l’angulo AGK equale a l’angulo ZGB [KGB], e così equale a l’angulo AMG. MA fia equale MAG, perché coalterni. Adonche AG MG sono equale. Ma perché GZ fia ortogonale sopra ziascheduna linea de la superfitie AZH, serà quadrato MG equale di quantità MZ GZ. E similmente al quadrato AG equale quadrante AZ, GZ. Serà AZ equale MZ per la quale cosa l’angulo AMZ fia equale a l’angulo ZAM. Ma fia equale HZ e l’angulo RAM fia equale a l’angulo RAM fia equale a l’angulo LZA, perché coalterno. Adonche l’angulo AXL [AZL] fia equal a l’angulo LZH, perché la forma del punto H, accedente al punto Z, se referisse al punto A.

[2.245] E se se diciese che da altro punto che dal punto C si po riflectere la forma del B ad A, quello punto o che serà la linea de la longitudine, la quale fia GZ, o in altra. E se fia in essa ducasi da quello perpendiculare la quale necessariamente secarà la linea AK e serà equid[istante] la linea AM e la linea duta dal punto B a quello punto necessariamente concorerà, cum AM e sera quello punto e lo punto M e lo punto M in una medesima superfitie. [2.246] E quella linea o che cagierà sopra el punto M o sopra uno altro. Se cagierà sopra el punto M serà da duxere dal punto [108 verso a] B al punto M due linee recte. Ma se da l’altro punto de la linea AM si duca da quello punto la linea al punto Z, e provasi che questa linea cum HZ fa linea recta, como provato fia de la linea ZM. E così dal punto serà da dure due linee recte per lo punto Z, passante in diversi punti AM cadente, che fia impossibile. [2.247] Manifesto fia che da nisuno punto de la linea GZ si no a G poi B reflectersi ad A. Ma se se dicesse dal punto fuori di questa linea sumpto ducasi sopra quello punto la linea de la longitudine del spechio e da punto del circulo EZI in lo quale cade questa linea, pruovasi H reflectersi ad A sicondo la supradicta probatione. Ma già fia provato che H dal punto Z ref[lectasi] ad A, e così impossibile. Resta adonche che da solo punto de lo spechio reflectisse B ad A, la quale cosa fia el proposito.

[2.248] [PROPOSITO 29] Anchora, dato el punto B, el quale se riflecte ad A serà da trovare el punto de la riflessione, e così se manifestarà per la rivolutione de la probatione. [2.249] Ducasi dal punto A [FIGURE 5.2.28a] la superfitie equidistante a la base de la colona, la quale certamente secarà la colona sopra el circulo el quale sia [E]ZI. E ducasi dal punto B perpendiculare sopra questa superfitie, la quale fia BH e trovise in questa superfitie el punto da quale la riflessione H ad A, <la quale sia ZG> ed al punto Z ducasi una linea de la longitudine a quale sia ZG, e dal punto Z perpendiculare ZL, e a questa equidistante dal punto A, el quale sia AM. E la linea HZ perfino che concorerà cum essa, e sia el concorso in lo punto M. E dal punto M, ducasi la linea ad B, la quale necessariamente secarà la linea ZG, cum ziò sia che sia una medesima superfitie cum essa, perché BH fia certamente GZ, serà HZM in la superfitie di quelle, e così MB in quella medesima, la quale se harà secato ZG in lo punto G, serà G punto de la riflessione, la quale certamente <in> se rivolge la probatione predetta tu lo potrai vedere. [2.250] In li spechij esteriori piramidali se la linea comune in la superfitie de la riflessione e a la superfitie de lo spechio fosse la linea de la longitudine [108 verso b] serà lo loco de la immagine como assignato fia ne spechij piani e quella medesima probatione.

[2.251] che non possa essere linea comune el circulo manifesto per per questo che perpendiculare ortogonalmente cade sopra lo spechio sopra la superfitie contingente el spechio in lo punto de la riflessione e lo circulo necessariamente serà equidistante a la base. Ma la superfitie non serà così a la base, non serà ortogonale sopra la superfitie contingente el speculo. [2.252] Ma si veramente la linea comune fosse sectione piramidale alchune imagine serano in la superfitie del spechio, alchune intro lo spechio, alchune di fuori. E quello medesimo modo se assigna el quale fia nel spechio colonare esteriore, e una medesima probatione e como fia dimostrato in lo colonare esteriore, [per la] perpendiculare visuale non si riflette la forma a l’ochio, se no del punto de la superfitie de l’ochio solamente, e questo da uno solo punto del spechio, e lo luoco de la imagine de esso continuo a li luoci de le altre imagine, como fue manifesto di sopra. [2.253] Resta in questi speculi dechiarare che da uno solo punto de esso si facia la riflessione, che così si manifesterà. [2.254] [PROPOSITO 30] [FIGURE 5.2.30] Sia A el viso, B el punto viso, G punto de la riflessione, e ducasi sopra el punto G la superfitie equidistante a la base la quale certamente secarà la piramide sopra el circulo el quale sia PG. E ducanosi le linee AG BG AB, dal punto , ducasi dal centro del circulo la linea che sia GT. El cono de la piramide sia E, dal quale si ducha l’asse el quale serà [ET]. E ducasi perpendiculare sopra la superfitie contingente el speculo in lo punto G, la quale sia HG, la quale cum ziò sia cosa che divida l’angulo AGB per parte equale, caderà sopra AB. Punto del cono [casus] sia Z. [2.255] E dal cono si duca la llinea da la longitudine de la spechio al punto G, la quale sia EG, a la quale linea sia EG a la quale linea ducasi l’equidistante al punto A, la quale necessariamente secarà la superfitie de essa GP. Seghi in lo punto N e sia AN. Similmente dal punto B ducasi certamente GT, la [109 recto a] <la> quale sia NF e ducanosi le linee NG, MG, NM. [2.256] Manifesto che TG secarà NM. Seghi in lo punto Q. Manifesto anchora che MG secarà NF cum ziò sia che seghi la equidistante a essa. Sia el punto de sectione F. E dal punto A ducasi la equidistante HZ la quale sia AL. Manifesto che [manca da: quod BG concurret fino a que sit GC. Palam quod] serà ortogonalmente sopra GT e similmente sopra NF. [2.257] Sumassi, o voi prendasi, la linea comune <a la superfitie> a la superfitie contingente e a la superfitie de la riflessione, la quale sia GD, la quale cum ziò sia che seghi GH, secarà AL. E sia el punto de la sectione D, e serà sopra el punto AL ortogonalmente. [2.258] Manifesto sia per le predette cose perché NF fia equidistante GH. Adonche la superfitie in la quale sono NF, AL fia equidistante certamente superfitie GZH [GTH]. Ma EG certamente [equidistans] BM per la quale cosa sono in una medesima superfitie, la quale superfitie seca le predette, una sopra la linea EG l’altra sopra la linea FL, per la quale cosa FL certamente [equidistans] EG. Ma AN certamente [equidistans] a EG. Ma AN certamente [equidistans] a quella medesima. Adonche FL certamente [equidistans] AN. [2.259] Ma veramente la superfitie contingente el speculo in lo punto G, seca quelle superfitie medesime, una in la linea EG, l’altra in la linea CD. Adonche CD fia equidistante EG. Adonche fia equidistante AN et FL, per la quale cosa serà la proportione AD ad ID [DL] [sicut] NC ad CF. [2.260] Manifesto anchora che l’angulo BGZ equale fia a l’angulo ZGA, e anchora l’angulo GAS [GLA] [et etiam angulo GAL] per la quale cosa [GAL] GLA equale. E GA e GL equale, e GD perpendiculare sopra AL, serà AD equale ad DL. Sera adonche NC equale EF et GC perpendiculare. Serà l’angulo CFG [equalis angulo] CNG. Serà l’angulo NGQ equale a l’angulo MGQ. Adonche dal punto [circuli] PG, il quale fia G, poi el punto M reflectersi ad N, non impaçiante la piramide. [2.261] Dico adonche che el punto B da solo G si porta ad A. Se se dica che da altro punto si poi rifletere , quello serà in la linea de la longitudine la quale fia EG, o che no. [2.262] Sia X [FIGURE 5.2.30a] e da esso si duca la perpendiculare sopra la superfitie contingente el speculo in quello punto, la quale perpendiculare [109 recto b] certamente sera equidistante ZG, e così serà equidistante AL. Serà adonche AL in la superfitie de la riflessione di questa e serà similmente in la superfitie de la riflessione secante se sopra la linea AL. Ma secanosi sopra el punto B la quale cosa fia impossibile, perché B non è la linea AL, la quale cosa fia manifesta per questo, perché FL equidistante BM. Resta adonche che da nisuno punto de la linea EG oltra che AG posassi riflettere B ad A. [2.263] Ma se da altro punto, sia quello U, e ducasi la linea de la longitudine EUO, e prendasi la superfitie equidistante a la base transeunte per lo punto U. Manifesto che AN secarà questa superfitie. Sia el punto de la sectione Y. Similmente BM secarà quella medesima. Sia el punto della sectione K aducanosi le linee KU, YU <LL> YK. E cum ziò sia che quella superfitie seghi la piramide sopra el circulo transeunte per U, ducasi dal punto U la linea al centro di questo circulo, la quale sia ZB [RU]. E ducanosi EK, TY [EY] le quali certamente secarano la superfitie del circulo PG, e sono li punti de la sectione [I e S] e ducanosi le linee IO, SO. [2.264] Como adonche fia provato del punto [M] che no la impaçiante la piramide si poi rifletere al [N a punto G ita probatur de punto K quod potest reflecti ad] punto Y al punto U, ed è medesima probatione. E così l’angulo RUY equale a l’angulo RUK. [2.265] Manifesto perché BK fia equidistante EG e la linea comune a la superfitie [manca da: BGEK … fino a hac superficiei] <del circulo PG, fia la linea MG, adonche la linea EK cum ziò sia che sia in questa superfitie> [riprende da sopra] e seghi la superfitie del circulo PG, cagieva sopra la linea commune la quale fia MG. Serano SMG linea recta [2.266] Per medesimo modo cum ziò sia che la superfitie NYEG seghi la superfitie del circulo PG sopra la linea NG, adonche ING linea fia recta.

Manifesto fia anchora perché la superfitie IOE seca la superfitie del circulo PG sopra la linea IO, e seca la superfitie a questa equidistante, la quale passa per U, sopra la linea YU. [109 verso a] Adonche YU equalmente dista IO. Similmente la superfitie SOEK seca quelle superfitie equidistante sopra due linee SO KU. Adonche SO equalmente dista KU. [2.267] Similmente se se tuole la superfitie secante el speculo sopra la linea de la longitudine EO in la quale sono R, U, O M, secarà quelle superfitie equidistante sopra due linee MO, RU. Adonche queste due linee sono equidistante. Adonche l’angulo SOM equale KUR e l’angulo MOI equale a l’angulo RUY. Adonche l’angulo SOM equale fia a l’angulo MOI, per la quale cosa el punto S si poi riflectere ad I al punto O, non impaciante la piramide. [2.268] Ma già fia provato che el punto M si poi rifletere ad I dal punto G, e così il punto S quod che fia la linea SMG si poi rifletere ad I, [a puncto G. Igitur S refletitur I a duobus punctis circuli PG, quod sit impossibile, scilicet quod punctus B reflectatura ad A ab] alio puncto da alchuno altro punto del spechio, perché AG, [quam a G] che sia el proposito.

[2.269] [PROPOSITO 31] Anchora, dato el spechio piramidale è da trovare el punto de la riflessione. [2.270] Per gratia de lo esempio [FIGURE 5.2.31] sia G el cono piramidale, e sopra esso si facia la superfitie equidistante a la base piramidale la quale sia MNG. A sia el punto viso, B lo centro del viso. A e B o che serano citra quella superfitie o ultra o in essa superfitie, o uno citra l’altro oltra, o l’uno in la superfitie, l’altro citra o ultra. [2.271] Si ultra la superfitie, e dal punto A si duca la superfitie secante la piramide equidistante a la base e ducasi dal punto G, la linea al punto B la quale producta caderà in la superfitie ab A ducta cum ziò sia che sia intra le superfitie equidistante el punto in lo quale cade questa linea sia H. [2.272] Provasi al modo supradicto perché A se referisse ad H da l’altro punto del circulo piramidale, el quale fa la superfitie secante ducta da li punti A H. E atrovesi in quello circulo el punto de la riflessione e sia E. E ducasi la linea AB [e la] linea de longitudine piramidale GE, l’asse de la piramide GO [GT]. [2.273] E ducasi dal punto C linea al centro del circulo la quale certamente caderà sopra l’asse, e sia ET, e serà ortogonale sopra la superfitie contingente [109 verso b] quello circulo in lo punto E. E dutte le linee AE HE secarà l’angolo de esse per parte equale e dividerà la linea AH. Sia el punto de la divisione R. [2.274] Manifesto che GE [ET] efanno [sic] la superfitie secante la linea AB. Sia el punto de la sectione Fe. Dal punto F ducasi perpendiculare sopra la linea GE, e sia FC, la quale certamente serà ortogonalmente sopra la superfitie contingente la piramide sopra la linea GE. Dapoi dal punto A ducasi la equidistante a la linea F, e sia AL. FE concorerà cum l’axe in lo punto K. E dal punto A ducasi equidistante a la linea RT, la quale sia AS, e ducasi dal punto E la linea comune AEH e a la superfitie contingente la piramide in la linea GE, la quale sia EO. Caderà certamente ortogonalmente sopra AS, cum ziò sia che ortogonalmente sia sopra ER [2.275] E ducasi la linea <AC et AHC> [BC] perfino che la predetta necessariamente concora cum la linea AL. Sia el concorso a L [in puncto L]. E ducasi C linea comune a la superfitie contingente e a la superfitie ABL, la quale sia CP. E ducanosi le linee LS PO. [2.276] Manifesto perché la superfitie ALS fia equidistante a la superfitie GEK, e le linee CE [manca da: PO sunt … [2.277] … linea HE] <ac> perfino che concorra cum AS in lo punto S. Manifesto perché la linea ES fia in la superfitie HEG ed è in una medesima linea BS [BL] <BPO sono ne la superfitie contingente> la quale superfitie seca quelle superfitie equidistante in dui linee EC LS. Adonche fia [EC] equidistante LS. Serà adonche PO equidistante LS, per la quale cosa la proportione AC [AO] ad OS como AP a PL [2.278] Ma fia manifesto che l’angulo HEN [HER] fia equale a l’angulo REA. Serà adonche l’angulo ESA equale a l’angulo EAS, et EO perpendiculare serà. Erit AT [AO] equale OS. Serà adonche AP equale PL perpendiculare. ECP perpendiculare sopra AB [AL]. Cum ziò sia che sia perpendiculare sopra FK [FCK]. Adonche CL equale FA [CA], e l’angulo CLA equale a lo angulo LAC. Serà adonche l’angulo HEF equale a l’angulo ACF. Adonche A se referisse ad B dal punto C, che fia el proposito. [2.279] Ma se veramente el centro del viso el punto viso fosseno in la su [110 recto a] perfitie MGN [FIGURE 5.2.31a] sia l’uno in lo punto M, l’altro in lo punto N, e ducanosi le linee MG MN e dividasi MGN per parte equale per la linea UG. Manifesto perché N dal punto G se referisse ad M. Manifesto anche che la linea UG e l’asse de la piramide sono in la superfitie secante la piramide sopra la linea de la longitudine. [2.280] Dal punto U e ducasi ortogonale sopra questa linea de la longitudine, la quale sia UE. E sopra al punto E ducasi la superfitie equidistante a la base la quale secarà la piramide sopra el circulo. Linea comune, a la superfitie UEG e a questo circulo, sia ET. Manifesto che cagierà sopra l’asse e sopra el centro del circulo. [2.281] E di poi dal punto M ducasi equidistante a la linea GE la quale certamente in la superfitie di quello circulo cagia in lo punto H. Similmente dal punto N ducasi equidistante GE, la quale cade in lo punto A. E ducasi AH et CE seghi essa in lo punto K [R] [2.282] Mani[festo] che MH equidistante GE fia in una medesima superfitie cum quella, la quale superfitie seca la superfitie MGN la superfitie HEA sopra due linee MG HA. Adonche MG equidistante HE similmente AN, GE sono in la superfitie secante quella equidistante sopra NG AE. Adonche none [NG] equidista[nte] AE. Similmente la superfitie UGE seca quelle medesime sopra due linee RE, UG. Adonche UG MG equidistante HE, RE, per la quale cosa l’angulo MGU equale a l’angulo HER e l’angulo UGN equale a l’angulo REA, e l’angulo HER equale a l’angulo REA. E così dal punto A si poi riflectere ad H dal punto E.

[2.283] Ma se dal punto A ducasi equidistante UE e l’altra equidistante RE, e ducasi ME perfino che concorra cum la linea equidistante UE, e ducanosi le linee comune como prima e rifaciasi la probatione predetta. Si manifestarà perché N si poi riflectere ad M dal punto E. Serà adonche E punto de la riflessione che sia el proposito. [2.284] E si amedue fosseno citra MGA faciasi la piramide a questa oposita ed è che si protraghano le linee de la longitudine de la piramide già facte e dal punto A ducasi la superfitie secante questa ultima piramide la quale [110 recto b] sia equidistante a la base certamente secarà la piramide sopra quello circulo. La quale sia IZ [YZ]. [2.285] B o che serano in questa superfitie o no, e serà faciase l’operatione dal punto B. E se no ducasi la linea GB perfino che concora cum questa superfitie, e lo concorso in lo punto D. Manifesto perché A se riferisse ad D da alchuno punto del circulo IZ [YZ] interno. Trovasi quello punto como dimo inanci, provaremo, e diremo e insignaremo, non per le cosa poste dinançi, e sia Z e ducannosi le linee DZ AZ e la linea PZ divida quello angulo per equale parte. [2.286] E producasi la linea [Z]G a l’altra piramide la quale certamente pervirà a la superfitie de esso e serà linea de longitudine. E sia la linea ZGE. Manifesto che la superfitie PZE secarà la linea AB. Seghila in lo punto Q e ducasi dal punto Q perpendiculare sopra la linea GE e cagia in lo punto E. E serà perpendiculare sopra la superfitie contingente la piramide sopra la linea [GE]. E sopra el punto E facisi la superfitie equidistante a la base la quale sia AEH, e ducasi dal punto B [D] la linea [equidistans] ZE la quale sia DH, [ concurrens cum superficie illa in puncto H]. E a quella medesima linea sia equidistante AA. [2.287] Manifesto che DB [DH] fia equidistante ZE, e sono in medesima superfitie, la quale superfitie seca le superfitie equidistante sopra due linee DZ HE. Adonche HE DZ sono equidistante similmente AZ AE equidistante. E manifesto che PZ passa per lo centro del circulo YZ, similmente RET per lo centro de l’altro circulo sopra el quale la superfitie AEH seca la piramide. Adonche la superfitie PZER secano due superfitie equidistante sopra due linee PZ RE. Adonche PZ equidistante RE per la quale cosa l’angulo AZP equale a l’angulo DER. E così serà l’angulo AER equale a l’angulo REH, per la quale cosa A se referisse ad H dal punto E. [2.288] Adonche se dal punto A haremo protracto equidistante QE e l’altra equidistante RE, e le linee comune como di sopra, reiteraremo il modo de provare predetto. Manifesto serà como el punto [A] se referisse ad U [B] dal punto E, che fia el proposito. [2.289] E se el punto viso fosse in la superfitie de la equidis [110 verso a] tantia a la base la quale sia sopra el cono G e lo centro del viso oltra questa superfitie serà da trovare el punto più raro [punctum reflexionis] [2.290] Per questo modo sia el centro del viso M [FIGURE 5.2.31], el punto del viso A, e sia MGN la superfitie equidistante a la base de la piramide, la quale secarà la piramide sopra el circulo DEK, del quale el centro T, e dal punto M si duca perpendicularmente, o voi perpendiculare, sopra questa superfitie la quale sia MH e ducasi la linea HT. E dal punto A ducasi a la linea HT dentro al circulo la linea AEQ a ciò che EQ sia equale QT sicondo le cose sopradette, e ducasi la linea AN [TEI] e dal punto H ducasi equidistante ed equale a essa, la quale sia HB e ducasi le linee MB BE. Manifesto sia che la superfitie GTE secarà la linea AM. Sia el punto de la reflectione F, e ducasi dal punto F la perpendiculare sopra la linea GE cadente il lo punto O, la quale fia FOC. E ducanosi le linee MO AO. Dico perché O fia el punto de la riflessione. [2.291] Manifesto fia che HB fia equidistante e fia equale ad TE. Adonche HT fia equidistante ed equale BE. Ma MH equidistante ed equale GT, cum amedue le perpendiculare. Adonche HT equidistante ed equale MG. Adonche MG equedistante ed equale BE, per la quale cosa, MB equidistante GE. [2.292] Manifesto anchora che l’angulo QTE equale a l’angulo QET, e così equale a l’angulo AEI. Ma sia equale a l’angulo IEB. Adonche IEB equale IEA, per la quale cosa A si referisse ad B al punto E. Cum ziò sia che MB equidistante sia GE, se dal punto A se deduca la equidistante FOT e la equidistante ET e rifaciase la figura sopra dicta e la probatione. Manifesto che A se riferisse ad M dal punto O e così fia el proposito. [2.293] E se M sia in la superfitie et A citra [in interlinea] la superfitie, si farà altra piramide oposita a questa. E faciasi sopra A, superfitie equidistante a la base di questa piramide, e trovasi in lo circulo di questa superfitie el punto de la riflessione da li punti interiori e ducasi da quello punto la linea ADG e producasi e trovise [110 verso b] el punto secondo le parte di sopra, e quello medesimo modo de provare. [2.294] e se li punti, zioè el centro del viso e lo punto viso, così se disponga che uno sia citra la superfitie del cono <ad> e oltra sia l’altro. [sit unum] L [aliud] A, la superfitie del cono MGN. [2.295] Ducasi dal punto A la superfitie equidistante a la base secante la spera sopra el circulo DE del quale el centro T, e ducasi la linea LG concorerà certamente cum la superfitie AED. Sia el concorso K. e in lo circulo DE atrovise el punto el quale sia E, si che contingente ducta da quello punto la quale sia SE dividat, per parte equali l’angulo el quale contengono le linee AE, KE. [2.296] E dal punto L ducasi la linea equidistane GE, la quale necessariamente concorerà cum la linea KE. Sia el concorso B. Manifesto che L sia in la superfitie GEH [GEK] e SB [LB] in medesima superfitie equidistante GE. E ducasi la linea REI [TEI]. Manifesto che la superfitie GTE seca la linea LA. Seghila in punto N [U], dal quale se duca la perpendiculare sopra la superfitie contingente la quale sia UOC. E ducanosi le line AO LO. [2.297] Manifesto che l’angulo AES equale sia a l’angulo SEK e cum ziò sia che l’angulo IES fia recto, et SET recto serà [IEA] equale a l’angulo REK [TEK]. E così l’angulo AEI equale fia a l’angulo IEB, per la quale cosa A se riferisse ad B, dal punto E, ma se dal punto A se duca equidistante NO [UO] ed equidistante IT, e rifaciase la probatione se manifesterà perché se riferisse A dal punto O ad L, e così el proposito. [2.298] Manifesto fia adonche per che modo si deba trovare el punto de la riflessione e queste cose che sono dette, se debono intendere in unico viso e nel duplicato viso adviene quello medesimo perché fia medesima forma e medesimo luoco de la forma. Si comprenderà da amedue visi, o voi da amedui l’ochij, e come fia detto in lo spechio sperico esteriore de la forma da dui ochij compresa in quisti spechij per la contiguità apareno medesimi e alchuna volta sono insieme in [111 recto a] [in] lo luoco, alchuna volta si mescolano li luoci de essi in la parte, alchuna volta si separano, o voi dividonsi. [2.299] Ma ogne forma la quale perpendiculare in quisti spechij desende secondo quella medesima ritorna, como di sopra fue manifesto, e quella forma da uno ochio sopra la perpendiculare se divide da l’altro ochio sicondo la linea de la riflessione, sicondo luoci continui de le forme, si che a l’uno e a l’altro viso apare una medesima forma.

[2.300] [PROPOSITO 32] De li sperici concavi. Da li spechij sperici concavi alchuna volta la perpendiculare dal punto viso dutta seca la linea de la riflessione, alchuna volta sia equidistante a essa. Quando seca, serà lo loco de la forma alchuna volta in lo lo spechio, alchuna volta oltra lo spechio, alchuna volta citra. E quando fosse lo loco de la forma citra el speculo, alchuna volta sera tra el viso e lo spechio, alcuna volta in lo centro de viso. E noi demostraremo questo. [2.301] Sia A [FIGURE 5.2.32] El centro del viso, D el centro de lo speculo, e faciase la superfitie sopra questi punti, la quale serà el spechio sopra el circulo el qual circulo sia HBFG. Serà certamente questa superfitie, superfitie de riflessione, perché fia ortogonale sopra ziascheduna superfitie contingente el circulo. E ducasi la linea [AD, et a puncto A ducatur linea] al circulo magiore AD la quale sia AE. Ed al punto D ducasi [d]al circulo equidistante [de] la linea equidistante AE, la quale sia DH, e producasi AD per fino ne punti B, I, e ducasi linea DE. [2.302] Manifesto sia che l’angulo AED fia minore de lo recto perché ED fia diametro, e ziascheduna linea ne lo circulo cum lo diametro fa angulo acuto. E sopra el punto E si fa angulo equale a l’angulo AED, el quale sia DET. Manifesto che ET cagierà intra lo circulo e secarà la linea DH. Sia el punto de la sectione T. Manifesto anchora che l’angulo ADE magiore de l’angulo DET, perché AE magiore AD e così ET secarà AB. Seghilo in lo punto Z. [2.303] E poi dal punto [111 recto b] A ducasi a l’arco [EH] la linea la quale sia AN, e ducasi la linea DN, e sopra el punto N faciase l’angulo equale a l’angulo DNA per la linea NM, la quale necessariamente cagerà intra el circulo e secarà DH. Seghilo in punto M. Manifesto anchora che AN concorerà cum DH fuori del circulo. Sia el concorso L. [2.304] Ducasi anchora dal punto A linea la punto D a l’archo EF el quale sia AG, e ducasi AG e sia l’angulo AGD equale a l’angulo DG[Q]. Manifesto che QD [QG] secarà DH. Sia el punto de la sectione Q. Manifesto che AG concorerà cum DH da la parte F. Sia il concorso O. Che GQ cagia tra D et H, cum ziò sia che l’archo el quale seca GD dal circulo sia magiore de l’archo GH. E se SE duxe la linea GH, l’angulo HGO [HGD] risguardarà el magiore archo de l’angulo DGA. [2.305] Adonche dal punto A ducasi l’archo BF, la linea AC secante DH in lo punto S aziò che sia CS magiore SO [SD] e ducasi DE [DC]. Manifesto che l’angulo DCA fia acuto. E faciase equale a esso, che sia DCK. Manifesto cum ziò sia che l’angulo CDS sia magiore de l’angulo DCS, CK concorerà cum DH, sia el concorso in lo punto K [2.306] Manifesto fia secondo le sopradette cose ch’el punto T si muove ad E, e riferisse ad A. E la perpendiculare dal punto T ducta è AT [TD], la quale perpendiculare fia sopra la superfitie contingente el circulo e fia equidistante a la linea de la riflessione, la quale fia AC. Unde concorre cum quella. [2.307] El punto <AS> Z mo[vetur] ad E, se referisse ad A. E la perpendiculare dal punto Z ducta fia AZ, la quale concore cum AE in lo punto A. Unde luoco de la forma del punto Z serà C [A]. [2.308] El punto M si muove ad N e riferisse ad A. E la perpendiculare ducta dal punto M, la quale fia quello [MD], concurerà cum AN in lo puncto L. [2.309] La forma veramente del punto Q si muove ad G e riferisse, o voi riporta, ad A, e lo luoco de esso serà O, el quale fia oltra [111 verso a] oltra la forma del viso. [2.310] e la forma del punto K si muove ad C e riportassi ad A, la perpendiculare da esso fia KD, e lo luoco de la imagine S. [2.311] Manifesto adonche da le predette che le imagine alchune oltra el spechio, alchune intra el viso e lo spechio, alchune in esso viso, alchune citra el viso, che sia el proposito.

[2.312] Anchora manifesto perché el viso aquista le forme oposita a sé, unde, quando lo luoco de la imagine fosse oltra el spechio o tra el viso e lo spechio, si comprenda la verità di quelle imagine. E quando la perpendiculare dal punto viso fosse equidistante a la linea de la riflessione aparerà certamente la ymagine in lo punto de la riflessione. Perché cum ziò sia che quello punto sia sensuale sumpto el punto de esso intellectuale megio, la immagine de ziascheduna parte di quello punto sensuale oltra el megio sumpta serà oltra el speculo; la imagine de la parte citra el megio serà tra el viso e ‘l spechio e cum ziò sia che tuta la forma de le citeriori e de le olteriore apare una comune forma. Necessariamente la forma di quello punto sensuale se vederà in esso speculo in lo luoco de la riflessione. [2.313] Ma veramente ne le imagine perché lo luoco fosse in lo centro del viso non comprenderà la verità de essa. Unde spesse volte erore viene in così fatti speculi. E che questo sia manifesto riçiese sopra la superfitie del spechio uno legno perpendiculare meno de la metà del semidiametro. E circa [citra] el capo de questo legno sia el centro del viso [et dirigatur visus] al punto de lo spechio, del quale la longitudine da legno magiore che la longitudine del centro del viso dal diametro per lo legno transeunte. Aparerà certamente la imagine de quello legno oltra el viso, né serà certa comprensione de esso. Anchora parerà quasi como arcuata cum ziò sia che non sia in quisti speculi. Adonche non [111 verso b] si comprende la verità de la imagine se no de la quale lo loco fosse oltra el speculo o intra el viso e lo speculo. E quando fosse el centro del viso in la perpendiculare per lo legno transeunte no pienamente comprenderà la forma di quello legno.

[2.314] Ma se el viso fosse in lo diametro de la spera e in lo centro de esso, cum ziascheduna linea ducta da esso al spechio sia perpendiculare sopra el spechio non si comprenderà la forma de alchuno punto, se no del punto de la portione del circulo interiacente le latera de la piramide visuale, la quale dal centro del circulo intendisse essere protensa. Perché la forma de ziascheduno altro punto caderà in lo spechio sopra la linea declinata e necessariamente sia riportata sopra la declinata, per la quale cosa la linea de la riflessione non passarà per lo centro e così non contingerà el centro del viso. [2.315] Ma se el viso fosse in lo diametro e no in lo centro non comprenderà la forma de alchuno punto del semidiametro in lo quale è. Perché l’angulo el quale farano due linee dal punto sumpto in lo diametro dal centro del viso in lo quale uno medesimo punto del speculo non se dividerà per la perpendiculare da l’altro punto del spechio dutta, cum quella perpendiculare tenda al centro del speculo. Se [Sed] la forma de alchuno punto del semidiametro non [in latino la frase è affermativa: perciper poterit] potrà percipere.

[2.316] [PROPOSITO 33] Anchora, viso el punto in così fatto spechio cum ziò sia cosa che non fosse la perpendiculare equidistante a la linea de la riflessione, la linea dal centro del spechio al punto viso ducta così se harà la linea da medesimo centro a lo luoco de la imagine dutta, como la linea dal punto viso al punto che noi habiamo detto de la contingentia se ha a la linea dal punto de la contingentia a lo luoco de la imagine dutta. [2.317] Per gratia de lo essempio sia E [FIGURE 5.2.33] sia C el centro de lo speculo, B il punto viso, A el centro del viso, G el punto de la riflessione, la linea la contingentia ZG. ZG o che concorerà cum EB, o che serà equidistante a essa. [2.318] conco [112 recto a] [manca da 2.318 a 2.382, id est sei propositi] de la proportione HI ad IP ad IN e la proportione HI ad IP et PI ad IN e la proportione HI ad IP como HD ad DP perché divide l’angulo PIH per parte equale. Adonche HI proportione ad UI ma la proportione de HO ad DP [manca da que est HD fino a PI ad UI] ma la proportione de HO ad DP [DT] e DP ad TD. Adonche la proportione TP [DP] ad DT como PI ad UI [2.383] Ma l’angulo OIH è la metà de UIH, ma l’angulo DIH fia la metà de l’angulo PIH resta l’angulo DIO metà de l’angulo PIU.

Ma l’angulo DIO fia la metà de l’angulo TDP perché fia equale a l’angulo FLM. Adonche l’angulo PIU fia equale a l’angulo TDP e la proportione DP ad DT como PI ad UI. Adonche el triangulo UIP simile al triangulo DPD [TPD] e l’angulo UPI fia equale TPD. Serà adonche TPI linea recta perché l’angulo DPT <serà adonche TPI> cum l’ angulo TPO vale dui recti, e coì l’angulo OPI cum l’amgulo OPT vale di recti, E così T se referisse ad H dal punto [I] , e questa certamente serà la probatione o sia T fuori dal circulo, o sia dentro similmente, sunto el punto H, o dentro o de fuori inequalmente dal centro. [2.384] [PROPOSITO 39] Anchora, ducti li diametri BQ, AG e lo diametro EI [EZ] dividente l’angulo BDG per parte equale, dico che qualunqua punto se pigle in l’arco AQ oltra el punto Z da quello si potranno riflectere infinite pari di puncti inequalmente dal centro distanti. [2.385] Per gratia de lo esempio prendasi el punto H e sumasi in lo diametro GD el punto L e dal diametro BD seghesi MD equale LD e ducanosi le linee LM, LH, MH, DH. Punto in lo quale EZ dividi LM in lo punto N [F], {manca da erit LF a : [2.386] Erit igitur} serà adonche LN minore MN. Ma quando l’angulo MFD sia equale FDL e a l’angulo QDZ e a l’angulo MDA equale a l’angulo LDQ e l’angulo HDL equale a l’angulo NDL, serà l’angulo LD[H] magiore de l’angulo MDH. Adonche LH serà magiore MH cum ziò sia che MD DH siano equali LD DH . Serà adonche l’angulo DHL minore de l’angulo DHM. E si fosse equale serà [112 recto B] la proportione LQ ad MH como LN ad MN, la quale cosa sia impossibile. E si fosse magiore [manca secetur ex eo … est minor] [[2.387] Seghesi adonche da l’angulo MHD equale a quello el quale sia TH. Adonche t se referisse ad L dal punto H e TD minore del punto LD. [2.388] Similmente, si se prenda da in li diametri BD GD altri punti cha LM equalmente dal punto D distanti pruovasi similmete che dal punto H si fa insieme riflessione di li punti [L] [M] inequalmente distanti dal centro, e così de infiniti punti in questi diametri sunti, serà simile proportione [probatione] e da ziascheduno punto de l’archo AQ sunto, fuori che dal punto Z.

[2.389] [PROPOSITO 40] Anchora, sunti li punti T, L [FIGURE 5.2.40] in lo diametri di quali la longitudine sia inequale dal centro e riflectasi insieme dal punto H, non serà riflexione T ad L da altro punto de l’arco AQ che dal punto H [2.390] E si da altro punto sia quello punto K e ducanosi TK, LK, DK, LT, TH, NDH . E producasi DK per fino che cagia LT in lo punto C. Manifesto che la proportione LH ad TH com LN ad NT. [2.391] Similmente cum ziò sia che l’angulo TKE sia equale a l’angulo LKE, per la supositione serà la proportione LK ad CK [TK] como LC ad TE ma LH magiore LK , et TH minore TK. Adonche magiore fia la proportione LH ad TH cha LK ad TK, per la quale cosa magiore serà la proportione LN ad NT cha LC ad CT, che manifesto sia essere impossibile. Resta che da altro punto de l’archo AQ che dal punto H non si possa rifletere [T] ad L manifesto adonche quelle che avenghono ne l’archo AQ. [2.392] [PROPOSITO 41] Anchora, sia A [FIGURE 5.2.41] el centro del viso, B el centro del spechio e ducasi el diametro DABG. E prendasi la superfitie in la quale sia AB per qualunqua modo che secarà la spera sopra el circulo el quale fia DLG. Dico che da ziascheduno punto del semicirculo DLG si rifleterano li punti ad A de inequale longitudine dal centro cum esso. [2.393] Per gratia de lo esempio sumassi el punto E [112 verso a] e ducanosi le linee EA EB manifesto che l’angulo AEB serà acuto perché cade in minore arco del semidiametro [semicirculo]. Faciase equale a esso e sia CEB [OEB] e ducasi la linea OE quanto tu voi. Manifesto sia che ziascheduno punto di quella linea se riferisse ad A dal punto E. [2.394] Ducta dal punto B a la linea OE perpendiculare , o che serà perpendiculare quella equale BA, o magiore o minore. Se serà equale tute le linee ducta dal punto B a la linea OE, ultra quella perpendiculare serano magiore le linee BA, così ziascheduno punto de la linea OE, excepto uno, inequalmente distarà dal centro punto A. [2.395] E si veramente la perpendiculare fia magiore, tuti li punti di quella linea più distano dal centro cha dal punto. E se la perpendiculare fosse minore serà da duxere dal punto B due linee da diverse parte de la perpendiculare equale a la linea BA e tute le altre linee o che serano magiore o minore.

Manifesto fia adonche che dal punto E si rifletano li punti ad Adi quali la longitudine dal centro inequale fia a la longitudine da quello medesimo, che sia el proposito. [2.396] Per queste cose sia manifesto che se si prende A fuori del circulo e sia H [FIGURE 5.2.41a] e ducasi el diametro HDBG e due contingente HT, HQ da ziascheduno punto de l’archo TG fuori che a T o G, si potrà fare riflessione ad H di li punti inequalmente distante dal centro cum lo punto H. E serà medesima probatione. [2.393] [PROPOSITO 42] Anchora, per le dette cose serà manifesto che facta la riflessione ad A dal punto C o ad altro punto inequalmente distante dal centro punto A, el diametro in lo quale fosse el punto riflesso cum lo diametro ABG fa due anguli l’uno risguardante l’angulo de la riflessione, l’altro collaterale a esso, el quale colaterale certamente alchuna volta serà magiore de l’altro [maior angulo reflexionis], alchuna volta minore. [2.398] Per gratia de lo esempio ducasi BF perpendiculare sopra EO. BA o che serà perpendicu [112 verso b] lare sopra EA o no. [2.399] Sia perpendiculare. Serà adonche EA equidistante FB. E serano due anguli FBA e FEA e quali a dui recti dutta la linea BO serano due angoli OBA, OEA minori de dui recti adonche serà l’angulo OBG magiore de l’angulo OEA el quale fia angulo di riflessione e cum ziò sia che el triangulo EBF fia equale al triangulo EBA serà BF equale BA, e così OB magiore BA. [2.400] E ducta la linea BN sarano due anguli NBA NEA magiore de dui recti. Serà adonche NBG minore de l’angulo NCD et NB magiore de BA, e così N si referisse ad A dal punto E inequalmente distante da lo centro punto A, e lo diametro OB, cum lo diametro ABG da la parte A fa l’angulo minore [G facit angulum maiorem] de l’angulo di riflessione e lo diametro BN magiore, e così sia el proposito.

[2.401] E si BA non fosse perpendiculare sopra EA ducasi la perpendiculare, la quale sia BK, la quale certamente cagia, sopra AB [Figure 5.2.42a] o soto [FIGURE 5.2.42b], serà medesima probatione. [2.402] Et BF sia perpendiculare sopra EO e ducasi ET equale AB, e ducasi TB. Manifesto che nel triangolo REB [KEB] l’angulo EKB recto equale a l’angulo FEB, Resta el tertio al tertio equale. EB sia lo lado comune ad amidui li trianguli, serano li trianguli equali e serà FB equale KB, <ma altra unito> [sed AK] fia equale FT. Serà AB equale BT e l’angulo ABK equale a l’angulo FBT. [2.403] Agiunto al comune angulo FBA, serà KBF equale TBA. Ma KBF e FEA valeno due recti per la quale cosa [TBA], TEA vale due recti, e così TBG equale fia a l’angulo TEA, el quale fia angulo di riflessione. [2.404] Se adonche dal punto B a la linea ET si duca la linea ultra T, farà cum BG da la parte G minore de l’angulo de la riflessione. E serà quella linea magiore AB perché TB equale AB. [2.405] E la linea <B> dal punto B ducta ad ET citra T farà l’angulo cum BG da la parte, magiore de l’angulo de la riflessione e serà inequale AB, e così sia el proposito [113 recto a]

[2.406] [PROPOSITO 43] Anchora, sia B el centro del viso, G el centro de la spera, ducasi el diametro ZBGD e prendasi la superfitie in la quale sia el diametro secante la spera sopra el circulo ZEH. Dico perché se al punto A se referisse ad B da alchuno punto del circulo, e inequale fia la distantia del punto A dal centro e del punto B da uno medesimo diametro GD da la parte D la facia l’angulo, el quale impossibile fia essere equale a l’angulo de la riflessione [2.407] Sia equale et T sia el punto de la riflessione e sia AG inequale BG, ducanosi le linee TA, TG, TB e faciase el circulo transiente per tri punti A, G, B, el quale necessariamente passarà per lo punto T. Si estra dute le linee da li punti A, B a quello medesimo punti di quello circulo di fuori farasse l’angulo minore de l’angulo ATB. E provarasse essere equale. [2.408] Perché cum l’angulo AG<D>B valerà dui recti e l’angulo ATB, perché fia equale a l’angulo AGD, per la supositione, cum l’angulo AGB vale due recti, e così impossibile. Similmente se el circulo citra T serà caduto, medesima probatione. [2.409] Resta adonche che passi per lo punto T, cum ziò sia che l’angulo sia equale a l’angulo BTG, serà l’arco AG equale a l’arco BG, E così AG serà equale BG. E posto fue essere inequale, e così sia el proposito. [2.410] [PROPOSITO 44] Anchora, sunti in dui diametri EGH, ZGD [FIGURE 5.2.44] dui punti AB ut BG sia magiore AG, dico che el punto se riferisse ad B, da dui punti de l’archo EZ, non serà amedui li anguli de la riflessione minore de l’angulo AGD. [2.411] Prendasi due punti TQ in l’arco EZ da li quali A se riferisse ad B, scilicet T, Q, e ducanosi le linee BF, GT AT, BQ, GQ, e AQ. E se l’angulo ATB minore fia de l’angulo AGD dico che l’angulo AQB non serà minore AGD. [2.412] Sia adonche minore e ducasi la linea GN dividente l’angulo de lo diametri per parte equale e ducasi la linea AB la quale divida GN per lo punto F. Manifesto fia che la proportione BF ad GA como B[F] ad FA. Ma BG magiore GA, serà BF magiore FA. [2.413] Divida [113 recto b] se AB per megio in lo punto K e faciase el circulo transeunte per tri punti A, B, T, el quale circulo non passarà per G perché serabe gl’anguli AGB BTA equali a dui recti, e manifesto che siano minori, cum ziò sia che l’angulo BTA fia minore de l’angulo, per la supositione, AGD. Adonche pasarà sopra G. [2.414] Similmente non passarà per Q, percé sunto el punto del circulo in lo quale fia la linea GQ, seca esso, zioè M, serebe l’archo AM equale a l’arco MB, cum ziò sia che risguardeno equali anguli sopra Q, che rimane impossibile, perché sumpto el punto O in lo quale la linea GT seca questo circulo serà l’arco AD equale a l’arco OB perché risguardano equali anguli sopra T, resta che questo circulo, passi sopra Q e si passarà di sotto serà medesima improbatione. [2.415] Ducasi la linea dal punto O al punto K, la quale certamente cum zio sia che divida la corda AB per parte equale e similmente l’arco AB serà perpendiculare sopra AB. Vero è che l’angulo BAG magiore de l’angulo ABG cum ziò sia che BG magiore GA e l’angulo BFG vale due anguli FAG FGA e l’angulo AFG vale due anguli FBG, FGB. [2.416] Ma AGF equale FGB et F[AG] alchuna volta magiore FBG. Adonche l’angulo BFG magiore fia de l’angulo AFG. Adonche AFG fia magiore de lo recto, per la quale cosa GFB magiore de lo recto. Ma OK sopra FB fa l’angulo recto. Adonche producta concorerà cum GN sopra BF, e di sotto no mai. [2.417] Facto el circulo transeunte per tri punti A, Q, B, passarà sopra G e GQ dividerà l’archo de esso AB par parte equale, ma K divide la corda AB per parte equale. Adonche KO concorerà cum GN e infra BF e sopra el punto G. Adonche prima concorerà cum GN infra FB [supra puncto G]. E già fia improvato. [2.418] Resta adonche che l’angulo AQB non sia minore angulo AGD o di A non si riflette ad B dal punto Q. Simile serà la [113 verso a] improbatione, sumpto ziascheduno punto da l’archo EN.

[2.419] Sumpto el punto in l’arco M [NZ] el quale fia C, e faciase riflessione del punto A ad B dal punto C, che l’angulo de la riflessione sopra C minore di quello medesimo [AGD] [Sicut angulus reflexionis supra T minor eodem] se improva per questo modo. [2.420] Ducanosi AC, BC, GC conviene necessariamente che GT divida KO per l’archo AB, el quale divide dal circulo ABT la linea GC per parte equale e similmente la linea KO. Sia adonche el punto del concorso la linea GT cum KO el punto L. Se duca la linea TC cum ziò sia che due linee GC GT<Z>, siano equale serano due anguli GAT GIT equali e l’uno e l’altro acuto. [2.421] Dutta adonche la perpendiculare sopra GT dal punto T, serà contingente al circulo de lo spechio e producta caderà sopra el termine del diametro del minore circulo, cum ziò sia che l’angulo el quale fa cum GT risguardi el semicirculo del minore. E cum ziò sia che TO cada sopra KO, <h> KO produtta passa per lo centro del minore circulo, necessariamente quella perpendiculare caderà sopra el termine KO producta, et <TG> TC fia più infima di quella perpendiculare, habito lo respecto ad N. [2.422] Adonche ziascheduna linea la quale sia ducta a la linea TC secante lo diametro di quello circulo el quale fia OK caderà in lo punto de la linea TC citra quella perpendiculare. Cum ziò sia che [GC] adonche cada in C seghi OK, serà C citra la perpendiculare e infra l’arco di quella perpendiculare. [2.423] Facto adonche el circulo transeunte per tri punti A, B, C, passa certamente per C e secarà el circulo ABC in dui punti A, B. E quando n’esci dal punto B, CT ritorni in lo punto C, e cum ziò sia che sia citra quello circulo, <non> [necessario] secarà quello in lo tercio punto, che sia impossibile. [2.424] Resta adonche che el punto A non si rifletta ad B da dui punti de l’archo interiacente i diametri de issi, id est, l’archo IZ [EZ], cum ziò sia che l’uno e l’altro angulo de la riflessio [113 verso b] ne sia minore de l’angulo AGD. [2.425] [PROPOSITO 45] Anchora, dico che è da riflettere due punti da sé inequali dal centro da dui punti de l’archo risguardanti essi, zioè li diametri in li quali sono quigli punti interiacente. [2.426] Per gratia de lo esempio, sunti dui diametri in lo circulo de la spera scilicet BD, GD [FIGURE 5.2.45] dividasi de essi per parte equale per lo diametro ED, e in BD prendasi el punto M sopra el punto in lo quale cade la perpendiculare ducta dal punto E sopra DG [BD], sumassi ND equale MD e faciasi el circulo transeunte per tri punti D, N, M necessariamente quello circulo passarà fuori de E, e si per E farebose quadrangulo <a> da quatro punti D, N, E, M, e dui anguli di quello quadrangulo opositi a sé sono equali a dui recti, la qualcosa non serebe, cum ziò sia che la linea EM sia perpendiculare, o veramente, sopra perpendiculare, l’angulo EMT [EMD] acuto. [2.427] E oposito a esso sopra N acuto quia [sic] EN sopra perpendiculare. Simile serà la improbatione se passa el circulo citra E. Passerà adonche di fuori e secarà el circulo de la spera in due punti como T, L. [2.428] E ducanosi le linee MT, DT, NT, ML, NL e dicasi la linea NM secante TD in lo punto F la linea ED in lo punto P. Manifesto cum ziò sia che MD sia equale ND et PD comune, e l’angulo equale a l’angulo, serà triangulo equale al triangulo , e serà l’angulo FPD recto. Adonche l’angulo PFD acuto. [2.429] Ducasi dal punto F la perpendiculare sopra TD la quale sia KF. Manifesto che alchuno punto de la linea NL serà inferiore del punto K sunto in la inferiorità rispecto de T, sia quello punto Z e ducasi la linea BZ per fino al circulo cadente in lo punto del circolo el quale sia C. L’arco NC o che fia minore de l’arco TL o che no fia minore. [2.430] Se non fosse minore prendasi de esso l’arco minore e al termine di quello arco ducasi la linea [114 recto a] dal punto T, e serà quello medesimo. [2.431] Sia adonche NT minore TL. Manifesto che l’angulo TNL serà magiore de l’angulo CTN perché risguarda magiore arco. Seghesi da esso equale e sia MZ e sopra el punto T faciase l’angulo equale a l’angulo C[T]N el quale sia <illegibile> INZ [manca: super punctum T fiat angulus equalis angulo CTN, qui sit OTM]. Cum ziò sia cosa che l’angulo TML sia magiore de l’angulo MTO concorerà la linea TO cum la linea LM. Concora in lo punto O. [2.432] Cum zio sia che l’angulo KAT [LMT] sia equale a dui anguli MOT, MTO, e l’angulo LNT sia equale LMT, perché sopra medesimo arco, l’angulo INZ sia equale a l’angulo MTO, serà l’angulo INT equale a l’angulo MOT, e così il triangulo MOT simile al triangulo INT, similmente el triangulo INZ è simile al TNZ. E così la proportione NT ad TO, como IN ad MO, e similmente TN ad TZ como IN ad NZ. [2.433] Ma TZ magiore TO che così sia manifesto. Sia [R] el punto in lo quale TZ sega HF [KF]. L’angulo RTF sia recto, per la quale cosa l’angulo FRT [FTR] acuto. Adonche l’angulo ETF [OTF] equale a esso fia acuto. Et KF perpendiculare sopra TD, per la quale cosa producta continuerà cum FD [TO], e la linea ducta dal punto T al punto del concorso, de la quale linea è TO, serà equale a la linea TR, e così TO minore TZ, per la quale cosa magiore fia ND [NT] ad TO che NT ad TZ. [2.434] Adonche magiore proportione ad MO che IN che IN ad NZ, per la quale cosa MO minore NZ. Seghesi adonche da NZ equale a esso, che sia NS. [2.435] Perché LND cum l’angulo LMD vale dui recti serà LND equale a l’angulo OMD, e SN, ND equali OM, MD. Adonche OD equale fia SD. [2.436] Ma ZD magiore SD, perché l’angulo LND cum l’angulo EMD vale due recti. Ma l’angulo LMD acuto, cum l’angulo EMD sia acuto. Adonche ZD magiore SD, per la quale cosa ZD magiore OD. [2.437] Adonche O se riferisse ad <se referisse> Z da dui punti T, O [T, L et O et Z] sono inequali in la longitudine dal centro e in diversi di [114 recto b] ametri. [2.438] E che non siano in diversi diametri fia manifesto per questo, imperoché l’angulo SDN equale fia a l’angulo ODM. Agiunto adonche al comune angulo SDM, serà l’angulo NOM [NDM] equale a l’angulo SDO. Ma l’angulo NDM minore de dui recti, per la quale cosa l’angulo ZDO minore de dui recti. Imperò conviene che non siano in uno medesimo diametro, ma diversi.

[2.439] [PROPOSITO 46] Anchora, tolti dui punti i quali sono O, K [FIGURE 5.2.46] e inequalmente distanti dal centro se rifleterà certamente uno da l’altro da dui punti de l’archo rispetiente li semidiamteri in li quali sono ma non da altro punto di quello archo, che da quelli dui. [2.440] Per gratia de lo essempio D sia el centro, K el punto più rimoto a D cha O, AG el circulo, GD, OD diametri, T punto uno de la riflessione. Manifesto per le cose dette di sopra che dui anguli de la riflessione non serano minore de l’angulo ODA neanche equali. Uno adonche serà magiore. Ma <T> angulo de riflessione el quale fia sopra T magiore, e ducanosi OT, DT, KT. [2.441] E da quello angulo seghesi equale a l’angulo ODA, el quale sia OTF, e dividasi l’angulo FTK per parte equale per la linea TE, e dal punto K ducasi equidistante TF la quale certamente concorerà cum TE. Concora in lo punto Z, educasi la linea OK e dividasi l’angulo ODK, per parte equale per la linea DU secante la linea OK in lo punto C, sia KD magiore OD. Cum zio sia che sia la proportione KD ad DO como KC ad CO, serà KC magiore CO. E anchora la linea DT seghi la linea OK nel punto N. Dico perché C caderà tra N e K e no tra N e O, che così si manifestarà. [2.442] L’angulo KCD vale due anguli CDO e C[O]D, e l’angulo COD [OCD] vale dui anguli OKD, COK [CKD, CDK]. Ma l’angulo CDO equale al angulo CDK e l’angulo KOD magiore de l’angulo OKD. Adonche l’angulo KCD magiore de l’angulo OCD, per la quale cosa l’angulo CKD magiore de lo recto e l’angulo CKD [KCD] magiore de lo recto e l’angulo NKD acuto, che così si manifesterà. [2.443] Se fi fa el circulo per tri punti O, T, K, passarà di sotto D [114 verso a] perché cum ziò sia cosa che l’angulo OTK sia magiore de l’angulo ODA serano due anguli [OTK,] ODK magiori de dui recti e la linea ND dividerà l’arco di quello circulo el quale fia OK per parte equale, infra D. [2.444] Se dal punto de la divisione se duca la linea al megio punto de le linea OK, la quale fia la corda di quello arco, serà quella linea perpendiculare sopra OK, cagierà tra C et K, cum ziò sia che CK sia magiore CO e l’angulo sopra N da la parte di quella perpendiculare serà acuto e da la parte C serà acuto, e l’angulo sopra C da la parte O fia acuto. Se adonche T cagia tra N et O impossibile serà quella perpendiculare cagiere tra N e C perché secarebe DC e farebese triangulo del quale l’uno angulo recto e l’altro obtuso. [2.445] Caderà adonche tra N et K e l’angulo N da la parte de la perpendiculare acuto; adonche da la parte C obtuso, e così serà triangulo del quale dui anguli obtusi.

* E questo dico se DT a la perpendiculare concora sotto KD e se la concora sotto TO. Serà una medesima probatione che sarà el triangulo del quale uno lado TO e gli altri due latera equali serà proportione de l’uno ad DO como de l’altro ad TF. * [il paragrafo tra i due asterischi manca nella redazione Smith] [2.446] Manifesto che l’angulo KDT [KTD] fia la metà de l’angulo KTO, ma KTE metà de l’angulo KTF. Resta ETD metà de l’angulo [FTO, sed FTO] fia equale a l’angulo facto ODA. Adonche ETD metà de l’angulo ODA. [2.447] Ma l’angulo ODA cum l’angulo ODF vale due recti e tri anguli <tabuli> [trianguli] ETD due recti. Rimosso EDT comuni, resta l’angulo TED equale a la metà de l’angulo ODA e a l’angulo ODT [ODN]. Ma l’angulo ODT cum la metà dell’angulo ODA fia recto. Adonche l’angulo TED fia acuto, per la quale cosa contraposito sia l’acuto. [2.448] Adonche se dal punto K si duca la perpendiculare ad TE [TZ] medesima [cadet inter] C e Z. E si sopra E cadesse, cum l’angulo TEK sia otuso avirà el triangulo havere dui anguli lo recto e lo obtuso.

Sia adonche la perpendiculare KQ. Dico perché KT se ha ad TF como KD ad DO. [2.449] la probatione TO o che sia equidistante o che concorre cum essa. [114 verso b] Fia equidistante [FIGURE 5.2. 46a] serà l’angulo ODA equale a l’angulo TOD equale a l’angulo OTF. OD e TF o che sono equidistanti o che concorerano. [2.450] Si equidistantes [FIGURE 5.2. 46a]. Cum ziò sia che cagiano tra le equidistante serano equale. E si concoreno [FIGURE 5.2. 46b] fanno el triangulo del quale le latera equale perché risguardano equali anguli e FD seghi quegli latera equidistante a la base, serà proportione de l’uno de li latera ad DO como de l’altro ad FT, e cosi TF equale DO. [2.451] [manca da: Et hoc dico… a … sicut alterius ad TF] Anchora l’angulo TDK [manca da equalis angulo DTO… a … equalis angulo DTK] per la quale cosa DK certamente adonche equale a l’angulo DTK, per la quale cosa DK e TK sono equali. Adonche la proportione TK ad TF como KD ad DO. [2.452] E se veramente DO [TO] concorre cum KD concorerà da la parte A in lo punto P [FIGURE 5.2. 46c]. Sabiamo che la proportione KT ad TF è compacta de la proportione KT ad DP [TP] [TP ad TF. Sed proportio KT ad TP sicut KD ad DP] quoniam, zioè perché DT dividisse l’angulo KTO per parte equale e la proportione TP ad TF como DP ad DO, perché l’angulo ODP equale a l’angulo PTF, e l’angulo sopra P comune serà partiale triangulo simile al tuto. Adonche la proportia KT ad TF fia constituita de la proportione KD ad DP e de la proportione DP ad DO. Ma la proportione KD ad DO è constituita de quelle medesime cose per la quale cosa la proportione KT ad TF como KD ad DO. [2.453] Si veramente DO [TO] concorra cum KD, da la parte G [FIGURE 5.2. 46c], sia el concorso L e dal punto D ducasi la equidistante a la linea KT, la quale sia DZ concorente cum TO in lo punto R. Adonche l’angulo KTD equale a l’angulo DTZ, ma quello medesimo fia equale a l’angulo DTO, per la quale DR sia equale TR, ma perché el triangulo LTK simile al triangulo LZD, serà proportione DR ad RL como KT ad TL, [et ita RT ad RL sicut KT ad TL] ma RT a TL como DK ad DL. Adonche KT ad TL como KD ad DL. [2.454] Ma perché l’angulo FTO equale a l’angulo ODA, serà l’angulo ODL equale a l’angulo FTL, l’angulo sopra L comune serà angulo, o voi serà angolo comune. ODL simile al triangulo FTL. Adonche TL ad TF como DL ad DO e così KT ad TL como KD ad DL et TL ad TF [115 recto a] como DL ad DO, per la quale cosa KT ad TF, como KD ad DO, la quale cosa fia el proposito. [2.455] Ma perché KZ [FIGURE 5.2.46] serà equidistante ad TF, serà l’angulo KZE equale a l’angulo ETF e così el triangulo KZE, simile al triangulo EZF per la quale cosa la proportione KE ad EF como KZ ad TF. Ma KE ad EF como KT [KZ] ad TF a presso a l’angulo sopra T diviso per parte equale. Adonche KZ equale KT. [2.456] Ma vero que KQ fia perpendiculare sopra ER serano tuti li anguli de essi recti e l’angulo ETD fia acuto perché fia la metà de l’angulo. Adonche KB [KQ] concorerà cum TD sia el concorso H, e ducasi la linea EH e dal punto E. Ducasi equidistante ZH [KH] per fino ad DH, la quale sia EC. [2.457] E mutasi la figura per la mutazione [FIGURE 5.2. 46e] de le linee e faciase el circulo transiente per tri punti C, T, E. E producasi KD per fino in lo circulo cadente in lo punto M e ducasi MT serà l’angulo TME e quale a l’angulo ITC [TCE] perché cadeno in uno medesimo circulo e l’angulo TEC equale a l’angulo DHE che sia CHK. [2.458] Serà [secetur] TME equale a l’angulo DHE che sia FMD e lo punto in lo quale FM seca TC sia I. Manifesto che el triangulo IMD fia simile al triangulo EDH, per la quale cosa la proportione HD ad DM como EH ad IM. [2.459] Similmente el triangulo TMD simile al triangulo KHD e la proportione KD ad DT com EH ad IM [2.460] Si al proportione KD ad DT <non> [nota] perché sempre mai sia una medesima permangha, ziascheduno punto de la riflessione sia T ne l’arco ne l’arco EG, perché sempre la linea TD una, e KD similmente la linea EH una in ziascheduna riflessione permane e non si permuta la quantità de essa, per la quale cosa la linea MI, sempre serà una, per la quale cosa el punto S cognosciuto e determinato. [2.461] Si adonche dati tri punti de l’arco EG [BG] si poi fare riflessione serebe da duxere dal punto F al circulo CTE tre line equale, perché serebe proportione KD [115 recto b] ad DT como KH [DT] a ziascheduna di quella. E sia manifesto per le cose dette sopra che se no due equale di pono duxere per la quale cosa da dui solamente si fa riflessione, che sia el proposito.

[2.462] [PROPOSITO 47] Anchora dati due punti K, O [FIGURE 5.2. 47] in diversi diametri inequalmente distanti dal centro fia da trovare el punto de la riflessione. [2.463] Per gratia de lo esempio prendasi la linea ZT e dividasi in lo punto E sia la proportione ZE ad ET como KD ad DO. Perché KD magiore DO, Serà RE magiore [ET]. E dividasi ZE per parti equale in lo punto [Q] e dal punto Q ducasi la perpendiculare sopra ZT, e faciasi l’angulo ETD equale alla metà de l’angulo ODA. Serà certamente acuto. Adonche TD concorerà cum la perpendicula. [2.464] Sia el concorso in punto H, e ducasi la linea DEK che sia la proportione KD DT como KD al semidiametro de la spera. <vuoto> si facia in lo spechio l’angulo equale KDT dico perché T fia el punto de la riflessione. E si tu replicarà la preditta probatione tu vederai manifestamente. [2.465] [PROPOSITO 48] Anchora sunti dui punti in diversi diametri i quali punti sono de inequale longitudine dal centro se serano fuori del circulo e riflectanosi da un’altro punto de l’archo oposito a li diametri, non si rifleteranno da altro de uno medesimo archo. [2.466] Per gratia de lo esempio, siano A, B, punti in diversi diametri fuori del circulo, G el centro, T el punto de la riflessione. E ducanosi BT, AT, GT. BT secarà l’arco del circulo. Sia el punto de la sectione Q. AT similmente secarà l’angulo del circulo. Sia el punto de la sectione M. [2.467] Perché l’angulo BTG equale fia a l’angulo ATG caderà in l’arco del circulo equale, che si manifestarà produtto el diametro TG serà adonche l’archo QT equale a l’arco MT. Sia adonche B, se riferisse ad da altro punto, sia quello punto H, e ducanosi [115 verso a] le linee BH, AH, GH. Seghi BH el circulo in lo punto L, AH in lo punto N. [2.468] Sicondo la predicta ragione serà LH equale NH. Ma habiamo che QT equale TM, che sia impossibile. Resta che L non si rifletta ad A dal punto H, o da l’atro punto de l’archo oposto al diametro oltra a T, o vuoi fuori che a T. [manca tutto il paragrafo 2.469] [2.470] Amplius, si linea duta da uno dei dui punti a l’altro continge el circulo, o tuta sia de fuori, sunto ziascheduno punto in l’arco oposito a li diametri, l’una di le linee da dui punti a quello punto ducte, tuta serà fuori del circulo. E così né l’uno né l’altro di li punti si riflecterà a l’altro, da alchun punto di quello archo ed a uno solo punto de lo spechio de l’archo oposito si rifleterà e così da uno solo punto [speculi].

[2.471] [PROPOSITO 49] E se veramente la linea dutta da uno punto a l’altro seghi el circulo, e faciasi el circulo sopra el centro de lo spechio e quigli dui punti. E quello circulo o serà tuto dentro el circolo o che tocherà esso, o che lo secarà. [2.472] Sia tuto intra. E ducanosi due linee da dui punti ad alchuno punto, de l’archo oposito. E l’angulo lo quale farano serà minore de l’angulo che l’uno diametro fa cum l’altro da l’altra parte del centro, e ziascheduno angulo sia fatto sopra l’archo oposito minore serà di quello angulo. [2.473] Cha l’angulo fatto in lo circulo interiore, per la linea da li punti de l’arco de esso interiacente dutte serà equale a quella, perché cum l’angulo di li diametri sopra el centro vale due anguli. Ma l’angulo de l’arco minore del circolo minore, magiore de l’angulo de l’archo del spechio. [2.474] Adonche in l’archo del circulo del spechio non si farà riflessione se no da uno punto cum ziò sia che già fia detto non si potere fare riflessione da dui punti che sia amedui gli anguli minori de l’angulo di li diametri da l’altra parte del centro. [2.475] E si veramente che quello circulo continga el circulo de lo spechio e l’angulo facto da le linee di quilli punti al punto del contatto [115 verso b] dutte serà equale a l’angulo de li diametri da l’altra parte del centro per la quale cosa da l’altra parte del contatto non si farà riflessione. E l’angulo facto sopra ziascheduno punto <illeggibile>. Adonche l’archo del circulo magiore serà minore di quello, da dui punti de l’archo non si farà riflessione sicondo le predicte cose. [2.476] E si veramente el circulo interiore seghi el circulo de lo spechio, due punti sarano fuori del circulo, o dentro, o uno dentro, l’altro di fuori; o uno in lo circulo l’altro di fuori, o dentro. [2.477] Si fosse di fuori o l’uno in lo circulo e l’altro di fuori, il circulo secante non secarà l’archo del circulo del speculo interiacente a li diametri e così ziascheduno angulo facto sopra quello arco serà magiore de l’angulo de li diametri da l’altra parte del centro. E già fia provato in la precedente figura che quisti dui punti, da uno solo punto de l’arco interiacente si potrano rifletere.

[2.478] E si due punti fosseno dentro, secara el circulo interiore l’arco interiacente in due punti, e resterano de esso dui archi da diverse parti. [2.479] Se l’uno de li punti fosse dentro el circulo, l’altro in lo circulo, o di fuori secarà el circulo l’arco interiacente in unico punto, e ristarà uno arco solamente. [2.480] Se seghi in dui punti tuti l’anguli facti sopra l’arco interiaciente dui punti de la sectione sera magiore de l’angulo de li diametri da l’altra parte del centro ed a questo archo si po fare riflessione forsi da uno punto, forsi da dui. [2.481] E da dui archi i quali restano da tuto l’archo da diverse parte tuti l’anguli serano minore de li anguli de li diametri e da uno de quilli solamente si farà la riflessione. [2.482] E in questo sito si potrà fare riflessione da dui punti de l’archo interiacente li diametri, o da tri. [2.483] Manifesto che da uno punto solamente de l’arco oposito si farà riflessione, e così in questo sito alchuna volta da tri, [116 recto a] alchuna volta da quatro. Ma se l’archo se seghi interiacente el diametro da uno punto solamente dal magiore circulo tuti li anguli fatti in la parte de quello archo inclusa in lo minore circulo serano magiore de lo angulo de li diametri, e potrassi fare riflessione da due punti di quella parte de l’archo interiacente, o da uno. [2.485] Tuti li anguli de l’altra parte de l’arco seranno minori de l’angulo de li diametri e da uno punto solamente di quella parte si farà riflessione, e così, perché da uno punto de l’archo oposito sempre si fa riflessione in questo sito, alchuna volta da tri, alcuna volta da quatro, no da più si potrà fare riflessione. [2.486] Manifesto adonche che li punti de inequale longitudine dal centro alchuna volta da uno punto solamente, alchuna volta da dui, alchuna volta da tri, alchuna volta da quatro, no mai da più si riflecteno.

E quando quilli punti fosseno de una medesima longitudine si potrà fare riflessione o da uno punto solamente, o da due, o da quatro, no mai da tri. [2.487] Per gratia de lo esempio, da uno punto si fa la riflessione apare una imagine, e dove due aparischono due, e dovi tre apariscono tre, dove quatro apariscono quatro. Ma se el punto viso e lo centro del viso fosse in uno medesimo diametro si farà riflessione da tuto el circulo, e lo loco de la imagine serà centro del viso. Ma vero è se el centro fosse nel centro de lo spechio niente vede, e se el punto viso fosse in lo centro del speculo non se vederà perché la forma de esso acederà a lo spechio sopra perpendiculare. [2.488] E quando el centro del viso e lo punto viso fosseno in diversi linee fuori del centro, secarano in diverse parte dal circulo de la spera dui archi. Da uno punto de una solamente si farà riflessione da l’altro forsi da tri, che se el centro de la spera fosse da una parte cent [116 recto b] ro del viso e lo punto viso da una. L’arco che secano li diametri per l’opposizione del capo asconderassi, unde alora da tri punti solamente si farà riflessione. E se si diriza in questo sito el viso a l’arco de uno <vuoto> [reflexionis] solamente, absconderasse l’altro de tri, e apaprirà una imagine.

[2.489] Anchora, se el speculo fosse integro. O voi intero, non serà ivi perceptione. Necessario fia donche che in esso sia abscisione e avirà non mai l’arco interiacente el diametro essere abscisso e alora in esso nulla si vede, per la quale cosa rade volte avirà quatro imagine in questo spechio comprendersi. Unde se alcuno vorà vedere questa pluralità di queste imagine, dispona el viso intro lo spechio circa esso che pocha parte de quello absconda la mola del capo e tua la effigie del spechio cum lo viso discorrà. [2.490] Quando adonche alchuna cosa in questo spechio si perciperà cum lo viso dopio se la linea de la riflessione fosse equidistante perpendiculare serà lo loco de la imagine punto de la riflessione e cum ziò sia che distano da sé li punti de la riflessione rispecto de dui visi aparerano a dui visi due imagine de uno medesimo punto.

Ma se la linea de la riflessione non fossi equidistante perpendiculare e lo punto viso solamente diste da uno viso quanto da l’altro, o pocha diferentia vi serà, serà lo luoco de la imagine de amedui li visi medesimo o diverso, ma pocho distante. Unde aparerà una imagine o pocho meno, o voi quasi una, como fia provato ne li spechi sperici esteriori.

[2.491] Il li spechi colonari concavi alchuna volta la linea comune fia linea recta. Quando la superfitie de la riflessione sia per l’axe, alchuna volta la linea comune fia el circulo, nientemeno quella superfitie fia equidistante a la base, alchuna volta la linea comune è sectione [116 verso a] colunare quando fosse linea recta, serà lo loco de la imagine e modo de la ragione [reflexionis] contro lo centro del spechio como ne spechij piani. Quando fosse el circulo, serà uno medesimo modo el quale fia in li concavi sperici. E quando serà la sectione colonare, o che serà lo luoco de la imagine oltra el spechio, o che serà citrà el viso o in lo centro del viso, o tra el spechio e ‘l viso, o in esso spechio che manifestarà così.

[2.492] [PROPOSITO 50] Sia ABG [FIGURE 5.2.50] sectione ducasi perpendiculare in questa sectione la quale sia DG, perché sicondo le predette cose fia manifesto essere el diametro del circulo, e unica potere essere, cum ziò sia che da altro punto di la sectione non si possa duxere perpendiculare sopra la superfitie contingente. Togha un altro punto, sia B, e ducasi da esso in la sectione linea perpendiculare sopra la linea contingente la sectione nel punto B la quale linea, certamente predetta necessariamente concorerà cum la perpendiculare. Concora adonche in lo punto D, prendasi B, circa el punto G, che l’angulo BGD sia acuto. [2.493] Da poi, dal punto G ducasi in la sectione la linea equidistante BD, la quale sia GH, la quale cagia intra la sectione colonare, perché serà angulo HGD acuto, cum ziò sia che sia equale equale DBG [GBD]. Dal punto G, tra D et H, ducasi la linea la quale necessariamente concora cum BD. Concora in lo punto N. Prendasi el punto tra N e G, prendasi qualunque punto se sia, el quale sia O. Ultra el punto N e prendasi el punto T. Anchora, dal punto G ducasi sopra GH altra linea GZ pure tra la sectione la quale necessariamente concorerà cum BD da l’altra parte. Sia el concorso E. Ducasi GQ linea si che l’angulo QGD sia equale ZGD, e faciasi l’angulo LGD equale a l’angulo HGD e l’angulo LGD equale a l’angulo NGD. [2.494] Manifesto sia che si fosse el viso in lo punto Z rifleterassi al punto Q a esso dal punto G ed el punto de la ima [116 verso b] gine e si fosse el viso in lo punto H riflecterassi ad esso el punto dal punto G e serà lo luoco de la imagine G. Ma si veramente fosse el viso in lo punto O, rifleterassi ad esso el punto N e lo luoco de la imagine M e si fosse M, N serà lo loco de la immagine del punto M, in lo centro del viso id est in N. E se sito fosse in T, serà loco de la imagine tra el viso e lo spechio, perché in N, e così el proposito. [2.495] E queste cose devono intendersi quando el punto viso non fosse la perpendiculare cum esso viso alora cum ziò sia che infinite superfitie si possono intendere, però ziascheduna ortogonale sopra la superfitie contingente el speculo e tute si secano sopra quella perpendiculare, alchune di quelle superfitie farà le linea erecta comune e non si farà riflessione si no sopra quella medesima perpendiculare e lo luoco de la imagine centro del viso, e non si vederà el punto si no quello che serà in la superfitie del viso. [2.496] Alcuna di quelle superfitie fa linea comune el circulo, e li punti tra li quale è lo viso fosse el centro de lo circulo si potranno rifletere al viso ziascheduno da dui punti del circulo, cum zio sia che da ziascheduno se ducano le linee faciente l’angulo cum la superfitie contingente che per parte equale divida la perpendiculare ducta dal centro. E questo medesimo dico de li punti i quali sono in quella perpendiculare e li luoci de la imagine serano in lo centro del circulo. Gli altri punti di quella perpendiculare non si riflecterano al viso oltra el punto el quale fia in la superfitie del viso e quello per quella perpendiculare.

[2.497] e quando fosse la linea comune sectione colonare non si potrano li punti de la perpendiculare rifletersi da alcuni punti de la sectione, cum ziò sia che la forma accedente sopra la perpendiculare si rifleterà sopra la perpendiculare, in la sectione unica fia la perpendiculare per la quale cosa per questa sola si [117 recto a] farà riflessione, e solo el punto de la superfitie del viso, e lo luoco de la imagine el centro del viso.

[2.498] Ma si fosse el centro del viso in lo centro del circulo si rifleterà la portione del viso la quale secano le perpendiculare dutte dal centro del viso al circulo da la portione simili in lo circulo el quale secano similmente quelle perpendiculare, cum ziò sia che ziascheduna linea dutta dal centro del viso al circulo sia perpendiculare si farà la riflessione per la perpendiculare e lo luoco de la imagine el centro del viso el quale fia centro del circulo. [2.499] Anchora faciasi sopra el punto A, l’angulo acuto per ziascheduno modo el quale sia FAG manifesto che concorerà FA cum GZ. Sia lo concorso in lo punto Z. E faciase l’angulo CAG equale a l’angulo FAG, concorerà certamente AC cum GQ. Sia il concorso in lo punto C. Manifesto che C si rifirisse ad Z dal punto G. E anchora si riflecterà ad Z dal punto A, e no da quello punto, o veramente e no da altro punto de la sectione perché non si potrà riflectere si no dal termine perpendiculare e una è in quella sectione perpendiculare, scilicet AG. [2.500] [PROPOSITO 51] Anchora, sunti due punti C, O [in axe columpnis] serà da riflectersi l’uno a l’altro da uno circulo tuto colonare e li luoci de le imagine serà el circulo, alchuna fuori de la colonna. [2.501] Per gratia de lo esempio, [FIGURE 5.2.51] sia EZ axe, T, H due punti sunti in l’asse, AG, BD le base. Dividasi TH per parte equale in lo punto Q e faciase el circulo Q, del quale Q el centro, scilicet LM, el quale serà equidistante a le base, el diametro LM, le latera BLA, DMG. Faciase anchora el circulo KC del quale H sia el centro e ducanosi le linee TL, TM, HL, HM. [2.502] Manifesto fia che de quatro anguli sopra Q, ziascheduno fia recto, et TQ equali QH e QL equale QM. Serano quilli trianguli simili, e l’angulo TLQ, QLH equali, similmente l’anguli TMQ QMH equali. Si adonche fosse H centro del viso riflecterasse el punto T al punto H dal punto [117 recto b] L, similmente dal punto M si adonche si muova el triangolo TLH, inmoto l’asse TH, descriverà el punto L el circulo, o voi uno circulo, e sempre dui anguli TLQ QLH manerano equale e sempre in questo moto si riflecterà T ad H. [2.503] Producasi la linea CHK perfino che concorerà cum la linea TL. E sia el concorso F. Manifesto che F serà lo luoco de la imagine, e cum lo moto del triangulo del triangulo THL si moverà el triangulo TFH e cum questo moto el puno F descriverà uno circulo fuori de la colona. E tuto quello circulo serà luogo de la imagine e questo sia el proposito. E questo medesimo modo de provare serà sumpti ziascheduni de dui punti.

[2.504] Anchora de li punti fuori de la perpendiculare de le cose sunto alcune hano un ymagine <alchune> alchune due, alchune tre, alchune quatro, non più. [2.505] Per gratia de lo esempio sia A el punto viso e faciase la superfitie transeunte per A equidistante a lo spechio farà certamente el circolo in la colona, sia el centro del circulo H, e prendasi in la superfitie del circulo uno altro punto, che sia B, e ducasi el diametro AH, BH manifesto per quelle cose che sono dette ne spechi sperici concavi, perché da uno punto de l’archo el quale intercipeno questi due diametri, si po A riflectersi ad B forsi da dui o da tri ma no da più e da l’arco oposito, si no da uno punto. Sia adonche che A si rifirisse ad B da tri punti de l’arco intercisi e siano quigli punti G, D, E e ducanosi le linee AG, HG, BG, HD, BD, AD, AE, HE, BE. [2.507] Ed al punto A ducanosi in una medesima superfitie le linee equidistante a tri diametri HG, HD, E, che siano AK, AT, AN cum ziò sia che AK sia equidistante HG, concorerà BG cum AK. Concora in lo punto K. similmente BD concorerà cum AF. Sia el concor [117 verso a] so in lo punto. Similmente BE cum AN. Sia el concorso in lo punto N. [2.508] da poi al punto H dirizisse l’asse la quale sia BT. E prendasi in essa ziascheduno punto che sia T, e ducanosi tre linee TK, TF, TA e da punti G, D, E rizise tre perpendiculare sopra la superfitie del circolo GM, DL EQ. Serà certamente equidistante TB. EQ adonche serà in la superfitie del triangulo TBN, adonche EQ secara TN. Seghilo in lo punto D. DL seghi DF in lo punto L. GM KT in lo punto M. E serano queste tre linee perpendiculare de la longitudine de la colona. [2.509] Dal punto Q ducasi equidistante a la linea NA, la quale certamente concorerà cum l’asse UH, perché serà equidistante che sia el concorso en lo punto U, ducasi TA la quale secarà QU perché QU se duxe da lo lato del triangulo equidistante a la base. Sia el punto de la sectione I, e ducasi la QA. [2.510] Manifesto è perché l’angulo BEH equale fia a l’angulo ENA, e l’angulo HEA sera angulo EAN equale, [et angulus HEA equalis] a l’angulo ENA, [et angulus BEH equalis angulus HEA. Erit angulus EAN equalis ENA, per la quale cosa EN equale EA. [2.511] Et EQ perpendiculare. Serà el triangulo QEA equale al triangulo QEN. Serà QN equale QA. E serà l’angulo QA[N] equale a l’angulo QNA. Ma l’angulo DQI [TQI] equale a l’angulo QNA, e l’angulo IQA uguale a l’angulo QAN. Serà l’angulo IQT equale a l’angulo IDQ [IQA], per la quale cosa A si riflette ad T, dal punto de la colona el quale fia Q. [2.512] Per medesimo modo si pruova che si rifirisse A ad T da li punti L, M, e così data de la colona da una medesima parte. [2.513] E no se po da più. Diase l’altro. Dutto uno lado da quello punto cagierà in lo circulo el quale noi habiamo, e provasi el caso el quale fia in lo circulo si potrà riflectere A ad [T replicata probatione , quod est impossibile. [2.514] Ex arcu opposito circuli poterit reflecti A] ad B da uno punto. Sia quello Z, e ducasi la linea HZ ed equidistante a essa AC, e ducasi HZ [BZ] la quale concore cum AC in lo punto C. E rizise la perpendiculare OZ che sarà lo lado de la colona QD equidistatne TB, e ducase TC che secara la linea TZ. Sia la sectione in lo punto O. Provarasse al m [117 verso b] odo preditto che A si rifirisse ad T dal punto O. E se si prende da quella parte l’altro punto de la colona dal quale si possa rifletere per la replicatione de la probatione provarassi che da l’altro punto del circulo cha Z si po riflectere da quella parte, che fia impossibile. [

2.515] Se adonche A da una parte del circulo, o veramente da uno punto de circulo, ad B da l’altra parte se riferissse da uno de la colona da quella medesima; se da dui da dui, se da tri da tri, non si po più. Dal oposita parte, se no da uno circulo solamente e da uno corpo solamente. [2.516] Anchora TB equidista UH, ne ancho si pò prendere la superfitie in la quale sia T cum BH [UH] oltra la superfitie TBUH. Similmente non si po la superfitie prendersi in la quale sia A cun UH, oltra la superfitie AUH, la quale fia perpendiculare T. Adonche non è in una medesima superfitie perpendiculare. Cum ziò sia che non in medesimo circulo né in l’asse perché fia la linea equidistante. La superfitie adonche, in la quale se riferisse ad T fia sectione colonare. [2.517] Ma vero è che produtta ultra T, A da una parte e dall’altra, e sia RP. Cum [sint quatuor sint superficies reflexionis quia a] quatro punti e in ziascheduna siano dui punti T, A, serà RP comune a quatro superfitie de la ragione [reflexionis]. E ziascheduna di queste superfitie seca la superfitie contingente el spechio in lo punto sopra la sua linea comune, no sopra medesima. Linea RP perpendiculare fia sopra una delle linee di quatro <sectione> comune, no sopra due perché perpendiculare sopra la superfitie contingente, e così pervirebe a l’asse. Sono adonche diverse perpendiculare dal punto T a queste quatro linee comune, né è si uno che passa tanto per A. [2.518] E perpendiculare o che serà equidistante a la linea de la ragione [reflexionis], o che concorerà <cum> [118 recto a] cum essa oltra el speculo e intra si serà equidistante serà lo luoco de la imagine e lo punto de la ragione <reflexionis>, como fue provato, e cum ziò sia che siano quatro punti de la ragione <reflexionis> serano quatro imagine. Se concorerà cum ziò sia che siano quatro le perpendiculare, quatro serano li concorsi e quatro serano le imagine.

[2.519] Ancora dati el punto viso [et] el punto del viso, sera da trovare el punto de la riflessione. Per gratia de lo esempio, sia A el punto viso. Faciase la superfitie la superfitie secante la colunna equidistante a la base transeunte per A, e facia [circulum]. B oche ella sia in la superfitie di questo circulo o no. Si vi serà, trovaremo el punto de la ragione <riflexionis> in quello circulo como fue detto nel sperico concavo. E se non vi sarà, ducasi dal punto B la perpendiculare sopra la superfitia di questo circolo, e replichise la supradetta probatione, e trovarassi el punto de la ragione <riflexionis> . E, adibito el viso dopio, una imagine dovinteranno due, ma contingue o comixte, si che aparirano una. [2.520] In li spechij piramidali concavi, la linea comune a la superfitie de la riflessione e la superfitie del spechio, o che serà linea de la longitudine, o che serà sectione piramidale. <Serano i loci de le imagine alchuna volta> [Si fuerit linea logitudinis], serano i loci de le imagine in esso spechio. Se serà sectione piramidale, serano i loci de le imagine alchuna volta circa el viso, alchuna volta ultra el speculo, come fia dimostrato in lo speculo colonare concavo. [2.521] Anchora se in la perpendiculare ducta dal centro del viso a la superfitie contingente la piramide si prende il punto corporeo tra el viso e lo speculo, non si rifleterà la forma de essa al viso per la perpendiculare perché quello punto ocultarà el termine de la perpendiculare e per questo non si rifleterà da esso. [118 recto b] Ma si non serà alchuno punto in la perpendiculare, si rifleterà al viso per questa perpendiculare el punto del viso che di nuovo seca la perpendiculare da esso e quello solo. [2.522] Ma vero è, esistente el viso in questa perpendiculare e in l’asse farassi uno cir[culus] a ziacheduno punto del quale la linea ducta dal viso aparerà perpendiculare sopra la superfitie contingente. Unde che a ziascheduno punto di quello circulo si poterà fare riflessione al viso perpendiculare e faciase riflessione de la parte del viso la quale secano due perpendiculare continente el magiore angulo in esso.

[2.523] Ma se tra el viso e lo spechio fosse l’asse non si farebe ad esso riflessione perpendiculare. [2.524] [PROPOSITO 53] Anchora esistente el viso e punto viso in l’axe serà de rifleterse l’uno da l’altro. [2.525] Per gratia de lo esempio sia H [FIGURE 5.2.53] el centro del viso, T el punto viso, faciase la superfitie secante la piramide transeunte sopra la superfitie [longitudinis] de l’asse, la quale fia ABGH. AB [AH] l’asse [AB], AG le latera de la piramide. Dal punto D ducanosi le perpendiculare sopra la linea AB, la quale sia TQ e producasi perfino ad QL, sia equale QT. E dal punto H ducasi la linea al punto L, la quale secara la linea de la longitudine che fia AB. Seghi in el punto B. E ducasi dal punto B equidistante a la linea TQ, la quale necessariamente pervirà a l’asse in lo punto D e ducasi la linea TB. [2.526] Manifesto perché TB [TQ] fia perpendiculare sopra AB et TQ equale QL. Serà el triangulo BTQ equale al triangulo BAL [BQL], e serà l’angulo QLB equale a l’angulo QTB, e l’angulo QTB equale fia a l’angulo TBD, [e angulus B^DBH equalis est angulo QLB. Igitur Angulus TBD ] equale a l’angulo DBH, e così T se referisse ad H dal punto B, e lo luoco de la imagine L. [2.527] Adonche. Mo[to] el triangu [118 verso a] lo TLB [TLH] descriverà el punto P [B] el circulo de la piramide e da ziascheduno punto di quello circulo si rifleterà T ad H. L fuori del circulo, descriverà el circulo el quale tuto serà luoco de la imagine del punto.

[2.528] [PROPOSITO 54] Anchora, sumti dui punti fuori della perpendiculare del viso e fuori de l’asse in questo spechio, zioè Z, E [FIGURE 2.5.54]. Faciase la superfitie equidistante a la base sopra Z farà el circulo nel spechio. E o che serà in questo circulo, o in altra superfitie. [2.529] Sia in la superfitie di questo circulo e ducasi la linea EZ. Manifestoche Z si riflette da E da quello circulo da una parte e da l’altra da uno, [aut a duobus, aut a tribus; ex alia ab uni] [2.530] Si prenda el punto del circulo dal quale se riferisse as esso e sia Ha el centro del circulo T. E ducanosi le linee, scilicet, ZH, EH e lo diametro TH dividerà quello angulo per parte equale e seghara la linea EZ. Ma [Secet] in lo punto Q, e sia A el cono de la piramide, AB la linea de la longitudine. [2.531] Dal punto Q ducasi la linea cadente perpendiculare sopra la linea AB la quale sia QM, la quale certamente pervirà a l’asse che sia AT. [Cadat] in esso lo punto D, e ducanosi [linee ZM, EM. A punto Z ducantur] in la superfitie del circulo la linea equidistante a la linea QH, la quale sia ZL. Concora certamente EH cum quella. Sia el concorso en lo punto L, e in lo punto H [ducantur] perpendicularmente sopra LZ, che sia HC. [2.532] Da poi in la superfitie del triangulo EMZ ducasi la linea equidistante a la linea QM, la quale sia ZO. Concorra EM cum quella in lo punto O e ducasi la linea LO. Ed al punto C ducasi equidistante LO, che sia CN, e ducasi la linea NM. Manifesto che l’angulo EHQ equale fia a l’angulo QHZ e a l’angulo HZL, e l’angulo QHS [QHZ] equale a l’angulo HZL. Totalmente serà HL equale HZ e questo perpendiculare sopra LZ. Serà triangulo LCH equale al triangulo CHZ e ser LC equale CZ. [2.534] E CN equidistante OL; serà la proportione LC ad CZ como ON ad NZ, per la quale cosa ON equale NS [NZ]. Ancora, cum ziò [118 verso b] sia che ZO sia equidistante QM, serà la superfitie ZLO equidistante a la superfitie QMH. E la superfitie EOL seca quelle due sopra le linee comune le quale certamente serano equidistante MH OL per la quale cosa HM NC equidistante, e fia perpendiculare sopra LZ serà perpendiculare sopra HQ, per la quale cosa CH serà contingente al circulo. [2.535] Adonche la superfitie AHC fia superfitie contingente la piramide e in questa superfitie fia perpendiculare la linea DM. Adonche fia perpendiculare sopra la linea NM, si che NM perpendiculare sopra CO [ZO] e AN equale NZ. Serà MO equale MZ, e la proportione EM ad MO como EM ad MZ. [2.536] Ma EM ad MO como EH ad HL, e EH ad AH como HL ad HZ, e EH ad HZ como EQ ad QZ, per la quale cosa l’angulo EMQ equale a l’angulo QMZ, per la quale cosa Z se referisse ad E [a puncto M]. Si ergo Z refertur ad E a puncto M, dal punto del circulo H<z> se referisse ad esso dal punto de la piramide M. Se dui circuli da due piramide, da tri da tre, se da più da più. E per questo medesimo modo da l’altra parte del circulo si farà proiezione da la piramide como da uno circulo.

[2.537] Ma se E non fosse in lo circulo equidistante a la base transeunte sopra Z . E [FIGURE 5.2.54a] serà certamente o di sopra, o di sotto. Sia di sopra, perché in amedui li loci serà medesima probatione. Ducasi la linea AB [AE] perfino che contingha la superfitie di quello circulo e sia el punto del contacto H, Q el centro del circulo. Manifesto che H si po riflectersi ad Z da alchuno punto del circulo. Sia quello T e ducasi el diametro QT. E la linea HZ secarà questo diametro in lo punto, el quale sia N. E ducasi EZ, e la linea de la longitudine AT. [2.538] Manifesto cum ziò sia che el punto Z sia da una, [119 recto a] o sia da una parte de lo diametro QT, e d’altra E, la linea EZ secarà la superfitie AQT. Seghi in lo punto O. E dal punto O si duca la perpendiculare sopra la linea AT, la quale sia OC, che necessariamente cagierà sopra l’asse. Cagia in lo punto D, e ducanosi le linee EC, ZC. Dico che E si riferisse ad Z dal punto C. [2.539] La probatione: si duca dal punto Z la linea equidistante QT, la quale sia ZF, e producasi la linea HT per fino che concorra cum quella. Sia el concorso in lo punto F. [manca il resto del paragrafo riprende da:] [2.540] Manifesto fia cum ziò sia che la linea ZF sia equidistante QT, e [Z]K equidistante OC, sera la superfitie ZKF equidistante a la superfitie OCT , la quale fia superfitie AQT. E la superfitie HEK [HFK] seca queste due et [da qui il testo è differente] <similmente dal punto Z ducasi equidistante a la linea OC, che sia ZK e producasi la linea ET per fino che concorra cum quello. Sia el concorso in lo punto K. Adonche ET KF sono equidistante, [fino a qui, manca il rimanente del paragrafo in Smith, riprende da:] [2.541] Ducasi dal punto T la perpendiculare sopra la linea ZF la quale sia TP<A>. Manifesto fia cum zio sia che cagia tra due equidistante, serà equidistante a la linea NZ, e così serà contingente al circulo. Adonche la superfitie ATP continge la piramide sopra la linea AT, e la linea OC, fia perpendiculare sopra questa superfitie. La superfitie, adonche, ATQ serà ortogonale sopra la superfitie ATP, e la superfitie ATP seca due superfitie ATQ e [Z]KF, che sono equidistante. Adonche le linee comune de le sectione sono equidistante l’una di queste linee fia CT, l’altra sia PI. E già fia manifesto che ET fia equidistante KF. Adonche PI fia equidistante KF. [2.542] E manifesto è che l’angulo NTZ equale fia a l’angulo ZFT [TZF], e l’angulo HTN equale a l’angulo HTN equale a l’angulo TFZ, et TP perpendiculare, serà FP equale PZ, ma la proportione FP ad PZ como KI ad IZ, serà KI ad IZ, [2.543] E dutta la linea CI, cum ziò sia che la superfitie ATPI [119 recto b] sia ortogonale sopra la superfitie ZKF, serà [CI] ortogonale a essa sopra [Z]K, e serà l’angulo CKZ equale a l’angulo KZC. Ma l’angulo EOC [ECO] equale a l’angulo CKZ, e l’angulo OC[Z] equale a l’angulo CZK. Per la quale cosa l’angulo ECO equale fia a l’angulo OCZ. E così si riferisse ad Z dal punto C, che sia el proposito.

[2.544] E se si prende l’altro punto in lo circulo dal quale H si rifletta ad Z. si provarà che da altro punto de la piramide <cha da C> si rifletta C ad Z, e si riflette HA a Z da tri punti del circulo, si rifleterà E ad Z da tri punti de la piramide, si da quatro da quatro. [2.545] El punto de la riflessione dal quale E si riflecte ad Z fia facile a trovare. Trovato el punto del circulo del quale el punto H si riferisse ad Z, e sera inventione al predetto [modo]. [2.546] E se si dixe che da più punti de la piramide che da quatro possa el punto E riferirsi ad Z [per replicatione predicte probationis poterit ostendi quod punto H refertur ad Z] da più punti del circulo che da quatro e dove advien el punto H reflecti ad Z da alquanti punto del circulo o da uno solamente rifletersi, advirà el punto E rifletersi ad Z da altri tanti punti de la piramide o da uno solo, e così per contrario. Se se dicese el contrario potrassi inprovare al modo preditto. [2.547] Manifesto fia adonche che de li punti, alchuni hanno unica ymagine alchuni dui, alchuni tre, alchuni quatro, ma non fia possibile che più. Ma vero è adhibito el speculo con dopio viso de medesima imagine diversi serano li luoci, la quale diversità per la sua imperceptibilità none induxe in erore.