Vat. lat. 4595: Trattato VI

[119 recto b]

Lo libro sesto. Questo libro se divide in nove parte. La prima parte fia el titulo de la libro. La seconda perché aviene erore al viso per la riflessione. [119 verso a] La tercia in lo erore lo [eve]niente ne spechi <concavi> piani. La quarta in lo erore el quale nasce ne spechij sperici esteriori.

La quinta, ne spechi spechij colonari esteriori, la sesta ne le piramide esteriore.

La septima ne sperici concavi, la octava ne le colone concave.

La nona ne le piramidi concave.

[1.1] Fo manifesto di sopra da i libri superiori el modo de l’aquixitione de le forme ne spechij per lo viso, el sito de le linee de la riflexione o de l’accesso, el sito de la imagine e lo luoci de esse. Vero è che sempre per la riflessione de la forma non si comprende la verità de la forma. Nei spechi concavi aparisse la facia distracta, o distorta, e oculatasi al viso la disposizione sua vera, unde sia fia manifesto erore advinire in la comprensione de le forma per la riflessione. Di questo erore, el modo e la pocha proportione fia da espore e da dechiarare in questo presente libro, e sicondo la diversità de li speculi discutere la varietà di quigli.

[2.1] La comprensione de le forme in lo viso directo già insignato e tute ziaschedune cose le quale per lo egresso da la temperata nel viso, o in quello viso, inducono erore lo libro tertio diligentemente sia exposito. Fassi adonche la comprensione de le forme per la riflessione como per direttamente, e del quale si fa aquisitione in la directione sia anchora fia ancora ne la riflessione como de la luxe e del colore, de la figura, de la longitudine, de la distantia e così de altre simile cose. [2.2] E alchune in la directione de le cose prefisse e cognite a le altre fia colectione, e nasce la coniecturatione e prendesi el giudizio ne l’anima, similmente adviene ne la riflessio [119 verso b] ne. Unde ziaschedune cose el temperamento egresse in lo viso directo fanno erore in la riflessione similmente inducono. E sicondo ziaschedune cose magiore erore adviene in la riflessione per la luxe debile, la quale debilita essa riflessione. E a çiò che generalmente noi parliamo non si po comprendere in la riflessione la verità de la forma como ne la directione per tri impedimenti de la riflessione de lo spechio.

El primo perché nel al riflessione apare la forma de la cosa inanci a l’ochij oposita al viso, cum zià sia che non fia così secondo verità. El sicondo fia che la luxe el colore del corpo de la cosa visa si mescola cum lo colore del corpo del spechio, per la quale mixtura el viso percipe non la verità del colore ed a la luxe de la cosa visa.

El tertio perché essa riflexione, come fue asignato in gli detti di sopra, debilita la luxe e lo colore per la quale cosa ne la riflessione debilitarà, si naschonderà al viso la verità de la luxe e del colore più cha ne la directione. [2.4] Anchora le cose dette di sopra ze insegnereno chomo la quantità del temperamento de essi i quali in lo viso directo inducono erore risguarda la fortecia de la luxe e del colore, più forte de la luxe e del colore serà magiore, e del più debile minore. E cum ziò sia che per la riflessione se debilita la luxe el colore, sera la latitudine del temperamento de ziaschedune cose inducente erore, minore ne la riflessione che ne la directione e la diminuta latitudine de la temperantia induxe pluralità de erori.

Ancora alchune parte minute de corpi si potrano comprendere per directione, le quale per veruno modo sono comprensibile per riflessione. Manifesto fia che la riflessione supera la directione in lo numero e in la magiorità de essi [errorum et numero].

[pars tertia. In speculis planis]

[3.1] In tuti li spechii adviene erore in la comprensione de le forme, ma sicondo la [120 recto a] [va]rietà di li spechij sia la varietà de essi [errorum]. In li spechij piani minore caderà, o voi advirà, cha negl’altri. Così si comprende la varietà de la figura, como la quantità, como in la directione che per la probatione si manifestarà.

[3.2] [PROPOSITIO 1] Proponghasi el spechio piano [FIGURE 6.3.1] e sia a la linea in la superfitie di quello spechio comuno a la superfitie del spechio e a la superfitie ortogonale. Siano H, Z due punti in quella superfitie ortogonale, E el centro [visus] e dal punto H ducasi la perpendiculare sopra la superfitie del spechio la quale sia HL e producasi ut LG sia equale LH. Similmente producasi la perpendiculare ZF che DF sia equale FZ. [3.3] Manifesto da le cose di sopra che H si rizisse ad E dal punto del spechio e lo luoco de la imagine de esso sia G tanto distante da la superfitie del spechio quanto H. similmente Z se riferisse ad E, e lo luoco de la imagine fia D. [3.4] Dutta la linea ZH e similmente la linea GD, ziascheduno punto de la linea ZH che si riferischa ad E. Lo luco de la imagine de esso è tanto <equidistante> quanto esso punto, e così ziascheduno punto de la linea ZH, tanto pare distante quanto dista. Unde se la linea ZH fosse recta, serà la linea DG recta, serà [fuerit] l’arco, serà DG l’arco e di medesima curvità, per la quale cosa la linea HZ aparirà de medesima quantità e de medesima figura de la quale serà suta, che fia el proposito. [3.5] Vero è, si in li punti de la linea ZH fosse la varietà de li colori minutamente variata, non se discernerebbe la variatione, ma una confusione si prentenderà del colore al viso. Unde fia erore ne la luxe e nel colore e nel numero per la riflessione. E quella varietà de le lucie e de li colori forsi si porrebe comprendere directamente, ma fia usito fuori del colore rispeto de la riflessione, non rispecto de la riflessione. Similmente le minuzie se ocultano e che si con<fo> [120 recto b] fondeno ne la riflessione le quale si porebeno discerne ne la <riflessione> directione. [3.6] Per la debilità de la luxe e de lo colore da la riflessione ne viene erore {manca: in logitudinem qui quidem no accideret directe. [3.7] In situ manifeste accidit error ex sola reflexione] in la imagine sinistra comprendimo quelle che escono in lo corpo viso si fosse in lo luoco de la imagine, destre videremo. Quando alcuna cosa all’altra se opone fia contrario insieme el sito, e quello che a uno serà destro a l’altro serà sinistro. Adonche quello che a la cosa visa fia destro fia in le imagine sinistro, el sinistro in la imagine serà al vidente destro, ma si comprende in la imagine al sinistro. [3.8] E generalmente in modo de la luxe e del colore, o del colore o del sito sempre ne viene erore da la sola riflessione. In queste, e ne le altre che inducono erore directamente inducono similmente ne la riflessione, e più facile che el temperamento de ziascheduno meno è al viso la riflessione cha in lo directo. Quisti tuti dovi si pone quello medesimo se intenda in tuti li altri. [3.9] In lo viso directo quando fosse el corpo viso rimoto da l’axe visuali adviene aparere, o veramente, essere veduto due. Quello medesimo avirebe ne spechij la cosa visa elongata da l’axe. [3.10] In li spechij da alchuna longitudine se vederà el corpo meno cha esso sia, che forsi directamente da tanta longitudine pare minore che serebe in verità, ma no minore. Ma anchora acriscimento de minorità perviene apresso al minore temperamento de la longitudine.

[3.11] In la figura no mai adviene erore in li spechij per la ragione per la quale avvengono in lo diretto, ma magiore e più frequente per lo sito. [3.12] Se alchuna cosa da alchuna longitudine [120 verso b] se opona a lo spechio e li capi de esso non si percipano, como la fune o altra cosa così facta, aparirà forsi continuo al spechio. Quello medesimo adviene ne lo viso directo. Ma oponghasi alchuna fune a lo forame e non se vedeno li capi de la fune, no aparirà la distantia tra la fune e lo forame, avenga che sia grande, ed è per lo sito.

Ma se l’altro de li capi se vegha, l’altro non se vederà, forsi quello capo continuo e in ziacheduni dove directamente adviene, similemente de la riflessione.

[Pars Quarta. In speculis sperici (exterioribus)]

[4.1] L’università de li erori in li spechij piani acidenti evene similmente in li speci esteriori e oltra questo, in lo sperici speculi la cosa visa apare minore che ella se sia. E generalmente in quisti speculi niente de la cosa visa si comprende in verità, oltra la ordinatione de le parte, la quale tale apare in lo spechio quale essa sia in lo corpo viso. [4.2] [PROPOSITO 2] Che la cosa visa sempre apara minore in questo spechio cha essa se sia si pruova così. [4.3] Sia AB la linea visa, [Figure 6.4.2] ZP lo speculo, D el centro del circulo, E el centro del viso. A si rifletta ad E dal punto H, B dal punto N. AB producta o passarà per il centro del spechio o no. [4.4] Passi. E ducasi dal punto N la linea contingente el circulo la qual sia NL, dal punto H contingente HM. E ducanosi le linee de la riflessione BN, EN, AB, EH, e producanosi le linee EH EN perfino che cagiano in la perpendiculare, la quale fia AD e li punti del caso [T, Q] como EQ. Manifesto è che T fia lo luoco de la imagine A, Q fia lo locho de la imagine B. Dico perché AB fia magiore QT. [4.5] Manifesto fia da le cose di sopre perché la proportione AD ad DT como AM ad MT. Similmente la proportione BD ad QT como la [120 verso b] proportione HL ad LQ. Ma AD magiore BD e DT minore DQ. Serà adonche magiore proportione AM ad MT cha BL ad LQ. [4.5] Seghi AM in lo punto F si che la proportione FM ad MT sia como BL ad LQ. Serà adonche minore BM ad MT cha BL ad LQ. Seghesi MT in lo punto H, si che la proportione BM ad MK fia como BL ad LQ. K necessariamente caderà intra [M et] Q, perché LQ minore et BL magiore BM. Cum ziò sia adonche como FM ad MT como BL ad LQ e como BM ad MK, sera proportione FB ad KT como BL ad LQ. Ma BL magiore LQ, adonche FB amgiore KT, per la quale cosa AB magiore QT, che sia el proposito.

[4.6] E se la linea AB producta non pervengha al centro, ducasi dal punto A [FIGURE 6.4.2a] la linea al centro che sia AG, e sia G el centro e dal punto B ducasi la linea BG. Lo loco de la imagine A sia el punto D, lo luoco de la imagine B [sit E], e ducasi la linea ED, la quale sia imagine de la linea AB. Dico che AB magiore fia ED, perché ED o che fia equidistante AB o no. [4.8] Si serà equidistante, manifesto fia che è minore. Si non fosse equidistante producasi la linea per fino che concorra cum essa sia el concorso Z e dal punto E ducasi equidistante AB che sia EH. L’angulo EDH o che fia acuto, o che fia recto, o magiore. [4.9] Si serà recto o magiore, serà lo lado OB [EH] magiore ED. Ma EH minore AB, e così sia el proposito. [4.10] E se serà acuto potrà advenire che la forma sia magiore de essa cosa de la quale fia forma, che avenga che la exceda rare volte advirà. E quando avignisse, forsi che si comprendere la forma DA tra le longitudine, che aparerà minore che essa sia, perché questo corpo da questa longitudine forsi apare minore.

[4.11] [PROPOSITO 3] E che la forma in questi spechij alchuna volta apara magiore de la cosa visa, quando fosse magiore comprendasi da tal [121 recto a] longitudine da la quale certa quantità de essa si possa discernere, dichiarassi. [4.12] Sia A el centro del spechio [FIGURE 6.4.3] e la superfitie de la ragione [reflexionis] la quale secarà lo spechio sopra el circulo. Sia quello circulo

AEDB, ED el diametro di quello circulo e producasi ED per fino ad Z, che la multiplicatione EZ in ZD non sia magiore del quadrato AD, sia manifesto, cum ziò sia che sia possibile al diametro agiungiere le linee che tuto el dutto in tale parte addita sia equale al quadrato AD. E dividasi la linea ZD in parte equale in lo punto H. Serà adonche AH la metà EZ. El dutto adonche AH in HD, non serà magiore de la quarta parte del quadrato [AD], al quale el dutto AH in HD sia magiore del quadrato HD, sia el duto AH al punto [manca: in HT equale quadrato HD [4.13] Fiat circulum secundum quantitate AH] e dal punto H si produca la corda equale a la metà de la linea HD la quale sia HQ. E producanosi le linee QA, QT e sopra el punto Q faciase l’angulo equale a l’angulo QAH, el quale sia HQN, cum ziò sia adonche che [in] quisti dui trianguli, quisti dui anguli siano equali, e l’uno comune, zioè QHA, serà el tercio al tercio equale, zioè AQH a l’angulo HNQ. E seranno trianguli simile e serà proportione AH ad HQ como HQ ad HN. Adonche quello che si fa dal dutto AH in HN serà equale al quadrato HQ. [4.14] Ma el quadrato HQ fia la quarta parte del quadrato HD cum ziò sia che HQ sia la metà di HD. Adonche la multiplicatione AH in HN equale fia a la quarta parte de la moltiplicatione AH in HT, per la quale cosa HN è la quarta parte HA. Adonche N cade tra H e T. Resta che el dutto HT in TN sia tre quarti del <quarto> quadrato HT. [4.15] Ma l’angulo QHD acuto fia equale a l’angulo HQA perché risguardano equale latera in magiore triangulo. Adonche l’angulo QHN equale a l’angulo HNQ, [et ita HQ equalis QN.] [4.16] E l’angulo HNQ equale acuto, per la quale cosa l’angulo QNT obtuso. Adonche TQ sup [121 recto b] era el quadrato QN e lo quadrato TN per lo dutto de la linea TN in NH, perché, como disse Euclide, el quadrato de lo lato oposito a lo otuso li quadrati di dui latera. El quadrato è quello che si fa per lo ducto de uno lado due volte in la parte a esso adutta, prociedente per fino a lo luoco del caso perpendiculare dal capo de l’altro lado dutta. E se dal punto Q si duca la perpendiculare sopra la linea HT caderà in lo punto de la megia linea HN, e lo ducto TN in la metà HN due volte equipolente al dutto TN in HN. [4.17] Adonche el quadrato TQ supera el quadrato QN [et] TN, per lo dutto TN in NH. Ma el dutto HN in NT cum lo quadrato NT al dutto HT in NT. Adonche el dutto HT in TN fia excesso del quadrato TQ sopra el quadrato HQ.

[4.18] Anchora, sia la proportione AI ad AH como QT ad AH [FIGURE 6.4.3a]. Serà di quadrato el quadrato e serà la proportione de l’escesso del quadrato AI sopra el quadrato AH al quadrato AH, como ducto HT in TN [manca: ad quadratum QH. Et quoniam quadratum QH quater sumptis efficit quadratum HD, et ductus HT in TN] quatro volte sunto fa el triplo del quadrato HT al quadrato QH e perché el quadrato QH quatro volte sumpto fa el triplo del quadrato HT, serà el dutto HT in TN al quadrato QH como el triplo quadrato HR al quadrato HD. [4.19] Sia HC tripla ad HT, serà el dutto EH [CH] in HA triplo al quadrato HD, ma perché la proportione AH ad HD como HD ad HT serà HT ad AH como del quadrato HT al quadrato HD. Ma la proportione CH ad AH como el dutto CH in HT al duto HA in HT e così che ad A como de triplici quadrato HT al quadrato HD. Ma questa era la proportione de lo escesso del quadrato AI sopra el quadrato AH al quadrato AH . Adonche che [coniunctim proportio CA ad AH sicut quadrati AI ad quadratum] AH como escesso del quadrato AI sopra el quadrato AH [Efficit quadratum AI [4.20] Igitur IA <e così insieme la proportione CA ad AH como [121 verso a] del quadrato al al quadrato al quadrato AH lo escesso del quadrato AI sopra el quadrato AH fa quadrato AI> in megia proportione tra CA e HA di li quale cosa conversa pocho inanci habiamo tocho. Adonche, la proportione CA ad IA como IA ad AH, e medesima serà la proportione de lo risiduo al residuo CI ad CH, e cum ziò sia che IA magiore [H]A, serà CI magiore IH.

[4.21] Anchora el dutto AH in HD minore de la quarta parte del quadrato AD. Adonche HD fia minore de la quarta parte AH cum ziò sia che adonche AH fia magiore che la quintupla ad AH, el dutto de esso in HT facia quadrati HD, serà HT minore de la quinta parte HA, e così HT fia minore [vicesima quinta parte] <per quella parte> HA, e così HT fia minore <EP [oppure]e per> quella parte AH. Ma la proportione CI ad IH como IH ad AH, como detto è. Adonche congiunti serà CH ad HI como IA cum AH ad AH [sic]. Adonche la tercia del primo al secondo como la tercia del tertio al quarto. [4.22] Ma HT fia la tercia parte de la linea TH. Adonche TH ad IH como la tercia parte de la linea IA cum AH a la linea AH. Adonche TH ad IH como due tertie de la linea AH <magiore de la metà TH> [ad lineam AH . Sed quoniam CI maior IH, erit IH minor medietate CH] <così> cum la tertia IH serà minore de la metà TH. Adonche due tertie AB cum minore parte de la metà HT se hanno ad AH como TH ad IH. Igitur IH ad HT como AH [ad] due tertie cum minore parte de la metà HT minore <illegibile> e la so meta minore de la metà [ad duas tertia cum minori parte mediedate HT.] [4.23] Sed HT minor vicesima quinta AH, et eius medietate minor medietate] 25. Ma la linea HA in 25 parte divisa due sue tertie cum la metà di 25 non fanno otto parte de essa. Adonche la proportione IH ad HT [maior quam sit proportio viginti quinque ad octodecim][4.24] [Item, cum HT] fia minore de 25 AH , serà AT magiore 24 25 AH. Ma la linea IH minore de la metà CT, e così minore HT cum la meta HT, [et ita minor una et dimida viginti quinque partium AH] e così [IA] minore de 26 e megia parte prese le parte sicondo le [121 verso b] divisione AH in 25. Adonche la proportione IA ad AT como del minore de 26 e megia <al magiore> 24. Adonche la proportione IA ad AT minore che vintisei e megio ad 24. Ma IH ad HT magiore che 25 ad 18. Adonche IH ad HT magiore che IA ad AT. [4.25] Sia la proportione IM ad MT como NL ad AT, caderà certamente M tra IH. Ancora, magiore serà la proportione IM ad MH che IA ad AH, sia adonche la proportione IL ad LH como IA ad AH. Caderà certamente L tra M e I. [4.26] Anchora tra li punti L, M, ducanosi le linee contingente LB, LG [MG] et ducanosi le linee IB, HB, IG, TG, AB, AG, le quale ultimamente se producano per fino al circulo esteriore. [4.27] E hassi da la quinta de lo libro quinto, che l’angulo IBZ sia equale a l’angulo HBA cum ziò sia che sia la proportione IL ad LH como IA ad AH, serà H lo loco de la imagine in la riflessione dal punto B. E se se dicesse el contrario, che si prenda altro luoco de la imagine, lo improvarà per imposibile, sumpta la imposibilità da la portione che in vero è essere IA ad la linea al punto A a lo luoco de la imagine como IL a la linea dal punto L a lo luoco de la imagine. [4.28] Cum ziò sia che H sia loco de la imagine e LB sia contingente sopra AB, producta HB farà angulo de la riflessione equale a sé colaterale e perché IB perpendiculare sopra ABZ, restarà l’angulo [I]BL equale a l’angulo LBH per medesimo modo serà l’angulo ZG [IZG] equale a l’angulo TAG, e cum ziò sia che MG sia perpendiculare serà l’angulo IGM equale a l’angulo MGT.

[4.29] Anchora producasi dal punto H <e> [ad] la linea AB linea equidistante IB che sia HP e dal punto T equidistante IG la quale sia TR. Serà l’angulo IBZ equale, como fia detto di sopra, a l’angulo HPB, ma l’angulo IBZ equale como detto di sopra a l’angulo HBA, e così dui anguli HBA [122 recto a] HPA [HPB] sono equali per la quale cosa due latera HB HP sono equali. Similmente TR equale TG. Vero è che l’angulo HPB acuto, cum ciò sia che fia equale a l’angulo de la <ragione> [reflexionis]; serà l’angulo HPA obtuso e sera HA magiore HP, e così magiore HP. Similmente serà TA magiore TG.

[4.30] Anchora, perché HB equidistante IB, Serà proportione IA ad AH, como AB ad AP. <Serà similmente proportione IA ad HA como AB ad AP, ma IA ad AT como AH AR,> [sequenza di proporzioni differente, rispetto Smith] cum ziò sia che AB sia equale AG. Adonche dal primo serà la proportione AH ad AT, como AP ad AR. [4.31] Ma vero che l’angulo HPA obtuso, el quadrato HA excederà el quadrato HP el quadrato AP cum a la multiplicatione AP in la linea ducta dal punto [P] perfino a lo luoco de la perpendiculare ducta dal punto H. Questa perpendiculare ducta dal punto H cagierà in lo punto megio de la linea PB cum HB, HP sono equale, e così el quadrato HA [excedit] el quadrato HP, el quadrato HP [AP] in la moltiplicatione AP in PB. E così el quadrato HA excede el quadrato HP in multiplicatione AB in AP, perché el dutto AP <cancellato> AB [AP] in PB, cum lo quadrato [AP valet ductum AB in AP]. Similmente [quadratum] AT excede el quadrato TR in lo dutto AG in AR, o AB in AR, che sia una medesima cosa. [4.32] Ducasi adonche la linea AB in due linee AP, AR e provirano due excessi, adonche la proportione de lo excesso ad lo excesso, sia, o voi, como AP ad AR, per la quale cosa la proportione de lo excesso, per la quale cosa AH sopra el quadrato HP a lo excesso quadrato AT sopra el quadrato TR como AH ad AT e cum ziò sia HP sia equale MB [TB] et TR, TG serà proportione de lo excesso del quadrato AT sopra el quadrato TG, como AH ad AT. [4.33] Ma multiplicatio AH in HU fia equale al quadrato HB. Adonche multiplicatio AH in AN serà excesso del [122 recto b] quadrato HA sopra el quadrato HB. Adonche multiplicatione AH ad AT como de multiplicatione AH in AU a lo excesso del quadrato AT sopra el quadrato TQ e se sue linee AH AT si ducano in AU e serà proportione AT como la moltiplicatione AH in AU a moltiplicatione AT in AU. Adonche la moltiplicatione AT in AU fia excesso del quadrati AT sopra el quadrato TG. Adonche serà multiplicatione HA in HU equale al quadrato HB e multiplicatione AT in TA equale al quadrato TG. [4.34] Anchora, l’arco BG dimegisi per parte equali in lo punto O. E ducanosi tre perpendiculare sopra la linea AH, scilicet, BF, OY, GK, e dal punto G ducasi la linea equidistante HA la quale sia GS, ed al punto B si duca la perpendiculare sopra AG, la quale sia BG [BX]. Questa BG [BX], si certamente fia producta per fino al circulo, divida la linea AB [AG] quello per parte equale, e l’arco del quale serebe la corda. E così si secarebe l’altro arco, equale a l’arco BG, perché altro arco risguardarebe l’angulo GBG [GBX] e così l’angulo GBG [GBX] [manca da est medietas anguli … fino a … Igitur anguls GBX est ] equale a l’angulo TAG [OAG], e dui anguli BLG, BQG [BSG, BXG] recti. [4.35] Se s’intenda el circulo sopra BG transeunte per, scilicet passarà, per Q, e farassi, SQ. [per X, et fiet arcus SX] Sopra el quale caderà dui anguli QBS, QGS [XBS, XGS]. Adonche, quisti dui anguli sono equali ma l’angulo GAY equale a l’angulo QGS [XGS] per la equidistanza delle linee e così l’angulo GAY equale a l’angulo QBS [XBS]. Como detto fia l’angulo GBQ [BGX] equale a l’angulo TAG [OAG], serà angulo TA [OAY] equale a l’angulo GBS e serà el triangulo TAY [OAY] simile al triangulo GBS. Adonche la proportione GB ad US [BS] como OA ad AY.

[4.36] Anchora, cum ziò sia che l’angulo AHB sia acuto, el quadrato AD minuisse da li quadrati AH, HB [122 verso a] quanto fia quello che si fa dal dutto AH in HF [questo come numerosi altri indici sono seguiti dal suffisso bis, che in Smith è indicato con un 2. La mancanza del suffisso nella traduzione volgare inficia la comprensione del proposito din corso di dimostrazione], sicondi che dixe Euclide. Adonqua quanto AH cum lo quale HB supera el quadrato DA, che fia equale AB, in lo ducto AH in HF bis. <vuoto> E così in lo duto AH in HD bis et AH in DF bis. Ma la multiplicatio AH in HD bis cum lo quale fia AD fia equale al quadrato AH cum lo quadrato HD. E così ablato el comune quadrato AH [AB] ristarà el quadrato HD cum lo dutto AH in FD bis equale al quadrato HB. [4.37] Ma la multiplicatione AH in HT equale fia la quadrato HD, e la multiplicatione AH in HU equale al quadrato HB. Serà adonche multiplicatione AH in HU equale multiplicationi AH in HT e multiplicatione AH in DH [DF bis]. Dovi sutratto el duto AH in HT la quale ponemo comune a l’una e l’altra multiplicatione, ristarà multiplicatione AH in TU, fia multiplicatione AH in DF bis. Adonche TU fia dupla OF [DF].

[4.38] Anchora cum ziò sia cosa che l’angulo ATG fia acuto, sicondo el predetto modo, serà el quadrato AT cum lo quadrato TG equale al quadrato TG equale al quadrato AD cum lo dutto AT in TK bis e così cum lo dutto AT in TD bis e in DK bis. E provarassi al modo predetto che lo quadrato TG e[quale] fia al quadrato TO [TD] cum AT in DK bis, ma lo dutto AT in TU equale al quadrato TG, e così equale al quadrato TD cum lo dutto AD in DK due volte [bis]. [4.39] Fia dutto AT in TE equale al quadrato TD. Resta adonche ch’el dutto AT in EU sia equale al dutto AT in DK bis, per rimotione del comune ducto, che fia AT in TE. Adonche EN [EU] fia dupla ETF [DK]. [manca Sed iam dictum est quod TU est dupla DF] Resta adonche TE dopio FK. [4.40] Anchora, la proportione AH ad HD duplicata, [HD] fia megia in la proportione tra quelle, cum lo quadrato de esso sia equale al dutto [A]H in HT. E similmente la proportione AT ad TE como AT ad DT duplicata. Ma magiore fia la proportione AT ad TE che AH ad HD. Adonche magiore fia la proportione [AT] ad TE cha AH ad HT e perché AH [122 verso b] magiore AT, serà magiore [HT ad] TE. Ma TE dupla FK. [4.41] Anchora, como deto è, la proportione BG ad <da sicut> GS como OA ad OY. [manca: Erit proportio BG ad OA sicut GS ad OY]. Ma OA equale BA et GS equale FK per la equidistantia. Sera proportione BG ad BA como FK ad OY.

[4.42] Anchora, IH minore de la metà CH, et TH tripla HT. Serà IH minore HT e del megio de esso. Ma AT [HT] minore del quadrato [minor quinta] HD. Adonche IH minore ID [TD], molto minore ND,del quadrato MI minore ND [quare MI minor ND]. E manifesto fia per questo [I] caderà tra H e F. [4.43] Anchora quello che si fa dal dutto ES in SO [EZ in ZO], non è magiore del quadrato AD, adonche quello che si fa dal dutto EM in MD fia minore del quadrato AD. E perché MG fia continente [contingens], che fi fa dal dutto AM [EM] in MD fia equale al quadrato ING sicondo che dise Euclide. Adonche MG fia minore AD. Adonche MG è minore AG. [4.44] Anchora, dui trianguli AGM MGK fanno uno angulo comuno, e l’uno e l’altro de essi ha uno angulo recto. Adonche sono simile, per la quale cosa la proportione MK ad KG como MG ad GA, e così MK minore KG. Et cum ziò sia che OY sia magiore GK, serà HD minore PI [OY]. [4.45] Anchora AH ad HD [manca da: sicut HD … fino a: HD sicut] QH a la metà HT [cum sit QH medietas HD] e così AH ad HD commo QH [ad QH sicut HD] a la metà HT cum ziò sia che QH sia la metà de HD e così AH ad QH como HT a la metà HT [et ita QH ad AH sicut medietas HT ad HD] Ma la metà HT magiore FK et HD minore OY. Adonche la metà HT ad AH magiore FK ad OY, per la quale cosa serà QH ad AH magiore FK ad OY.

[4.46] Anchora, la linea AQ seca el circulo EBD, fia el punto de la sectione Q, e ducasi la linea DQ, la quale serà equidistante QH, serà proportione QH ad HA como QD ad DA, e così QD ad DA magiore cha FK ad <illegibile> [ad OY]. Ma FK ad OY como GB ad BA serà [123 recto a] adonche magiore QD ad DA cha BG ad GA, e così <z>QD magiore BG, e l’archo<z>QD magiore <BG> de l’arco GB.

[4.47] Anchora, producasi AQ per fino al punto S che sia AS equale AI, e ducasi la linea sopra la quale serà equidistante QH e serà proportione SI ad QH como IA ad AH. Ma di sopra sia posto che IA ad AH como TQ ad QH. Serà SI equale TQ. [4.48] Anchora mutise la figura a schifare la intricatione moltiplichissi e per manchamento de le litere a distintione de li nomi. Cum ziò sia che IA sia equale a la linea che noi habiamo posito, o veramente detto, AS, faciase el circulo sicondo la quantità de esse [FIGURE 6.4.3b. E in loco de S poniamo nome N, producanosi AG, AB perfino a questo circulo e siano ABC AGK [AGR]; loci litere Q poniamo F. Dicto è perché l’arco DF magiore fia de l’arco BG, sia l’arco BM equale a l’archo DF. E duchasi la linea ANM [AMU] e le linee IM, NM e la linea QM, la quale si produca per fino al circulo esteriore. E cagia in lo punto S [Z] e ducanosi le linee ZA ZG. [4.49] Cum ziò sia che l’arco BM sia equale a l’arco DB [DF]. Serà l’angulo NAM equale a l’angulo IAB, e le latera a le latera equali. Serà NM equale IB. E perché proposito fue di sopra AQ equale AH seranno AQ, AM equali HA, AB e l’angulo a l’angulo. Serà QM equale HB, e serà l’angulo QMN equale a l’angulo HBI, perché due latera de esse equali a due de quello. E la base la quale fia IH equale a la base NQ, l’angulo NMU equale a l’angulo IBC. [4.50] Equale a l’angulo HBA. E l’angulo HBA equale a l’angulo Q[MA]. Serà l’angulo NMU equale a l’angulo QMA. [manca da: Et quoniam fino a: angulo QMA] equale a l’angulo MNS [MNZ] , per la quale cosa el punto N se referisse ad S [Z] dal punto M e lo luoco de la imagine de esso Q. Questo nientemeno mancha alla probatione, che sia manifesto tuto SM [MZ] essere [extra] lo circulo, che così serà chiaro. [4.51] Manifesto fia che la contingente ducta da lo punto B cagierà tra I et H e la rimotione del punto B dal punto H quanta fia [123 recto b] el punto M dal punto Q, et IH equale NQ. Adonche contingente ducta dal punto M caderà tra N e Q. Adonche QM seca el circulo, per la quale cosa tuta MZ fuori del circulo, e così el proposito.

[4.52] Anchora, perché l’angulo NMU equale a l’angulo NMS [NMZ], serà archo NU equale a l’arco NS [UZ]. Serà l’angulo NAU equale a l’angulo UAS [UAZ], ma già fu manifesto che l’angulo NAU equale a l’angulo IAC. Serà equale a l’angulo SAU [ZAU]. [4.53] Anchora, BAG o che serà equale a l’angulo GAM, o che serà minore, o magiore. Si equale. Si adonche <ba> [da l’]angulo IAB sotrà <da> l’angulo BAG e da l’angulo ZAU l’angulo MAG rimaranno l’angulo IAB [IAG] equale a l’angulo SABG [ZAG]. Serà IG equale SG [ZG] e lo triangolo a lo triangulo, e serà l’angulo IGA equale a l’angulo SAG [ZAG]. Ristarà l’angulo IGR equale a l’angulo TAG. [Erit angulus TAG] equale a l’angulo SGR [ZGR]. Si adonche <s>TG si produca, virà ad S [Z], per la quale cosa TGS [TGZ] linea recta. Adonche I dal punto G si rifirisse ad S [Z], e lo logo de la imagine de esse T. [4.54] Sia adonche Z el viso si rifleterano ad esso dui punti N, I da dui punti M, G, e i loci de le ymagine li punti T, Q. La linea TQ serà imagine de la linea IN, dechiarato fue di sopra perché TQ equale fia IN, e così poi avinire in quisti speculi la imagine essere equale a la cosa visa.

[4.55] Se l’angulo BAG fosse magiore de l’angulo GAM serà l’angulo ZAG magiore de l’angulo IAG. [Sit angulus KAG equalis angulo IAG]. Perché el punto K più dimisso di li punti [Z] e lo punto [Z], M più dimisso G. La linea KG secarà la linea [ZM]. Seghille in punto L. Adonche existente el viso en lo punto L si riflecterà N ad esso dal punto M e lo luogho de la ymagine Q. Si riferisse ad esso I dal punto G, lo luogo de la imagine T, sicondo la priore proportione [probationem]. E così TQ imago IN, che fia el proposito, [4.56] Ma [123 verso a] se l’angulo BAG fosse minore de l’angulo GAM, serà l’angulo ZAG minore de l’angulo IAG. Ma l’angulo EAG [OAG] equale a l’angulo IAG e producasi la linea OG. Manifesto sia che I si rifirisse ad O, dal punto G.

La linea OG o che secarà la linea ZMQ fuori del circulo del spechio, o no. [4.57] Se essa seghi di fuori e in lo punto de la sectione fosse el viso, si rifirisse ad esso dui punti I, N, e li loci de le imagine T, Q, e così ritorna el proposito. [4.58] Ma si forsi la linea OG secarà la linea ZMQ intra lo circulo, niente si potrà adaptare la predicta probatione. Ma dico che questa totale superfitie serà da trovare el punto [ad quo] se riferiscono dui punti I, N, da dui speculi, e la imagine TQ. [4.59] Per gratia de lo esempio, manifesto che l’angulo NAZ dopio a l’angulo IAB, e l’angulo IAO dopio de l’angulo IAG. Sicondo le predicte cose el angulo NAZ none exciedi l’angulo IAO in angulo magiore de l’angulo NAI. E dui anguli OAI ZAN magiori del tertio NAZ, e dui ZAN NAI magiore del tercio IAO. Habiamo adonche tri anguli di quali ziascheduno dui magiori del tercio. [4.60] Adonche de quigli è da fare uno angolo corporale [FIGURE 6.4.3f]. Faciasi quello angulo sopra A, [e sit linea SA erecta super A] el angulo IAS si fa equale a l’angulo IAO, el angulo NAS equale a l’angulo NAZ, l’angulo UAI rimanerà inmoto. E faciasi la linea AS equale a le linee AN, AI, le quale tutte sono equale. [4.61] E producanosi le linee TS, QS. Manifesto che l’angulo TAS equale a l’angulo TAO, e dui latera a dui latera. Serà la base TF equale a la base TO, e lo triangulo a lo triangulo e cosi l’angulo GAT equale a l’angulo STA. Similmente l’angulo QAS equale a l’angulo QAZ, e li latera a le latera. Serà el triangulo equale al triangulo e l’angulo MQA equale a l’angulo SQA. [4.62] divida [123 verso b] si l’angulo TAS per parte equale per la linea AY; sia Y el punto in lo quale quella linea secarà la linea TS. Manifesto che con ziò sia che l’angulo IAG sia la metà de l’angulo IAO, serà l’angulo TAG equale a l’angulo TAY, e l’angulo GTA equale YTA, e l’uno lado comune, scilicet TA. Serà TG equale TY e lo triangulo il triangulo, e serà AY equale AG e così [Y] in la superfitie de la spera. Adonche l’angulo IAG equale a l’angulo IAY, e le latera a le latera. Serà el triangulo equale al triangulo e serà AGI equale a l’angulo AYI. La linea ZY producta serà equale IG. [4.63] E producasi AI fuori de la spera perfino al punto P. Ristarà l’angulo IGR equale a l’angulo IYP. Ma vero è, perché TS sia equale a TO et TY equale a TG, resta GD equale YS. Adonche AY, YS equali AG, GO e la base AS equale a la base AO. Serà el triangulo equale a lo triangulo. Serà l’angulo AYS equale a l’angulo AGO. Resta l’angulo SIP [SYP] equale a l’angulo OGR. Adonche dui anguli IGR, OGR sono equali a dui anguli IYP e SYP. [4.64] Ma la linea AS secara la spera, sia el punto de la sectione [O]. Adonche tri punti S [O], I, D, sopra in la superfitie de la spera, per la quale cosa la linea OYD fia parte a li circuli de la spera, ed è la linea comune a la superfitie de la spera ITASP, per la quale cosa lo punto I si rifirisse al punto F, dal punto I e lo luogho de la imagine T.

[4.65] Similmente, diviso l’angulo NAS per parte equali per ATZ [AZZ] provarassi per lo modo predetto perché QZ fia equale QM e AZ equale AM et ZS equale MZ e dui anguli MRZ [NZZ] e SCZ [SZZ] equali a dui anguli NMU SMN [ZMU]. E così N si rifirisse ad S dal punto [Z] e lo luogo de la imagine Q, e così TZI [TQ] e la imagine YN [N], che fia el proposito. [4.66] Anchora se dal punto I se duca la <per> [124 recto a] <o> perpendiculare sopra NA, cada tra N e Q, no fuori de N, cum ziò sia che l’angulo INA sia acuto perché equale a l’angulo NIA, e si cadesse la perpendiculare fuori N serebe l’acuto magiore de lo recto. Farà adonche quella perpendiculare l’angulo recto super NQ, el quale angulo risguarda la linea IN, per la quale cosa la linea IN magiore de la perpendiculare, per la quale cosa quella perpendiculare minore EQ [TQ] [4.67] [El] Punto NQ, in lo quale cade la perpendiculare si riflette al punto [S], ma la imagine de esso cagierà in la linea NA sopra al punto Q, perché quanto più rimoti sono li punti i quali si riflectano, tanto i loci de la imagine più accedono al centro del circulo, da 10 di questi quadrato [ex decima quinti huius]. [4.68] E qualunque linea se duca dal puto T ad alchuno punto NQ sopra [Q] serà magiore TQ. Adonche la imagine perpendiculare serà magiore de essa perpendiculare. Per medesimo modo qualunqua linea se duca dal punto I ad NQ tra questa perpendiculare e IN serà la imagine de essa magiore de essa. [4.69] Ma determinise questo più certo. Il punto [N] se rifirisse ad S [Z] dal punto M e lo luogho de la imagine Q. La linea la quale seca el circulo in lo punto, che sia E. Contingente adonche dutta dal punto Z al circulo caderà sopra el punto alchuno de l’arco ME, e quello comune cagierà sopra Q, perché el punto sopra el quale caderà serà fine de la contingentia e fine de la imagine, e li punti soto quelo punto, el quale fia fine de la contingentia, non si potrano riflectere. I superiori si potrano. [4.70] Adonche la perpendiculare ducta dal punto Q [I] se caderà sopra el punto el quale sia fine de contingentia, se riferisse al punto in lo quale cade, e serà la imagine perpendiculare magiore de la perpendiculare.

Ma se la perpendiculare cade in lo punto de la contingentia, o di sotto, non si riferisse el punto in lo quale cade per la quale cosa nisuna serà imagine pe [124 recto b] rpendiculare.

Ma pure sia vero che el fine de la contingentia [est] tra N, serà tra il fine de contingentia e N infra [infiniti] li punti di quali ziascheduna si rifleterà e la imagine de ziascheduno sopra M [NQ], e da ziascheduna linea ducta dal punto I a ziascheduno di quelli punti serà la imagine magiore de la linea de la quale sarà stata imagine. [4.71] Adonche adviene in quisti speculi la imagine essere alchuna volta equale a la cosa visa, alchuna volta [maiorem] la quale cosa serà da essere expianada. Ed de questa cosa la esplanatione né habiamo trovata scripta né chi l’abia detta, né intesa no audimo mai. [4.72] Anchora in questi speculi le linee recte aparano curve, e in più la curvità no risguardante el spechio ma a esso adutta. Similmente le curve aparirano in questi spechij curve, e se la curvità del spechio risguardarà, al contrario sito aparerà. E questo si deba intendere non in tuti ma in più. A lo intendere de la quale cosa fia necessario alcune cose anteciedente premitere, una de le quale è: [4.73] [PROPOSITO 4] che si fosseno dui punti de una medesima longitudine dal centro [in interlinea] del spechio e di inequale longitudine dal centro del viso, la imagine del punto più rimota dal centro del viso serà più rimota dal centro del spechio cha de la più propinqua, e lo fine de la contingentia de la rimotione più rimota dal centro dal fine de la contingentia più propinqua, o sia quilli punti [sint] in una medesima superfitie cum lo centro del viso o in diversi. [4.74] La proportio [probatio]. Siano dui punti T, B, [FIGURE 6.4.4] equali a G centro del spechio rimoti, [E] el centro del viso. La superfitie DGT secarà el spechio sopra el circulo el quale sia AB. L’angulo EGT equale a l’angulo [124 verso a] [manca: TGZ, angulus EGT equalis angulo] TGH, e prendasi in lo circulo il punto del quadrato che se referisse ad S [Z], che sia Q. Dico che T no se riferisse ad H a B dal punto BQ. [4.75] Manifesto che no dal punto Q. E si se tole ziascheduno punto in BQ la linea dutta dal punto H a quello punto secarà la linea QS [QZ]. Adonche a quello punto della sectione se referisse T dal punto sunto in BQ e da quello punto de la sectione se rifirisse al punto Q. Adonche T si riferisse a quello medesimo punto da dui punti di quello circulo, el quale fia impossibile, in quisti spechij in lo libro quinto fue manifestato. [4.76] Resta che T si riflecta ad H da un altro punto QA, sia quello M, e dal punto M ducasi la contingente al circulo per fino a la linea GT, che sia MN. Serà N fine de la contingentia T rispecto de H. [4.77] Ed al punto Q ducasi contingente che sia Q, la quale necessariamente caderà sotto MN. Producasi SQ [ZQ] perfino che cada sopra GT in lo punto C. Serà C luogo de la imagine Serà adonche la proportione GT ad CO como GT ad TO. Adonche magiore serà la proportione GT ad TN che GT ad TO. Adonche molto magiore GC ad CN che GT ad TN. Sia adonche GT a TN como GL ad LN. Serà GL magiore GT et L loco de la imagine. [4.78] Siano adonche le linee HG, EG, SG [ZG] equale, [GF] equale GC, GS equale GO. E perchè adonche l’angulo EGD fia equale a l’angulo TGS [TGZ] e la rimotione D dal punto E como S [Z] dal punto T, serà l’imagine D rispecto G e di poi elevata in la linea GD quanto l’imagine S [T] in la linea GT. Adonche la imagine D in lo punto F. E similmente el fine de la contigentia D rispetto E serà di medesima altitudine de la quale fia al fine de la contigentia D in lo punto S. [4.79] Ma vero fia [124 verso b] l’angulo EGT equale a l’angulo EGH [THG] et HG equale EG, serà L ymagine T rispecto E, [sicut est respectu H. Et N finis contigentie respectu E] per la quale cosa l’imagine del punto più rimoto da E più rimoto dal centro de la imagine del più propinquo, el fine de la contigentia de la [in interlinea] più rimota è più rimota dal centro de la più propinqua, che era el proposito.

[4.80] [PROPOSITO 5] Anchora, proposita la linea AB [FIGURE 6.4.5] et divisa in li punti G, D, como la proportione AB ad BD como AD ad GD, se da li punti de la sectione se ducano tre linee comune in uno punto, scilicet, GE, DE, BE, e dal punto A si duca, la linea secante quelle tre linee dico che quella linea divisa serà sicondo la preditta probatione. [4.81] La pruova. Ducasi la linea AT secante tre latera GE, DE, BE e in tri punti S[Z], H, T, dico che la proportione AT ad TH como AS ad SH [AZ ad ZH]. Ducasi dal punto H equidistante AB che sia HQ. Manifesto che la proportione AD ad BD fia constituita de le proportione AB ad HQ et HA ad BD. Ma perché QH equidistante <equale> AB, serà triangulo THQ simile al triangulo HTA [BTA] e serà proportione AB ad QH como AT a TH. Similmente el triangulo QTH simile al triangulo BCD [BTA], adonche sera proportione QH ad BD [AB] como HC ad ED [AT ad TH]. [Similiter, triangulus QEH similis triangulo BED. Igitur erit proportio QH ad BD sicut HE ED] Adonche la proportione AB a BD fia constituita, o voi composita, de le proportione AT ad TH et HE ad ED. [4.83] Producasi QH perfino che cada sopra EG in lo punto M. La proportione AG ad GD si fia constituita da le proportione AG ad HM e HM ad GD. Ma perché l’angulo EMH fia equale SGD [ZGD] serà l’angulo HMS [HMZ] equale SGA [ZGA] e serà triangulo ASG [AZG] simile al triangulo HSM [HZM]. E serà la proportione AS e SH [AZ ad ZH] como AG ad HM. [4.84] Ma el triangulo HEM simile al triangulo GED, serà proportione HM ad GD como [EH] ad ED. Adonche la proportione AG ad GD fia constituita de le proportione [125 recto a] AS ad SH [AS ad HZ] e HE ad ED, e quella medesima AG ad GD che fia AB ad BD. Adonche quella medesima fia composita de le proportione AT ad TH e HC ad ED. Adonche fia medesima proportione AT ad TH che sia AC ad SH [AZ ad ZH], e così el proposito. [4.85] E serà medesima probatione qualunque linea si duca dal centro punto A secante quelle tre linee concorente. E se si duxe altre tre linee da tri punti G, D, B, a quello punto quam E concorente, dal punto A si duca la linea [quecumque secans eas, dividetur secundum predictam proportionem. Et ita] ad ogne modo [concurrant] serano tre linee e si tre linee EG, AD [ED], EB oltra tri punti BDG da l’altra parte e dal punto E si ducano le linee secante esse da quella altra parte. Non si ducano mai [nunquam ille linee dividantur] quelle linee sicondo la ditta probatione. [Qui anche in Alhacen c’è un errore vedi la nota di Smith].

[4.86] [PROPOSITO 6] Anchora, data la linea AB al modo predetto, se dal punto A si duca altra linea, como AT, la quale se divida a presso quella medesima probatione e da li punti de la divisione [AB ducantur linee ad puncta divisionum] AT, la quale certamente non sia equidistante. Dico che quelle tre concoreno in uno medesimo punto. [4.87] La pruova. Sia la proportione AT ad TH como AS ad SH [anche in questa dimostrazione, il punto S (che è corretto relativamente al disegno del manoscritto) nella redazione Smith corrisponde a Z]. BT BH non sono equidistante adonche concorerano in lo punto che sia E. La linea GS o che concorerà a quello medesimo punto o no. Si a quello havente proportione [habemus propositum]. Se non, si duxe la line aEG, secarà certamente la linea AT in alchuno punto, o veramente in altro punto cha S. sia quello punto L. serà adonche la proportione AT ad TH como AL ad LH [iuxta priorem probationem. Sed positum est AT ad TH sicut AZ ad ZH] e così imposibile. [4.88] Similmente se si pone cha la pinea GS concora cum GH [DH] al punto E. provasi per questo modo che la linea BT concorerà a quello medesimo.

Similemente se si pone che GS, BT concorerà al punto E convinciarassi che DH concora a quello medesimo. [4.89] [PROPOSITIO 7] Anchora, divisa AB sicondo questa provasione, se serano le linee GS, DH BT equidistante e ducasi AT dividente quelle, serà AT divisa sicon [125 recto b] do questa probatione. [4.90] La pruova cum ziò sia che DH sia equidistante QS, serà la proportione AS ad [S]H como AG ad GD e perché BT fia equidistante DH serà AB ad BD com AT ad TH ma AB ad BD como AG ad GD; serà AT ad TH como AS ad SH, e così el proposito fia.

E queste cose premisse veniamo al proposito. [4.91] [PROPOSITO 8] Primo, de l’arco dechiareremo como in quisti spechi la ymagine fia curva, la curvità <certamente> non <certamente> risguardante el spechio ma el centro. [4.92] Per gratia de lo esempio sia AB l’arco oposito al spechio e sia G el centro di quello arco e similmente el centro del spechio, D centro del viso. E ducanosi le linee DG, AG, BG, e sumasi E ne l’arco AB per qualunqua modo e ducasi la linea EG. La linea DG non sia in superfitie ABG. La linea DG o che serà ortogonale sopra la superfitie ABG, o che serà declinata. [4.93] Se la serà ortogonale, serano li anguli DGA DGE DGB equali e le latera a le latera, per la quale cosa le base serano equale. Adonche tuti li punti de l’arco AB de medesima longitudine serano dal centro del viso, si ché le imagine de tuti de una medesima longitudine dal centro [4.94] como Q, M, L, imagine A, E, B. Serà adonche GQ equale GM , GL si che QML serà acuto e la convexità de esso rispecto el centro non rispecto de lo spechio, o veramente de la riflessione del luogho, che fia el proposito. [4.95] Ma se la linea GD non fosse sopra questa superfitie AGB, perpendiculare ducasi <perpendiculare> da punto D sopra questa superfitie. Cum zio sia che quella perpendiculare sia minore de tute linee ducte dal punto D a questa superfitie serà l’angulo el quale risguarda questa perpendiculare sopra G minore de Ziascheduno angulo sopra el punto G in [125 verso a] intelecto el quale risguarda l’altra linea dal punto D a la superfitie ducta, e la linea ducta dal punto D <ducta> a la superfitie quanto più rimota serà da la perpendicullare tanto magiore serà e risguardarà magiore angulo .

E si questa perpendiculare non cada ne l’arco AEB, ma da una parte serano tute le linee dutte dal punto D a questo archo declinate in una parte, e magiore e più rimote e magiore angulo risguardante. [4.96] Sia adonqua, e prendasi tri punti il arco, scilicet E, C, B. El fine de la contingente del punto B sia L, el fine de la contingentia del punto <GZT como LM> [C sit M] che cum C più propinquo D cha B, serà M più propinquo G cha L, e così CM magiore BL. [4.97] Q sia l’imagine [C], et [T] la imagine B, e [ducantur T, Q], ducanosi linee TH [CB] ML, le quale certamente producte concoreranno, se dal punto M si duciesse equidistante CB secarebe [ex GB] la linea equale CM. Concurra in lo punto O. [4.98] E cosa la proportione GC ad CM como GQ ad QM. Similmente GB ad BL como GT ad D [TL], la linea QT concorerà cum le linee EB, ML e sia el concorso in lo punto O. [4.99] El fine de la contingentia in E sia N [FIGURE 6.4.8 a]. Perché N è punto dimisso del punto M, serà EN magiore CM.

Ducte adonche le linee EC, NM concorano. Sia el concorso in lo punto P, e ducasi la linea QP e procieda perfino che cada sopra EG in lo punto F. E ducasi la linea TQ perfino ad EG e cagia in lo punto K. [4.100] Manifesto fia K essere sopra F. Ma è vero che la proportione GT ad EM como GQ ad QM e da li punti de la divisione si ducano tre linee concurente in altra parte producte, secarano la linea EG secondo la predicta proportione, per la quale cosa la proportione GO ad F [GE ad EN] como GF ad FN. Ma N fine de la contingentia, per la quale cosa F loco de la imagine. Adonche la linea FQT serà ymagine de l’arco ACB [ECB] e serà la linea curva non re [125 verso b] ta, perché TKQ fia recta, e la curvità de la linea non da la parte de lo spechio.

[4.101] Similmente se la perpendiculare dal punto D cagia da l’altra parte de l’archo. Similmente serà proportione, ma si veramente cada la perpendiculare da megio de l’archo AB, a la linea dal punto D, da diverse parte de l’arco dutte equalmente distante da la perpendiculare serano equale ed equali anguli risguardarano sopra G. E le imagine de esse equale a G distarano, similmente il fine de la contigentia, e serà da provare al modo preditto de l’una e de l’altra parte de l’archo per se sicondo che divide da la perpendiculare la quale fia imagine, sia la linea curva al modo predetto che fia el proposito.

[4.102] [PROPOSITO 9] Anchora, prendasi el circulo del quale non sia el centro el centro del spechio, ma sia in medesima superfitie cum lo centro del spechio. Dico che se in lo circulo esteriore si prenda l’arco da la parte del centro del spechio e più propinquo a esso, serà l’imagine de esso curva. [4.103] Dato questo archo, ducasi la linea dal centro de lo spechio a <l’arco> [centrum] del circulo esteriore e producasi questa linea per fino a l’arco dato. La linea dutta da lo centro del spechio a questo arco, el quale fia parte del diametro del circolo magiore, serà più breve de tute le linee dutte da uno medesimo centro del spechio si posino dusere a l’arco dato. [Et a centrum speculi possunt duci ad arco dato] due equale da diverse parte di questa brevi, la quale certamente magiore di quella breve. E sicondo l’altra di quelle si facia el circulo del quale <el centro> el centro del spechio passarà per li capi di queste due linee l’arco excedente serà la linea [4.104] [Et palam quod ymago huius arcus excedentis erit linea curva.] Cum ziò sia cosa che sicondo le predette cose e de la imagine di li punti a questo arco e a l’arco dato comune medesimo, el megio punto de l’arco excedente più rimoto dal centro del punto de l’arco dato che lui risgu [126 recto a] arda per la quale cosa la imagine de essa più propinqua al centro cha la imagine de l’arco del punto dato risguardante quello. E così ziascheduno punto de l’arco esteriore la imagine più propinqua al centro de la imagine del punto de l’arco dato el quale risguarda quello. Per la quale cosa la imagine de l’arco dato è curva, che fia el proposito. [4.105] [PROPOSITO 10] Anchora, che la imagine de la linea recta in quisti speculi sia curva così si pruova. [4.106] Sia AB [FIGURE 6.4.10] la linea visa, G el centro del spechio. Ducanosi le linee AG, BG. O che sono equale, o no. Si sono equale faciasi el circulo del quale G centro a la quantità de quelle, el quale sia AEB. Cagierà la linea AB intra el spechio e il circulo. Manifesto fia per le predecte cose che la imagine, de l’arco AEB serà curva. Sia adonche la ymagine de essa STH [ZTH]. La imagine di A sia S [Z], la imagine B sia H; la imagine di E sia T. [4.107] E producasi la linea GE secante AB in lo punto C. Manifesto che E fia in una medesima linea cum C, più rimota dal centro perché C. Serà la imagine de esso più propinqua al centro cha la imagine C. Sia adonche M. Manifesto adonche che la linea FMH [ZMH] fia imagine de la linea AB e de la linea curva, che sia el proposito. [4.100] [PROPOSITO 11] E se la linea AG, BG fosseno inequale, la linea AB protracta, o che secarà lo spechio, o no. Ma che ella non seghi, e sia AB [AG] magiore BG, faciase el circulo sopra G, a la quantità AG, che AEQ, e producasi AB per fino che cada in lo circulo da la parte B, per fino che cagia in lo punto Q. [4.109] È manifesto dalle cose di sopra che la imagine de l’arco AE fia curva, el punto de la imagine [A] sia Z; el punto de la imagine E sia M, serà ZM la imagine de l’arco AE, e perché la imagine del punto B più rimota dal centro che la imagine del punto E, serà la imagine de la linea AB curva che per li pun [126 recto b] ti megi de l’arco AE ed la linea AB si potrà probare, che sia el proposito.

[4.110] Nota che in la prima figura se si seghi la linea AB da la parte A alchuna parte, e da la parte B seghesi la parte equale a essa, lo risiduo, o voi lo avancio, de la linea harà imagine curva e serà per proportione medesima che sia de la linea AB. E in questa figura secarà alchuna parte de la linea AB da la parte B de l’avancio, serà medesima provasione la quale fia de la linea AB. [4.111] [PROPOSITIO 12] Ma se la linea AB tocha el speculo o che secarà o lo contingerà. Sia la contingente. [FIGURE 6.4.12] G sia el centro de lo spechio et ducanosi le linee AG, BG. Simile ABG secarà lo spechio sopra el circulo comune, che sia SEZ. Manifesto che la linea [A]B contingerà lo spechio in questo circulo. Contingha in lo punto E, protraghasi adonche AB per fino ad E. D, sia el centro del viso. La superfitie in che sono le linee DG, AG, secarà lo spechio sopra el circulo comune a la superfitie e al spechio sia l’arco di quello circulo SP [ZP]. Similmente la linea comune a la superfitie in la quale sono DG, BG e lo circulo de l’arco di quello circulo sia HP. [4.112] Manifesto che HP si rifirisse ad D [testo latino corretto: quoniam B refertur ad D ad aliquo puncto arcus HP], da quello altro punto ducasi la contingente secarà la linea BG e lo punto de la sectione serà el fine de la contingentia. Sia quello punto M. [4.113] Manifesto anchora che si dal punto M si duca la contingente sopra el circulo SEH, caderà quella contingente citra E, perché AB fia contingente in lo punto E, e lo punto B fia più alto del punto M, cagierà adonche in lo punto F. La quale contingente produtta secarà la linea AG AE seghila in punto C [testo latino: linea AE. Secet in punto T. Ex alia parte segabit lineam AG. Secet in punto C.] [4.114] Faciase angulo BSG [BGS] equale a l’angulo BGD e producasi GS per fino al punto L e a la equalità de la linea serà adonche l’arco HS equale a l’arco HP e como se [126 verso a] rifirisse B ad D dal punto de l’arco HP, se rifirisse ad L dal punto de l’arco HS. E serà la riflessione dal punto F como in l’arco HP fia la riflessione dal punto dal quale se duxe la contingente dal punto M, e quisti dui punti dal punto M a queste medesime linee [longitudinis]. Ducanosi le linee adonche BF, LF. [4.115] A si rifirisse ad D da l’altro punto de l’archo ZP, ma in lo triangulo HZP dui archi HZ SP [HP] sono maggiori del tertio ZP, ma HP fia equale HS. Adonche ZP fia minore ZS. [Rescindatur ZS] a la equalità in lo punto I [Y], e ducasi la liea GY la quale produtta a la equalità GD secarà necessariamente la linea FL seghila in lo punto X, e sia GEK [GXK] equale GD. [4.116] Manifesto como A se riferisse ad D da alchuno punto de l’arco ZP. Similmente se rifirisse ad H da alcuno punto de l’archo ZY. Dico che non se rifirisse ad esso, si no dal punto che fia citra F [ex parte Z] [4.117] [Si enim dicatur quod potest a punto F] o da l’altro punto de l’arco FY, la linea ducta dal punto A al punto de la riflessione sectarà la linea BF e a quello medesimo punto se rifirisse el punto L, e così dui punti M quisti speculi si riflecterano a uno medesimo punto da una medesima parte, la quale cosa fia impossibile. Resta che lo punto A se rifirisse ad K da alchuno punto de l’arco ZF. [4.118] Se da altro si duca la contingente secarà la linea AZ e cagierà tra C e Z, perché el punto più dimisso de ziascheduno punto de l’arco ZF e così la contingente dal punto F più alto degl’altri punti de l’arco ZF dutti, cagia adonche quella contingente in lo punto N, e ducasi la linea NM la quale linea certamente cum ziò sia che perché passi per l’acume del triangulo BMT e producta divida l’angulo necessariamente secarà BT. Seghilo in punt Q, e ducasi la linea GQ. [4.119] Sia I la imagine del punto [A; O sit ymago puncti B; U sit ymago puncti] Q, manifesto perché [B] fia più propinquo al punto G che A, serà O più rimoto [126 verso b] dal punto G cha I. Ducasi adonche la linea IO. Manifesto anchora che la proportione AG ad AN como GI ad IN e la proportione BG ad BM como GO ad OM. Cum ziò sia adonche che le linee AG, BG se dividano sicondo questa provatione, amedue, o voi tute, in tri punti, e da li punti de le divisione se ducano linee de le quale due, zioè AB, MN concorano ad uno medesimo punto, zioè a quello medesio punto [Q], la tertia necessariamente concorarà a quello punto. [4.120] Adonche IO producta cagierà sopra Q, quasi [quare] IOQ recta linea. Adonche IOU non serà recta ma non fia imagine de la linea AQ, per la quale cosa la imagine de la linea AQ serà curva. E posito adonche el punto B loco del punto [Q, et aliquo puncto linee AB, posito loco punti B] serà e a uno medesimo modo in tuto a provare perché la imagine de la linea AB fia curva, e questo fia el proposito. [4.121] [PROPOSITO 13] Ma se AB [FIGURE 6.4.13] seca lo circulo. Seghilo in lo punto E, M el fine de la contingentia de la linea BG. B se riferisse ad D da l’altro punto de l’arco HP. L’arco da altro punto de la riflessione per fino ad H o che fia equale a l’arco HC o che sia magiore o minore. [4.122] Sia equale. Manifesto fia che quello arco fia equale a l’arco HQ. Sia Q el punto de circulo in lo quale cagia la contingente ducta dal punto M, da la parte di E. Adonche AE passa per lo punto Q, e così MQ seca AE per lo punto E. [4.123] Si veramente l’arco quello minore fia de l’arco HE, secarà MQ la linea HE [AE], oltra el punto perché si facie triangulo EQT.

[4.124] E si quello arco fosse magiore de l’arco HE secarà certamente la linea MQ la linea AE, citra el punto Q. [4.125] O sia questo o quello fosse, rifacissi la proportione [probatio] e in tuto per medesimo modo provise perché la imagine de la linea AB fia curva, che sia el proposito. [4.126] [PROPOSITO 14] Ancora, se in la superfitie in la quale sono le linee vise e lo centro de la [127 recto a] spera fosse el [centrum] viso, le cose dette di sopra sono none esistente el viso in quella superfitie, la linea adonche visa recta o che concorerà cum lo circulo comune a quelle superfitie e allo spechio, o che non concorerà. [4.127] Se concorerà, l’angulo di quelle linee caderà sopra el centro de lo spechio, la quale linea certamente parerà recta. La imagine de ziascheduno punto di quello linea apare in essa linea e cosi la imagine di quella linea recta. [4.128] Ma si veramente la linea proposita fosse declinata, o che serà la declinatione da la parte del viso o da l’altra parte. Se da l’altra parte, prendasi el circulo dal quale si rifletta ad al viso, e prendasi la linea de la riflexione. Alchune de le linee declinate, cagia forsi sopra quella linea de riflessione, [quod si fuerit, non videbitur quidem hec linea declinationis] [4.129] Protracta dal centro del viso al centro de lo spechio la linea, se si prende nel archo del circulo, circa quella questa linea, el punto dal quale si rifirisse al viso alchuno punto de la linea de la declinatione. Ma quello punto si rifirisse dal punto pria assignato che fia termine de la linea de la riflessione cum ziò sia che la linea de la declinatione se rifirisse al viso da dui punti de l’arco, la quale cosa fia impossibile. [4.130] Avengha che si rifletta quello punto dal punto prima sumpto, non pare però, perché sia in la linea de la riflessione, perché se ocultano li punti preciedenti e così la linea adiacente a la linea de la riflexione, non pare. [4.131] Ma si prenda la linea de la declinatione de la quale la declinatione no da la parte del viso iaciente sotto la linea de la riflessione e secante quello in lo punto C e dico che nisuno punto di quella linea si vederà. [4.132] E preso el punto, se se dirà che quelo punto si possa rifletere da quello altro punto de l’arco interiacente la linea de la riflessione e la linea dal centro de viso al centro de lo spechio ducta, e ducasi la linea da quello punto al punto de l’arco sumpto, questa [127 recto b] linea secarà la linea de la riflessione, e lo punto de la sectione si rifletta al viso da dui punti, che fia impossibile. [4.133] Ma se se dica che lo punto sumpto in la linea si rifirisse dal punto de l’arco del circulo el quale fia sotto essa linea, serà impossilbile che tuto quello arco se oculti da la linea. [4.134] Ma se la linea sumpta no atinge el circulo, si potrà certamente videre, ma pocho fia.

Ma se si tolle la linea de declinatione preditta, tra la linea de la riflessione e la linea per lo punto de la riflessione, prima sumpto transeunte a lo centro, si potrà certamente vedere questa linea, e minuirasse la curvità de la imagine di questa linea, sicondo che essa più accederà a la linea transeunte al centro per lo punto reflexionis. [4.135] [Ma si vero sumantur linee inter lineam ad centrum transeuntem per punctum reflexionis,] si vederà certamente, o sia la declinatione di quelle da la parte del viso o no. El modo viso de esse simile ora al viso de le linee tra la linea de la riflessione e la linea al centro transeunte. E queste cose si debano intendere de le linee concorente in l’archo del circulo el quale apare al viso, in l’arco el quale interiace, due linee dutte dal centro del viso al circulo. [4.136] Ma de le linee concorente cum lo circulo in la parte del circulo oculta al viso alchuna serà equidistante a la linea de la ragione [riflexionis], quella non si vederà. Similmente conterminabile a la equidistante, che sia sub equidistante, se ocultarà in la conterminabile equidistante sopra essa esistente, si porrà vedere. [4.137] Ma se si prende la linea tra equidistante e terminabile [non conterminabile], alchuna de esse, si serà la declinatione de essa da la parte del viso, si vederà. Se da l’altra parte, alchuna volta si vederà alchuna volta non, perché, se dal termine de essa si producha equidistante a la linea de la ragione, credo vogla dite a la linea de la riflexione, [127 verso a] se serà la linea a la equidistante [sub equidistantem] non se vederà; se sopra, essa si porrà vedere. [4.138] E se le linee non concoreno cum lo circulo, o che secarano la linea ducta dal centro del viso al centro del spechio o che equidisterano a essa.

E se quella linea segha alchuna di quelle o secarà quella da la parte del viso, zioè tra il viso e lo spechio o ultra el spechio. Si ultra ocultarassi quella linea, ma forsi aparerano li capiti de essa. Ma si veramente seci la linea visuale da la parte del viso aparerà similmente. Si serà equidistante a la linea visuale si potrà vedere di queste tute linee le imagine curve.

[4.139] El viso stante in una medesima superfitie cum lo centro del spechio e le linee vise, diminuita fia l’aparentia, e quale sia più manifestamente apare e fia quella che fia dechiarata, credo vogla dire declinata, cum maxima declinatione e quella risguardante el viso. Per simile modo, de li archi in quisti speculi aparenti e in medesima superfitie cum lo centro lo speculo e in lo viso existente, le imagine curve, la curvità risguardante lo spechulo. [4.140] E queste cose si debono intendere il viso dopio in una medesima superfitie cum lo centro del spechio e cum la cosa visa. E si altro viso pocho si decline quanto ad esso per altro modo la cosa visa si comprenderà. E lo viso existente di fuori de la superfitie de la cosa visa e ‘l centro del spechio, più certa serà la comprensione di quella cosa che existente in essa.

[4.141] [PROPOSITO 15] Che la imagine de la cosa sia curva el viso esistente in la superfitie del centro del spechio e de la cosa visa si provarà. [4.142] Sia D el centro del viso, G centro del spechio. HE sia la linea visa la quale non concorra cum lo circulo, ma sia equidistante a la linea DG, o seghi quella da la parte D, prendasi la superfitie in la quale sono la linea DG [127 verso b] e la linea HE, e lo circulo comune a questa superfitie e al spechio sia AB. [4.143] Producasi la linea HA. Z sia la imagine. El punto del circulo dal quale si rifirisse H ad D, sia B. E dal punto B ducasi la comune [contingens] che seghi la linea HG sopra li punti T. Serà T fine de la contigentia. [4.144] Ducasi la linea GB la quale producta necessariamente concorerà cum HE. E se HE fosse equidistante DG concorerà certamente. E si veramente DG concorerà HE, molto più forte cum quella medesima quello concorso, o che serà in la linea HE o ultra questa linea. [4.145] Sia ultra. Concorra in lo punto M. La imagine del punto M sia Q, el fine de la contigentia sia S. E ducasi la linea ZQ similmente la linea TF, e producasi dal punto A, contingente AU. Manifesto che AB fia minore de la quarta, unde vegha D una la metà dal circulo per la quale cosa l’angulo AGB fia acuto e l’angulo UAG fia recto. Adonche AU concorerà [cum GB] in lo punto U. Dico che il punto U cade sopra el punto S. [4.146] Cum ziò sia che M si rifletta da un altro punto de l’arco AB, et A fia più dimisso di quello punto, serà fine de la contigentia A, più alta <sencia> [de] la contingentia di quello punto. E così S più dimisso di quello punto U. Procieda adonche TS per fino che concorra la linea AU e sia el concorso in punto [K] [4.147] E ducasi la linea GK, la quale produtta concorra cum HM in lo punto C. El punto C se referisse ad D da un altro de l’arco AB, sia quello punto F, dal quale si duca la linea contingente per fino ad GC, la quale linea più dimissa de la linea AK, e serà el punto O più dimesso del punto K. [4.148] Sia O el fine de la contigentia, ducatur [sic] la linea DF per fino che cada GC, sia cadente in lo punto Z [R]. E producasi ZQ per fino a la linea GC e cagia in lo punto L. Dico che IF sia sopra K [L est supra R]. [4.149] le linee <del circulo> HC, TK, ZL o che sono equidistante cum ziò sia adonche che queste equidistante seghi la linea CG [128 recto a] sopra tri punti C, K, L, e seghi amedue le linee MG, HG. E la proportione HG ad HT como GR [GZ] ad ZT, similmente MG ad MS como GQ ad QS serà una proportione medesima GC a GK como LG ad LK. [4.150] Manifesto che R fia imagine C, la linea DF linea de la riflessione concorente cum CG in lo punto R, et O fine de la contigentia, per la quale cosa la proportione GC ad CO como GR ad RO. Adonche magiore CZ at CG [GC ad CK] [quam GC ad CO, ita maior] che KL ad LG [GL ad LK quam GR ad RO] e così magiore EG ad RG che KG ad LG [OR ad RG quam KL ad LG]. Ma KG magiore EG [OG], per la quale cosa LG magiore LG [RG]. Adonche R più dimisso del punto L. Ma ZQL fia linea recta adonche ZQR fia linea linea curva, e così la imagine de la linea HT fia curva. Posito adonche alchuno punto de la linea HC in luogho del punto M, e al punto E in lo luogho del punto C, serà da provare che la imagine HE sia curva.

[4.151] Ma si veramente le linee HC, TS, ZQ concorano o che sarà el concorso da la parte D e da l’altra parte HEG [HG]. Sia da la parte D [FIGURE 6.4.15a] e sia el concorso in lo punto C. Serà ZQC linea recta, quare, zioè per la quale cosa, ZQR serà curva, cosi la imagine de la linea HE curva che sia el proposito. [4.152] Ma si veramente si propongha l’arco fuori del spechio serà da propvare de esso che la imagine sia curva como fia provato, no existe el viso in una medesima superfitie con l’arco e cum lo centro del spechio, e questo sia el proposito. [4.153] Adonche in quisti speculi le line recte apareno <due> [curve] e le curve similmente apareno curve.

<Ma se le siano proportionate al viso el corpo conio si longho habiente pocho de longitudine> [Si autem proponatur visui in hiis speculis corpus curvum sed longum, modicum habens latitudinis] aparerà di quello corpo la curvità manifestamente. Cum ziò sia che ella si possa per quelle che sono di sopra al corpo o infra. No manifestamente si discerne la qurvità si no grande, dove oculte fosseno le estremità de la longitudine, unde proposito al viso el corpo [128 recto b] de pocha convexità e de magna quantità, non manifestamente si discerne de essa convexità, avenga che l’imagine de essa sia conessa [convexa] cum ziò sia che aparano i termini del corpo in longitudine e in latitudine.

[4.154] Anchora li erori in speculi piani accedente tuti avenghono in quisti e oltra de quilli aviene che le imagine de le linee recte essere curve, la quale cosa fia rimota da li speculi [plani].

[Pars quinta. In speculis colupnaribus exterioribus]

[5.1] Ancora ne spechij colonari esteriori quilli medesimi erori advengono in quali ne spechij sperici exteriori, linee recte apareno curve e diminuita apare la quantità de la cosa visa como in quisti ma molto più forte che in essi, perché ne sperici la cosa grande aparirà certamente minore ma no molto pichola, ma in quisti la cosa massima aparirà minima. Similmente la linea recta aparerà in li speculi sperici ma di poca curvità, in colonari maximamente, unde si moltiplicano li erori de li spechij colonari sopra li erori de lo spericho.

[5.2] Ma vero è che nei colonari alcuna volta si fa riflessione a linea recta, zioè de la longitudine del spechio, alchuna volta dal circulo, alcuna volta da la sectione. Quando la linea visa fosse equidistante a la longitudine del spechio si farà riflessione da la linea de la longitudine, e la linea visa aparerà recta, di poca curvità. E queste cose certamente si pruovano a la probatione de le quale fia necessario premittere alchuna cosa, che fia questa. [5.3] Sumpta la sectione colonare e sumpto el punto in essa che non sia el punto de la riflessione, ma da quello punto si duca la linea a la [128 verso a] perpendiculare la quale sia dal punto de la riflessione a l’asse. E quella linea facia l’angulo acuto cum la perpendiculare. Se se duxe dal punto sumpto la linea che sia ortogonale sopra la contingente di quello punto, questa linea concorerà cum la perpendiculare cum l’axe e sotto al concorso de la minore linea cum la perpendiculare. [5.4] Per gratia de lo esempio. AEB la sectione [FIGURE 6.5.16], E el punto dato, N il punto viso, D punto de la riflexione, BD la perpendiculare, EDB l’angulo acuto, QEL contingente. [5.5] sopra B faciase el circulo a la colona e a la base BTO, e ducasi dal punto E, la linea de la longitudine de la colona zioè ET. Ducasi l’axe DH, e ducasi la linea DC perpendiculare sopra BD. [5.6] Manifesto che la superfitie HDC fia ortogonale sopra la superfitie del circulo. Ma la superfitie contingenti la colona in lo punto B serà equidistante a questa superfitie perché la linea de la longitudine ducta dal punto B serà equidistante a l’asse contingente sopra B. Serà equidistante CD. Adonche la superfitie in la quale sono le linee LE, ET non è equidistante a la superfitie HDC. Adonche concorerà cum essa, concora in la linea LC, e ducasi la linea TC, la quale certamente serà contingente cum la superfitie LET, sia contingente e dutta la linea TD, serà l’angulo CTD recto perché TD diametro. [5.7] E faciase sopra E il circolo de la colonna equidistante a la base ESP. El punto de l’asse in questo circulo sia B e ducasi la linea KE, ducasi anchora la linea DL, che secarà la superfitie del circulo ESP, seghilo in lo punto F, in ogni luogho dove sia el punto fuori del circulo o dentro, e ducanosi le linee KF EF, e dal punto F ducasi la perpendiculare sopra la superfitie del circulo BTO che sia FM e ducasi la linea TM. [5.8] Manifesto che KD equidistante et equale DM, similmente KD equidis [128 verso b] tante et equale ET, KE equidistante [DT]. Adonche TE equidistante CT equale FM e così TF <e così TF> serà equidistante et equale DN [TN]. [5.9] Ma la superfitie KDL fia ortogonale sopra la superfitie de la sectione HEC [BEO] e fia ortogonale sopra la superfitie del circulo ESP. Adonche fia ortogonale sopra la linea comune a la sectione e al circulo, el quale fia EF. Adonche l’angulo EFK recto, similmente l’angolo TMD recto. [5.10] Cum ziò sia che l’angulo DTC sia recto, multiplicatione DM in MC como TM in FE, ma perché FM equidistante CL, serà proportione DF as FL como DM ad MC, ma DF fia magiore DM adonche FL magiore de MC. Adonche magiore fia la moltiplicatione DF in FL e magiore del dutto de la linea EF in FE, per la quale cosa l’angulo LED magiore de lo recto, si fosse recto cum la linea EF sia perpendiculare sopra LD, serebe el duto DF in FL equale al quadrato EF. Resta adonche che l’angulo DEQ fia acuto, adonche la ortogonale ducta dal punto E, ortogonale sopra la quale contingente QL, caderà sopra la linea ED e concorerà cum la perpendiculare BD sotto el punto D, che fia el proposito. [5.11] Premesse queste cose è da vinire al proposito. [5.12] [PROPOSITIO 17] Proponasi la colona [FIGURE 6.5.17]. La linea equidistante a <la base> l’asse sia TH. Serà certamente TH equidistante a la linea de la longitudine de la colona. [5.13] Se adonche el viso fosse in una medesima superfitie cum l’asse e la linea TH si potrà rifletteresi certamente la linea e serà riflessione da la linea de la longitudine de la colona la quale fia linea comune a la superfitie in la quale sono el viso e l’asse e anchora a la superfitie de la colona como fia dimostrato nel libro V <git> . Parerà la linea TH recta perché çiascheduna perpendiculare dutta dal punto de la linea TH serà in una medesima superfitie cum lo viso e l’asse e provarassi la imagine de la linea TH essere recta così [129 recto a] si provarà ne spechij piani de le vise linee.

[5.14] Sia el viso fuori de la superfitie de la linea TH equistante a l’asse el quale asse sia CEK [ZK]. Faciase la superfitie per lo viso transeunte secante la superfitie de la colona equidistante a la base, secarà certamente el circulo. Fia quello circulo BF. Alchuno punto de la linea HT se riferisse al viso da l’altro punto. Sia dal punto B, e lo viso sia E. [5.15] Quello punto de la linea TH sia Q. e ducanosi le linee AB, QB e ducanosi dal punto B la perpendiculare sopra l’asse in punto L, che sia ML, e ducasi dal punto E la linea equidistante ML che sia EO, e ducasi QB perfino che concorra, fia el concorso in lo punto O. [5.16] Manifesto che l’angulo QBM fia equale a l’angulo EBM ma l’angulo QBM equale a l’angulo BOE, perché LM equidistante OE. Similmente l’angulo MBE equale a l’angulo SCE [BOE], perché coalterno. Adonche l’angulo BOE equale fia a l’angulo BEO imperò BO, BE equali. [5.17] Sumasi l’altro punto in la linea TH el quale punto sia T e ducasi la linea TO. Manifesto che la linea TH equidistante a la linea de la longitudine, che sia AG. Adunche sono in una medesima superfitie, e in quella superfitie sia la linea QBO per la quale cosa in quella medesima serà la linea TO. Secarà la linea AG seghi in lo punto G, ducasi la linea EG. [5.18] manifesto anchora che la linea AG sia perpendiculare sopra la superfitie del circulo BF, como l’asse cui equidistarà e a la superfitie di quello, la superfitie EOBF secante la colona equidistante a la base. Adunche l’angulo GBO recto, e l’angulo GBE [rectus]. Adonche el quadrato de la linea GO vale el quadrato de la linea BO [et quadratum GB]. Similmente el quadrato de la linea GE vale <el quadrato GE> vale el quadrato GB et BE. E perché BE e BO equali et GB comune, adonche l’angulo GOE equale l’angulo GEO. [5.19] Ducta la perpendiculare ZGN, serà equidistante EO, cum zio sia che sia eq [129 recto b] uidistante MBL. Adonche l’angulo TGN equale a l’angulo GOE e l’angulo NGS [NGE] equale all’angulo GEO, per la quale cosa l’angulo [TGN equalis angulo] NGE. Cum autem [sic] E, [O], N, G, Z, como [sint] in una medesima superfitie e in quella sia G, T, G, E, serano in una medesima superfitie, et così in una medesima superfitie sono le linee EG, NG, TG. Adonche T si rifisse ad E dal punto G. [5.20] Ma sumpto in la linea TH el punto H de una medesima longitudine del punto Q, de la quale fia el punto T, e la linea dutta HO passara per lo punto de la linea AG. Passarà per A. Dutta la perpendiculare AD e le linee EA HAO, serà como prima provare che due anguli ABO, ABE retti, et due latera AO, AE equali, e due anguli HAZ [EAZ] equali, e così H si riferisse ad E dal punto A. Similmente, sumpto ziascheduno punto de la linea TH, serà da provare che si rifirisse ad E da altro punto de la linea AG, per la quale cosa la linea TH se rifirisse a <da la linea a le line> [a linea longitudinis] che fia AG.

[5.21] [PROPOSITO 18] Resta a provare la imagine de la linea TH essere curva. Manifesto da le predette cose ce Q si rifirisse a E dal punto B, el quale sia punto del circulo. E perché così sia si rifirisse dal circulo, se la linea se duce dal punto Q, al centro di quello circulo, concorerà cum la perpendiculare ducta al punto B, e serà el concorso in lo punto de l’asse. Ducasi adonche QL concorente cum ML in lo punto de l’asse el quale fia L, e fia centro del circulo FB. E producassi EB perfino che concorra cum QL, sia el concorso il lo punto C. Serà C la ymagine <go> Q. E fia C in la superfitie dove sono le linee QH e l’asse e la linea de la longitudine AG. [5.22] Manifesto anchora, che T si rifirisse ad E dal punto de la sectione de la colona, zioè dal punto G. Ma fia da duxere dal punto T una perpendiculare sopra la linea contingente <in lo p> [129 verso a] in altro punto de la sectione la quale certamente concora cum la perpendiculare ducta dal punto G, che sia NGZ, sotto l’axe, zioè soto el punto Z, el quale fia concorso de la perpendiculare NZ e de l’asse, perché dutta la linea TZ, serà l’angulo TZN acuto. Ducasi adonche TX concorso <perché> NZ [in interlinea] in lo punto X, e producasi EG per fino che concora ad TX, in lo punto I. Serà I la imagine del puncto T. [5.23] Similimente dutta dal punto H la linea che sia ortogonale sopra el punto de la sectione da la quale si rifirisse, concorerà cum la perpendiculare DA[Z] sotto el punto D, el quale fia punto de l’asse. Concorra in lo punto P e producasi essa perfino che concora ad HP in puncto S, serà imagine del punto H el punto S. E ducasi la linea SI. [5.24] manifesto cum la linea Q [TI] concorra cum la perpendiculare NZ, la quale sia equidistante a la linea EO, concorerà cum la linea EO. Similmente la linea HS, perché concorerà cum la perpendiculare DAZ, che fia equidistante CO, concorerà cum EO. Ma perché el sito T rispecto del punto E fia una medesima cosa cum lo sito H e medesima longitudine.

Similmente el punto del sito T e del punto H al punto medesimo e de li punti I, S rispecto O e fia una medesima cosa, e serà uno medesimo sito de le linee N [TI], HS, rispecto de la linea EO. [5.25] Adonche le linee TI, HS concorerano sopra uno medesimo punto de la linea EO, concorerano in lo punto U. Serà MH <illegibile> [triangulus] e ne la superfitie di questo angulo serà la linea IS, e l’asse non è in questa superfitie. [5.26] Ma TH fia in una medesima superfitie cum l’asse. Adonche quella superfitie seca la superfitie del triangulo sopra la linea comune, la quale fia TH, no sopra altra. Cum ziò sia che el punto C sia in la superfitie de la linea TH e l’asse non sia in la linea TH, non è in la superfitie del trian [129 verso b] gulo TUH, ed in dui punti I, S sono in la superfitie di quello triangulo per la quale cosa la linea ICS è curva, e la imagine de la linea TH serà curva, che sia el proposito. [5.27] Si la sua pocha curvità perché la perpendiculare ducta dal punto C a la superfitie del circolo è molto pocha, e quanto fosse la linea magiore visa equidistante a la linea de la longitudine del spechio, tanto meno curva serà la imagine sua quanto serà più minore.

[5.28] [PROPOSITO 19] Anchora, se la linea TH [FIGURE 6.5.19], seghi la superfitie in la quale sono el centro del viso e l’asse e sia ortogonale sopra essa el viso o che serà in una superfitie de la linea TH secante la ortogonale superfitie de l’asse, el viso di fuori. [5.29] Si fosse in quella superfitie o sopra la linea TH, o di sotto, si di sopra cum quella linea corporale ocultarà al viso el spechio, e così non si riflecterà e forsi li capi de essa aparirano e rifleterasse dal circulo de la colona el quale comune a la superfitie de la linea TH secante la colona. <lacuna> [et columpne], e serà la imagine di quisti capi como ne sperici esteriori. [5.30] Similmente se el viso fosse soto la linea TH, se ocultarà la parte de esso per lo capo in lo quale sia el viso. E la parte de la linea visa si rifirisse dal circulo in tuto a modo medesimo per lo quale in esteriori. [5.31] E se el viso fosse fuori de la superfitie de la linea TH ortogonale secante la superfitie del viso e l’asse, sia E el viso, XZG la colonna, si rizisse H ad E da quello punto de la colona, sia AB, sia T la longitudine de essa dal punto E, dico che T si rizisse ad E da altro punto de la colona, e cum ziò sia che lo punti HT siano de uno medesimo sito e de una medesima longitudine dal punto E, serano similmente li punti de la riflessione zioè BG de medesima longitudine e de uno medesimo sito dal punto E. Adonche due punti B, G, serano in lo circulo. [5.32] Sia el circulo BZG, el centro de esso [130 recto a] D. Ducanose le linee HB, BE, TG, GE, e dal centro ducanosi le perpendiculare sopra contingente B, G, scilicet DBO, DGS. E ducasi la linea AD, e producanosi HB TG per fino che concorano cum la linea ED. [5.33] Cum lo punto H, T siano de uno medesimo sito [et longitudins] rispecto E [et rispecto D, et similiter puncta B, G eiusdem situs respectu D et respectu E], harano le linee HB, TG uno medesimo sito rispetto la linea ED e così concorano in lo punto di quella linea, sia in lo punto L. [5.34] Faciasi la linea de la longitudine de la colona in la quale el punto Z, e sia questa linea in la superfitie del viso e de l’asse la quale sia AZ e ducanosi LZN, DZC. Q sia el punto de la linea TH, el punto scilicet el quale sia in la superfitie del viso e de l’asse, ed al punto Q ducasi equidistante a la linea DZC. Questa linea sopra l’asse ZL et N [ZLN] caderà in questa linea sopra el punto Q. Cagia in lo punto N. [5.35] Manifesto per le predette cose che l’angulo HBO equale ODE. Ma l’angulo HBO equale a l’angulo LBD per contraposizione, e l’angulo OBE equale a due anguli BED, HGD [BDE] perché estrinseco [Ergo angulus LBD equalis duobus angulis BED, BDE. Fiat] e adonche angulo MBD [equalis angulo] BDE. Rimane angulo MBL equale a l’angulo BEL, per la quale cosa el dutto EM in ML equale al quadrato BM. [5.36] Ducasi la linea MZ. Perché l’angulo BDM magiore de l’angulo ZDM e due latera ZD, DM equale a due latera BD, DM, serà MB magiore MZ, per la quale cosa el dutto EM in ML magiore del quadrato MZ. Sia el dutto EM in MI equale al quadrato MZ e ducanosi le linee IB, IZ. Serà adonche l’angulo MZI equale a l’angulo ZEI, per la quale cosa MZB magiore de l’angulo ZED. [5.37] Ma perché l’angulo MBD posito fia equale a l’angulo BDM serà la linea MD equale a la linea MB. Ma MB magiore MZ, adonche l’angulo MZD magiore de l’angulo MDZ. Adonche l’angulo DZL magiore de dui anguli ZDE, ZED. Per la quale cosa l’angulo NZC magiore de l’angulo DZE. [5.38] Seghesi ad equalità per la linea FZ la quale certamen [130 recto b] te concorerà cum la linea NQ, sopra el punto el punto N. Cum ziò sia che l’angulo FZC equale a l’angulo CZE, si rifirisse F ad E dal punto Z. Q se rifirisse ad E dal punto de la linea de la longitudine passa per Z, dal punto che si AZ, scilicet ultra Z. E si dal punto citra Z più propinquo la linea dutta dal punto Q a quello punto de la riflessione, secarà la linea FZ e così el punto de la sectione se riferisse ad C da dui punti, che fia impossibile.

[5.39] Sumassi adonche ultra Z el punto K dal quale si rifirisse Q ad E, e ducasi la linea EK per fino che concorra cum la linea NQ in lo punto P. Serà P la imagine de Q, ma H si rifirisse ad E dal punto de la sectione de la colona e se dal punto H si duca la perpendiculare sopra la contingente sopra la sectione in altro punto, quella perpendiculare concorerà cum la perpendiculare EZD sotto l’asse. Concorra in lo punto U. [5.40] Similmente dal punto T è da duxere una perpendiculare sopra la sectione dal punto de la quale se rifirisse ad C e perché li punti H, D [T] se riferiscono sono de uno medesimo sito rispetto de la linea CZD, e li punti de la sectione per le quale passano le perpendiculare adonche quelle due perpendiculare concorerano in uno medesimo punto de la linea CZD, concorano adonche nel punto N. [5.41] De la linea EB concorerano cum la linea HU, sia el concorso in lo punto R. Similmente EG concorra cum TU in lo punto Y e ducasi la linea RY. Manifesto che R sia imagine [H et Y] è imagine T, e habiamo el triangulo ERY. Fuori de la superfitie di questo triangulo fia el punto Z, e così la superfitie di questo triangulo fia più alta de la linea EU [EP], e così P di fuori per la quale cosa la linea RPY serà curva e quella sera imagine de la linea TH <equidistante> [et est quidem] fia questa imagine di pocha curvità, che fia el proposito. [130 verso a] Manifesto fia che in quisti speculi se la linea recta visa fosse equidistante a la linea de la longitudine de la colona sera l’imagine de essa recta, o veramente accedente a la rectitudine.

Ma se veramente la linea visa recta equidistante fosse a la latitudine de la colona serà la ymagine de essa curva non di pocha curvitate. [5.43] E le linee situade in queste due, le quale più accedono al sito de la linea equidistante rispecto de la colona serano le imagini de esse più vicine a la rectitudine, e le imagine di quelle le quale sono più propinque al sito de le equidistante a l’altitudine serano più curve. E diminuirasse e augmentarassi la curvità de le imagine sicondo l’acesso o la elongatione de le linee a l’altro de quisti siti e questo fia el proposito nostro.

[Pars sexta. In speculis piramidalibus exterioribus.]

[6.1] Anchora, nei spechij piramidali esteriori quigli medesimi erore adviengono i quali avvenghono in li sperici esteriori, le linee vise equidistanti a piramid [sic] o che pareno ritte o forsi equidistante a la latitudine curva, cum rimegiante augmentano o acrescieno la curvità sicondo la propinquità o la rimotione de esse, e questo certamente si provarà, ma una cosa proviamo che sia da premittere e sia.[6.2] [PROPOSITO 20] Se si prenda in la superfitie de la piramide el punto di la riflexione e faciase la sectione passiante per quello punto e in la sectione piglisse el punto più rimoto dal punto de la riflexione da lo acumine de la piramide e dal punto sumpto ducasi perpendiculare sopra la contingente la sectione questa perpendiculare concorerà cum a perpendiculare ducta dal punto de la riflessione sotto l’asse. [6.3] Per gratia de lo esempio sia ABGZ piramide erecta sopra le base sue [FIGURE 6.6.20], A da l’acumine de la piramide, BZF la sectione E punto de la riflessione Z punto de la sectione più rimoto dal punto A che E sopra el punto C [Z], sia la superfitie secta [130 verso b] nte la piramide equidistante a la base, secarà sopra el circulo comune, fia quello circulo GBRZ, e ducanosi le linee AZ, AE, e producasi AE per fino che sia equale AZ. Virà certamente al circulo. Cagia adonche in lo punto de esso <ec> O. [6.4] C sia el centro, e ducasi l’axe AC ed al punto E, si duca la perpendiculare sopra la superfitie contingente la piramide, concorerà certamente cum l’asse citra el centro del circulo el quale fia C. Sia in lo punto D, e ducasi la linea DZ. [6.5] E dal punto O si duca la perpendiculare concorente cum l’asse in lo punto K, e ducanosi le linee DZ, KT. E sopra el punto Z ducasi la contingente la sectione, la quale sia TQ, e l’altra contingente el circulo BGZ, che sia ZY. [6.6] E ducasi la linea BCZ, e dal punto C si duca la perpendiculare BCZ, che sia EZ, serà certamente la perpendiculare sopra l’asse, cum ziò sia che l’axe sia perpendiculare sopra la superfitie del circulo, per la quale cosa CR fia perpendiculare sopra la superfitie ACZ. E serà equidistante a la contingente CY [ZY] per la quale cosa CY fia perpendiculare sopra medesima superfitie [ACZ, quare TQ, non est perpendicularis super eandem superficiem]. [6.7] Ma perché K fia el polo al circulo BRZ, cum ziò sia che le linee K[O], KZ siano equale a l’asse AK comune, serà l’angulo ACK [AOK] equale a l’angulo AZK e così l’angulo AZK recto. Cu ziò sia che la linea KZ sia perpendicolare sopra AZ, che sia linea de la longitudine, serà perpendiculare sopra AZ che fia linea de longitudine, serà perpendiculare sopra la superfitie contingente la piramide sopra questa linea de la longitudine. Ma TQ fia in la superfitie contingente perché fia comune a la superfitie contingente la sectione. Adonche KZ fia perpendiculare sopra TQ. [6.8] [Ducatur autem HZ in superfitie sectionis perpendicularis super lineam TQ] Cum ziò sia che la linea KZ fia fuori de la superfitie de la sectione, secarà la linea HZ, né serà una linea cum quella superfitie. Adonche KZH secarà la superfitie de la sectione sopra la linea comune HZ e secarà la linea CO [TQ] sopra el punto Z e la super [131 recto a] fitie AZK secarà la superfitie AZKB [AZH] sopra la linea comune KZ. [6.9] Ma DZ sia in la superfitie de la sectione e seghasi da la linea KZ in lo punto, e lo punto T <sopra la superfitie> sopra la superfitie KZH el punto Q di sotto [infra]. E così la superfitie KZH secarà la superfitie DZQ sopra la linea comune e così la linea comune fia perpendiculare sopra la linea TQ, perché quella linea fia in la superfitie HZK sopra la quale fia la perpendiculare TQ. E perché la superfitie HZK seca la superfitie DZQ e la declinatione de la superfitie HZK sia da la parte ZE, serà la linea comune a la sectione de quelle superfitie tra la linea QZ e DZ e così concorerà cum la perpendiculare ED sotto l’axe. E che necessariamente concorra fia provato in lo libro quinto in la decimanona [figura], e così el proposito.

[6.10] [PROPOSITO 21] Sia adonche la piramide de la quale lo acume A, [FIGURE 6.6.21] l’asse AH, la linea de la longitudine AZ e dal punto Z ducasi la perpendiculare sopra la superfitie contingente la piramide in la linea AZL la quale necessariamente concorerà cum l’asse, sia la linea TZH. [6.11] Ducasi dal punto la linea fuori de la piramide sopra la superfitie contingente de la piramide in la linea AZ faciente l’angulo acuto cum l’asse e cum la linea de la longitudine AZ, che sia N. E in la superfitie AHN dal punto H, ducasi la linea cum l’asse faciente l’angulo equale a l’angulo AHZ la quale linea veramente concora cum la linea AN, che sia HO. E facto sopra punto Z el circulo equidistane a la base passarà HO per la circolo como HZ passarà per esso. [6.12] Ducasi da la linea OZ e producasi dal punto F. Perché la linea OZ fia sopra la superfitie contingente la piramide in la linea AZ, cum ziò sia che la linea HZ sia perpendiculare sopra quella superfitie, serà l’angulo OZH magiore de lo recto. Adonche l’angulo FZH acuto. [6.13] Dal punto Z ducasi contingente sopra el circulo che sia ZM, e dal punto F ducasi la perpendiculare sopra AZ cadente in lo punto de essa E, la quale [131 recto b] producta concorerà cum AO, perché l’angulo OAZ fia acuto, concorra adonche in lo punto N, e dal punto E ducasi equidistante a la linea TH, e sia QE. [6.14] E dal punto E ducasi la linea equidistante a la linea MZ, la quale fia LE. Manifesto che MZ sia perpendiculare sopra AE, però che fia perpendiculare sopra TH e sopra el diametro del circulo del quale la fia contingente. Adonche LE fia perpendiculare sopra AE. [6.15] Faciase inanti la superfitie LDQ secante la piramide. Serà certamente la sectione de la piramide. Cum ziò sia che adonche AE sia perpendicolare sopra FN, e sopra QD, e sopra L[E]. Serà FN in la superfitie zioè in quella superfitie secante la piramide faciase adonche OF [CF] equidistante [QE. Erit quidem equidistans] DZ [TZ]. [6.16] Ma è vero che l’angulo [O]ZT fia acuto e l’angulo TZF sia obtuso. Ducasi dal punto Z la linea fatiente cum AZ [TZ] l’angulo equale a l’angulo OZT, la quale linea certamente non secarà [necessario secabit] FC. [Secet] in lo punto [C]. E ducasi la linea CE. Cum ziò sia ET [CZ] OZ siano in medesima superfitie e l’angulo EZT [OZT] [equalis angulo TZC, [punctus O refertur] ad C a punto Z. [6.17 ][Verum quoniam angulus OZT] equale a l’angulo ZFC, e l’angulo OZT equale a l’angulo ZCF, serano latera ZC, ZF equali et <qz lz qz> angulo F[E]Z recto, lo quadrato FZ vale el quadrato EZ, EF, e lo quadrato CZ vale el quadrato EZ, [EC]. E adonche CE, FE equali, così li anguli ECF [EFC] serano equali, per la quale cosa l’angulo NEQ, QEC equali. Cum ziò sia che siano in una medesima superfitie C, E, N, si rifirisse N ad C dal punto E. [6.18] Similmente ducasi già F che d’una linea ad alchuno punto de la linea ZE, [ET producatur usque ad ON. Probabitur de puncto linee] ON in la quale cade, che se rifirisse ad C dal punto ZE, perché seca quella linea. Per simili modo e de tute quelle linee la probatione prenderà el cominciamento da la perpendiculare, la quale fia, FE, e da la parte de la linea EZ che serà comune termine e così ziascheduno punto de la linea ON se referisse ad C da altro punto [131 verso a] de la linea EZ. [6.19] [PROPOSITO 22] E per questo modo dechiarato diciamo. Cum ziò sia cosa che el viso comprende le linee recte transeunte per lo capo de lo spechio piramidale con[v]exo recto oblique sopra l’asse de lo spechio. In questo spechio alora la forma de esse serano pocho con[v]esse.

[6.20] [PROPOSITO 22] Sia adonche el spechio piramidale erecto ABG del quale el capo sia A [FIGURE 6.6.22], del quale l’asse sia AD estrahamo, zioè chaviamo fuori in la superfitie de essa la linea AG [AZ], per ogne modo che se sia, in la quale si signe el punto [Z] e per qualunque modo se sia. E passi per Z la superfitie de le equidistante a la base de la piramide, e facia el circulo ZU. E chaviamo de Z la perpendiculare ZH sopra AZ. Questa linea adonche concorerà cum l’asse de la piramide, concora adonche in H. [6.21] E chaviamo fuori de Z la linea contingente el circulo, e sia ZM, e chaviamo fuori de A la linea contingente [continente] cum amedue le linee AZ, AH l’angulo acuto, e sia fuori la superfitie contingente la piramide transeunte per la linea AZ, e questo possibile sia. Sia adonche AC e chaviamo dal punto H la linea in la superfitie in la quale sono AC, AB, contingente cum AH l’angulo equale a l’angulo AHZ. Questa linea adonche concorerà cum AO perché questi dui anguli A, H, sono acuti. Concorano adonche in O. [6.22] La linea adonche HO concorerà cum la circonferenza del circulo ZU <linea> l’angulo AHO fia equale a l’angulo AHZ, concora adonche in N [U], e chaviamo AU rectamente, e chaviamo la perpendiculare HZ ad T, e continuiamo OZ, e chavisi rectamente da F, e chavisi AZ ad E. L’angulo adonche FZH serà acuto perché la linea OZ seca la superfitie contingente la piramide transeunte per AZ. La linea adonche FZ fia soto la diferentia del co [communi] tra la superfitie OZH e la superfitie contingente [continet] cum la linea HZ, l’angulo recto. L’angulo adonche [O]ZH fia obtuso. Adon [131 verso b] che l’angulo FZH fia acuto. [6.23] Ponghasi adonche in ZF punto F dal punto dal quale si chavi la perpendiculare FE sopra AE, cavissi rectamente. Concora adonche cum la linea AO e l’angulo OAE fia acuto. Concorra in N e chavisi da E la linea ED equidistante ZH linee. Serà adonche ED perpendiculare sopra la superfitie contingente la piramide transeunte per AE. [6.24] Cavissi da E la linea equidistante a la linea ZM, e sia EL. E cavisi la superfitie in la quale sono LE, ED. Secarà adonche la superfitie de la piramide e faciat lectore [faciet sectorem], e questa superfitie sia obliqua sopra l’asse AD, [6.25] sia adonche la sectione BEG et MZ fia perpendiculare sopra la superfitie AZH e questo sia dechiarato in le predette cose. Adonche la linea LC fia perpendiculare sopra la superfitie AED. Adonche l’angulo AEL fia recto adonche le linee LE, NC, DE sono in una medesima superfitie. Adonche la linea FEN fia in la superfitie de sectore, credo vogla dire de la sectione. [6.26] E chavisse de F la linea equidistante a la linea DE e sia FK [FR]. Questa linea adonche equidistarà a la linea HZ. E cavisse de Z in la superfitie ORH la linea continente cum ZT l’angulo equale a l’angulo OZT. Questa linea adonche concorerà cum FR, <quia> perché secarà ZI [ZF] equidistante FK, ed è in la superfitie de esso, perché ZF fia in la superfitie de esso. Concorano adonche in R. [6.27] Adonche due anguli i quali sono apresso ZF sono equali e sono equali a due anguli i quali sono apresso R, F, sono equali a dui anguli i quali sono apresso Z. Due linee adonche KR [RZ] e FR sono equale. E dechiarato fia che la linea FM fia equidistante a la linea ED fia adonche in la superfitie del sectore. [6.28] E continuemo KE serà adonche in la superfitie del sectore e cavisi DE ad K, e dechiarato fia che EA fia perpendiculare sopra la superfitie del sectore. [132 recto a] < e cavisi DE ad K, e dechiarato fia che EA fia perpendiculare sopra la superfitie del sectore.> L’uno e l’altro angolo adonche AER, AEF fia recto e due linee FZ, RZ sono equale. Adonche dui anguli EZF sono equale. [6.29] Adonche la forma N si converterà ad R, da E, e la forma O si converterà ad R da Z. E ogne linea erecta ex F ad alchuno punto de la linea AN secarà AE. E manifiesto fia che quella linea serà equale a la linea estracta de K [R], perché AE fia perpendiculare sopra la superfitie in la quale sono RE, FE. E questa superfitie sia superfitie del sectore e due linee RE, FE sono equale adonche ogne due linee estracte ex R, F, ad alcuno punto de la linea AE sono equale. [6.30] Manifesto fia adonche che la forma del punto che sia in AN si convertirà ad K da quello punto che sia in AE. E similmente de ogne punto posito in AN, ultra N, se serà congiunto cum F, e per la linea recta, quella linea recta secarà AE ultra AE. E manifesto fia che la forma del punto che fia in AN si convertirà ad Z dal punto in AE. Manifesto fia per questo che la forma de la linea AN, e zioche si continua quando si converterà ad R da la superfitie de la piramide ADB [ABG] ex linea recta e così ogne linea estracta da A obliquamente sopra l’asse. [6.31] E continuisse ND. Secarà adonche la circumferentia del sectore perché dui punti Z, E, [N, D] sono in la superfitie del sectore, ma N fia fuori del sectore, RO [D] fia intro el sectore. Seghi adonche in la circumferentia del sectore in C, perché el triangulo AOH fia in una medesima superfitie, serà ND in la superfitie del triangulo AOH. [6.32] C adonche fia in la superfitie del triangulo AOH e dui punti A, N sono in la superfitie del triangulo, zioè di questo triangulo. Adonche li punti A, N, C, sono in la superfitie [trianguli AOH, sed puncta A, U, C sun in superficie] de la piramide [Ergo puncta A, U, C, sunt in differentia communi superfiei piramidis] e a la superfitie AND. Ma questa fia la diferentia cum la linea recta. Adonche li punti A, U, C sono in [132 recto b] la linea recta. [6.33] Chavisse adonche AU rectamente [ad C, et extrahatur RZ recte]. Secarà adonche [O]H, Seghi adonche il lo punto P. Adonche fia in la superfitie de lo triangulo ACH [AOH]. Continuisse [ergo AP, et transeat recte. Secabit] adonche ND in H [G] e perché F fia in la superfitie contingente la piramide transeunte per la linea AZE, serà l’angulo FED acuto e l’angulo D[E]N fia obtuso. Adonche l’angulo ENC fia acuto- [6.34] E sia la linea IZ [CZ] contingente al sectore. Manifesto adonche, como in la figura [predicta], che l’ngulo DCZ fia obtuso e che la perpendiculare estracta de C, sopra CZ, secarà l’angulo DEZ e concorerà cum AD sotto DH [ED sud D]. Adonche la perpendiculare secarà AD [ED] in S. [6.35] Perpendiculare adonche estracta de N, sopra la linea contingente al sectore secarà el sectore ultra S [C], similmente [scilicet] più rimoto de E cha S[C], perché queste perpendiculari concoreranno ultra la circonferenza del sectore. La perpendicolare adonche extracta de N sopra la linea contingente el sectore non secarà l’angulo EZH [DCZ]. Serà adonche più rimoto de NE che ED, e questa perpendiculare seca AD [ED] sotto D. [6.36] sia adonche la perpendiculare estracta de N sopra la linea contingente el sectore la linea NQ. Et UE [RE] seca EN, e seca la circonferenza del sectore e fia in la superfitie de esso [et Nq est in superfitie sectoris] Si adonche si cavi rectamente [RE] secarà NQ. Seghi adonche in Y. [6.37] E la superfitie AND secarà superfitie del sectore. Perché el punto E è fuori de la superfitie AND, no fia superfitie del sectore. A <, N> fia fuori de la superfitie del sectore perché AE fia perpendiculare sopra la superfitie del sectore, et E fia in la circonferenza comune a la superfitie AND e a la superfitie del sectore et LQ [NQ] concorerà cum lo sectore oltra C. Adonche NQ fia oltra la superfitie AND. Y adonche fia [132 verso a] oltra la linea APH [APG] [6.38] Ma se el viso fosse in R, e la linea de la longitudine [linea AON vedi nota 90 di smith] fosse in alcuno visibile, alora P serà imagine O e Y serà imagine N e [A] vederassi in lo suo luogho perché fia nel capo de la piramide e serà la imagine de la linea AON la linea transeunte per li punti A, P, Y, ma questa linea sia conessa perché fia oltra APH [APG]. [6.39] Sia adonche quella linea APY, e già fue manifesto che la linea de tuti li punto che sono in AN si convertino ad K [R] da AE. La linea adonche radiale per le quale si convertono quelle forme sono in la superfitie del triangolo KZE [RZE], tute adonche le imagine de la linea AN sono in questa superfitie. [6.40] Adonche la linea APY conessa fia in questa superfitie et P più propinqua ad K [R] che Y, e serà la conexità di questa imagine da parte del viso, e serà quella linea in pocha quantità. Le imagine adonche de le linee recte le quale si chavano dal capo piramidale obliquamente sopra l’asse si comprendono dal viso in tale spechio e le forme di queste linee si convertono da le linee estense in la longitudine de la piramide. E questo fia quello el quale intendiamo de dechiarare.

[6.41] Le forme adonche de le linee equidistante a la latitudine de lo spechio piramidale convexo si convertino da le linee conexe in la superfitie de lo spechio e la conessità di quelle linee si manifesta como in lo spechio colonale conesse e per quella medesima via anchora si manifestarà similmente che le ymagine di queste linee serano in uno conesse e manifeste al senso. E serà el centro del viso fuori de la superfitie in lo quale sia conessità de la forma o voi de le forme di queste linee e serano li diametri de le imagine di queste linee [132 verso b] molto minore de esse linee. [6.42] E de le linee oblique existente tra quisti dui modi le quale apropopinquano il suo sito a le linee estense in la longitudine de la piramide hanno le forme pocho conesse e quelle le quale se apropinquano a le linee equidistante a la latitudine de la piramide hanno le forme manifestamente conesse. [6.43] Ma pure le linee tortuose le quale apropinquano al capo de la piramide hanno le forme minore e più strecte e più conexe. E quelle che s’apropinquano a la base de la piramide hanno le forme più larghe per quello che fia dechiarato e fue ne spechij sperici conessi che quanto meno fosse el spechio tanto minori serano li circuli cadeno in la superfitie de quello e così le imagine serano più propinque al centro e però adonche serano minore [6.44] E similmente li sectori che cagieno nel spechio piramidale i quali sono da la parte del capo de la piramide sono più stricti o minori e così la imagine serà più propinqua al punto in lo quale concorano le perpendiculare esseunte da la linea visibile perpendiculare sopra le linee contingente li sectore che sono differentie comune, e però queste imagine seranno comune minori. [6.45] Sectori i quali sono da la parte de la base de la piramide e questo unde aviene che la forma comprensa in lo spechio piramidale conesso serà piramidata, zioè che serà da la parte del capo del spechio più strecto e che da la parte de la base serà più largo e la conessità de la latitudine de la forma serà manifesto. [6.46] E adviene in quisti speculi che quanto più la cosa visa se apropinquarà al spechio parerà magiore e quanto più serà rimota parerà minore. [6.47] Le fallacie adonche che avenghono in quisti spechi sono simile in tuti quelle dispotio [133 recto a] ne le quale avenghono ne spechij colonari conessi fuori che in la piramidatione de la forma. E per ogne modo la forma de la cosa visa la quale si comprende per conversione sempre se assimilarano le forme <a la forma> a la forma de la superfitie del spechio dal quale si converte la forma. E di questo fia la cagione che sempre lo luoco de la imagine si constituisse de la forma de la superfitie del spechio e de luoco de concorso de le perpendiculari imperò sempre le parti superiore de lo spechio ha alcune dignità in la forma de la cosa visa la quale si comprende in lo spechio. Le falatie veramente composte in questo spechio sono simille a la falatie predette in lo spechio.

[Capitulum septimum. De falatie que accidunt in speculis spericis concavis]

[7.1] In quisti più avenghono che in tuti li spechij conessi e in esse superfitie aviene quelle cose le qualle avenghono in quelle, zioè la debilità de la luxe e del colore e la diversità del sito e de la rimotione e la cagione di questa solamente sia la conversione, no la forma del spechio. Adviene anchora in quisti spechij da la diversità de la quantità, più cha ne spechij conessi. E similmente magiore parte la cosa si comprenderà minore, ma ne concavi alchuna volta si comprenderà magiore, alchuna volta minore, alchuna volta secondo che fia. E questo fia sicondo la diversità de le positione de desso dal spechio ed al viso como noi dechiaramo in questo spechio [capitulo]. [7.2] Adviene ancora in quisti spechij che uno visibile apare due, e tri, e quatro e non è così ne spechi superfitiali conessi uno fia el visibile e non si comprende in quigli se no uno, ma ne concavi no. [7.3] Anchora, la ordinatione de la cosa visa, zioè de le parte de la cosa visa, si comprende in li speculi conessi e ne le superfitie sicondo che fia, me ne spechij concavi in più siti per altro modo e queste due comprensione de uno e la comprensione de le parte sicondo che fia no ha alchune de [133 recto b] ceptione in li speculi conessi sperici e cum quisti adviene la deceptione in li spechij sperici concavi, manifesto fia che niente si comprende in così fatti spechij si no cum fallatia o sempre, o in alchuna cosa, sicondo la diversità de la dispositione. [7.4] Ma la debilità de la luxe e del colore, e la diversità de la positione e la distantia aviene in quisti spechij como ne gl’altri sempre, e in ogne positione.

La quantità e la forma [et numerus habent] questa deceptione in quisti spechij in alcuni sito, como noi dechiareremo. [7.5] Ma de numero fia dechiarato in lo capitulo de la imagine e uno viso ne spechij concavi ha una imagine, e due e tre, o quatro e che la forma de la cosa sempre si comprende in lo luoco de la imagine. Ma una cosa visa compresa in li speculi sperici e concavi forsi si comprenderà uno, forsi due, e forsi tre e forsi quatro, che non aviene in li speculi convessi e in le superfitie. [7.6] De la ordinatione de le parte de la cosa visa como anchora fue dicto in lo capitulo de imagine che la forma de uno punto si converte da la circonferenza di uno punto del circulo e li visibili di quali le imagine sono de drieto dopo el viso e inanci e in lo centro del viso apareno dubi, non certificati e che così sia, no ha ordinatione de le parte como ha quella cosa visa. E questo anchora è in quisti speculi convessi e superficiali e le cagione di questa cosa dechiarata sono in lo capitulo de la imagine. [7.7] Resta adonche a dechiarare che quello che si comprende in quisti speculi forsi magiore e forse minore e forsi equale e che in alcune positione forsi si comprenderà converso e in alchune erecto, e quello che è erecto in quisti speculi si comprendeno concavo e convesso erecto e che fia convesso e concavo anchora altramente si comprendeno altraminte che igli se siano. E queste sono per la diversità de le ordinatione de le parte [133 verso a] de la cosa visa e noi dechiareremo questo per questo modo. [7.8] [PROPOSITIO 23] Sia le spechio sperico concavo in lo centro A [FIGURE 6.7.23] e seghesi in la superfitie equalmente transeunte per lo centro e facia el circulo BG, e chavisi in quella linea per qualunqua modo se sia e dividase in due parte equale in O. [7.9] E ponghase A centro e in la distantia AO faciamo el circulo, e sia EZ. E ponghasi in la linea ON el punto T, casualmente per qualunque modo se sia. E da T chavinose le linee TN, TM recte sopra la linea AU. E cavissi da T la linea TE, DZ [TZ] tochante lo circulo EZ, continuemo AE, AZ, e passino ad BG, e continuemo TB, TG e chaviamo BM equidistante ad AT et GN, anchora equidistante AT, e continuemo AM, AN e chavinosi recte. [7.10] Perché adonche AO fia como OU, serà AE com EB e AZ como ZG. E perché TE tocha el circulo EZ, serà TE perpendiculare sopra BA, e similmente perpendiculare TZ sopra AG. La linea adonche BT fia como TA <e l’angulo BTA> e TG como TA, e l’angulo TBA como l’angulo TAB e l’angulo TGA como l’angulo TAG, e perché BM fia equidistante AT serà l’angulo MBA como l’angulo BAT [ABT]. Adonche l’angulo MBA fia como l’angulo ABT, e similmente TAG como l’angulo AGN. [7.11] Quando adonche el viso in T, e M, B fosse in alchuno visibile alora la forma de M se estenderà per la linea MB e convertirasse per BT, e la forma B [N] se estenderà per NG e convertirasse per GT. El viso adonche T comprenderà i punti M, N de li punti B, G e la linea MN de l’archo BG. [7.12] E perché TE fia perpendiculare sopra AB serà l’angulo ABT acuto, ma l’angulo MBA fia como l’angulo ABT. Adonche BT fia magiore BM. Adonche AT [TB] fia magiore BM e sono equidistante. Adonche TB concorerà cum AM. Concorano adonche in F. F adonche fia imagine M, e così se dechiarerà che concorerà cum AN e concora in Q. [Q] adonche serà imagine N. [7.13] E continuamo [133 verso b] FQ che fia diametro de la imagine MB e perché TE, TS [TZ] sono equali serano li anguli TAB, TAZ equale, e serano le linee TB, TG equale <e le linee bm gln equale> e le linee AM, AN, equale. E la proportione AF ad FM como la pro[po]rtione AT ad BM [GN], e la proportione AF ad FB [AT ad MB] como la proportione AT ad BM [AF ad FM], adonche la proportione AF ad FQ [FM] fia como la proportione AQ ad QN, et AM fia como AN. Adonche AF fia como AQ; adonche FQ equidista MN. Adonche FA [FQ] fia magiore MN. Ma FQ è diametro de la imagine MN. Adonche se el viso fusse in T et MN fosse in alchuno visibile alora el viso comprenderà la forma magiore che essa sia.

[7.14] [PROPOSITO 24] Anchora, rifiaciamo il circolo BG [FIGURE, 6.7.24] e la linea AT, e la linea AB, AG, TB. E sopra el punto sia perpendiculare sopra la superfitie del circulo BG e sia TK e continuemo KA, KB [KG]. La superfitie KBA, KGA sono secanti la spera sopra el so centro perpendiculare sopra la superfitie tangente esso. Di quelle adonche si converte la forma, e due differentie comune in queste due superfitie e la spera sono circuli grandi da la circonferentia di li quali se converte la forma, o voi si convertono le forme. [7.15] E chaviamo BM in la superfitie BKA equidistante AK, e sia minore che AK. E continuemo AM e chavissi rectamente e chavissi KB per fino che concorra in F. E chavissi NG in la superfitie KGA, e sia equidistante AK, e ponghassi equale BM. E continuamo AN, e chavissi rectamente, e chavissi ZG [KG] rectamente perfino che concorano in Q, e continuemo MN, FQ. [7.16] E perché adonche BT fia como TA serà BK como KA, e GK como KA. Adonche BK fia como GK, e l’angulo KBA fia como l’angulo KGA, e l’angulo KAB fia como l’angulo KBA. E similmente l’angulo KGA fia como l’angulo KAG. Adonche l’angulo ABM como l’angulo [ABK et angulus] ANG. E la linea BM serà como GN. Alora linea AM serà co [134 recto a] mo la linea AN, alora AF serà como la linea AQ. Alora due linee FQ, MN serano equidistante; alora FB serà magiore de la linea MN. [7.17] Alora quando serà el viso sopra el punto K e fosse la linea MN in alchuno visibili alora la forma M se estenderà sopra la linea MB e converterasse per la linea BK in la superfitie del circulo transeunte per li punti B, A, K, e la forma del punto N se estenderà sopra la linea NG e converterasse sopra la linea GK in la superfitie del circulo transeunte per li punti G, A, K. [7.18] E serà la imagine del punto F [M] el punto M [F], e lo punto Q serà l’imagine del punto N, e serà la linea FQ diametro de la ymagine NM. E già habiamo che la linea EQ fia magiore de la linea MN alora quando el viso fosse el viso sopra punto Z [K] e fosse la linea NM in alchuno visibile alora el viso comprenderà la forma de la linea MN sopra la linea FQ. Alora comprenderà la forma magiore de la cosa visa. [7.19] E così si noi haremo rivoluti tuta la figura in circulo de la linea AY [AU], essa esistente immobile. Alora el punto K fa circulo perpendiculare sopra la linea AU e sia ogne punto oltra quello circulo [punctum]

di quello circulo haverà sito rispecto la linea, compare a la linea MQ [MN] como fia el sito K rispecto MQ [MN].

[7.20] Si adonche el viso fosse in alchuno punto de la circonferentia di questo circulo, la linea compare a la linea MQ [MN] fosse in la superfitie de alchuna cosa cosa visa, alora el viso comprenderà la forma di quella linea magiore. E similmente si noi chaviamo TK rectamente e poremo in essa alchuno punto oltra K e chavemo sempre da altro punto che sia e q. [quasi] punto K, serà el modo de esso como modo del punto K. [7.21] Da queste due figure adonche fia manifesto che in lo sperici spechij concavi molte cose e da molti siti si comprendono magiore. [7.22] [PROPOSITO 25] Ancho [134 recto b] ra fia el spechio aperico AB circa el centro E [FIGURE 6.7.25] e chaviamo la superfitie transeunte per E e facia el circulo AB. E chaviamo de E la linea EZ per qualunqua modo si fosse per fino ad G, e da G chaviamo GD perpendiculare sopra la superfitie del circulo AB e con essa signemo al punto D, per qualunque modo si fosse. Continuemo DE e chaviamo essa per fino ad O, et chaviamo AB [EB] si che contenga cum ED l’angulo obtuso, e chaviamo essa [EA] si che contengha cum ED l’angulo equale a l’angulo DEB. E coninuemo DA. DU si che adonche la superfitie de dui trianguli DAE DBE secanosi sopra la linea DE, e due anguli acuti DBE, DAE, serano equali. [7.23] E chaviamo adonche de B la linea in la superfitie del triangulo DEB contigente [continentem] cum EB l’angulo equale a l’angulo DEB. Questa linea adonche concorre cum la linea DE perché l’angulo DEB [BEO] fia acuto [et angulus qui est apud B esta acutus]. Concorerà adonche in O. [7.24] E chaviamo de essa la linea in la superfitie del triangulo equale a l’angulo DAE. Contingente [continentem] cum AE l’angulo equale a l’angulo DAE. Concorerà adonche cum DE in O, perché due anguli AEO, BEO sono equali e gli anguli i quali sono ap[ud] dui punti A, B, sono equali. [7.25] E chaviamo ET si che contengha cum EB l’angulo [rectum], e chaviamo TE in parte E et BO in la parte O e concorra MH e serà TE equale EH e similmente chaviamo EK, si che contengha cum essa [EA] l’angulo recto, e chaviamo AO, e conocrra in L. Sia adonche KE, serà equale KL [EL]. E continuemo TK, LH serano adonche equale e si adonche el viso fosse in D et LH fosse in alchuno visibile alora D comprenderà LH in questo spechio AB, serà T la imagine H, e K è la imagine L, sia TK el diametro de la imagine LH e fia a essa equale. [7.27] Si adonche rivoltaremo tuta la figura [134 verso a], HL inmobile alora D frà acirculo , e si el viso fosse in alchuno punto de la circonferenza di quello, poterò comperendere alchuno visibile compare a la linea LH e serà imagine de essa equale a quella. E similmente se el viso fosse in O,e la cosa visa fosse TK, serà la imagine equale a la cosa visa [7.28] Ma pure quando la cosa visa fosse [LH] el viso D fosse la imagine TK, imagine serà conversa. Se H fosse in destra parte [T] serà in la sinistra, e si H fosse in la sinistra, serà T in la destra, e se H fosse sopra la linea, serà T infra la linea, e similmente B [L]. [7.29] E se la cosa visa fosse TK e lo viso O, e la iamgine fosse <mh> LH, la forma serà recta e la imagine LH serà de drietro dopo el viso e comprenderassi inançi a la cosa visa, como noi habiamo dechiarato on lo libro, o voi in lo capitulo, de la imagine de lo quinto tractato, el viso comprende H e fia l’imagine T in la linea BO, et L che è la imagine K, in LO. [7.30] Fia manifesto adonche che ne spechij concavi si comprenderà la cosa alchuna volta equale a se. [7.31] [PROPOSITO 26] Anchora, chaviamo BH recta e in quella assignamo K e continuemo RE. Sia adonche l’angulo REB, serà obtuso. [7.32] E chaviamo RE ad N, Sia adonche RB, serà magiore cha BN. <E la proportione TB ad BN fia como la proportione RE ad EN. Adonche la linea RE fia magiore cha BN [EN],> e la proportione TB ad BN è como la proportione RE ad EN, adonche la linea RE fia magiore cha la linea EN. [7.33] Echaviamo AL rectamente e sia AM equale BR. Et continuemo MO [ME] e passi per fino ad U. Serà adonche ME magiore cha EU. E continuemo MR magiore cha UN. [7.34] Si adonche MR fuerit in aliquo visibile e lo viso fosse in D serà NU diametro de la ymagine MR, et NU fia magiore [minor] che MR. E se il viso fosse in O, e UN fosse in alchuno visibile serà MR la imagine NU e fia [134 verso b] magiore cha NU. [7.35] Ma quando MR fosse visibile e MR [NU] fosse la imagine, la imagine serà recta, e si la imagine fosse ultra el viso [videbitur ante, et omne punctum ymaginis] si vederà in la linea in la quale fia le linee radiale. [7.36] [PROPOSITIO 27] Anchora, signemo in la linea OH el punto Q. E continuemo QE, e passi ad [C. Et sit OF equalis OQ, et continuemus EF, et transeat ad] I. Adonche due linee QE [CE] EI magiore de due linee QF, QE, e serà la linea Q [CI] magiore che la linea FQ. [7.37] Se adonche el viso fosse in O, e Q [CI] in alchuno visibile serà FQ la imagine [CI], e FQ fia minore cha CI. EFQ viderasse [supra] le sue linee AO, OB. Serà adonche la forma inanci al viso e minore che la cosa visa e serà erecta. [7.38] E si fosse in D et FQ fosse in alchuno visibile serà CI imagine FQ. E fia magiore FQ, e serà la forma inanci al viso conversa. [7.39] Manifesto fia adonche che ne spechij concavi si comprende la forma de la cosa visa magiore, minore et equale. [7.40] [PROPOSITIO 28] Anchora, fia el spechio concavo AB [FIGURE 6.7.28], el centro G e habie la superfitie equale transeunte per la centro e facia el circulo AB, e chaviamo la linea GD, per ogne modo che se sia, e passi in la parte G ad Ee sia el viso in E, e sia T in la superfitie del viso. [7.41] E chaviamo TH perpendiculare sopra la linea ED, e sia ZD [ZT] equale TH, e comprenda E el punto H de A. E così serano adonche dui punti A, H da due latera del punto G, perché si fosseno in uno medesimo alora la linea che uxisse dal spechio ad A non dividarebbe l’angulo che contenghono, due linee readiale. [7.42] E chaviamo le linee <k>, AH, GA, GHe passi GH rectamente ad K. Dui anguli adonche i quali sono apresso A serano equali e serà K imagine de H. [7.43] E sia l’archo BE [BD]equale a l’acho DA, e conitnuamo le linee EB, BI, BZ, BG, e chaviamo ZG ad I [L]. Serano adonche dui anguli apresso B equali e comprenderassi Z dal viso da B, e serà L imagine Z. [7.44] E continuemo KL. Serà adonche KL diametro de la imagine ZH, e [135 recto a] perché ZTH fia perpendiculare sopra DE, e ZT fia equale TH, serano due linee EA, AH equale a due linee EB, BZ, e dui anguli apresso [sunt equales duobus angulis apud] B, e la linea GH fia equale a la linea ZH [ZG]. [7.45] Adonche due linee AG, GH sono equale a due linee BG, GZ, e la base AH fia equale a la base BZ. Adonche l’angulo AHG fia equale a l’angulo BZL e l’angulo HAK fia equale ZBL. Adonche HK fia equale ZL, e la linea HG fia equale ZH [ZG]. <Adonche HB> Adonche KL [GK] fia equale GL. LK fia equdistante ZH. [7.46] Anchora, l’angulo HGA fia obtuso e dui anguli apresso A sono equali adonche la linea GH fia magiore de la linea GK e similmente ZG fia magiore che GL. La linea adonche KL fia minore cha ZH. Ma KL fia diametro de la imagine ZH. La linea adonche ZH parerà minore che essa se sia sicondo verità, e la linea ZH fia superfitie a la facia de lo respitiente.

[7.47] Si adonche rivoltaremo el circulo ad B, EG inmobile, in circuito faciase el circulo e faciase da dui punti A, B el circulo in la superfitie de lo spechio. E serà el sito del viso E, rispecto de ziascheduna linea compare ZH e da quello circulo el quale signa, o voi significa, ZH, e de ogne archo compare a l’arco AB de la portione la quale divide el circulo el quale signano dui punti A, B come è el sito el quale el viso E ha da la linea ZH e da l’arco [l]AB. E similmente si dicharirà si noi poremo la linea magiore che ZH, o minore. [7.48] Manifesto sia de tuto queste cose che el diametro de la superfitie a la facia de lo aspitiente si comprende in lo spechio concavo minore che ella sia. Sequisi adonche che simile in E. Alora aspitiente comprenderà la sua forma in così fatto spechio minore che essa sia, e perché K sia imagine de H, e L fia [135 recto b] imagine Z, e serà la imagine conversa. [7.49] e così el viso E comprenderà la sua forma sicondo che sia in la parte destra comprenderà anchora in la sinixtra e suso e zioso e così per lo contrario. E similmente se el viso fosse in ziascheduno punto tra el quale è la superfitie tra el quale è la superfitie del spechio fosse el centro del spechio, e comprenderà la forma sua conversa, e questo sia quello che noi habiamo voluto. [7.50] Manifesto è adonche per queste quatro figure che in lo spechio concavo alchuna volta si comprende magiore, alchuna volta minore, alchuna volta equale, e ora recta, ora converxa. [7.51] E nel capitulo de la imagine noi dissemo che nel spechio concavo alchuna volta la imagine serà una, alchuna volta due, alchuna volta tre, alchuna volta quatro, e questo medesimo adivene in queste preditti cose. [7.52] Quello adonche le quale ha ymagine magiore de sé, e che la equale, forsi harà altre minori ed equale, e che la minore imagine harà le altre minore [maiores] e ancho equale, e che ha equale forsi harà le magiori e minore, e quello che pare recto forsi si vede sotto altra ymagine converso e così ancho per contrario.

Resta adonche dechiarare le forme de esse i quali si comprendono in questo così fatti spechij. [7.53] [PROPOSITIO 29] Se adonqua el spechio sperico AB [FIGURE 6.7.29], chaviamo in esso spechio la superfitie equale transeunte per lo centro, e facia el circulo AB, circa el centro E, e chaviamo in questo circulo dui diametri secantise AEO, BED, e lo spechio non exceda l’arco BADO. E poniamo in BE punto K per qualunque modo se sia e poniamo in la linea AE el punto K, e sia AK magiore KE, continuemo ZK. [135 verso a] e passi ad F. E continuemo EF, e sia l’angulo EHF [EFG] equale a l’angulo EFZ. [7.54] E perché adonche FK fia magiore che KA, e KA è magiore che KE [erit FK maior quam KE]. L’angulo adonche FEK fia magiore de l’angulo EFH, la linea adonche FZ concorerà cum la linea KE. Concorano adonche in G. Due linee [ZF, FG] si convertino per anguli equali; K adonche fia ymagine G, se el viso sia in Z. [7.55] E chaviamo la linea ZLH per qualunqua modo sia, continuemo EH, HG, ZG e chaviamo FE, per fino ad M. La proportione adonche ZM ad MG fia como proportione ZF ad FG. E ZG [ZH] fia magiore cha ZF, e GH fia minore cha GF. Adonche la proportione ZG ad GH fia magiore che la proportione ZF ad FG. Fia adonche magiore cha la proportione ZM ad MG. La linea adonche che dividi l’angulo ZHG in due parte equale seca la linea MG; seca la linea EG. L’angolo adonche GHE fia magiore de l’angulo EHZ. [7.56] E poniamo l’angulo EHR equale a l’angulo EHZ. La linea adonche HR secarà la linea GF, e seca la linea EG, seghila adonche la linea EG in R. Adonche due linee ZH, HR si converterano per anguli equali, e serà H [L] la imagine R. Dico adonche che la forma de ziascheduno punto de la linea GR si converte al viso Z, e dal punto de l’arco FH, e no da altro di questa. [7.57] Di questa cosa la dimostratione fia, perché in lo capitulo de imagine, in lo quinto tractato in due figure <za e sg> [viginti septem et viginti octo] fia detto e che dui archi AB, DO, anchora ponno [non possunt] essere tali che da quigli si convertirà alchuna cosa da la linea EO ad Z, e l’arco non fia da lo spechio. Non rimane adonche si no l’archo AD. [7.50] Ma ne la tregesima quinta figura fia detto che la forma de ziascheduno punto del diametro EO si converte ad al [135 verso b] chuno punto de l’archo AD, e ne la trigesima sesta, in lo capitulo de la imagine, si manifestò che mai non si converte la forma del punto T ad Z da l’archo AD, si no da uno solo punto de l’archo AD. [7.59] E poniamo in la linea GR el punto C, la forma adonche C si converte ad Z da uno punto de l’arco AD. Dico adonche che quello punto del viso in l’archo KH [FH]. Si si converte C ad Z de U, che fia ne l’arco AF, e continuemo le linee ZU, CU, GU, EU. [7.60] La linea adonche GU serà magiore de la linea GF, et ZU fia minore cha ZF. Adonche la proportione GU ad ZU fia magiore de la proportione GU [GF] ad FZ. Adonche magiore de la proportione GM ad MZ. La linea adonche che divide l’angulo GZ UZ [GUZ] in due parte equale seca la linea ZM. Sechi adonche ZE. L’angulo GUE fia minore de l’angulo EUZ. Adonche l’angulo [C]UE molto minore fia de l’angulo EUZ. E similmente de ziascheduno punto de l’archo AU. La forma adonche non si converte ad Z sino da l’archo HF.

[7.61] E dico che non si po convertere si no da l’archo HD. Che si fosse possibile convertasi da Q, quello che fia ne l’archo HD. E continuemo le linee ZQ, OQ [CQ] IQ [RQ] ZR, EQ, e chaviamo EH ad N. La linea adonche fia minore [maior] cha ZH, e la linea QR fia minore che HR. Adonche la proportione ZQ ad QR fia magiore de la proportione ZH ad HR, che como la proportione ZN ad NR. La linea [ergo que dividit angulum ZQR in duo equalia secat lineam NR] secha la linea ER l’angulo adonche RQ[E] fia magiore de l’angulo EQZ [angulus ergo EQC est multo maior angulo EQZ]. Questo medesimo si segui in ogne punto de l’arco HD, la forma adonche C non si converte ad Z da l’arco [HD, neque ex arcu] AF. [7.62] Ma già fue manifesto che se deba convertere da l’arco AD. La forma adonche E non se converte si no da alchuno punto de l’arco FH. Convertisi adonche de T e continuemo le linee CT, ET, ZT. Perché adonche T fia tra dui punto F, H [136 recto a] [erit linea] ZT, tra due linee ZF, ZH. La linea adonche ZT seca la linea KL. Seghi adonche essa in I. I imagine de C, e C nisuna imagine ha si no I. [7.62] E così se dechiarerà che l’imagine de ziascheduno punto de la linea GR, serà punto de la linea KL. KL adonche fia imagine GR, e TZ [KL] fia linea recta la quale è parte del diametro del circulo. [Et GR est linea recta, quia est etiam pars dyamentri circuli]. Z adonche comprende la forma GR rectamente in lo spechio AB sperico, e questo fia quello che noi habiamo voluto.

[7.64] [PROPOSITIO 30] E rifaciamo la forma [FIGURE 6.7.30] E rivoltiamo sopra la linea GR da due latera, due archi per qualunque modo se sia, zioè GNR, GQR, e sia l’arco GNR secante la linea GH. E poniamo in la linea GR el punto M per quiqonqua modo sia. La forma adonche M si converte ad Z dal punto de l’arco FH. Convertasi adonche da T, e continuemo le linee ZT, MT. [7.65] Due anguli adonche ZTE, ETM sono equali la linea adonche MT secarà lungo l’arco GNR. Seghi adonche esso in N, e chaviamo la linea TM in la parte M. Secarà adonche l’arco GQR. Seghilo adonche in lo punto Q. E continuemo NC, e chavisi rectamente. Secarà adonche ZT sopra la linea KL. Segni quella in I. E continuemo FE [QE], e chaviamo esso rectamente. Secarà adonche ZT sotto [super] KL. Seghi adonche esso in C. [7.66] Perché adonche dui anguli T sono equali, serà I imagine N e dui punti K, L sono imagine de dui punti G, R. La imagine adonche de l’arco GNR fia linea transeunte per li punti K, I, L, [ut linea KIL]. Ma la linea KIL fia conessa da la parte del viso e l’arco GM fia conesso da la parte de lo spechio. Z adonche comprenderà la forma de la linea GNR conessa, la linea conessa. [7.67] E perché i due anguli T sono equali serà C anchora imagine Q e serà la linea LIK [LCK] da la parte del viso concava la imagine de l’arco GQR concavo da la parte de la superfitie del spechio. Z adonche comprenderà la forma de l’arco GQR concava, la linea concava. [7.68] Ne spechij adon [136 recto b] che concavi da alchuni siti si comprende la linea convessa conessa, concava concava. [7.69] [PROPOSITO 31] Anchora, sia el spechio concavo in la quale sia el circulo BD maximo, el centro G, e chaviamo la linea BG como se sia e dividiamo da essa la linea GT magiore de la metà. E chaviamo da T la linea ETZ perpendiculare, e sia l’una e l’altra ET, TZ equale TG. E continuemo ET, TG, GZ. [7.70] E descriviamo, o veramente descriviamo el circulo, o voi circa el circulo [Et describamus circa triangulum EGZ circulus]. Secara adonche el circulo ABA in dui punti, e lo punto T è lo centro di questo circulo. E AG fia magiore EB [et TG est maior TB]. Seghi adonche questo circulo AB in dui punti A, D, e continuemo la linea GA, GD, EA, EB, ED, ZA, ZB, [ZD]. [7.71] E perché <dui anguli> [due linee ET, TZ, sunt equales, erunt] adonche due linee EB, BZ converse per anguli equali. E perché dui archi EG, GZ sono equali, due linee EA, AZ si convertino per anguli equali [et due linee ED, DZ convertentur per angulos equales]. [7.72] E perché GT fia magiore cha TB, serà GE magiore cha EB. L’angulo adonche EBG fia magiore de l’angulo EGB, e l’angulo EGB fia megio recto. Adonche dui anguli EGB, EBG similmente sono magiori de lo recto. Adonche l’angulo BEG fia minore de lo recto e l’angulo EGZ fia recto. Adonche le due linee EB, GZ concorerano fuori del circolo in la parte BZ. Concora adonche in M. [7.73] Et quia ED fia intra l’angulo MEG concorerà cum la linea GM. Concorano adonche in L. E perché GB passa per lo centro EGZ del circulo serà la proportione AG minore del semicirculo. Adonche AEG fia obtuso, e l’angulo fia recto. Adonche quelle due linee AE, ZG concoreranno in la parte EG, concorano adonche in F. Se adonche el viso fosse in E, e Z in alchuno visibili alora i punti M, L, F serano imagine Z. Sia adonche Z, si comprende [136 verso a] in tri luoci. [7.74] Anchora, chaviamo da E la linea l’archo DZ, per qualunqua modo se sia, e sia EK, continuemo GK, e seghi l’archo DZ in B [K], e continuemo le linee KZ, GK, GR. L’arco adonche EG, GZ sono equali, serano dui anguli OKG, GZ [EKG, GKZ] equali. Adonche EKG fia magiore de l’angulo EKZ [GKZ]. [Sit ergo angulus GKN equalis angulo EKG. Due kinee EK, KN] si inoltrarano per anguli equale. E chaviamo CK da Q. Serà adunque Q imagine Z [N] rispecto E. [7.75] E imaginemo la superfitie esistente [exeunte] a linea MFG perpendiculare sopra el circulo ABD. E chaviamo de Z la linea in questa superfitie perpendiculare sopra GZ e passi in amedue le parte. Sia adonche CZ [CZR] e poniamo el centro G, e in la longitudine GN, faciamo l’arco del circulo CZR [CNR]. Secarà adonche la linea in dui punti e siano C, R, E continuemo la linee GC, GR. Serano adonche in la superfitie perpendiculare, sopra la superfitie ABG e chaviamo GC, GR rectamente, e sopra G, e in la longitudine GQ faciamo l’archo del circolo. Secarà adonche due linee GC, GR. Seghi in S, O. [7.76] Perché adonche la superfitie del circulo ABCG [ABD] fia perpendiculare sopra la superfitie de linee GC, GT, serano equale dui anguli EGS, EGO recti. Serà adonche amedue le superfitie EGS, EGO perpendiculare sopra la superfitie SGO, e l’una e l’altra di queste superfitie fa ne lo spechio el circulo grande compare al circulo ABD. El punto adonche compare al punto KU [K] el quale fa la superfitie EGO [EGC], si convertono da esso sicondo li anguli equali due linee tra dui punti E, C. [7.77] E le linee GC, GR sono equale [et linee GS, GQ, Go sunt equales] et Q fia imagine N, e S imagine C, e O imagine R. La imagine adonche de l’archo CZR [CNR] convesso da la parte del spechio, fia l’arco. SQO concavo da la parte del viso. [7.78] E L fia imagine Z e dui punti S, O, sono imagine C, R. La imagine adonche de la linea [CZR] retta è la linea transeunte per li punti S, L, O, e tale fia concava da la [136 verso b] parte del viso. [7.79] Signemo la linea transeunte per li punti S, L, O, e chaviamo la linea EG ad B [H]. Se adonche el spechio non perviene a dui punti B, H, ma uno dei dui termine fisse tra dui punti B, D e l’altro fosse in fra H, e il viso fosse in E. E due linee IZC [RZC], RNC fosseno in alchuno de visibili, alora la forma de la linea RZC recta serà concava, scilicet SLO, e la forma de l’arco RNC conesso, serano anchora linea concava, scilicet SQO. E RZC recta harà una imagine, e l’arco R[N]C harà [unam] imagine.

[7.80] Anchora, chaviamo BG ad I, e continuemo le linee EI, EZ [Iste due linee convertentur secundum angulos equales, et EI] secarà EG [FG]; seghi adonche in T. T serà imagine Z. I punti adonche M, L, T, F sono imagine Z. E si lo spechio excederà dui punti A e G [I], el viso in E, el dosso [deorsum/ in basso] de lo aspitiente ne lo spechio fosse da la parte de l’arco ABG [AI], harà compreso tuto l’archo IDA. [7.81] Alora Z [videbitur in quatuor locis] <parerà MG> in L, M, T, F e vederà dui punti I R [R, C] in dui punti S, O, e sia la linea RZC harà g le imagine concave [habebit quattuor ymagines concava]. L’una passata per li punti S, M, O scilicet per li punti [linea]SMO; la siconda passarà per li punti S, L, O, zioè per la linea SFO [SLO], sia inanci fe S, T, O [tertia transibit per puncta S, T, O, scilicet linea STO, quarta transibit per puncta S, F, O, scilicet linea SFO]. [7.82] Fia manifesto adonche da questa figura che la linea recta in li speculi concavi si comprende concava, e che la recta ha più forme concave. [7.83] [PROPOSITO 32] Anchora, sia el spechio concavo per lo centro del quale passa la superfitie, facia el circulo ABG, e sia el centro D. E chaviamo da D la linea per qualunqua modo sia, e sia DG, passi fuori del circulo. E chaviamo da D in la superfitie di questo circulo la linea perpendiculare sopra la linea DG e sia DA. E absindiamo, zioè taglamo, e ristaniamo de l’angulo ADG recto, una parva e pichola partixella, per qualunqua modo se sia e sia l’angulo GDE, si che intro l’angulo recto e l’angulo ADE sia moltiplo angulo, e veramente, de l’angulo EGD, e dividiamo l’angulo ADE in due parte equale par la linea DB. E ab [137 recto a] scindiamo la distintione equale a l’angulo EDB e chaviamo da D la linea continente cum DB BO [DB] l’angulo recto e sia DT. [7.84] E chaviamo AD in la parte D, e sia DK e caviamo da Z la linea contingente cum ED [ZD] l’angulo equale a l’angulo KDT. Questa linea adonche concorerà cum DA perché dui anguli KDT, ADZ sono minori de dui recti. Concorano adonche in H. L’angulo adonche ZHD fia equale a l’angulo KDT [ZDT]. [7.85] E chaviamo da Z la linea continente cum ZH l’angulo equale a l’angulo BDK obtuso e sia ZL. Dui anguli adonche LED, DBZ [LZD, BDZ] sono minori de dui recti, la linea adonche ZL concorerà cum DB. Concora adonche in L. [7.86] E continuemo LH, et circa el circulo [triangulum] HLD faciamo el circulo DHL. Passarà adonche per Z, perché dui anguli LED, LDH sono equali a dui recti, gl’anguli adonche LHZ, LDZ sono equali perché la base de essi fia uno arco medesimo. Ma l’angulo ZHD fia equale al angulo ZDT. Rimane adonche l’angulo LHD equale a l’angulo LDT e l’angulo LDT fia recto, [ergo angulus LHD est rectus]. [7.86] E rimoviamo da la linea DE la linea DM equale DH, e continuemo LH [LM], l’angulo adonche LMD, fia recto, el circulo adonche LHD passa per M et seca l’arco HC in lo puncto compari Z. Seghi adonche MF e continuemo DF. L’angulo adonche LDF serà equale a l’angulo LDZ, perché l’arco LM fia equale a l’arco LH e l’arco MF fia equale a l’arco ZH. Adonche l’arco FMD fia equale a l’arco ZHD. [7.88] E continuemo le linee HB, HF, FM, FZ, FB, l’angulo adonche BHD serà acuto e l’angulo DGH [GDH] serà recto. Adonche la linea HB concorerà cum la linea DG fuori dal circolo. Concorano adonche in N. [7.89] E chaviamo FB per fino che seghi l’arco LZ. Seghi adonche MZ e continuemo ZM l’angulo adonche FRM el quale è in la circonferentia risguarda l’arco FM e l’angulo FBM fia [137 recto b] magiore de l’angulo FRM e l’angulo FBM <fia magiore> fia in la circonferenza ABG. Adonche se BM linea si chavi in la parte M rimoverà <illegibele> de C ABG linea [arcum] magiore de simile arco FM. [7.90] E l’arco FM fia duplicimente simile a l’arco FE. Et l’arco FE <illegibile> [est] equale a l’arco <fe> AZ, e l’archo ZA fia equale a l’arco EG, e l’arco FE fia equale a l’arco EG. Adonche GF sia duplo de l’aecho GE, adonche l’archo <ge> GF fia simile a l’arco FM. [7.91] Si adonche BM, si chavi fuori recto in parte M, rimuoverà dal circulo ABG arco oltra el punto F, magiore de l’arco FG. La linea adonche BM seca la linea DG tra dui punti G, D. Seghi adonche in O. E chavisi la linea FM, e seghi DO in U. E chaviamo BM in parte B, e seghi l’arco LR in C. E continuemo CD. [7.92] perché l’angulo BF[Z] fia in la circonferenza ABG, serà l’angulo BFZ megio del’aangulo BDZ. Ma l’angulo BDZ è moltiplice de l’angulo ZDA. Adonche l’angulo RFZ fia molteplice de l’angulo ZDH. Adonche l’arco [R]Z fia molteplice de l’arco ZH, [et arcus CZ est maior arcuRZ; ergo arcus CZ est multiplus] l’arco ZH. [7.93] E continuemo LH [CH]. L’angulo adonche CHDcum l’angulo CMD equale a dui recti adonche l’angulo CHD fia equale a l’angulo BME, adonce l’angulo CHD [ZHD] aziunge [super] l’angulo CHD l’angulo CHZ, el quale fia equale a l’angulo CBZ [CDZ], e l’angulo CDZ fia molteplice de l’angulo ZDA. Adonche l’angulo CHZ fia molteplice de l’angulo EDG. Adonche l’angulo ZHD excede l’angulo CHD, molteplice de l’angulo EO [EDG]. L’angulo adonche ZHD fia equale a l’angulo FMD, perché FMD fia equale a l’arco ZHD. [7.94] E l’angulo CHD como noi habiamo dechiarato fia equale a l’angulo BME. Adonche l’angulo FMD exciede l’angulo OMD, moltiplo EDG [EGD] et MOG [FMD] excede l’ang [137 verso a] ulo OMD [MOG multiplo] l’angulo EDG. [7.95] Adonche l’angulo FMD excede l’angulo MUD a l’angulo EDG solo. Adonche l’angulo MUD fia magiore de l’angulo MUO [MOG].[manca da: ergo angulus MUD … fino a: angulo MUO]. Adonche la linea MU fia magiore de la linea MO e perché l’archo ZHD fia equale a l’arco FMD, serano dui anguli FD [ HFD, MFD] equali. Due linee adonche HF, FU si converterano equalmente e similmente HB, BO si converterano equalmente. Q adonche fia magiore O, e non è [et N est] imagine U. [7.96] E chaviamo da M la linea equidistante a la linea HQ, e sia MS. E chaviamo da M anchora la linea equidistante a la linea HN, e sia MP. E perché l’angulo HND fia magiore de l’angulo HQD, serà l’angulo EQPD [MPO] magiore de l’angulo MSO. P adonche serà tra due punti S, U e perché l’angulo HDN fia recto, serà l’angulo HND acuto. Adonche MPD fia acuto. Adonche l’angulo MSP fia obtuso. Adonche la linea MS fia magiore cha MP. [7.97] Ma MU fia magiore cha MO, como habiamo detto. Adonche la proportione SM ad MO fia magiore cha la proportione PM ad MU, e la proportione SM ad MO è como proportione QB ad BO, perché MS fia equidistante BQ. E similmente la proportione PM ad MU fia como proportione NF ad FU. Adonche la proportione QB ad BO fia como proportione ND ad DU, como noi habiamo dechiarato in [vicesima quinta] figura in lo capitulo de a imagine. Adonche la proportione QD ad DO fia magiore cha la proportione ND ad DU.

[7.98] Queste cose prima demostrade rifaciamo el circulo, e perfitiamo la dimostratione aziò che no si moltiplicheno le linee e dubitise le litere. Si adonche el circulo in la siconda forma ABG [FIGURE 6.7.332a], e lo centro D, e chaviamo la linea DQ e sia DU equale DU in prima forma. E DQ sia compare a se in prima forma et DO equale DO in prima forma, et DQ [137 verso b] sia d’essa in quella prima forma {manca da: et similiter DN. [7.99] fino a: in prima forma} L’angulo adonche HDQ serà recto e lo circulo che fa HD[Q] in lo spechio serà da la circuli da i quali la forma si converte. E serà l’arco el quale mesurano li linee HD e DQ equale a l’arco HG in lo primo circulo e da dui punti di questa compari a due punti B, F se convertirano le linee a dui punti U, O, equalmente. Serà adonche Q imagine O e N imagine U. [7.100] e chaviamo da U linea perpendiculare in la superfitie del circulo ABG sopra la linea DU, e sia ZUE. E sia D el centro de la longitudine DO, faciamo l’arco del circulo secarà adonche la linea ZUE in due punti. Seghi adonche in Z, E, e sia l’arco ZOE. E continuemo DZ, DE e chavisi oltra el circulo. E circa D, in la lingitudine TQ [DQ] faciamo l’arco TQK, secarà adonche due linee DZ, de in T, K. Econtinuemo TK. Secarà adonche la liena DQ in L. [7.101] E perché adonche HD fia perpendiculare sopra la superfitie del circulo amedui gl’anguli. HDT HDK serà recto. E amedue le superfitie HDT, HDK farà in la superfitie del spechio lo circulo e l’arco di quella el quale è tra due linee HD, DK. E l’una e l’altra linea DZ, DE fia equale a la llinea DO. Adonche quisti dui archi sono di tale fatta che da essi si convertirano le linee sicondo li anguli equali a dui punti Z, E. E due linee DT, DK sono equale a la linea DQ adonche el punto T fia ymagine Z, e K fia imagine E. [7.102] E perché le linee DT, DQ, DK sono equale e le linee DZ, DO, DE sono equale serà proportione DT ad DZ como la proportione QD ad DO, e como proportione KD ad DE. Ma la proportione QD ad DO, como in la prima figura avemo dimostrato dinançi, fia magiore de la proportione ND ad DU. Adon [138 recto a] cha la proportione DT ad DZ sia magiore de la proportione NO ad DN. E similmente la proportione <p>KD ad DN [DE] [7.103] E perché due linee DE, ZD sono equale, due linee DT, DK sono equale, serà la linea TK equidistante a la linea ZE. Adonche l’una e l’altra proportione DT ad DZ e KD ad DE serà como proportione LD ad DN. Adonche la proportione LD ad DU fia magiore de la proportione ND ad DU. Adonche la linea LD fia magiore de la linea ND. Adonche non è [N est] intra L, U. Ma non è [Sed N est] imagine U, e dui punti T, K sono imagine Z, E. Adonche la imagine de la linea ZUE recta fia linea transeunte per li punti T, N, K. E la linea la quale passa per quisti punti da la convexa [est convexa], per la quale cosa fia manifesto che la linea resta in li speculi concavi alchuna volta pare convessa.

[7.104] Anchora poniamo in la linea ZU el punto M per la qualunqua modo sia, e circa el centro M e in la longitudine MU faciamo l’arco RUF. Questo arco adonche secarà l’arco UOE in dui punti. Seghi in R, F, e continuemo le linee DZ, DF e passino rectamente per fino che concorano in l’arco TQK in C, I. La superfitie adonche de due linee HD, DC in lo speculo da la circonferentia del quale si convertirano equalmente le linee ad [ manca da: R, et similiter … fino a: convertentur linee ad] F. C adonche fia l’imagine R, Q [I] fia imagine F, e N fia imagine U. [7.105] La imagine adonche de l’arco RUF fia la linea transeunte per <q> [C], N, I, ma questa linea serà convessa e l’arco RUF fia concavo da la parte de la superfitie de lo spechio. Quando adonche el viso fosse in H e una <lacuna> [una queque linea ZUE, ZOE, RUF fuerit in aliquo visibili, tunc] linea ZUE recta si comprenderà convessa, e la linea ZOE convessa, si comprende concava, et concava convessa. Sia adonche ziascheduna linea ZUE, ZOE, ZUF harà avuto una imagine alora la forma de le linee recte serà per quello medesimo modo per lo quale noi habiamo dechiarato e se harà altre imagine forsi serano simile a le altre im [138 recto b] agine e forsi diverse.

[7.106] Manifesto fia adonche da queste figure che le linee in li speculi concavi alcuna volta si comprendeno recte alchuna volta convesse e alchuna volta concava e le linee convesse alchuna volta si comprendono convesse, alchuna volta e alchuna volta concave, [et concave quandoque comprehendentur convexe quandoque concave]. [7.107] Le forme adonche de le superfitie di li visibili si comprendeno altramente che le siano in così fatti spechij, le linee recte non sono si no in le superfitie recte e quando la linea recta la quale esiste in la superfitie piana si comprende convessa o concava, alora la le superfitie in le quale sono si comprenderano convexe o concave. E quando el viso comprende le linee convesse, concave e recte altramente che le siano, comprenderà le superfitie in le quale sono altramente che le siano. Fia manifesto adonche da le preditte cose che ogne cosa si comprende in li speculi concavi aviene, o voi continge, malitia, o voi falatia, ma in alchuni continge in alchuna parte [sempre et in omni positione, inquibusdam vero accidit in aliqua positione]. [M]a la fa[la]tia composita continge in quisti spechij per quello modo che fia ne compositi, e questo noi habiamo voluto dechiarare.

Capitulo octavo. De le falatie le quale avienghono ne spechij colonali concavi. [8.1] In quisti continghono simile cose a quelle che avenghono ne sperici concavi, contingono le falatie le quale provenghono de la conversione, zioè la debilità de la luxe e del colore e la diversità del sito e de la rimotione che avengono a tuti li spechij. Avengono anchora in essi da la diversità de la quantità simile a quello che adviene in li speculi sperici concavi. E anchora apare uno visibile uno e due et tri e quatro [138 verso a] e recto e convesso sicondo diversi siti, lo piano apare concavo e convesso. Dimostramo adonche como in quisti speculi si diversifica la quantità e lo numero de la cosa visa, e como apare recto e convesso, per quello medesimo modo che ne spechij concavi habiamo dechiarato. [8.2] [PROPOSITO 33] Ricominciamo adonche la prima figura de li due figure premisse in le falatie de le spechij colonalli convessi, e in quelle medesime littere in quella figura [FIGURE 6.8.33] fue manifesto che la linea EG, GT, EB, QB, EA, AB si converteno sicondo li anguli equali e che a linea AB, TK, BD, TG [EO, HA, BQ, TG] si congiungeno in O. E che la linea ABG fia linea estensa in la longitudine de lo spechio e che le linee GZ, BL, AD, sono perpendiculare sopra la superfitie contingente la superfitie la quale passa per la linea ABG e che la linea ABG fia perpendiculare sopra la superfitie in la quale fia el triangulo EBO; e che la linea TQ fia equale QH et AB equale BG e che Q, I [S. C, I] siamo imagine H, Q, T; e che <q> C sia più propinquo al punto E de la linea SI; e che la linea SI fia in la superfitie del triangulo UHT, e che due linee [UH], UT sono equale; e che due linee US, UI sono equale; e che due linee ES e EI sono equale. [8.3] E continuemo CU e seghi SI in F. Dividerà esso in due parte equale. E HT fia divisa in due parte equale, e serà CU in la superfitie del triangolo CUE, la quale fia superfitie [circuli] B equidistante a la base de lo spechio adonche serà in la superfitie [d]el triangulo CUE et C fia nel triangulo CEI. Adonche C fia differentia comune a queste due superfitie <ls>. [Sed] questa differentia fia linea EB. Adonche C<q> fia in la rectitudine EB. [8.4] E due linee HU, TU sono sotto due punti D, Z, perché due linee TU HU sono perpendiculare exeunte [138 verso b] da H, T sopra due linee contingente due portione, in quanto la circonferentia sono punti A, G. La superfitie adonche del triangulo fia UHT fia sotto l’asse DLZ. [8.5] Ma nisuno punto di questa asse avenga che n’escia infinito, serà la superfitie del triangulo UHT perché si fosse e continuasse cum alchuno punto de la linea [HT] la linea recta [illa superficies in qua esset linea recta] e la linea HT. Serebe la superfitie del triangulo UHT, e quella superfitie serebe quella in quale sono due linee equidistante HT, DZ. Sia superfitie del triangulo HUT, e così l’asse serà in la superfitie del triangulo HUT. [8.6] Ma l’axe fia equidistante a la linea HT positione e l’asse secta due linee HU TU e la linea TH fia la superfitie del triangulo UEH, la quale fia superfitie de conversione e la superfitie comune a questa superfitie de la colona fia alcuno sectore. La superfitie adonche EUH seca l’asse de la colonna in uno punto, scilicet in D, como dinanci habiamo dimostrato. E perché l’asse seghi la linea HU, el punto de la sectione cum la linea HU serà in la superfitie del triangulo UEH. Ma in questa superfitie non è ‘l punto per lo quale l’asse passi oltra D. Adonche la linea HU seca l’asse in D. E già habiamo dimostrato che HU secta esso in lo punto soto, che fia impossibile. [8.7] Adonche l’asse DZ fia fuori de la superfitie UHT e più propinquo al punto E cha UHT. La superfitie, adonche in la quale sono le linee HT, DZ fia più propinqua al punto E che la superfitie UHT. E C sia ne la superfitie in la quale sono HT, DZ. Adonche K [C] fia più propinquo ad E che S, I. Ma C fia in la rectitudine EB. Si adonche EB fosse uxito da la parte B, pervengha ad C; pervengha adonche ad C.

[8.8] Queste cose dimostrate inanci. [139 recto a] Dico che la linea SI, la quale fia equidistante a l’asse de lo spechio quando fosse in alchuno visibile e lo viso in O da la parte de la concavità de la colona e la superfitie speculata fosse superfitie concava, alora se si comprendesse da O [in speculo] ABG concavo, e diversificano le imagine de esso sicondo la diversità de la sua distantia da l’asse. [8.9] De la quale la dimostratione fia che l’angulo EBM fia acuto. Adonche l’angulo LBC fia acuto, e la linea EBC fia in la superfitie del circulo B et LEB [LB] fia diametro di questo circulo. Adonche EB seca lo circulo. Adonche EB fia tra la concavità del spechio. [8.10] [Et similiter OB est intra concavitaem speculi] perché l’angulo OBL fia acuto e dui anguli OBL, CBL sono equali, imperò che sonno equali EBM, ZBM [QBM] et LB fia perpendiculare sopra la superfitie contingente la colona che passa per [B]. La forma adonche C si stende per CB e perviene ad B, e convertise per BO, e comprendasi al viso da O.

[8.11] Anchora in lo quinto capitulo, quando parlamo de li spechij colonari convessi dechiaramo che la superfitie contingente la colona in G serà sotto E. Adonche EG seca la superfitie contingente, seca adonche la linea contingente la circonferentia del sectore in G. Seca adonche el sectore e cade intra esso; caderà adonche intra la concavità de lo spechio. Adonche due linee OG, GI sono intra la concavità de lo spechio, ZG fia perpendiculare sopra la superfitie contingente la colona in G, e dui anguli OGZ, IGZ sono equali. Adonche la forma I si estende per IG e perviene ad G, e convertise per GO e comprendese da O per la linea GO. E similmente S si estende per SA e convertise [per AO]. [8.12] E già habiamo dechiarato, quando noi tractamo de le falatii de li spechi colonali convessi, perché due linee HU, TU sono perpendiculari sono perpendiculare sopra due superfitie contingente li sectori transeunti per dui punti A, G. La imagine adonche S in la linea HU. E OA linea radiale la quale si stende dal viso al punto de la con [139 recto b] versione; adonche S si in O[A]. H adonche fia imagine Y [S], e così fia che T imagine Y. [8.13] E continuemo CL. Perché adonche QC si converte ad O da la circonferentia B, serà imagine Q in la linea CL. Et OB fia linea radiale, la quale si stende tra el viso e lo punto de la conversione adonche l’imagine C fia linea OB. Adonche l’imagine C fia in lo punto del sectore tra QL e OB. [8.14] Ma in lo tractato de imagine quanto tractamo de le imagine de spechij sperici concavi, fue manifesto che la imagine del punto del quale la forma si converte da la concavità del circulo forsi concorerà cum la linea radiale che fia tra el viso e <lo speculo> punto de la conversione oltra el circulo e forsi el viso e lo circulo e forsi in lo centro del viso e forsi ultra el centro e viso, e forsi CL equidistante serà OB. [8.15] E in quello capitulo fue manifesto che forsi la imagine serà uno punto, o dui o tri o quatro. La imagine forsi serà in BQ, forsi oltra OQ, e forsi in BO, e forsi in O, e forsi ultra O. E forsi la imagine EQ serà uno, punto o dui, o tri, o quatro. [8.16] Se la imagine C fosse Q, alora HT serà diametro de la imagine SI. Se adonche tute le imagine SI fosseno in la linea HT, alora la forma de esso serebe linea recta. Sin [se invece] o serà apresso recta e lo megio de essa fia in la rectitudine de due estremità. E se la imagine de C fosse oltra Q, alora la imagine serà quasi concava de la parte del viso. [8.17] E se la imagine C fosse più punti alora la imagine C serà più linee de le quale tute le estremità si congiungeno in dui punti H, T e li megi de essi sono distinti separati. E HT fia diametro de la imagine SI, per qualunque modo sia la imagine, e lo diametro è comune a tuti le imagine de esso, si havesse più imagine e la <li> [139 verso a] linea HT fia magiore cha C [SI] in modica, e pocha e pocha, quantità. [8.18] Fia adonche manifesto che le linee recte equidistante a l’asse colonale de lo speculo concavo fosse in alchuno visibile che la sua imagine serebe recta o concava e forsi serà una o più. [8.19] [PROPOSITO 34] Anchora, rifaciamo la siconda figura de le falacij de le speculi colonali convessi. In questa figura [FIGURE 7.8.34] dicto è che due linee EB, BH si converteno sicondo li anguli equali [et quod due linee EG, GT convertentur secundum angulos equales] e che HB, TG pervenghono ad L; et HB contenghono cum BO l’angulo acuto. Adonche HB seca la superfitie contingente la superfitie de la colona in B. BL adonche fia sotto la concavità de la colona e similmente GZ, e similmente GZ [GL], e similmente due linee BR, GY. [8.20] [Et duo anguli LBD, DBR sunt equales] e dui anguli LGO, LGI [LGD, DGY] sono equali. Se adonche RY fosse in alchuno visibile e fosse el viso in L, e la superfitie concava de la colona fosse tersa alora la forma R si estenderà per RO [RB] e perviene ad B. E convertirasse BL, e pervirà ad L e comprenderassi da L. E la linea HU fia perpendiculare sopra la linea contingente el sectore da la circonferentia del quale si convirterano due linee FB [RB], BL. H <g> adonche fia l’imagine R. E similmente si dechiararà che la forma Y si estende per YG e convertese per GL, e la imagine de essa fia OS [T]. [8.21] E continuemo KU. Secarà adonche RIM [RY] in M. Adonche fia in la superfitie transeunte per l’asse e per L, perché L e K sono in la superfitie, o voi, in questa superfitie. Adonche KU fia in questa superfitie. E perché dui punti M, L sono in la superfitie [transeunte] per l’asse de la colona. Adonche la forma [M] si converterà ad L in questa superfitie. E la linea AZ fia differentia comune tra la colona e la superfitie transeunte per lo suo asse, et per L; la forma adoncha M si convertirà ad L per AZ. [8.22] E continuemo EM, che [este] in questa superfitie. [ ET EL etiam est in hac superficie]. E lo punto [139 verso b] E fia elevato da la superfitie contigente la superfitie de la colona in la linea AH [AZ]. Adonche se AZ se chavi rectamente in la parte Z concorerà cum due linee EM, EL. Concora adonche cum EM in I, et cum EL [in] N. Adonche fia tra dui punti L, e perché L fia intra la concavità de la colona, e N fia in la superfitie de la colona, e E fia elevato da la colona. [8.23] E in la dimostrazione di questa figura fue manifesta che lo circulo BZG fia megio tra la linea HT e la superfitie exeunte da E equidistante a la base de la colona. E la perpendicolare la quale essie da E sopra AZ fia in la superfitie eseunte da E equidistante a la colona. Adonche la perpendiculare la quale essie da E sopra la linea AZN cade in lo triangulo EIN in la parte N. L’angulo adonche EIN fia acuto. Adonche l’angulo MIA fia acuto. [8.24] Chaviamo adonche da M la perpendiculare sopra AI e sia MQ. Q adonche serà oltra I rispecto N. E chaviamo MQ da la parte Q, e dividiamo QS ad equalità QM. S serà adonche sopra la superfitie de lo spechio e oltra la concavità de esso, e L serà sotto la concavità de esso. [8.25] E continuemo LS. Seca adonche NQ in F, e da F chaviamo FX ad equidistantia [QM] <quando> adonche fia perpendiculare sopra AN et in la superfitie transeunte per l’asse et per L; adonche fia diametro del circulo transeunte da F equidistante a la base de la colona. La linea adonche da F fia perpendiculare sopra la superfitie contingente la colona transeunte per AZ. [8.26] E continuemo MF. Serà adonche [equalis] FS, e dui anguli, i quali sono M, S, serano equali. E perché XF fia equidistante MG [MS] serano adonche dui anguli F equali a dui anguli i quali sono apresso S, M. Due linee adonche MF, LF si convertono per anguli equali [140 recto a] e [X]F fia perpendiculare sopra la superfitie contingente la superfitie del spechio in F. La forma adonche M per MF e convertise per FL, e la imagine de essa serà L [S]. [8.27] E perché due linee RY, HT sono equidistante e perpendiculare sopra la superfitie transeunte per l’asse e per L, perché HT fo posita tale, imperò due superfitie exeunte da due linee HT, RY serano equidistante e perché RY fia perpendiculare sopra la superfitie transeunte per l’asse et per L imperò la superfitie de due linee EM, MG [RM, MS] serà perpendiculare sopra la superfitie transeunte per l’asse et per R [L]. E serà MR [MS] differentia comune a queste due superfitie, e perché AQ fia in la superfitie transeunte per l’asse e fia perpendiculare sopra MS, che fia differentia comune tra la superfitie transeunte per l’asse e tra la superfitie de due linee QM, MG [RM, MS], [AN] serà perpendiculare sopra la superfitie de due linee EM, MG [RM, MS]. [8.28] E la linea AN fia equidistante a l’asse de la colona, adonche l’asse de la colona fia perpendiculare sopra la superfitie in la quale sono due linee AN [RM], MS. La superfitie <es> adonche fia questa perpendiculare sopra l’asse de la colona. S adonche in la superfitie exeunte da la linea RY perpendiculare sopra l’asse de la colona. [8.29] E la linea HT fia in la superfitie perpendiculare sopra l’asse de la colona equidistante a la superfitie exeunte da la linea RY. S adonche fia fuori HT e più propinquo L che HT . E dui punti HT sono imagine R, Y, e lo punto S fia imagine M. La imagine adonche de la linea RMY fia linea transiente per H, S, T. [8.30] Ma tale linea fia arcuale perché S fuori HT, e passi per li punti HST, e la linea HST arcuale. Perché HT, sicondo la positione, fue elevata dal convesso de la colona, e serà HT oltra la superfitie de lo spechio rispecto L. E già abiamo dechiarato che S fia oltra la concavità de [140 recto b] la superfitie del spechio [respectu L; ergo tota linea HST est ultra concavitatem superficei speculi]. Et L fia sotto la concavità del spechio. Adonche L è fuori de la superfitie in la quale è la linea HST arcuale, adonche la linea HST aparerà al viso L manifestamente. [8.31] E perché F fia in la superfitie de la colona, et BH [TH] fia intra la colona, e BH [TH] è in la superfitie del triangulo LHT, serà la linea LFS [LS] più alta de due linee LHT [LH, HT], rispetto al viso L. S adonche più alta <q> che dui punti H, T; la linea adonche HST, apare al viso L concava. [8.32] [PROPOSITIO 35] Anchora, seghiamo la colona sopra la superfitie contingente declive sopra l’axe de essa e no passi <fo> per tuto l’asse. Farà adonche lo sectore. Sia adonche ABG [FIGURE 6.8.35]. Ma in la prima de le figure concave dechiarato fue che in la superfitie de ziascheduno sectore de la colona <da la cosa> [erit/serà] perpendiculare sopra la superfitie contingente la colona da le estremità de la quale si convertano le forme. Fia adonche la perpendiculare GZ, e sia BE perpendiculare sopra la linea contingente la circumferentia del sectore in B, e sia B apresso G. BK adonche seca la perpendiculare GZ e continerà cum essa l’angulo acuto. Seghi adonche in E. L’angulo adonche BEG sera acuto. [8.33] E chaviamo da G la linea a la equidistantia de la linea BK, sia GD. Angulo adonche GDE [DGE] serà acuto. Adonche GD serà tra la concavità de la colona e poniamo l’angulo EGL equale a l’angulo AGD. GL adonche concorerà cum BE in L, e signemo in M la linea LE. Serà adonche l’angulo MAG acuto perché AM fia in[t]ra el sectore. [8.34] E poniamo l’angulo GAD equale a l’angulo GAM. Adonche AD concorerà cum GD, perché dui anguli i quali sono apresso A, G sono acuti. Concorano adonche in D. AD <d> adonche secarà BH [BK]. Seghi [140 verso a] adonche in T. [8.35] Quando adonche BK fosse in alchuno visibili e lo viso fosse in D, alora la forma [L] si vederà in G, che la forma L si convertirà ad D da G, e perché DG fia equidistante la perpendiculare LB e la forma M videtur in T, perché la forma M si converte ad G da A, et T imagine M. [8.36] E passa per D la superfitie equidistante a la base de la colona. Seca adonche la superfitie <eg> ABG e farà in la superfitie de la colona el circulo COR. La superfitie adonche di questo circulo secarà BK, seca GD che fia equidistante a essa. Seca BK in K e sia centro del circulo CR punto H. E continuemo DH, e passi ad R. E continuemo KH e passi ad C. [8.37] Forma adonche K si converte ad D da la circonferentia da l’arco RC, come fue manifesto ne le imagini de li circuli. Convertasi adonche da O, e continuemo KO, DO, HO. Li anguli adonche i quali sono apresso O sono equali, e DO secarà HC in N. N adonche fia imagine K. [8.38] E continuemo HD, KD adonche serà diferentia comune tra el circulo RC e lo sectore ABG, perché dui punti K, D sono in amedue le superfitie e niente de la superfitie del sectore ABG sia in la superfitie del circulo IC [RC], si no la linea KD. G adonche fia fuori del circulo, e similmente T, e sono in la superfitie del sectore [8.39] E N sia in la superfitie del circulo e la forma LMK passa per lo punto G, T, N, e la linea la quale passa per hec, zioè per quisti punti, fia arcuale. Ma la superfitie del sectore fia decline sopra la superfitie de la colona. L’asse adonche del sectore non passa per tuti l’asse de la colona ne ancho fia equidistante a la base de la colona. [8.40] Fia manifesto adonche da questa figura, e da due premisse, che due linee recte equidistante a l’asse de la colona ed equidistan [140 verso b] te a la base de essa, e anchora quelle che sono declinate sopra la superfitie de essa forsi se vederano arcuale, forsi recte e forsi convesse,

Anchora perché T fia imagine N, e N imagine K, serà la forma M conversa. [8.41] E se la linea anchora fosse in la superfitie de la equidistante a la base de la colona, de la quale la superfitie passa per lo centro del viso como fia detto in le imagine di li circuli in lo septimo capitulo di questo tractato, la forma serà forsi equale recta, [forte] convessa. [8.42] Fia manifesto adonche che la forma di quelle cose le quale si comprendeno in li speculi colonari concavi forsi serà recta, forsi convessa.

[8.43] [PROPOSITO 36] Ancora reiteramo la forma de la tercia figura de le falatie de li sperici concavi, essere letere esistente, e sia el circulo BZA [FIGURE 6.8.36] in la superfitie de lo spechio colonale concavo, e sia el viso in D. Serà adonche fuori de la superfitie del circulo e serano due linee EA, EB perpendiculare le superfitie contingente de la colona e le superfitie del triangulo TGE [DGE][manca da: perpendicularis super… fino a: [8.44] … in linea DO] passa per tuto l’asse. E in nesuna superfitie v’è alchuna cosa de l’asse de la colona sino E, che fia centro de circulo. E amedue le superfitie DBO, DAO fa in la superfitie de la colona el sectore e le forma si convertirano da questo sectori da dui punti A, B. [8.45] La forma adonche I [R] si converte ad D da B e la forma M si converte [da] D [d]a <e> A, e NU serà diametro de la imagine MR, e fia minore cha MR. E similmente dui punti H, L si converteno a T [D], da dui punti A, B, e serà TK diametro de la imagine LH, e fia equale a esso. E serà CI diametro de la imagine FQ, e fia magiore di quella. E tute queste imagine sarano convesse. [8.46] E se el viso fosse in O, e le linee CI, TK, NU fosseno visibile, serano per contrario, alora el diametro de la imagine NU serà magiore de essa, [141 recto a] e serà diametro TK equale a esso e tute le imagine serano recte. E tute queste cose sono dimostrare in lo predetto capitulo.

[8.47] Ancora quando amedue le estremità de alchuna de queste havesse una imagine, e alchuno in lo megio harà esse più imagine, alora quella linea harà tante imagine quante ha el punto megio. E se amedue le estremità o una habia havuto le imagine e lo punto megio havesse una, alora la linea harà tante imagine quante ha el punto estremo. E se amedue le estremità o una havesse molte imagine, el punto megio havesse molte imagine, alora la linea harà tante imagine sicondo el magiore numero. E questo fue manifesto, como fo manifesto de le imagine de li speculi sperici concavi. [8.48] In li spechij adonche colonari concavi adviene la falatia in tuti che si comprendono in essi, como adviene in li speculi sperici concavi, scilicet de le forme de le spetie visibile e de le quantità e del numero de le sue imagine, e de la rectitudine e de la conversione, cum le falatie le quale sono apropriade a la conversione, e le falatie sono, overamente, serano in questo speculi predetti, e queste sono quelle cose che noi habiamo voluto dechiarare in questo capitulo <predetto>.

Capitulo nono. De le falatie le quale advenghono in li spechi piramidale concavi. [9.1] In quisti advenghono quelle falatie che advenghono in li speculi colonari [concavi]. La debilità de la luxe e del colore, la diversità de la positione e de la rimotione accidunt, zioè advenghono, in quisti como in tuti li spechij, e la cagione di questo fia la conversione. Adviene anchora in quisti speculi moltitudine de imagine como in li speculi [et] sperici concavi como [141 recto b] fia detto in lo capitulo de la imagine. Adviene in essi colonari concavi, zioè che lo recto apare concavo e pare convexo. [9.2] E la dimostrazione fia che le linee recte le quale si stendono in la longitudine de lo spechio che passa per lo capo de la piramide, e che sono apresso quello apareno convesse, e pareno concave e forsi recte. [9.3] [PROPOSITO 37] E la dimostratione sopra questo fia como la dimostratione in speculi colonali concavi. E se reiteremo la siconda de li spechij zioè de le falatie de li spechij piramidali convexi [FIGURE 6.9.37], atrovaremo el diametro de la imagine de la linea recta posita in lo spechio, el quale fia la linea AI [AY] int[ra] la concavità de lo spechio de la piramide, trovaremo el punto el quale fia sotto la superfitie contingente la piramide transeunte per la linea da la quale si converte la forma de la linea recta al viso, che ivi el punto [F]. [9.4] Si fosse punto el centro del viso, serano tuti li punti i quali sono in lo diametro de la imagine conversa al punto F e le imagine de due estremità A, I [Y], serano estemità de la linea recta HT [AN], e li luoci de le imagine del punto che fia nel megio AI [AY] se diversificarano. E questo se dechiara per una medesima via sicondo la quale noi prociedemo in la dimostratione de la prima figura di li spechij colonali concavi. [9.5] Fia manifesto adonche [che] se AI [AY] fosse in alchuno visibili e lo viso fosse F, alora la imagine forsi si vederà convessa e forsi concava e fia manifesto ancora in la secunda siconda figura de le falatie de li spechij colonali concavi che le linee posite in la latitudine de lo spechio aparerano concave de concavità mirabile, e che le imagine de le linee le quale in le superfitie transeunte per l’axe e per lo centro del viso serano recte. [141 verso a] [9.6] [PROPOSITO 38] Anchora rifaciamo la tercia figura de le falatie de li speculi sperici concavi con quelle medesime lettere.

Se adonche alchuno de li punti fosseno de piramide maxima [in axe piramidis] e due linee EA, EB fosseno perpendiculare sopra la superfitie contigente le piramide, e questo fia possibile perché sono equale e possono cum l’asse continere due anguli acuti equali, cum ziò sia adonche che queste due linee fosseno perpendiculare e lo viso fosse D. Alora la superfitie in la quale sono le linee HC [GE], ED passarà per tuto l’asse e per lo centro del viso. [9.7] E amedue le superfitie DAM DBZ serà declive per l’axe de la piramide e serà le differentie de esse due sectione de la piramide e serà la forma de li punto R, G [H], Q convessa [conversa] ad D da F [B], e la forma de li punti L, M. F convertise ad D da A. E cum ziò sia che adonche le linee MK, GFQ [MR, LH, FQ] fosseno in alchuna superfitie visibili e lo viso fosse MD, alora NU serà imagine MR e TK serà imagine EQ [LH] [et CI erit ymago FQ]. [9.8] Adonche la imagine MR serà magiore de se medesima e la imagine FQ magiore de si medesima, e la imagine LH equale a se medesima, e tute le imagine serano converse. [9.9] E se el viso fosse in O e NU, TK CI fosseno in le superfitie de li visibili alora le imagine de esse serano MR, LH, FQ. Como adonche serà la imagine Q [CI] magiore [minor] de si medesima, e la imagine NU magiore, e la imagine TK equale. [9.10] E queste imagine serano recte e queste imagine serano oltra el centro del viso e comprendesi inanci al viso sopra la linea radiale. Li punti adonche <L, M, F> M, L, F si comprendeno in la linea AD [AO] e li punti E, B, Q [R, H, Q] si comprendeno in OB <f> e così la forma ritornerà recta. [9.11] Adonche per quelle cose che noi habiamo detto in questo capitulo che le linee recte [141 verso b] alchuna volta apareno in quisti speculi convexe alcuna volta concave, alcuna volta magiore e alchuna volta minore, alchuna volta equale, alchuna volta recte [e] converse. [9.12] In lo cpaitulo de imagine habiamo dechiarato ch eogne punto visibile in quisti tali spechij alchuna volta ha una imagine, alchuna volta due, e tre e quatro.Tute quelle cose adonche che si comprendeno in quisti così fatti spechij avien falatia in essi, como ne colonali concavi, advenghono in essi anchora falatie composite como ne li altri spechij e li exempij e la declaratione de sono cono in li speculi piani e questo intendiamo dechiarare in questo capitulo.